数学建模无处不在()

1、2022-7-5数学建模无处不在 主讲人 张引娣一、什么是数学建模？（数学是什么 ）l数学是人们认识世界、探索宇宙奥秘的工具、 手段和方法。l数学模型就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化、构造出近似刻画现实现象的表达式。l这种从实际现象中抽象，提炼出数学模型的过程被称为数学建模（Mathematical Modeling）.2022-7-5（1）理论研究：高度抽象化、理论化，提倡数学的自我完善与发展（如集合论、抽象代数、群论、哥德巴赫猜想等）。（2）应用研究：强调问题驱动的应用数学研究,强调数学与相关学科领域交叉融合的主导作用2022-7-5二、数学的作用n“世界是一本数学语言写成的书”n李

2、约瑟难题：为什么近代科学与工业革命没有在中国产生？n钱学森难题：为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？n科学技术的发展与进步离不开数学；2022-7-5李约瑟难题n据有关资料,从公元6世纪到17世纪初，在世界重大科技成果中，中国所占的比例一直在54%以上，而到了19世纪，剧降为只占0.4%。中国与西方为什么在科学技术上会一个大落，一个大起，拉开如此之大的距离，这就使李约瑟觉得不可思议，久久不得其解的难题。n李约瑟英国著名生物化学家，后来他因对中国科技史研究的杰出贡献成为权威，“如果我的中国朋友们在智力上和我完全一样，那为什么像伽利略、拓利拆利、斯蒂文、牛顿这样的伟大人物都是欧洲人，而不是中国人

3、或印度人？”2022-7-5希尔伯特对西尔多-冯-卡门的影响n世界航空航天事业的奠基人，美籍匈牙利科学家西尔多-冯-卡门早年曾在哥廷根大学留学和工作，他在自传中讲到了这里的两位数学大师克莱因和希尔伯特对他的影响。n哥廷根-曾是世界数学中心-普林斯顿高等研究中心。n高斯、狄利克莱、黎曼、克莱因、希尔伯特-1900巴黎国际数学大会“23个问题”深深影响了整个20世纪数学研究的发展-促进了量子力学、爱因斯坦相对论等的发展研究。2022-7-5哥廷根学派n高斯、狄利克莱、黎曼、克莱因、希尔伯特n哥廷根的100年历史可以分为三个阶段：高斯开创了哥廷根的数学；狄利克莱和黎曼继承了高斯的传统并使得哥廷根学派

4、继续发展；而在克莱因和希尔伯特的手上，哥廷根迎来了它的 黄金时代，成为名副其实的世界数学中心，对当时和后世都产生了极为深远的影响。n基本上是克莱因一个人建立了哥廷根的数学体制，使得哥廷根完成了从少数伟人到全面繁荣的过渡。2022-7-5希尔伯特的23个问题n为什么希尔伯特要在大会上总结数学的基本问题，而不像常人一样宣讲自己的某项成果？这和另一位数学巨匠庞加莱(Henri Poincare)有关，庞加莱在1897年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。他们两人是当时国际数学界中的双子星座，均为领袖级人物，当然也存在一定的竞争心理。既然庞加莱讲述的是自己对物理、数学关系的一般看法，

5、那么希尔伯特就为纯粹数学做一些辩护2022-7-5希尔伯特问题与20世纪的数学n“希尔伯特问题”深深地影响了整个20世纪数学研究的发展。n在解决希尔伯特问题的过程中，20世纪最著名的数学家几乎都作过贡献，因为没有任何一种荣誉能够比解决这样一位伟大人物提出的问题更令人神往了。n希尔伯特指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”2022-7-5n事实证明，一方面，纯粹数学的工作是应用的可靠基础和强大后盾，比如希尔伯特的积分方程论对于20世纪初诞生的量子力学是一种有效的工具；另一方面，很多纯粹数学当中的问题往往是由外部现象世界提出的，现实中

6、的问题有时候可以打开纯粹数学家的研究思路，同时又可以避免纯数学陷入钻牛角尖的“死胡同”2022-7-519世纪前号称数学王子几位数学家n阿基米德、牛顿、欧拉、高斯。n高斯一生从事了天文学、大地测量学、地磁学、力学、屈光学和其它物理的实验及理论研究，56岁时与韦伯合作发明了电报。2022-7-519世纪末20世纪初最伟大的数学家nA.N.Kolmogorov-为概率论建立了公立体系的俄罗斯人。nH.Poincare-nD.Hilbert-号称。数学之王，无数天才的老师2022-7-5三、数学建模无处不在l美国首位Nobel经济学奖获得者:保罗.萨缪尔森将数学分析引入到了经济学，用数学方法精确、清

7、晰地回答和解决经济问题。l我国著名科学家钱学森是二十世纪应用数学和应用力学的领袖人，其代表性的工作之一是创立工程控制论。钱学森的工程控制论是航天航空工程与数学学科交叉融合的一个范例。2022-7-5历时最长的数学建模问题l万有引力定律的发现(1513-1686)l哥白尼(1473-1543)、第谷(1546-1601)l1571-1630 开普勒（J.Kepler）-磁力流l1645年，法国天文学家布里阿德(I.Bulliadus)第一次提出平方反比关系的思想l1661年，英国皇家学会成立了一个专门委员会研究重力问题。罗伯特.胡克(Robert Hooke)、克里斯托夫.雷恩(Christop

8、her Wren)、爱德蒙.哈雷(Edmund Halley)l在引力问题的研究上他们都曾做出过贡献。2022-7-5罗伯特.胡克的贡献n早在1661年，罗伯特.胡克就觉察到引力和地球上物体的重力应该是有着同样的本质。并大胆提出了关于引力的三个假设。n1679年，胡克与牛顿之间进行了关于引力问题的交流，胡克在信中向牛顿提出，希望他能完成这个定律的数学证明与公式推导。n从牛顿与胡克的通信中看出，直到1679年，牛顿对落体引力的问题还没有彻底解决，-1685年还没有解决，直到1686年，牛顿才最终解决了它,1687完成自然哲学的数学原理。 2022-7-52022-7-5四、数学建模常用方法四、数

9、学建模常用方法层次分析法层次分析法最小二乘法最小二乘法差分法差分法定性理论法定性理论法优化法优化法变分法变分法回归分析法回归分析法机理分析法机理分析法统计分析法统计分析法聚类分析法聚类分析法主成分分析法主成分分析法马尔科夫预测法马尔科夫预测法系统分析法系统分析法模糊数学法模糊数学法灰色系统法灰色系统法2022-7-5五、参考书n1.韩中庚，数学建模方法及其应用n2.姜启源，数学模型n3.冯杰、黄力伟等数学建模原理与案例n4.陈冬彦、李冬梅数学建模n5.梁国业、廖健平数学建模n6.薛毅数学建模基础n7.杨启帆数学建模2022-7-52022-7-5优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型，占很大的

10、比重。92 年以来，优化模型有：94年A题：“逢山开路”设计最短路径。95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划 和非线性规划模型。96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为 基础的优化模型。2022-7-596年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目 标函数的优化模型。97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。97年B题：“截断切割”，动态优化模型。98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优 化模型。98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性 规划模型。2022-7-599年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模型。00年B题：“钢管订

11、购和运输”，二次规划模型。01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。2022-7-503年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性规划模型。04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目 标线性规划模型。05年B题：“DVDDVD在现租赁在现租赁”，0-1规划模型。06年A题：“出版社的资源优化配置出版社的资源优化配置”，线性规划模型。2022-7-5近年来全国大学生数学建模竞赛题n07年A题：中国人口增长预测。n07年B题：乘公交、看奥运。(多目标优化模型)n08年A题：数码相机定位问题。n08年B题：高等教育学费标准探讨。n09年A题：制动器试

12、验台的控制。n09年B题：眼科病房床位分配。2022-7-5n10年A题：储油罐的变位识别与罐容表标定。n10年B题：2010上海世博会影响力的定量评估n11年A题：城市表层土壤重金属污染分析。n11年B题：交巡警平台设置问题。n12年A题：红葡萄酒质量的分类与评价问题n12年B题：太阳能小屋的构建问题2022-7-5读题、审题。做什么？答什么？读题、审题。做什么？答什么？准确把握题意，提出基本假设。准确把握题意，提出基本假设。 深入理解题意给出建模及求解思路。深入理解题意给出建模及求解思路。不能满足于不能满足于“只做所问只做所问”、“有问必答有问必答”。对求得的结果要进行检验。对求得的结果要

13、进行检验。六、如何完成一次数学建模竞赛六、如何完成一次数学建模竞赛2022-7-5关于撰写建模论文关于撰写建模论文1.摘要摘要2.问题重述问题重述3.模型假设模型假设4.问题分析问题分析5.模型建立与求解模型建立与求解6.结果的分析与检验结果的分析与检验7.模型的优缺点评价模型的优缺点评价8.问题的进一步思考问题的进一步思考(模型推广模型推广) . 参考文献参考文献2022-7-5数学建模竞赛答卷要求n结构完整n条理清晰n文字通顺n可读性强n打印规范2022-7-5数学建模竞赛评阅章程数学建模竞赛评阅章程n合理满意度高的算法合理满意度高的算法n模型方法正确模型方法正确n表述的清晰程度表述的清晰

14、程度n结果的正确性结果的正确性(合理性合理性)n建模的创造性建模的创造性n假设的合理性假设的合理性2022-7-51.摘要及问题重述摘要及问题重述n摘要应包含有价值的信息：建模思路、模型特点、求解思路、主要结果，既要概括全文、又要体现特色。摘要应回答你做了什么？怎么做的？结论是什么？特别要突出你的亮点。n问题重述要用自己对题目的理解把题目重述一遍。重述、分析阐述亮点。2022-7-52.假设及符号说明假设及符号说明 假设就是舍去次要的，抓住主要的，对假设就是舍去次要的，抓住主要的，对实际实际(复杂复杂)问题进行简化，不同的假设有问题进行简化，不同的假设有可能导致不同的模型。不同深度的假设，可能

15、导致不同的模型。不同深度的假设，有可能导致不同水平的模型。假设必须有可能导致不同水平的模型。假设必须是合理的。即必须符合实际。是合理的。即必须符合实际。 假设是在做题的过程中不断形成的，假设是在做题的过程中不断形成的，摘要和假设是在最后完成的。摘要和假设是在最后完成的。2022-7-5例例1. 2009A题（制动器试验台的控制方法分析）题（制动器试验台的控制方法分析） 有一些答卷做出了“系统的制动过程是匀减速”之类的假设。要知道，实验之前我们对制动器的性能是不知道的，这正是试验台工作的目的，所以任何关于制动力矩与时间的函数性质的假设都是不适当的。 2022-7-5“基本假设基本假设”起着举足轻

16、重的作用。起着举足轻重的作用。根据不同的假设有可能得出不同的模型；不同深度的假设会导致不同水平的模型；不合理的假设显然偏离原题。例例2. 2003B题题 (露天矿生产的车辆安排露天矿生产的车辆安排)有一个至关重要的假设：“只考虑同一条路线上的只考虑同一条路线上的车辆不发生等待，并且不进行排时讨论车辆不发生等待，并且不进行排时讨论”。这是因为，如果连这一点都做不到，那么等待就是“必然”的；而做到了这一点之后，不同路线上的车辆在某一装点（或卸点）是否出现等待将是“随机”的。 2022-7-53.模型及其求解n模型的表述力求简明、直观。模型的表述力求简明、直观。n要有集中完整的数学表述、要有建模过程

17、。要有集中完整的数学表述、要有建模过程。n对求解困难的模型也一定要写出。对求解困难的模型也一定要写出。n对求解困难的模型可考虑能否简化求解。对求解困难的模型可考虑能否简化求解。n一份答卷可以有几个模型，但不宜过多一份答卷可以有几个模型，但不宜过多(1-2)。n算法如何选择的，是否自己设计的？用什么软算法如何选择的，是否自己设计的？用什么软件，要是自己的结论，证明很重要，关键的东件，要是自己的结论，证明很重要，关键的东西一定要写在答卷上，要按实际要求给出结果。西一定要写在答卷上，要按实际要求给出结果。2022-7-5必须按照实际问题的需要去做，并且按照实际必须按照实际问题的需要去做，并且按照实际

18、问题的需要给出结果问题的需要给出结果n例例2. 2. 2003B2003B题题 ( (露天矿生产的车辆安排露天矿生产的车辆安排) ) 这是一个优化问题，用数学方法可求得目标这是一个优化问题，用数学方法可求得目标函数的最优值以及相应的决策变量。但是，答卷函数的最优值以及相应的决策变量。但是，答卷在表述最终结果时，在表述最终结果时，应当按照题目的要求具体给应当按照题目的要求具体给出出“一个班次的生产计划一个班次的生产计划”： 动用几台电铲，在动用几台电铲，在哪几个铲位作业；出动多少量自卸卡车，分别运哪几个铲位作业；出动多少量自卸卡车，分别运行在哪几条线路上。如果这样安排，那么一个班行在哪几条线路上

19、。如果这样安排，那么一个班次就能生产多少矿石、多少岩石；总运量是多少次就能生产多少矿石、多少岩石；总运量是多少等等。等等。2022-7-5例例3 . 2007B题题 (乘公交，看奥运乘公交，看奥运) 该题的背景是城市公交路径查询系统的研制。该题的背景是城市公交路径查询系统的研制。该题仅提出该题仅提出“应该从实际情况出发，满足查询者的应该从实际情况出发，满足查询者的各种不同要求各种不同要求”，并没有对，并没有对“什么样的路径为最优什么样的路径为最优”提出明确的要求，需要参赛者自己去思考。体现了提出明确的要求，需要参赛者自己去思考。体现了开放性。开放性。 该题前两问应当就题目给定的该题前两问应当就

20、题目给定的6 6对站点分别不对站点分别不同要求（按换乘次数最少，行程总时间最短，乘车同要求（按换乘次数最少，行程总时间最短，乘车总费用最省），给出具体的乘车路径以及相应的换总费用最省），给出具体的乘车路径以及相应的换乘次数、行程总时间和乘车总费用。乘次数、行程总时间和乘车总费用。优秀的答卷给优秀的答卷给 出了行程总时间最短的路径（哪怕增加换乘次数、出了行程总时间最短的路径（哪怕增加换乘次数、 增大乘车总费用）增大乘车总费用）2022-7-5 稍加思考便能找出三种主要的要求：稍加思考便能找出三种主要的要求：换乘次数最少，换乘次数最少，行程总时间最短，乘车总费用最省行程总时间最短，乘车总费用最省。

21、显而易见此题。显而易见此题是一个多目标优化问题。是一个多目标优化问题。 然而怎样对待查询者的各种不同要求呢？然而怎样对待查询者的各种不同要求呢？过分过分强调某一目标（如换乘次数），或者把三个目标通强调某一目标（如换乘次数），或者把三个目标通过加权合成转化为单目标，都是不合理的，因为不过加权合成转化为单目标，都是不合理的，因为不符合实际符合实际。 应当按不同目标的各种字典序，分别建立不同应当按不同目标的各种字典序，分别建立不同的优化模型的优化模型。 2022-7-54.模型及结果的评价与检验 你的模型、数据、算法和结果都是近似的，你的模型、数据、算法和结果都是近似的，当然需要检验。评价部分很重要

22、，最容易被忽视，当然需要检验。评价部分很重要，最容易被忽视，不只局限在数学上，还要看在实际中是否合理可不只局限在数学上，还要看在实际中是否合理可行。有时候自己需要设计检验方法这地方往往能行。有时候自己需要设计检验方法这地方往往能出现亮点。出现亮点。只有进行了检验的答卷才有可能评上只有进行了检验的答卷才有可能评上全国一等奖。全国一等奖。2022-7-55.数学建模的常用预测方法数学建模的常用预测方法1.插值与拟合方法插值与拟合方法(小样本内部预测小样本内部预测)2.回归模型方法回归模型方法(大样本内部预测大样本内部预测)3.灰预测灰预测GM(1,1)模型模型(小样本的未来预测小样本的未来预测)4.时间序列方法时间序列方法(大样本的随即因素或周大样本的随即因素或周期特期特 征的未来预测征的未来预测)5.神经网络方法神经网络方法(大样本的未来预测大样本的未来预测)2022-7-5七、数学科学发展观七、数学科学发展观古代数学观：认识世界（数与形），个古代数学观：认识世界（数与形），个人爱好（古代数学思想），传扬中华数人爱好（古代数学思想），传扬中华数学文化，古代数学文明。学文化，古代数学文明。近代数学观：改造世界，发展科学技术，近代数学观：改造世界，发展科学技术，促进自然科学发展。促进自然科学发展。2022-7-5注意注意l求解技巧：求解技巧