流体力学第六章

1、第六章 平面势流和漩涡运动讨论理想不可压流体的二元运动：平面势流和漩涡运动问题基本解与运动叠加原理对研究粘性流体运动有 指导作用。意义：研究理想流体二元运动规律；历史上发挥过重要作用，（如机翼绕流、升力等问题）； 流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动，无旋流动是指 的流动。0r0r 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体

2、一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动移动、转动和变形运动三部分。 粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。 园盘绕流园盘绕流尾流场中尾流场中的旋涡的旋涡机翼绕流机翼绕流（LES） 流体的无旋流动虽然

3、在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。 对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二维平面势流理论。 6-1 流体微团运动分析一.流体微团的旋转与变形tyyutxxutyyvtxxvxyOOyyvxxvvvyyuxxuuuyyvvvyyuuuxxvvvxxuuuvvuuCCDDBBAA,n 线变形速度线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方向的相对变化量。

4、,0limxtxuxx txuxx tx 同理可得yvyzwzn 角变形速度角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边的夹角的减小量的一半。uy tuytyy vx tvxtxx 011lim22ztvutxy 同理可得12xwvyz12yuwzx222zyx旋转角速度大小n 旋转角速度旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴所转过的角度。011()lim22ztvutxy 同理可得1()2xwvyz1()2yuwzx流体微团转过的角度为904522当流体微团具有绕自身轴作旋转运动时，则该点的运动是有旋有旋的，否则称无旋无旋运动。无旋运动必定存在势函数势函数，故称势流势流。无旋运动示

5、意如下：有旋运动示意如下：二.有旋流动与无旋流动102Vrr或0ijkxyzuvwVrvvr或yuxvxwyuzvyw,无旋流动的充要条件0zyx（旋度=0）6-2 速度环量和漩涡强度一、速度环量一、速度环量cos()LLLLdVdsudxvdywdzdVs速度环量：速度V沿封闭曲线L的线积分。LdsV按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为正，顺时针方向为负。例题62二、漩涡（涡旋）强度二、漩涡（涡旋）强度AIn2AndAI2漩涡强度就是面积A上涡量的通量，简称为涡通量涡通量。旋涡中某点涡量的大小是流体微团绕该点旋转的平均角速度的2倍，方向与微团的瞬时转动轴线重合。AAnn三、斯托克斯定理

6、三、斯托克斯定理2nAIdAV ds斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理。它将涡量的研究从面积分转变为线积分，使计算方便。 或dIdAdxdyyuxvdz2通常求 比求 I 要容易。任意面积A上的漩涡强度I，等于该面积的边界L上的速度环量，即：斯托克斯定律证明：以平面流动为例来证明，如图6-2所示，在平面XOY上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA=dxdy，流体在A点的速度分量为u和v，则B、C和D点的速度分量分别为：xxuuudBxxvvvdByyuxxuuuddCyyvxxvvvddCyyuuudDyyvvvdD图6-2 沿微元矩形的速度环量沿微元矩形的速度环量 xxuudxxvvdyy

7、uxxuuddyyvxxvvddyyuudyyvvd于是，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将uA、uB、uC 、uD和vA、vB、vC、vD各值代入上式，略去高于一阶的无穷小各项，再将沿z轴的角速度分量表达式代入，得称为微元面积上的斯托克斯定理微元面积上的斯托克斯定理。将上式对面积A积分，得 yvvxuuyvvxuud2d2d2d2dADDCCBBAdd d2dzvux yAdIxyAzd2于是得到平面面积平面面积A上的斯托克斯定理上的斯托克斯定理。对于空间任一曲面，可将曲面分割成许多微元曲面，分别推导微元曲面上的斯托克斯定理，再得到空间曲面上的斯托克斯定理空间曲面上的斯托克斯定理。=

8、 0 不一定是无旋运动，如图。对强制线涡，包含涡的任意封闭曲线 L 有：但对不包含涡的封闭曲线 L 有：0220crdrc0L2L1rdrcrdrc 斯托克斯定理说明：速度环量是否为零可以判断流动是速度环量是否为零可以判断流动是否有旋否有旋。如果任意一条封闭曲线上的速度环量都为零，则此区域的旋涡强度为零，即旋转角速度为零，是无旋流动。但是，如果有一条封闭曲线上的速度环量不为零，则此区域的旋涡强度不为零，是有旋流动。讨论：包围某区域的速度环量为零，则此区域是否一定是无旋流动？例题例题6-3 龙卷风rr0的风眼强迫漩涡流动的速度分布：rr0的眼外自由漩涡流动的速度分布：0,0,rrvrCvvrv根

9、据速度环量与旋转速度之间的关系的斯托克斯公式判断流动是否有旋。解：在rr0处眼内外速度相等，得20rC当r0r2r1时，为强迫漩涡流动区域，ABCDA封闭曲线的速度环量是：21212221()2ABBCCDDAvvrrrrA 可见，在强迫漩涡流动区域是有旋流动。r1r2r0 xyABCD当r2r1r0时，为自由漩涡流动区域，ABCDA封闭曲线的速度环量是：220021210ABBCCDDArrrrrr r0r1r2xyABCD可见，眼外部分为无漩流动。另外：当r=0时，自由漩涡速度变为无穷大，这时沿圆周的 速度环量为：CrdrC220可见，在圆心处是一个孤立的涡点，称为奇点奇点。一一.平面流动

10、平面流动6-3 旋流与势流、势函数以一条曲线为底，以高度为1的垂线作母线的柱面，如果通过该曲线的流量等于通过上述柱面的流量，把这样的流动称为平面流动。即认为流体流动只在与xoy平行的平面内进行，在与z轴平行的直线上的所有物理量都相等。xvyzo任一时刻，流场中各点的流体速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场中的物理量（速度、压强、密度等）在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标和时间有关。二二.速度势函数速度势函数 由数学分析可知， 是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。则函数 称为速度势函数速度势函数。因此，也可以说，存在速度势函数 的流动为有势流动，简称势流

11、。根据全微分理论，势函数 的全微分可写成 于是得0Vrzwyvxuddd)(tzyx，zzyyxxddddzwyvxu，（6-1） 即速度矢量是函数 的梯度Vu iv jw kijkxyy rvvvvvvn 速度势函数（位函数，速度势）的性质速度势函数（位函数，速度势）的性质无论是不可压缩还是可压缩，也不论是定常流动还是非定常流动，无旋必定有势，有势则无旋无旋必定有势，有势则无旋。无旋流动也称为有势流动有势流动，或简称势流或位流对有势流动yxxvyuyx22显然成立。0V r不可压缩流体的有势流动，速度势函数满足拉普拉斯方程，速度势函数为调和函数速度势函数为调和函数。不可压定常流连续性方程：则

12、有0zwyvxu0222222zyx或02该式称为“拉普拉斯方程拉普拉斯方程”，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数调和函数，速度势函数是调和函数。任意曲线的速度环量等于曲线两端点上速度势函数任意曲线的速度环量等于曲线两端点上速度势函数之差，与形状无关之差，与形状无关。根据速度环量定义，沿任意曲线AB的线积分BABABABABAV dsudxvdywdzd 对无旋流动，求环量问题变为求速度势函数之差的问题。对平面不可压流动，不论是否有旋、是否有粘性vdyudx或0udyvdx均可构造标量函数, yx使,uvyx 则0ddyydxxudyvdxyx,称为流函数。且等流函数线就是流线且等流函数线就是

13、流线。三三. .流函数流函数yvxuyvxu或0流线方程：连续性方程：（充分必要条件）n 流函数性质流函数性质1）流函数自动满足连续性方程：2）对无旋流，流函数是调和函数：3）流场中不同流线其流函数值不同，但流函数的差值就是流线间单位宽度对应的流量。4）三维流动（除轴对称流动外）一般不存在流函数，但是存在流线。022xyyxyvxu222220uvyxxy 2222121111yxyxByxyxAQudyvdxdydxdyx（） （1）满足柯西）满足柯西-黎曼条件黎曼条件 如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速 度势和流函数 因此， 和 互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函

14、数这样一种有力的工具求解此类问题。 当势函数 和 流函数二者知其一时，另一个则可利用上述求出，而至多相差一任意常数。四四.势函数与流函数的关系势函数与流函数的关系对平面势流xyvyxu且0yyxx 求出一个即可求出另一个，且由此可解得速度分布u、v，这是数值法的基础。yxyx,（柯西-黎曼条件）（2）流线与等势线正交流线与等势线正交 是等势线簇 常数和流线簇 常数互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图6-1所示。 ），（yx），（yx图6-1 流网0yyxx 【例例6-1】 有一不可压流体平面流动的速度分布为 。该平面流动是否存在流函

15、数和速度势函数；若存在，试求出其表达式；若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？ 【解解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。 由于是平面流动 该流动无旋，存在速度势函数。 yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx 0442121yxxyyuxvz（2）由流函数的全微分得：积分 由速度势函数的全微分得：积分 （3）由于 ，因此，A和B处的速度分别为 由伯努里方程可得yxxyyuxvyyxxd4d4dddddCxy 4yyxxyvxuyyxxd4d4d

16、ddddCyx)( 222222vuV)(32) 14() 14(22222AsmV)( 464) 54() 24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8 .139740)46432(2 . 121104 . 1)(2152B2AABPaVVpp解：440vuVkkxy rvv故存在, yx为有势流动另外，设存在yx,则：yxuy4对y积分： xfyxyxfdyyx224对x求导： xyvxfyx4故 xdxdfxf4积分 cxxf22于是cxyxyyx2222,例：已知求：是否存在若存在，解出它们。xyvyxu4,4yxyx,可以令：0, 0yx处0则c=0, 于是2222,x

17、yxyyx说明存在流函数。用完全类似的方法，可求得：242,22yxyxyx作图：412tg坐标旋转，消去x,y项之后等线，0 时为以实轴x/对称的双曲线； 0 时为以实轴x对称的双曲线； 0， 故=VQr20VQy2过驻点的流线方程：22sinQQrV二、螺旋流二、螺旋流22)(22nrQnrQ22点汇与点涡的叠加速度：为平面螺旋运动，如水轮机的引水室、水泵（蜗壳）。rrurQrur212三、偶极子流三、偶极子流相距r的点汇和点源的叠加:( )() 22iQQW znzn zzzre zMezzznnzzWiMrQrz2)(2erQ)(i00lim不变当r0，使Q 并使r .Q =，则：称为

18、偶极子流偶极子流，M称为偶极子强度偶极子强度。令：= ，则： 2222yxiyxMzMzw22222 ,2yxMyyxMx流线方程：2121244cMcMyx为圆心半径14, 0cM14 cM的圆周簇。同理，等势线方程：2222244cMycMx亦为圆周簇。注意：偶极子的方向由点汇指向点源，而流体的流动方向是沿流线由点汇指向点源。四、无环量圆柱绕流四、无环量圆柱绕流均匀直线流与偶极子（x负向）叠加：流线方程：或可见是以（0，0）为圆心，半径为的圆周。可得：或iireMreVzMzVzw122)(cos)2(rMrVsin)2(rMrV012122yxVMyVVMyxy20222102VMr2s

19、in2cos1220220rrVvrrVusin1cos1220220rrVvrrVur（零流线方程零流线方程）221 4sin12pppcV 速度环量：220201sin0rv dsV rdr 圆柱面上（r=r0）压力分布：22221()21(14sin)2ppVvpV取压强系数：阻力：升力：表明：无环量绕流中，阻力与升力均为零，而实际测量圆柱绕流有阻力，称为达朗贝尔佯谬达朗贝尔佯谬（1744），反映了理想流体假定的局限性。2222200001cos2sincos02xFrPVdVrd 2030220200sin2sin21drVdVPrFy五、有环量圆柱绕流五、有环量圆柱绕流nzizrzV

20、zW2)()(2020()cos2rVrr2021(1)sin2ruVrrr 02sin20rVuur匀速直线流+偶极子+点涡（顺时针）速度：圆柱面上：)4sin(212122rVVpp压力分布：200sinVdprFL升力：库塔库塔儒柯夫斯基定律儒柯夫斯基定律2102VMr阻力：0DF202(1)cosrruVrr1) 04Vr0时， 驻点脱离圆柱。驻点位置：Vr04sin驻(有两解，A、B)。202004423rVrVrr驻驻 【例例6-2】 设把蒙古包做成一个半径为R的半圆柱体，因受到正面来的速度为U0的大风袭击，屋顶有被掀起的危险，其原因是屋顶内外有压差。试问：通气窗口的角度为多少时，

21、可以使屋顶受到的升力为零。0()sin ()LsFppRd方向向下sinpp0()sin 2()LininFppRdR pp（方向向上）屋顶圆柱面内（含表面）的静压强为pin，它与通气窗口处的压强相等，即：其中p为无穷远处压强，ps为圆柱外表面上的压强。内压强产生的升力为【解解】 屋顶圆柱面外表面受到的升力： 引入压强系数：220sin4121UppCsP0220()sin 2 ()(1 4sin)sin 2(1 4sin)sinppRdR ppd 要使圆柱面屋顶的升力为零，则：LLFF即0()sin 2 ()sinppRdR pp则30024sin2,sin351 4sin354.74dd 作业 615 622 626 6326-7 理想流体旋涡运动理想流体旋涡运动涡量涡量：流体微团旋转角速度的二倍,涡管涡管：由一组涡线构成的管状通道。一、涡线和涡管一、涡线和涡管涡线方程为：涡线涡