概率论与数理统计：1-1 随机事件

1、概率论与数理统计课程简介人类生活的世界充满了随机现象 从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星殒落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面对具有不确定性现象 (即随机现象)。当人们在一定条件下对某一现象加以观察时，观察到的结果是多个可能结果中的某一个，且在每次观察前都无法预知观测结果到底是哪一个。即结果的出现呈现出偶然性，或者说：出现哪个结果 “凭机会而定”。具有不确定性(或随机性、偶然性)的现象称为随机现象。随机现象的特点是什么？什么是随机现象?在一个标准大气压下，水在100时沸腾；明天的最高温度; C. 掷一颗骰子，观察其向上点数

2、；D. 上抛的物体一定下落；E. 新生婴儿体重。 下列现象哪些是随机现象？随机现象是不是没有规律可言?否！在一定条件下对随机现象进行大量重复观测后就会发现：随机现象的发生有一定的规律性。例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等. 再如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受到的环境的影响，每次测量的结果可能有差异，但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加而逐渐稳定于一固定常数，并且诸测量值大多落在此常数附近，离常数越远的测量值出现的可能性越小。 “天有不测风云”和“天气可以预报”

3、有矛盾吗?没有！“天有不测风云”指的是对随机现象进行一次观测，其观测结果具有偶然性；“天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资料来观察这些观测结果(偶然现象)的规律性。?想一想 随机现象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观测时，观测结果具有偶然性(不可预知性)” ；必然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观测，观测结果有一定的规律性，亦即统计规律性”。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支。概率(或然率或几率) 随机事件出现的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.

4、帕斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” ( 即得分问题 ).概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的 数学分支学科。本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到假设检验；6. 探讨太阳黑子的

5、变化规律时,时间可夫过程 来描述;7. 研究化学反应的时变率，要以马尔序列分析方法非常有用;4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其发射都离不开可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理；5. 处理通信问题, 需要研究信息论；水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知目前, 概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、8. 生物学中研究 群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；9. 许多服务系统，如电话通信、船舶识就是 排队论.领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等

6、问题 , 都大量采用概率统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作为.课程主要内容：Ch 1. 概率论的基本概念Ch 2. 随机变量及其分布Ch 3. 多维随机变量及其分布Ch 4. 随机变量的数字特征Ch 5. 大数定律及中心极限定理I. 概率论 研究随机事件发生的规律 课程主要内容：Ch 6. 样本及抽样分布Ch 7. 参数估计Ch 8

7、. 假设检验 II. 数理统计 以概率论为基础，对观察到的随机现象作出统计推断。主要参考书1. 魏宗舒等译，统计学（David Freedman，etc. statistics ， 中国统计出版社，19972. 谢琍 尹素等编概率论与数理统计解题指导，北京大学出版社，2003。3. 盛 骤，谢式千，潘承毅编 概率论与数理统计 高等教育出版社4.屠俊如 洪再吉译基础统计学（Robert Johnson, Patricia Kuby, Elementary Statistics)，科学出版社，2003。5.大数据时代ViktorMayer-Schonberger， Kenneth Cukier 著

8、，盛杨燕，周涛译，浙江人民出版社“ 得 分 问 题 ” 甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去，问如何公平分配赌注？确定性现象随机现象 每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性 第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件是指对研究对象所进行的观察、测量或科学若它有如下特点,则称为随机试验,用E表

9、示 试验前不能预知出现哪种结果。 基本术语 1.1 可在相同的条件下重复行； 试验结果不止一个,但能明确所有的结果；是指对研究对象所进行的观察、测量或科学实验, 统称试验.样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为随机事件 的子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间 记为样本点(or基本事件) 常记为 ， = 其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例1 给出一组随机试验及相应

10、的样本空间基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件. 必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件.随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件不包含任何样本点的事件,记为 ,每次试验必定不发生的事件.A 随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算 事件的关系和运算文氏图 ( Venn diagram ) A 包含于B 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B 且1. 事件的包含2. 事件的相等或 事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 A 与B 的和事件3. 事件的并(和) 或事件 A与事件B

11、 同时 发生发生的积事件 的积事件 A 与B 的积事件 4. 事件的交(积)发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 A 与B 的差事件5. 事件的差 A 与B 互斥A、 B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6. 事件的互斥(互不相容) A 与B 互相对立每次试验 A、 B中有且只有一个发生A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 事件的对立8. 完备事件组若 两两互斥，且则称 为完备事件组或称 为 的一个划分 吸收律 幂等律 差化积 重余律运算律对应事件运算集合运算 交换律 结合律 分配律 反演律运算顺序： 逆交并差，括号优先 B CABA CA 分配律 图 示A例3 化简事件解 原式例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发生 A ,B ,C 不都发生例5 在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书. 抽取的是精