能量原理与变分法(弹性力学)培训讲学

1、能量原理与变分法(弹性力学)11-0 11-0 引引 言言1. 弹性力学问题的弹性力学问题的微分提法微分提法及其及其解法解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）几何方程）几何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方程）物理方程ijkkijijE)1 (1（4）边界条件）边界条件jiijXn iiuu 应力边界条件；应力边界条件；位移边界条件；位移边界条件；定定解解问问题题求解方法求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移为基本未知量）以位移为基本未知量的的平衡微分方程平衡微分方程;（2）按应力求解）按应力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程

2、；）平衡微分方程；（b）边界条件。）边界条件。（b） 相容方程；相容方程；（c） 边界条件。边界条件。（a） 归结为归结为求解联立的微求解联立的微分方程组分方程组；求解特点：求解特点：（b） 难以求得难以求得解析解解析解。 从研究从研究微小单元微小单元体入手，考察其体入手，考察其平衡平衡、变形变形、材料性质材料性质，建立基本方程：，建立基本方程：2. 弹性力学问题的弹性力学问题的变分提法变分提法及其及其解法解法：基本思想基本思想： 在在所有可能的解所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。弹性力学中的变分原

3、理弹性力学中的变分原理 能量原理能量原理 直接处理直接处理整个弹性系统整个弹性系统，考虑系统的，考虑系统的能量关系能量关系，建立一些泛函的，建立一些泛函的变分方程变分方程，将弹性力学问题归结为，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题值的变分问题。（变分解法也称（变分解法也称能量法能量法）（a）以）以位移位移为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小势（位）能原理最小势（位）能原理等。等。（b）以）以应力应力为基本未知量，为基本未知量，得到得到最小余能原理最小余能原理等。等。（c）同时以）同时以位移、应力、应变位移、应力、应变为未知量，为未知量

4、，得到得到 广义（约束）变分原理。广义（约束）变分原理。 位移法位移法 力法力法 混合法混合法 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等数值解法数值解法的理论基础。的理论基础。求解方法求解方法：里兹（里兹（Ritz）法，）法，伽辽金（伽辽金（Galerkin ）法，）法， 加权残值（加权残值（ 余量）法等。余量）法等。3. 弹性力学问题的弹性力学问题的数值解法数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 将将导数导数运算近似地用运算近似地用差分差分运算代替；运算代

5、替；将定解问题转变为将定解问题转变为求解线性方程组求解线性方程组。典型软件：典型软件：FLAC实质：实质：将将变量离散变量离散。（b）对）对变分方程变分方程进行数值求解进行数值求解 有限单元法有限单元法、边界元法边界元法、离散元法离散元法 等等典型软件：典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析软件；基于有限元法的分析软件；UDEC 基于离散元法的分析软件；基于离散元法的分析软件；基本思想：基本思想：将求解将求解区域离散区域离散， 离散成有限个小区域（离散成有限个小区域（单元单元），），在小区域（单元）上假设在小区域（单元）

6、上假设可能解可能解，最后由能量原理最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。（变分原理）确定其最优解。 将问题转变为将问题转变为求解求解大型大型的线性方程组的线性方程组。11-1 11-1 弹性体的形变势能弹性体的形变势能1. 形变势能的一般表达式形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：单向拉伸：PlOPl外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在静载（缓慢加载）条件下，由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的化杆件的形变势能（形变势能（变形能变形能）U：lPWU21)(21lAllAP )(21lAxx杆件的体积杆件的体积xxU

7、211令：令： 单位体积的变形能，单位体积的变形能，称为称为比能比能。三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：xyzxyzzyx, xyzyzzyyxxyxzzx三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：,zyx xyzyzzyyxxyxzzx 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序次序无关无关，只取决于最终的状态。，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的此时，单元体的形变比能形变比能：zzyyxxU2121211

8、xyxyzxzxyzyz212121xyzxyz,（a）整个弹性体的整个弹性体的形变势能：形变势能：dxdydzUU1zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz（b）（c）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz若用张量表示：若用张量表示：ijijU211dxdydzUijij21形变比能：形变比能：整体形变势能：整体形变势能：2. 形变势能的应力分量表示形变势能的应力分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（在线弹性的情况下，由物理方程（8-17） ：ijkkijijE)1 (1代入式（代入式（a），整理得形变势能的表达式：），整理得形变势能的表达式：)(2)(212221xzz

9、yyxzyxEU)(1 (2222xyzxyz（d）（e）代入式（代入式（b），有：），有：dxdydzUU1)(2)(21222xzzyyxzyxEdxdydzxyzxyz)(1 (2222（11-1）将式（将式（e）分别对）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-2）表明：表明：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。3. 形变势能的应变分量表示形变势能的应变分量表示用应变

10、表示的物理方程（用应变表示的物理方程（8-19）：）：xxeE211yyeE211zzeE211yzyzE12zxzxE12xyxyE12（f）ijijkkijG2或：或：代入式（代入式（a）：）：（a）zzyyxxU(211)xyxyzxzxyzyz并整理可得：并整理可得：)(21)(21)1 (222222221xyzxyzzyxeEU（g）dxdydzUU1dxdydzeEUxyzxyzzyx)(21)(21)1 (22222222（11-3） 0 1/2 ， U 0 即弹性体的形变势能是非负的量。即弹性体的形变势能是非负的量。 将上式对将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方

11、程（个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程（8-17）比较，可得：比较，可得：,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxUxyxyU1（11-4）将几何方程（将几何方程（8-9）代入上式，得：）代入上式，得：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。 格林公式格林公式4. 形变势能的位移分量表示形变势能的位移分量表示表明：表明：222221)1 (2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）11-2 11-2 位移变分方程位移变分方程1. 泛函与变分的概念

12、泛函与变分的概念（1）泛函的概念）泛函的概念函数：函数：)(xfy x 自变量；自变量；y 因变量，或称自变量因变量，或称自变量 x 的函数。的函数。泛函：泛函：)()(xfFyFUx 自变量；自变量；y 为一变函数；为一变函数；F 为函数为函数 y 的函数，的函数，称为称为泛函泛函。例例1：P1)(xMEI)(xMM 弯矩方程弯矩方程梁的形变势能：梁的形变势能：ldxEIxMU02)(21ABlx 泛函泛函例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),(,),(zyxzyxyzyzxx因为因为所以，所以，U 被

13、称为被称为形变势能泛函形变势能泛函。（2）变分与变分法）变分与变分法设：设：)(xfy 当自变量当自变量 x 有一增量：有一增量：01xxx函数函数 y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(01xfxfxxfy)( dy 与与 dx ，分别称为自变量，分别称为自变量 x 与函数与函数 y 的的 微分。微分。 微分问题微分问题P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy设：设：)(xyUU 函数函数 y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)( P1)(xMEIABlx)(xy)(1xyy设：设：)(xyUU 函数函数

14、y 也有一增量：也有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyU 函数的增量函数的增量y 、泛函的增量、泛函的增量 U 等等称为变分称为变分。 研究研究自变函数的增量自变函数的增量与与泛函的增量泛函的增量 间关间关系称为系称为变分问题变分问题。例如：例如：Pcr （1）压杆稳定问题）压杆稳定问题 寻求压杆形变势寻求压杆形变势能能 U 达到达到最大值最大值时时的压力的压力 P 值。值。maxU0U （2）球下落问题）球下落问题12)(xf 球从球从位置位置1下下落至落至位置位置2，所需，所需时间为时间为T，)(xfTT 当当?)(xfminTT 最速下降问题

15、最速下降问题 泛函的变分问题泛函的变分问题（3）变分及其性质）变分及其性质定义：定义：)(xfz 泛函泛函)(xyUU 增量：增量：)(xxfzz)()(xyxyUUU函数函数连续性：连续性：0)()(lim000 xfxxfx称函数称函数 z 在在 x0 点连续。点连续。当当0)()(01xyxy有有0)()(01xyUxyUU称泛函称泛函 U 在在 y0 (x) 处零阶接近。处零阶接近。当当0)()(01xyxy有有0)()(01xyUxyU称泛函称泛函 U 在在 y0 (x) 处一阶接近。处一阶接近。当当0)()(01 xyxy有有0)()(01 xyUxyU称泛函称泛函 U 在在 y0

16、 (x) 处二阶接近。处二阶接近。泛函泛函函数函数微分：微分：)()(xfxxfzxxxA)(当当x0时，时， 0，则，则 z 可可用其线性主部表示其微分。即用其线性主部表示其微分。即dxxfdz)( )()()(xyUxyxyUUyyxyLmax)()(xyL U 增量的线性主部增量的线性主部变分：变分：当当 max|y|0时，时，max 0，则，则 U 可用其线性主部表示可用其线性主部表示, 即即yxyLU)(极值：极值：若若)(xfz 在在 x0 处有极值，处有极值，则有：则有：0)(0 xxf若若 Uy(x) 在在 y0(x) 处有极值，处有极值，条件：条件：0)(xyU 一阶变分为零

17、一阶变分为零。当当, 0)()(01xyxy取得极值取得极值 称为称为强极值强极值当当, 0)()(01xyxy取得极值取得极值 称为称为弱极值弱极值极值：极值：（4）变分的运算）变分的运算变分与微分运算：变分与微分运算：)()(xfdxdxfdxd)()(22xfdxdxfdxd)()(2222xfdxdxfdxd变分运算与微分运算互相交换变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分与积分运算：dxyyxFl),(0dxyyxFl),(0变分运算与积分运算互相交换变分运算与积分运算互相交换。复合函数的变分：复合函数的变分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(

18、xfy一阶变分：一阶变分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0复合函数的变分：复合函数的变分：dxyyxFyyxUl),(),(0其中：其中：),(xfy )(xfy一阶变分：一阶变分：dxyyFyyFxxFUl0dxyyFyyFl0 自变量自变量 x 的变分的变分 x 0二阶变分：二阶变分：ldxyyyFyyFyyyyFyyFyU02 二阶变分用于判别驻值点是取得二阶变分用于判别驻值点是取得极大值极大值还是还是极小值极小值。2. 位移变分方程位移变分方程建立：弹性体的建立：弹性体的形变势能形变势能与与位移位移间间变分变分关系关系 位移变分方程位移变分方程qP应力边界应力边界 S位

19、移边界位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：边界：uSSS位移场：位移场：);,(zyxuu );,(zyxvv ),(zyxww 应力场：应力场：);,(zyxxx);,(zyxyy满足：平衡方程、几满足：平衡方程、几何方程、物理何方程、物理方程、边界条方程、边界条件。件。 称为称为真实解真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：）任给弹性体一微小的位移变化：wvu,满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。）不破坏约束条件，即为约束所允许。任给弹性体一微小的位移变化：任给弹性

20、体一微小的位移变化：wvu,满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为）不破坏约束条件，即为约束所允许。约束所允许。qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su变化后的位移状态：变化后的位移状态：, uuu, vvvwwwwvu, 称为称为位移的变分位移的变分，或，或虚位移虚位移。（2）考察弹性体的能量变化）考察弹性体的能量变化：由能量守恒原理：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。（在没有温度改变、动能改变的情况下）（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：设：U 表示弹性变形势

21、能的增量；表示弹性变形势能的增量；W 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。势能的减少。则有：则有：WU外力的虚功：外力的虚功：体力：体力：;,ZYX面力：面力：ZYX, 外力外力wZdxdydzvYdxdydzuXdxdydzWwZdSvYdSudSXdSwZvYuXdxdydzwZvYuXW代入前式：代入前式：WUdSwZvYuXdxdydzwZvYuXU（11-6）表明：表明：物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。 式（式（11-6）称为）称为位移变分方程位移变

22、分方程，也称，也称 Lagrange 变分方程变分方程。3. 虚功方程虚功方程由式（由式（b）:dxdydzUU1两边求变分两边求变分:dxdydzUU1dxdydzU1将将 U1 视为应变视为应变分量的函数分量的函数zzyyxxUUU111dxdydzUUUxyxyzxzxyzyz111由格林公式由格林公式:xyxyU1,1xxU,1yyU,1zzU,1yzyzU,1zxzxU（11-4）zzyyxxUdxdydzxyxyzxzxyzyz表示表示： 实际应力在虚应变上所做的虚功实际应力在虚应变上所做的虚功 内力的虚功内力的虚功将上式代入位移变分方程（将上式代入位移变分方程（11-6），有），

23、有zzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）虚功方程虚功方程：如果如果在虚位移发生前，弹性体处于在虚位移发生前，弹性体处于平衡平衡状态，状态，则则在虚位移发生过程在虚位移发生过程中，中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程虚功方程 是是有限单元法有限单元法的理论基础，也是许多的理论基础，也是许多变分原理变分原理的基础。的基础。4. 最小势能原理最小势能原理 也是位移变分方程的一个应用也是位移变分方程的一个应用由位移变分方程：由位移变分方程：dSwZvYu

24、XdxdydzwZvYuXU 由于虚位移为由于虚位移为微小的微小的、为约束所允许为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。 于是，有：于是，有：dSwZvYuXdxdydzZwYvXuU以以dSwZvYuXdxdydzZwYvXuW0wvu为零势能状态，为零势能状态，并用并用 V 表示任意状态的外力势能，则表示任意状态的外力势能，则外力在外力在可能位移可能位移上所做的功上所做的功W，即，即dSwZvYuXdxdydzZwYvXuWV代入前式，有代入前式，

25、有)( VWU0VU0VU其中：其中：VU 形变势能与外力势能的总和，形变势能与外力势能的总和， 称为称为系统的总势能系统的总势能 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。变分为零。等价于总势能等价于总势能 U+V 取驻值。取驻值。 极值势能原理极值势能原理平衡状态：平衡状态：（1）稳定平衡状态；）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；）不稳定平衡状态；（3）随宜平衡状态；）随宜平衡状态；稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随宜平衡随宜平衡02VU 势能取势能取极小值极小值02VU 势能取势能取极大值极大值02VU 不定不

26、定： 在给定的外力作用下，满足位移边界条在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。时，总势能取极小值，通常也为最小值。实际存在的实际存在的位移应满足：位移应满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界条件。）应力边界条件。（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）位移变分方程。）位移变分方程。因而，有：因而，有： 位移变分方程位移变分方程（1）平衡方程；

27、）平衡方程；（2）应力边界条件。）应力边界条件。（可互相导出）（可互相导出）（最小势能原理）（最小势能原理）5. 伽辽金变分方程伽辽金变分方程 由虚功方程建立当位移分量满足：由虚功方程建立当位移分量满足：位移边界条件位移边界条件、应力边界条应力边界条件件时，弹性体的时，弹性体的位移变分应满足的条件。位移变分应满足的条件。 将将虚应变虚应变用虚位移表示：用虚位移表示：xxu,ux,yzzvyw ,vzvwy（c）将其代入虚功方程：将其代入虚功方程：zzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）wzvyuxzyxvzwyyzdxdydzuyvx

28、wxuzxyzxdSwZvYuXdxdydzwZvYuXudxdydzxxudxdydzxdxdydzuxxxudxdydzxudSlxxudxdydzxxudxdydzxudSlxx 同理，可得到其余各项的结果：同理，可得到其余各项的结果：vdxdydzyyvdxdydzyvdSmyywdxdydzzzwdxdydzzwdSnzz 将其代入虚功方程左边，有：将其代入虚功方程左边，有：vnmlunmlUzyyxyzxyxx)()(dSwnmlzyzxz)(vzyxuzyxzyyxyzxyxxdxdydzwzyxzyzxzzzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdyd

29、zwZvYuX（11-7） 将其代入虚功方程，并整理有：将其代入虚功方程，并整理有：vYzyxuXzyxzyyxyzxyxxdxdydzwZzyxzyzxzvYnmluXnmlzyyxyzxyxx)()(dSwZnmlzyzxz)(0 当应力边界条件满足时，当应力边界条件满足时，000 上式可简化为：上式可简化为：vYzyxuXzyxzyyxyzxyxx0dxdydzwZzyxzyzxzzzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）vYzyxuXzyxzyyxyzxyxx0dxdydzwZzyxzyzxz（10-8） 伽辽金（伽辽金（Gal

30、erkin）变分方程）变分方程当所取位移分量当所取位移分量同时满足同时满足：位移边界条件、应力边界条件时，：位移边界条件、应力边界条件时，其位移变分需满足的方程。其位移变分需满足的方程。dSwZvYuXdxdydzwZvYuXU（11-6）（1）位移变分方程）位移变分方程（2）虚功方程）虚功方程zzyyxxdxdydzxyxyzxzxyzyzdSwZvYuXdxdydzwZvYuX（11-7）位移变分方程小结：位移变分方程小结：也称也称 Lagrange 变分方程变分方程：（3）最小势能原理）最小势能原理0VUSdSwZvYuXdxdydzZwYvXuV（1）只要求：可能（虚）位移满足位移边界

31、条件；）只要求：可能（虚）位移满足位移边界条件；（2）对虚功方程，也适用）对虚功方程，也适用各种材料的物理方程各种材料的物理方程。如：塑性材料、非线性弹性材料等。如：塑性材料、非线性弹性材料等。（4）伽辽金（）伽辽金（Galerkin）变分方程）变分方程vYzyxuXzyxzyyxyzxyxx0dxdydzwZzyxzyzxz要求要求：可能（虚）位移满足：可能（虚）位移满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）应力边界条件。）应力边界条件。（10-8）11-3 11-3 位移变分法位移变分法1. 里兹里兹（Ritz）法法基本思想：基本思想：设定位移函数设定位移函数的表达形式，使其的表达形

32、式，使其满足位移边界条件满足位移边界条件，其中含，其中含有若干待定常数，然后有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数利用位移变分方程确定这些常数，即，即得位移解。得位移解。设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0mmmwCww0（11-9）其中：其中：mmmCBA,为互不相关的为互不相关的 3m 个系数；个系数；000,wvu为设定的函数，且在边界上有：为设定的函数，且在边界上有：,0uus,0vvswws0),(zyxuumm),(zyxvvmm),(zyxwwmm为为边界上为零边界上为零的设定函数的设定函数 显然，上述显然，上述函数满足函数满足边

33、界条件边界条件。此时，位移的变分此时，位移的变分wvu,只能由系数只能由系数 Am、Bm、 Cm的变分来实现。的变分来实现。000,wvu与变分无关。与变分无关。,mmmAuu,mmmBvvmmmCww（a）位移的变分：位移的变分：形变势能的变分：形变势能的变分：由式（由式（11-5），可知：），可知：),(mmmCBAUU （b）mmmAAUUmmmBBUmmmCCUmmmmmmmCCUBBUAAU将式（将式（a）、（）、（b）代入位移变分方程，有：）代入位移变分方程，有：mmmmmmmCCUBBUAAUmmmmmmmdxdydzCZwBYvAXummmmmmmdSCwZBvYAuX2222

34、21)1 (2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）将上式整理、移项、合并，可得：将上式整理、移项、合并，可得：mmmmmAdSuXdxdydzXuAUmmmmmBdSvYdxdydzYvBU0mmmmmCdSwZdxdydzZwCUmmmCBA,完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：0dSuXdxdydzXuAUmmm0dSvYdxdydzYvBUmmm0dSwZdxdydzZwCUmmmdSuXdxdydzXuAUmmmdSvYdxdydzYvBUmmmdSwZdxdydzZwCUmmm（1

35、1-10） Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh- Ritz 法方程法方程说明：说明：（1）由由 U 的位移表达式（的位移表达式（11-5）可知，）可知，U 是系数是系数mmmCBA,的二次函数，的二次函数，因而，方程（因而，方程（11-10）为各系数的）为各系数的线性方程线性方程 组组。mmmCBA,互不相关，因而，总可以求出全部的系数。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）,mmmCBA求出了系数求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等就可求得其它量，如位移、应力等（3） 在假定位移函数时，须保证其在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件满足全部位移边界条件。2.

36、伽辽金伽辽金（Galerkin）法法设取位移的表达式如下：设取位移的表达式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0mmmwCww0（11-9）同时满足：同时满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）应力边界条件；）应力边界条件；位移的变分：位移的变分：,mmmAuu,mmmBvvmmmCww将其代入伽辽金变分方程（将其代入伽辽金变分方程（10-8）：）：uXzyxzxyxxvYzyxzyyxy0dxdydzwZzyxzyzxz得到：得到：mmmzxyxxdxdydzAuXzyx0mmmzyzxzdxdydzCwZzyxmmmzyyxydxdydzBvYzyxmmmCBA,完全任意，且互相独

37、立，完全任意，且互相独立， 要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：0dxdydzuXzyxmzxyxx0dxdydzvYzyxmzyyxy0dxdydzwZzyxmzyzxz将物理方程和几何方程代入，有将物理方程和几何方程代入，有0211)1 (22dxdydzuXuxeEm0211)1 (22dxdydzvYvyeEm0211)1 (22dxdydzwZwzeEm（11-11） 伽辽金（伽辽金（Galerkin）法方程）法方程说明：说明：（1） 与与 Ritz 法类似，得法类似，得 3m 阶的线方程组，可求出阶的线方程组，可求出3m个系数。个系数。（2）伽辽金（伽辽金（Galerkin

38、）法与）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，法的区别：在于设位移函数时，前者要求前者要求同时满足应力、位移边界条件同时满足应力、位移边界条件，而后者，而后者只要求满足位只要求满足位移边界条件移边界条件。位移变分法的应用：位移变分法的应用：（1）求解弹性体的近似解；）求解弹性体的近似解；（2）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；）推导弹性体的平衡微分方程与自然（力）边界条件；11-4 11-4 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题1. 形变势能表达式形变势能表达式对于平面应变问题：对于平面应变问题：, 0w且且),(),(yxvvyxuu由式（由式（11-5）222

39、21)1 (2yvxuyvxuEUdxdyyuxv2（11-12）对于平面应力问题：对于平面应力问题：1,)1 ()21 (2EEyvxuyvxuEU2)1 (2222dxdyyuxv221（11-13）222221)1 (2zwyvxuzwyvxuEUdxdydzyuxvxwzuzvyw22221（11-5）2. 位移函数设定位移函数设定 由于，两种平面问题中，都不必考虑由于，两种平面问题中，都不必考虑 z 方向的位移方向的位移w，所以位移，所以位移分量可设为：分量可设为：,0mmmuAuummmvBvv0（11-14）式中：各系数的含义和以前相同。式中：各系数的含义和以前相同。3. 变分法

40、方程变分法方程Ritz 法方程：法方程：（在（在 z 方向取单位长度）方向取单位长度）dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（11-15）Galerkin 法方程：法方程：Galerkin 法方程：法方程：0211)1 (22dxdyuXuxeEm0211)1 (22dxdyvYvyeEm（11-16） 适用于适用于平面应变问题平面应变问题式中：式中：yvxue对于对于平面应力问题平面应力问题：1,)1 ()21 (2EE02121)1 (222222dxdyuXyxvyuxuEm02121)1 (222222dxdyvYyxuxvyvEm（11-17）例：例：图示薄板，

41、宽为图示薄板，宽为 a，高度为，高度为 b，左边和下边受，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力连杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。作用，不计体力。试求薄板的位移。解：解：（1）假设位移函数）假设位移函数),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）满足边界条件：满足边界条件： , 00 xu 00yv试在式（试在式（a）中只取两个系数：）中只取两个系数：A1、B1 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）计算形变势能）计算形变势能 U将式（将式（b）代入（）代入（11-13），有），有（平面应力情形下形变势

42、能公式）（平面应力情形下形变势能公式） abBAEU00212121dxdyBA112积分得：积分得：112121221BABAEabU（c）112121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解体力体力, 0YX, 1m有有,11dsuXAUdsvYBU11,1qX在右边界：在右边界：,1axudyds adyqdsuXb011;1abq,2qY在上边界：在上边界：,1byvdxds bdyqdsuXa021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU将式（将式（c）代入，得）代入，得dSuXdxdyXuAUmmmdSvYdxdyYvBUmmm（

43、11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab联立求解，得：联立求解，得：,211EqqA,121EqqB（f）代入位移表达式（代入位移表达式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）讨论：讨论：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一）中再多取一此系数如：此系数如：A2、B2等，但是经计等，但是经计算，这些系数全为零。算，这些系数全为零。（2）位移解（位移解（g）满足几何方程、平）满足几何方程、平衡方程和边界条件。衡方程和边界条件。表明：表明：位移解（位移解（g）为问题的）为问题的精确解精确解。例：例：图示矩形薄板，宽为图示矩形

44、薄板，宽为2 a，高度为，高度为2 b，左右两，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：边和下边均被固定，而上边的给定位移为：, 0u,122axv（h）不计体力。试求薄板的位移和应力。不计体力。试求薄板的位移和应力。解：解：（1）假设位移函数）假设位移函数取取 m =1, 将位移分量设为：将位移分量设为：bybyaxaxAu11221byaxv221bybyaxB11221（i）显然，可满足位移边界条件：显然，可满足位移边界条件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby（2）代入）代入Galerkin 法方程求解法方程求解该问题中，无应

45、力边界条件，式（该问题中，无应力边界条件，式（i）满足全）满足全部条件。部条件。可用伽辽金（可用伽辽金（Galerkin）法求解。）法求解。X=Y=0，m=1，伽辽金法方程变为：伽辽金法方程变为：0212122222dxdyuyxvyuxum0212122222dxdyvyxuxvyvm22xu,62221bybyaxaA22yu,23321axaxbAyxu2,2131221byaxabA02121)1 (222222dxdyuXyxvyuxuEm02121)1 (222222dxdyvYyxuxvyvEm（11-17）（j）22xv,2222212bybyaBbya22yv,122221a

46、xbByxv2,21221byaxabBaxab,22331bybyaxaxu,122221bybyaxv 将其代入伽辽金方程（将其代入伽辽金方程（j）, 可求得：可求得：,)1 (2042)1 (351baabA)1 (216)1 (5221baB代回位移式（代回位移式（h）, 有：有：代回位移表达式（代回位移表达式（h）, 得位移解答：得位移解答：baabu)1 (2042)1 (35bybyaxax1122)1 (216)1 (522babyaxv221bybyax1122当当 b = a，取，取 = 0.2时，上述解答成为时，上述解答成为：724. 0u2233ayayaxax221a

47、xv22227. 0773. 0ayay（3）求应力分量）求应力分量应用几何方程及物理方程，可求得应力为：应用几何方程及物理方程，可求得应力为：yvxuEx21ayaxaE095. 0161. 0122,31754. 02222ayayaxxuyvEy21ayaxaE473. 0805. 0122,31302. 02222ayayaxyuxvExy12yuxvExy1222189. 0644. 0ayayaxaEayaxax21302. 033在在aby处，处， 相应的面力：相应的面力：221278. 1axaEYayy33302. 0531. 0axaxaEXayxy例：例：如图所示简支梁，

48、中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 PEIABlxy解：解：（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：设位移试探函数为（取一项）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。0)(, 0)0(lww（2）计算：）计算：dxdxwdEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEIdSu

49、XdxdydzXumm2sinllPPdSuXdxdydzXummmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243讨论：讨论： （1） 中点的挠度：中点的挠度：（ e）,2432EIPlwlx而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlx两者比较：两者比较：式（式（a）的结果偏小）的结果偏小2%。如果取如下位移函数：如果取如下位移函数：mmxlmAwsin式中项数式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数所取的位移函数必须满足位移边界条件必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的

50、，如：位移函数选取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例：例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解：解：（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数lxlxAAlxlxw1)1 (21, 00w),1 (1lxlxw2222)1 (lxlxw式中：式中：A1、A2 为待定常数。为待定常数。显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:0)(, 0)0(lww（2）计算：）计算：dxdxwdEIUl20222梁

51、的形变势能梁的形变势能:)5(5222213AAlEI,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4Pdxwxql20)(22lxwP16P（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:P)(xMEIABlxy)(xw例：例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解：解：位移函数位移函数lxlxAAlxlxw1)1 (21（a）（3）代入）代入 Ritz 法方程法方程:,4131AlEIAU23254AlEIAU:)(0dxwxqmldxwxql10)(21lxwP4P

52、dxwxql20)(22lxwP16PdxdxwdEIUl20222)5(5222213AAlEI1AUdxwxql10)(2AUdxwxql20)(4413PAlEI165423PAlEI,1631EIPlA EIPlA64532所求挠曲线方程所求挠曲线方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643P)(xMEIABlxy)(xw所求挠曲线方程所求挠曲线方程:lxlxlxlxEIPlw154)1 (643中点挠度中点挠度:EIPlwlx10242132而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlxEIPlwwlxlx48641322641222lxlxlxwww01562

53、5. 0%5625. 1说明：说明：（1）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；）设定的待定系数个数与所得的线性方程数相同；（2）亦可用亦可用最小势能原理最小势能原理求解上述问题。求解上述问题。例：例：如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 PEIABlxy解：解：（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为：设位移试探函数为：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。0)(, 0)0(lww（2）求系统的总势能）求系统的总势能dxd

54、xwdEIl20222)(xw2lxwP（ a）（ b）（ c）将式（将式（a）代入，计算得）代入，计算得PaalEI2344显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:（3）由最小势能原理确定常数）由最小势能原理确定常数00234PalEI0aEIPla432xlEIPlwsin243（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243说明：说明：（1）（ e）与与 Ritz 法结果相同；法结果相同；（2）所取的位移函数所取的位移函数必须满足位移边界条件必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：位移函数选取不是唯一的，如：),(lxAx

55、w,1)1 (21lxlxAAlxlxw例：例：如图所示，一端固定，另一端有弹性支承如图所示，一端固定，另一端有弹性支承的梁，跨度为的梁，跨度为 l ，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI，弹簧的，弹簧的刚度为刚度为 k ，梁上作用有分布载荷，梁上作用有分布载荷q(x)，试用，试用最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边最小势能原理导出梁的弯曲微分方程和边界条件。界条件。 解：解：（1）求系统的总势能）求系统的总势能系统的总势能系统的总势能= 梁的弯曲变形能梁的弯曲变形能 + 弹簧的变形能弹簧的变形能 + 外力势能外力势能dxdxwdEIl2022212)(21lwkwdxxql0)(a)式中：式中：w 为

56、梁的挠度。为梁的挠度。由最小势能原理：由最小势能原理：0)(VUdxdxwddxwdEIl02222)()(lwlkwwdxxql0)(0dxdxwddxwdEIl02222(b)ldxdwdxwdEI022dxdxdwdxwdEIdxdl022dxdxdwdxddxwdEIl022分部积分：分部积分：（2）对总势能求变分）对总势能求变分dxdxwddxwdEIl02222ldxdwdxwdEI022dxdxdwdxwdEIdxdl022dxdxdwdxddxwdEIl022ldxdwdxwdEI022dxwdxddxwdEIdxdl022ldxdwdxwdEI022lwdxwdEIdxd02

57、2dxwdxwdEIdxdl02222将其代入式（将其代入式（b），有），有ldxdwdxwdEI022lwdxwdEIdxd022dxwdxwdEIdxdl02222)()(lwlkwwdxxql0)(0梁的左端固定，梁的左端固定，有有, 00 xw00 xdxdw代入上式，有：代入上式，有：dxldwdxwdEIlx)(22)(22lwdxwdEIdxdlxdxwdxwdEIdxdl02222)()(lwlkwwdxxql0)(0dxwxqdxwdEIdxdl02222)(dxldwdxwdEIlx)(220)()(22lwlkwdxwdEIdxdlxdxldwlww)(),(,的任意性与

58、相互独立性，的任意性与相互独立性，有有（3）利用位移边界条件和变分的任意性确）利用位移边界条件和变分的任意性确定所需的结果。定所需的结果。, 0)(2222xqdxwdEIdxd, 022lxdxwdEI0)(22lkwdxwdEIdxdlx 弯曲微分方程弯曲微分方程 力的边界条件力的边界条件表明：表明：, 0lxM)(lkwQlx最小势能原理最小势能原理等价于等价于平衡微分方程和力的边界条件；平衡微分方程和力的边界条件；Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其）假设位移函数，使其满足边界条件满足边界条件；（2） 计算形变势能计算形变势能 U ；（3）代入）代入Ritz 法方

59、程求解待定系数；法方程求解待定系数；（4）回代求解位移、应力等。）回代求解位移、应力等。用最小势能原理解题步骤：用最小势能原理解题步骤：（1）假设位移函数，使其）假设位移函数，使其满足边界条件满足边界条件；（2） 计算系统的总势能计算系统的总势能 ；（3） 由最小势能原理：由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；，确定待定系数；（4）回代求解位移、应力等。）回代求解位移、应力等。图示简支梁，两端受轴向压力图示简支梁，两端受轴向压力P 作用，在距左端距离作用，在距左端距离 c处受集中力偶处受集中力偶 M 作用，梁的跨度为作用，梁的跨度为 l 。试用最小势能原理求的梁的挠曲线方程。试用最小势能原理

60、求的梁的挠曲线方程。 例：例：mmxlmAwsin设梁的挠曲线方程可设为：设梁的挠曲线方程可设为：解：解：设定梁的挠曲线函数求系统的总势：设定梁的挠曲线函数求系统的总势：VUdxdxwdEIUl022221dxxlmAlmEIlmm 0212sin2VP)(c)(cMldxdxdw022112224mmAlmcxdxdwc)(clmAlmmmcos1142344mmmAlEI)(xw)(c代入总势能计算公式：代入总势能计算公式：12224mmAlmPclmAlmMmmcos1142344mmmAlEI由最小势能原理求出待定系数由最小势能原理求出待定系数：, 0mmmAmAlEI14342mmm