误差理论第二章-1随机处理

1、1一课一贴一课一贴很多时候我们会沮丧、会绝望、会抓狂、很多时候我们会沮丧、会绝望、会抓狂、会会，但是，更多时候我们内心中那，但是，更多时候我们内心中那小强一般的生命力会支持我们接下来的日小强一般的生命力会支持我们接下来的日子。其实，你没有自己认为那样差劲！子。其实，你没有自己认为那样差劲！2 2-1 2-1 随机误差随机误差 2-2 2-2 系统误差系统误差 2-3 2-3 粗大误差粗大误差 2-4 2-4 测量结果的数据处理实例测量结果的数据处理实例由于误差存在的必然性，为提高测量精度，尽可能消除或由于误差存在的必然性，为提高测量精度，尽可能消除或减少误差，须分析误差性质、出现规律、产生原因

2、、发现减少误差，须分析误差性质、出现规律、产生原因、发现或减小它们的方法以及测量结果的评定等。或减小它们的方法以及测量结果的评定等。3一、随机误差的产生原因一、随机误差的产生原因随机误差又称随机误差又称偶然误差偶然误差，其，其特点特点是前一个误差出现后，不能预定下一是前一个误差出现后，不能预定下一个误差的大小和方向，但总体而言具有统计规律性个误差的大小和方向，但总体而言具有统计规律性。产生原因产生原因：测量装置方面的因素；（零部件配合的不稳定、变形、摩擦）测量装置方面的因素；（零部件配合的不稳定、变形、摩擦）测量环境方面的因素；（温度的微小变化、光照强度变化、灰尘）测量环境方面的因素；（温度的

3、微小变化、光照强度变化、灰尘）人员方面的因素。（瞄准、读数的不稳定）人员方面的因素。（瞄准、读数的不稳定）二、正态分布二、正态分布若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差一般具有下列特若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差一般具有下列特点：点：对称性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出项的次数相等；：绝对值相等的正误差和负误差出项的次数相等；单峰性单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；4 niLLii1 0若服从正态分布，则密度函数为：若服从正态分布，则密度函数为： 22221ef其分布函数为其分布函数为： deF222

4、21其中，其中，为标准差（或均方根误差），为标准差（或均方根误差），e=2.7182e=2.7182有界性有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；抵偿性抵偿性：随测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于：随测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于0。 具有上述特点的分布函数为正态分布，因此具有上述特点的分布函数为正态分布，因此多数随机误差都服从正多数随机误差都服从正态分布态分布。 设被测量的真值为设被测量的真值为L0，测得值为，测得值为Li,则测量列中的随即误差则测量列中的随即误差i为：为：5 df22 0dfE因此

5、，方差为：因此，方差为：数学期望为：数学期望为：平均误差为：平均误差为： 547979. 0df 326745. 0 21 得到或然误差为：由df 平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半平均误差为右边面积重心的横坐标，或然误差为平均右半部面积的横坐标。部面积的横坐标。三、算术平均值三、算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，以对某一量进行一系列等精度测量，以全部测得值的算术平均全部测得值的算术平均值值作为最后的测量结果。作为最后的测量结果。612121110220012120n100i 11 , , ; ; nnininnnnniniiiil llnxllllxnnllllllll

6、llnlllnlln设为 次测量所得的值，则算术平均值 为：即：1110n0 nniinniiiilnlxn 由于随机误差服从正态分布，当时，表明当测量次数无限增大时，算术平均值最接近于真值。（一）算术平均值的意义（一）算术平均值的意义70000011111000: iiinnnnniiiiiiiiillllllllllllxllxnnnnn 为方便计算，可选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值（二）算术平均值的计算校核（二）算术平均值的计算校核1111 (1 ) _iiinnnniiiiiiivlxinvvlxlnx一般被测量真值未知，则以算术平均值为真值，则随机误

7、差可认为是：则 称为残余误差（残差）有81111 1) 0 0niininniiiiilxxnlvlnn可根据下面性质校核算术平均值及残差计算的正确性：当求出的 为未经凑整的准确数时，即代入上式则即残余误差代数和为 。1111112) , ()niininniiiiinniiiilxxnlvlnnnlnxvx 当 为凑整的非准确数时，存在舍入误差 ，即则表明当时，为负，其大小为求 时的亏数。911,n 21 22Aniiniin vAnn vAx另一校核规则为：由残余误差代数和绝对值计算 即：当 为偶数时，；当 为奇数时，（）其中 为实际求得的算术平均值 末位数的一个单位。1111113) ,

8、()nniinniiiiiinniiiillxvlnnnnlnxvx 当时表明当时，为正，其大小为求 时的余数10例例1、 测量某直径测量某直径10次，得到结果如下，求算术平均值次，得到结果如下，求算术平均值并校核。（单位并校核。（单位mm）1879.64, 1879.69, 1879.60, 1879.69, 1879.57, 1879.62, 1879.64, 1879.65, 1879.64, 1879.65。注意：注意：解题步解题步骤、校骤、校核！核！112222121 (2-1) nniniinn在等精度测量列中，单次测量的标准差为：式中， 为测量次数； 为测得值与被测量真值之差。四

9、、测量的标准差四、测量的标准差简称为简称为标准差标准差，也称为，也称为均方根误差均方根误差。（一）单次测量标准差（一）单次测量标准差 由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的般皆不相同，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此分散度说明测量列中分散，此分散度说明测量列中单次测得值的不可靠性单次测得值的不可靠性，而，而评定这种不可靠性常用评定这种不可靠性常用标准差标准差。它不是每次测量的随机。它不是每次测量的随机误差，而是反映随机误差的分散程度误差，而是反映随机误差的分散程度1200110

10、122020i1i 1ii 111,( = = 0iixxxnnnxnninniixxiniixllxllxxlvlxxlvlxxlvvvnnnvnn 其公式推导如下：令算术平均值的误差）而在时，因此ii 12212i 1i 12222nnnnijiiijxnnnn iiv由于真值通常未知，实际使用时常用残余误差 代替 。132i 12-22-1 1nivn将（）式代入（），得到用残余误差计算等精度测量列单次测量的标准差的估计值：此式又称为贝塞尔公式。2222222i 12i 1i 11i 1i 122i 1i 12 (2-2)1ninnnnniixixixiinniiAvvnvnvnnnvn

11、另一方面将 式两边平方后相加得到：14 12122122222 1, ,11 , xnnnilllxnD xD lD lD lnl llD linD xnnn由于多次测量是以算术平均值作为测量结果，因此须评定算术平均值的分散程度，即算术平均值的标准差。两边取方差，得到：又是等精度测量列，每个测得值的标准差为 ，因此22 ,xxnn即（二）测量列算术平均值的标准差二）测量列算术平均值的标准差1xnnxn表明在 次的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的，具有误差平均效应。当时，表示的分散性愈小，愈接近真值，测量精度愈高。15222211111111111) 1111 0.79791

12、1111.2530.797911 nniinnnniiiiiiiiiininiiinniiiivnnvvnnnnvnn nvvn nn n别捷尔斯法则平均误差而单次测量标准差算术平均值标准差为：11 1.2531nxiivnn n1612maxminmaxmin2) , , 10nnnnnnnnnl llllWllE WdWWEdddPn极差法是一种简单快捷算出标准差的方法。设等精度测量列服从正态分布，取最大值与最小值之差为极差，即：根据极差的分布函数，其数学期望，的值可查表 见 20 。在时可采用，具有一定的精度。maxmaxmaxmax3, ,2110iiiNiiNNNKvvKKKPn）最

13、大误差法当知道被测量真值或近似真值时，可算出随机误差取绝对值最大的值，当每个测得值服从正态分布时，可求出：当真值未知时，按最大残余误差来计算，则值可查表（见），在时可采用，具有一定的精度。17几种方法比较：几种方法比较：贝塞尔公式一般用于测量数据较多时用贝塞尔公式一般用于测量数据较多时用(n10)；别捷尔斯法、极差法、最大误差法一般用于测量次数较少时别捷尔斯法、极差法、最大误差法一般用于测量次数较少时（n10)；当需要迅速知道测量标准差时用极差法、最大误差法；当需要迅速知道测量标准差时用极差法、最大误差法；在一些代价较高的破坏性实验中，只进行一次实验，要尽可在一些代价较高的破坏性实验中，只进行

14、一次实验，要尽可能精确估计其精度时，最大误差法有明显的优势；能精确估计其精度时，最大误差法有明显的优势；从可靠性来看贝塞尔公式最高，当几种方法出现冲突时，以从可靠性来看贝塞尔公式最高，当几种方法出现冲突时，以贝塞尔公式为准。贝塞尔公式为准。例例2, 仍用例仍用例1的测量数据的测量数据,分别用这四种方法计算测量列单分别用这四种方法计算测量列单次测量标准差。（见笔记本次测量标准差。（见笔记本P12，板书，板书22Peded而随机误差在到范围内的概率为：五、测量的极限误差五、测量的极限误差又称极端误差，最大误差，表示测量结果的误差不超过该误差又称极端误差，最大误差，表示测量

15、结果的误差不超过该误差的概率为的概率为p，而超出的概率，而超出的概率1-p可忽略。可忽略。（一）单次测量的极限误差（一）单次测量的极限误差一般当测量列测量次数较多且单次测量误差为正态分布时，由一般当测量列测量次数较多且单次测量误差为正态分布时，由概率论知识，可求出单次测量的极限误差。由于随机误差正态概率论知识，可求出单次测量的极限误差。由于随机误差正态分布曲线所包容的面积相当于全部误差出现的概率，即：分布曲线所包容的面积相当于全部误差出现的概率，即：222112ed19limlim, 168.26%1.9695%295.44%2.5899%399.73%31xxtttPtPtPtPtPtP当

16、值足够小时，可忽略时，则把这个误差称为测量列单次测量的极限误差即：其中， 为置信系数。时，；时，；时，；时，；时，。可见在时，超出的概率几乎不可能出现。lim3 3xt因此，无特别说明时，通常取，即单次测量的极限误差为： 222020,2 2212tttttPedtttedttt运用变量代换，令则上式变为：其中，为概率积分，不同 的值可由表查出。 2, 12ttt 表明随机误差在范围内出现的概率为则超出的概率为：200limlim (1) 3 ixxxxxxxxliNttt 测量列的算术平均值与被测量真值之差称为算术平均值误差，即当多个测量列的算术平均值误差服从正态分布时，由概率论同样得到每列

17、算术平均值的极限误差为：式中， 为置信系数，为算术平均值的标准差。通常，则3x。（二）算术平均值的极限误差（二）算术平均值的极限误差limStudent distribution) 110.01,0.02,0.05)xxtttPnn 当测量列列数较少时，应按“学生氏”（或 分布来计算算术平均值的极限误差，即：式中， 为置信系数，由给定的置信概率和自由度来确定。为超出极限误差的概率（， 为测量次数。21例例3 、测量某电路电流共、测量某电路电流共5次，测得数据分别为：次，测得数据分别为：168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试给出可，试给出可靠的测量结果（单位为靠

18、的测量结果（单位为mA）（见笔记）（见笔记P13、板书）、板书）22六、不等精度测量六、不等精度测量不等精度测量是指为得到更精确的测量结果，往往在不同的不等精度测量是指为得到更精确的测量结果，往往在不同的测量条件下，测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数及不同的测量者用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数及不同的测量者进行进行测量与对比。测量与对比。常见的不等精度测量有两种情况：常见的不等精度测量有两种情况：用不同测量次数进行对比测量。用不同测量次数进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。显然，最后的测量结果及其精度，不能套用等精度测量

19、的计算方法。显然，最后的测量结果及其精度，不能套用等精度测量的计算方法。（一）权的概念（一）权的概念在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，这个在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，这个可靠程度可靠程度可可用一数值表示，即用一数值表示，即“权权”记为记为p。因此测量数据的权可理解为：。因此测量数据的权可理解为：当它与另当它与另一些测量数据比较时对最后的测量结果所给予的信赖程度。一些测量数据比较时对最后的测量结果所给予的信赖程度。一般希望可靠程度大的数据在最后结果中所占的比重大一些，而可靠程一般希望可靠程度大的数据在最后结果中所占的比重大一些，而可靠程度小的占的比重小一些。度小

20、的占的比重小一些。23121211122212, , ,mixiijxjjnmmxl llnxlllnxlllnx测量次数 ，均值 ，精度测量次数 ，均值 ，精度测量次数，均值，精度（二）权的确定方法（二）权的确定方法一般可按测量条件的优劣、测量仪器和测量方法所能达到的精度高低、重一般可按测量条件的优劣、测量仪器和测量方法所能达到的精度高低、重复测量次数的多少以及测量者水平高低来确定权的大小，即测量方法愈完复测量次数的多少以及测量者水平高低来确定权的大小，即测量方法愈完善，测量精度愈高，测量者愈有经验，其所得结果权也愈大。常用的方法善，测量精度愈高，测量者愈有经验，其所得结果权也愈大。常用的方

21、法有：有：按测量次数来确定按测量次数来确定：当测量条件和测量者水平都不变时，则测量次数愈：当测量条件和测量者水平都不变时，则测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此可用测量次数来确定权的大小。即多，其可靠程度也愈大，因此可用测量次数来确定权的大小。即Pi=ni。按标准差来确定按标准差来确定：设同一个被测量有：设同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这组不等精度的测量结果，这m组组测量是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平测量是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。即：等精度测量，单次测量标准差为均值。即：等精度测量，单次测量标准差为。241212,m

22、mmmx xxn nn如对一被测量进行 组不等精度测量，得到 个测量结果，相应的测量次数为。12122222222 (1) 1212 (1)2222 1212111imximxxximnnnxxm xnmpnimiipppxxm xmppp由于根据测量次数等于权数，即有即：表明：每组测量结果的权与相应的标准差平方成反比，是一无量纲表明：每组测量结果的权与相应的标准差平方成反比，是一无量纲的数，通常可化为整数比。的数，通常可化为整数比。（三）加权算术平均值（三）加权算术平均值12121111212,mnnniimiiiimmlllxxxnnn因此有： 251211211111 1221 1221

23、1212112 mnnnmiimiiiiiimiimmmmimmmiimxlllnp xn xn xn xp xp xp xxnnnpppnxpppp根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值为：即：此时 称为加权算术平均值。当各组权数相等时，即，11miixxm则，此即为等精度测量的算术平均值，可见等精度测量是不等精度测量的特例。00101 xmiiimiixxpxxxp同理，为简化计算可取接近 的一个值 ，则：261iiiixpp x具体做法是：将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根，则得到的新值的权数都为，即变为等精度测量列。（四）单位权的概念（四）单位权的概念22

24、2222 (i1m) (p1)1iiiixixxppp由权数的推导知：，也就是：当时式中 为等精度单次测量标准差，其权数为 ，因此称为单位权，而为单位权的方差，当其值已知时，只要知道各组的权数，就可得到各组方差。因此，在不等精度测量中，为计算需要，可将因此，在不等精度测量中，为计算需要，可将不等精度测不等精度测量列转化为等精度测量列量列转化为等精度测量列，用等精度测量的计算公式来处，用等精度测量的计算公式来处理不等精度。采用的方法是使权数不同的不等精度测量列理不等精度。采用的方法是使权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列，即转化为具有单位权的等精度测量列，即单位权化单位权化。2

25、7121211, 1 imxixmmiiiiiimmx xximnm nxnnnnpnp对同一被测量进行 组不等精度测量，得到 个测量结果，当已知单位权测得值的标准差 时，由于而全部测得值（个）测得值的算术平均值 的标准差为：由于，111 immiiixxmmiiiinppp比较上两式得：（五）加权算术平均值的标准差（五）加权算术平均值的标准差1imixiixpp可见，当各组测量的总权数已知时，可由任一组的标准差和相应的权 ，或者由单位权的标准差 求得加权算术平均值的标准差。加权算术加权算术平均值标平均值标准差准差28222111 11iiiiiixxiixiiiiiixmmmiixixiii

26、vxxp vp xp xp xp vvp vpvmm当各组的标准差未知时，须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。各组的残余误差为：将其单位权化得：由于各组新值已为等精度测量列的测量结果，也为等精度测量列的残余误差，则代入等精度测量的公式，得到单位权标准差为：21111 (1)imixixmmiiiimpvmppxm上式由测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差。应注意当组数 较多时，才能得到较精确的值，并且能不用的时候尽量不要用。由残余误差由残余误差求出加权算求出加权算术平均值的术平均值的标准差标准差29例例4、 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，工作基准米尺在连续

27、三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为：得到工作基准米尺的平均长度为：999.9425mm（三（三次测量的），次测量的），999.9416mm（两次测量的），（两次测量的），999419mm（五次测量的），求最后测量结果。（五次测量的），求最后测量结果。(见笔见笔记记p16，板书），板书）30。为均匀分布的一半宽度：其方差和标准差分别为aaa3,322七、随机误差的其他分布七、随机误差的其他分布 随着误差研究的深入和应用的广泛，发现许多随机误差呈随着误差研究的深入和应用的广泛，发现许多随机误差呈现非正态分布，其实际分布较为复杂，常见的其他分布有：现非正态分布，其实际分布较为复杂，常见的其他分布有：（一）均匀分布（一）均匀分布 又称又称矩形分布矩形分布或或等概率分布等概率分布。其特点是：误差有一确定的。其特点是：误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等。如仪器度盘刻范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等。如仪器度盘刻度误差所引起的误差；仪器传动