动态电路方程及其解

1、第四章 动态电路的时域分析1. 电容元件电容元件 电容的电容的VARdtduCdtdqi tdiCtdu)(1)(电容元件的特点电容元件的特点*电压有变化，才有电流。电电压有变化，才有电流。电容具有隔直流作用。容具有隔直流作用。*电容电压具有连续性，不能电容电压具有连续性，不能 跃变。跃变。*电容有电容有“记忆记忆”电压的作电压的作用。电容是无源元件。用。电容是无源元件。上上 节节 回回 顾顾第四章 动态电路的时域分析2. 电感元件电感元件 电感的电感的VAR电感元件的特点电感元件的特点*电流有变化，才有电压。电流有变化，才有电压。*电感的电流具有连续性，不电感的电流具有连续性，不能跃变。能跃

2、变。*电感有电感有“记忆记忆”电流的作电流的作用。电感是无源元件。用。电感是无源元件。dttdiLtudtdtutLit)()()()()( duLtit )(1)(第四章 动态电路的时域分析包含包含至少一个动态元件至少一个动态元件（电容或电感）的（电容或电感）的电路为动态电路。电路为动态电路。 含有含有一个独立的动态元件的电路一个独立的动态元件的电路为一阶电路。为一阶电路。（电路方程为一阶常系数微分方程）（电路方程为一阶常系数微分方程）含有含有二个独立的动态元件的电路二个独立的动态元件的电路为二阶电路。为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）（电路方程为二阶常系数微分方程）含有三个或三个

3、以上独立的动态元件的含有三个或三个以上独立的动态元件的电路电路为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分方程）方程）3.2 动态电路方程及其解动态电路方程及其解 第四章 动态电路的时域分析换路、暂态与稳态的概念换路、暂态与稳态的概念ucUSRC(t=0)(t=t1)+-换路：电路换路：电路结构或参数结构或参数发生突然变化。发生突然变化。稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已达到稳定值。有两类稳态电路：达到稳定值。有两类稳态电路：直流稳态电路：电路中电流电压均为直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量恒定量。正弦稳态电路：电路

4、中电流电压均为正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量正弦交流量。第四章 动态电路的时域分析暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。的过渡过程。过渡过程产生的原因：过渡过程产生的原因：外因外因换路换路；内因；内因有储能元件有储能元件。uctt1US稳态暂态暂态ucUSRC(t=0)(t=t1)+-第四章 动态电路的时域分析3.2.1 动态电路方程动态电路方程)()()(tututusCR dtduRCRiudtduCiCRC ,dtduRCRiudtduCiCRC ,sCCuRCuRCdtdu11 一阶常系数微分方程一阶常系数微分方程1. RC

5、电路电路 第四章 动态电路的时域分析)()()(tititisLR sLLiLRiLRdtdi dtdiLuRuCiLLL ,RuRuiLRR 一阶常系数微分方程一阶常系数微分方程2. RL电路电路 第四章 动态电路的时域分析)()()()(tutututusCRL ,dtduCiC sCCCuLCuLCdtduLRdtud1122 二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程RiuR dtdiLuL ,dtduRCC 22dtudLCC 3. RLC电路电路 第四章 动态电路的时域分析 一般而言，若电路中含有一般而言，若电路中含有n个独立的动态个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是元件，那么描

6、述该电路的微分方程是n阶的，阶的，称为称为n阶电路。阶电路。 第四章 动态电路的时域分析例：例：求解方程求解方程,05 xdtdx2)0( x05 s5 sttseKeKtx5)(22)0(Kx解：解： 特征方程特征方程特征根特征根通解通解代入初始条件，得代入初始条件，得原问题的解为原问题的解为tetx52)( 3.2.2 动态电路方程解动态电路方程解 1. 初始值的计算初始值的计算第四章 动态电路的时域分析讨论初始值的原因讨论初始值的原因: 初始值用来完全确定微分方程的解初始值用来完全确定微分方程的解。动态电。动态电路中，要得到待求量，就必须知道待求量的初始路中，要得到待求量，就必须知道待求

7、量的初始值。而相应的微分方程的初始条件为值。而相应的微分方程的初始条件为电流或电压电流或电压的初始值的初始值。第四章 动态电路的时域分析动态电路的初始状态与初始值动态电路的初始状态与初始值t0+ 和和 t0- t0 时刻换路，则时刻换路，则 t0- 为换路前的瞬间，为换路前的瞬间， t0+ 为换路后为换路后的瞬间（称为换路后的初始时刻）。的瞬间（称为换路后的初始时刻）。 独立初始值独立初始值uC(t)和和 iL(t)为电路的独立状态变量。为电路的独立状态变量。 T0+ 时刻的时刻的uC(0)和和 iL(0)为电路的原始状态，它们反映了换路前电为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。

8、路所储存的能量。独立初始值：独立初始值： uC(0), iL(0)非独立初始值：非独立初始值：t0+ 时刻其它时刻其它u (0), i (0)值。值。第四章 动态电路的时域分析 t0时刻换路，换路前一瞬间记为时刻换路，换路前一瞬间记为t0-，换路后一瞬间记为，换路后一瞬间记为t0+。当。当t=t0+时，电容电压时，电容电压uC和电感电流和电感电流iL分别为分别为 0000)(1)()()(1)()(0000ttLLLttCCCduLtitidiCtutu )()()()(0000tititutuLLCC换路定律换路定律 注意注意：除：除uC(0)和和iL(0)外，其他各电流和电压在换外，其他各

9、电流和电压在换路前后可以跃变。路前后可以跃变。第四章 动态电路的时域分析求初始值的简要步骤如下：求初始值的简要步骤如下：(1) 0- 的独立初始值。由的独立初始值。由t0时的电路，时的电路， 求出求出uC(0-), iL(0-)； 画出画出0+等效电路；在等效电路；在t=0+时，时，用电压等于用电压等于uC( 0+) 的电压源的电压源替代电容元件，用电流等于替代电容元件，用电流等于iL(0+)的电流源替代电感元件，的电流源替代电感元件，独立电源均取独立电源均取t=0+时的值。时的值。(3) 由由0+等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的等效电路，求出非独立初始值（各电流、电压的初始值）。初

10、始值）。(2) 0+ 的独立初始值。根据换路定律求出的独立初始值。根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。第四章 动态电路的时域分析初始值的确定初始值的确定例例1解：解：(1)由换路前电路求由换路前电路求)0(),0( LCiu由已知条件知由已知条件知0000)(,)(LCiu(2)根据换路定律得：根据换路定律得：0)0()0( CCuu0)0 ()0 (LL已知：换路前电路处稳态，已知：换路前电路处稳态，C、L 均未储能。均未储能。试求：电路中各电压和电试求：电路中各电压和电流的初始值。流的初始值。S(a)CU R2R1t=0+-L第四章 动态电路的时域分析11)0()0(RU

11、C 0)0(2 uUuuL )0()0(1iC 、uL 产生突变产生突变 (3)由由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值电路，求其余各电流、电压的初始值SCU R2R1t=0+-L(a) 电路电路iL(0+ )U iC (0+ )uC (0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+ )R2R1+_+-(b) t = 0+等效电路等效电路, 0)0(Cu电容元件可视为短路电容元件可视为短路, 0)0(Li电感元件可视为开路电感元件可视为开路第四章 动态电路的时域分析例例2 电路如图所示。在开关闭合前，电路如图所示。在开关闭合前， 电路已处于稳定。当电路已处于稳定。当t=0时开关闭合

12、，求初始值时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和和iC(0+)。 第四章 动态电路的时域分析解：解： (1) 求求uC(0-)。由于开关闭合。由于开关闭合前电路稳定，前电路稳定，duC/dt=0，故，故iC=0，电容可看作开路。电容可看作开路。t=0-时电路如时电路如图，图，VuC12)0( (2) 根据换路定律有根据换路定律有 VuuCC12)0()0( 12V第四章 动态电路的时域分析(3) 由由0+等效电路，计算各电流的初始值。等效电路，计算各电流的初始值。 )0()0()0(21Ciii041212)0(1 RuUCsARuC5 . 1812)0(2 Aii5 . 1)0()

13、0(21 第四章 动态电路的时域分析例例3：已知换路前已达稳态，求已知换路前已达稳态，求 uL(0) 、i (0)、 i1(0) 和和iL(0)。 110V4(t=0)uL+-ii1iL解：解：)(24110)0(AiL AiiLL2)0()0( 110V4+-i1(0+)2Ai (0+)uL(0+)(3)由由0等效电路可求得等效电路可求得Ai10)0( Ai8)0(1 VuL8)0( (1)换路前换路前(2)根据换路定律根据换路定律第四章 动态电路的时域分析例例4 电路如图所示，电路如图所示，t=0时开关时开关S由由1扳向扳向2，在，在t0时电路已时电路已处于稳定。求初始值处于稳定。求初始值

14、i2(0+)，iC(0+)。 解：解： (1) 换路前换路前 )0()0(CLuiViRL2045)0(2 ARRUs4512421 第四章 动态电路的时域分析AiiVuuLLCC4)0()0(20)0()0( (3) 由由0+等效电路，计算其余初始值。等效电路，计算其余初始值。 044)0()0()0(4520)0()0(222 iiiARUiLCC044)0()0()0(4520)0()0(222 iiiARUiLCC(2) 根据换路定律有根据换路定律有 第四章 动态电路的时域分析uC (0 -) =U0sRU+_C+_i0tuc实质实质：RC电路的充电过程电路的充电过程2. 微分方程经典

15、解法微分方程经典解法0UU 第四章 动态电路的时域分析sCCUudtduRCsCRUuu(方程的通解方程的通解 =方程的特解方程的特解 + 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解)()()(tututuCCC 即1. uC的变化规律的变化规律(1) 列列 KVL方程方程uC (0 -) = U0sRUs+_C+_i0tuc(2) 解方程解方程求特解求特解 ：CusCCUudtduRCsCsUtuUK)( 即：解得：KdtdKRCUKusC, 代入方程设：第四章 动态电路的时域分析 求对应齐次微分方程的通解求对应齐次微分方程的通解Cu tAUtututusCCC e)()()(0ddCCutuRC

16、通解即：通解即： 的解的解微分方程的通解为微分方程的通解为）（令令RC RCtptAAtuC ee)(其解：确定积分常数确定积分常数A0)0(UuC根据换路定则在根据换路定则在 t=0+时，时，sUUA0则RCtCUsUut )esU-0()(第四章 动态电路的时域分析（3） uC的变化规律的变化规律)0()( e1(e0ttRCtRCtsUUuC稳态分量稳态分量Cu仅存在仅存在于暂态于暂态过程中过程中)(tuCtU0+UsoRCtCUsUut )esU-0()(零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应第四章 动态电路的时域分析3. 、 变化曲线变化曲线CuCiCiCutCuCittUUusC

17、e)e1(02. 电流电流 iC 的变化规律的变化规律0 edd0tRUUtuCitsCCUsRUUs0U0第四章 动态电路的时域分析3. 直流电源作用一阶动态电路的三要素法直流电源作用一阶动态电路的三要素法sLLsCCuLiLRtiuCRuCRtu1dd11dd000第四章 动态电路的时域分析如果用f(t)表示激励us, 用y(t)表示响应uC或iL )()(1d)(dtbftytty)(e)()()(tyAtytytyptph设全响应y(t)的初始值为y(0+)A=y(0+)-yp(0+) 电路全响应解为 0e)0()0()()(tyytytytpp第四章 动态电路的时域分析当激励f(t)

18、为直流时，微分方程的特解是常数。令yp(t)=C, 显然有yp(0+)=C, 得 tCyCtye )0()(通常情况下，电路时间常数0，称这种电路为正电路。对于正电路，当t时，由上式可解得 )()(ytyIimCt0)()0()()(teyyytyt自由响应暂态响应强迫响应稳态响应y()、 y(0)、 称为三要素。称为三要素。利用求三要素的方法求利用求三要素的方法求解暂态过程，称为解暂态过程，称为三要素法三要素法第四章 动态电路的时域分析V555510)( Cu6666)( LimA3 (1) 稳态值的计算稳态值的计算uC+-t=0C10V 1 FS例：例：5k +-Lit =03 6 6 6

19、mAS第四章 动态电路的时域分析1) 由由t=0- 电路求电路求)0()0( LCiu、2) 根据换路定律求出根据换路定律求出)0()0()0()0( LLCCiiuu3) 由由t=0+时时的电路，求所需其它各量的的电路，求所需其它各量的)0( i)0( u或或 注意：注意：(2) 初始值的计算初始值的计算 第四章 动态电路的时域分析CR0 0RL 注意：注意：第四章 动态电路的时域分析R03210)/(RRRR U0+-CR0CR0 R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第四章 动态电路的时域分析解：解： teuuuuCCCC )()0()(cuCi2i电路如图，电路如图，t=0时合上开关

20、时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压 和电流和电流 、 。)0( CuV54106109)0(33 CuV54)0()0( CCuut=0-等效电路等效电路)0( Cu9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R第四章 动态电路的时域分析S9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R)( cu由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值)( cu(33 Cus3630104102103636 CR )( Cut 电路电路9mA+-6k R 3k 第四章 动态电路的时域分析V54)0( CuV18)( Cus3104 )0V(3618)1854(182503104 tuttCeettuCiCC250e )250(36102dd6 )0A(018. 0t250 te18V54VtCuO第四章 动态电路的时域分析用三要素法求用三要素法求CiS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R3k 6k )0( Ci54 V9mAt=0+等效电路等效电路 tCCCCiiii e)()0()(0)( CimAe126250t 32103)()( tutiCmAe18)(250ttiC mA18102