振动和波动-w

1、1第七章第七章 振动与波动振动与波动 振动振动任何一个物理量在某一值附近往复变化，任何一个物理量在某一值附近往复变化， 这种现象就叫做振动这种现象就叫做振动振动的一般概念振动的一般概念 周期性振动周期性振动在在 时间时间T内运动状态能完全重复。内运动状态能完全重复。 特点特点：有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。非周期性振动非周期性振动在在 时间时间T内运动状态不能完全重复。内运动状态不能完全重复。 2简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)：物体振动时，如果离开平衡位置的位移物体振动时，如果离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移 )随时间随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数变化可表示

2、为余弦函数或正弦函数)cos(tAx一、弹簧振子的振动一、弹簧振子的振动弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：振动物体所受合外力平衡位置：振动物体所受合外力 为零的位置为零的位置物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。3moxF受力受力 F=kx由牛顿第二定律由牛顿第二定律22ddtxmkx 令令mk 2 则则0222 xdtxd 二、弹簧振子的振动方程二、弹簧振子的振动方程简谐振动微分方程简谐振动微分方程简谐振动运动方程简谐振动运动方程其通解为：其

3、通解为：)cos( tAx 2（1 1）（）（2 2）两式均为物体作谐振动的特征表述。）两式均为物体作谐振动的特征表述。 14三三 简谐振的速度与加速度简谐振的速度与加速度简谐运动微分方程的解为简谐运动微分方程的解为:)cos( tAx速度为速度为:)sin(dd tAtxv)2cos( tvm式中式中vm=A为速度振幅为速度振幅加速度为加速度为:)cos(2tAdtdvaxtam2)cos(式中式中am= 2A 为加速度振幅为加速度振幅5xt.vt,at运动曲线图如下：运动曲线图如下：xt/2/otvotoa)cos(tAx)2cos(tvvm)cos(taam可见可见a(t)振动超前振动超

4、前v(t)/2；v(t)振动超前振动超前x(t)/26 一个运动物体，它一个运动物体，它的加速度的加速度 a 与它离开与它离开平衡位置的距离恒成正平衡位置的距离恒成正比而反向比而反向, ,那么此物体那么此物体一定作简谐振动。一定作简谐振动。 物体离开平衡位置后，总物体离开平衡位置后，总是受到一个方向指向平衡位置，是受到一个方向指向平衡位置，大小与物体离开平衡位置的距大小与物体离开平衡位置的距离成正比的力的作用，则此物离成正比的力的作用，则此物体一定在作简谐振动。体一定在作简谐振动。线性回复力线性回复力运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征上述谐振动的特征表述均等价。上述谐振动的特征表述均等价

5、。 简谐振动特点：简谐振动特点： (1) (1)等幅振动等幅振动 (2)(2)周期振动周期振动xa2)cos( tAxkxf 7简谐振动定义（判据）：简谐振动定义（判据）：描述运动的物理量遵从微分方程描述运动的物理量遵从微分方程（或运动方程为（或运动方程为 ）运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征广义振动也广义振动也适用的判据。适用的判据。只适于机械振动只适于机械振动第一个重点：如何判断物体是否作简谐振动？第一个重点：如何判断物体是否作简谐振动？为维持运动物体所受合外力为维持运动物体所受合外力(物体位移的坐标原点取在其平衡位置处。物体位移的坐标原点取在其平衡位置处。)0222xdtxd)co

6、s(tAxkxf814-2 14-2 描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量-周期、振幅、相位周期、振幅、相位 1 1、周期、周期T-物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 物体在单位时间内完成振动的次数。物体在单位时间内完成振动的次数。频率频率 T1 角频率角频率22TkmT 2 mk 21 对弹簧振子对弹簧振子：mk 2第二个重点问题：如何建立简谐振动方程？第二个重点问题：如何建立简谐振动方程？)()(Ttxtx2cos)(cos)cos(tATtAtAx/2T9 2. 2. 振幅振幅 A3. 3. 相位相位 t + 决定振动物体的运动状态决定振动物体的运动状态谐振动物

7、体离开平衡位置的最大位移的绝对值。谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。a. ( ( t t + + ) )是是 t t 时刻的相位时刻的相位 b. 是是t t =0=0时刻的相位时刻的相位 初相初相00 xv tan2020)( vxA 则)cos( tAx ( (或或 . .T). ). A 和和 三个特征量确定，则谐振动方三个特征量确定，则谐振动方程就被唯一确定。其中程就被唯一确定。其中 ( (或或 . .T) )由系统本身的性质由系统本身的性质决定。就是说，知道了三个特征量，即可写出振动决定。就是说，知道了三个特征量，即可写出振动方程方程 A 和和 由初条件决定由初条件决定sinc

8、os000AvAxt 时10谐振动的旋转矢量法谐振动的旋转矢量法一、一、 旋转矢量表示法旋转矢量表示法（用几何方法来表示简谐振动）（用几何方法来表示简谐振动）作一矢量作一矢量A, 使它在使它在oxy平面上绕点平面上绕点o作逆时针匀速作逆时针匀速转动转动, 角速度角速度, 其矢量的端点其矢量的端点M在在x轴上的投影点轴上的投影点P的运动为简谐运动的运动为简谐运动.)cos( tAx t =0 时时,矢端在矢端在M0点点t 时刻时刻,矢端在矢端在M点点. M点点的投影点的坐标为的投影点的坐标为 x可见可见,矢量矢量A作匀速转动时作匀速转动时,其端点其端点M在在ox轴上的投影轴上的投影点的运动就是简

9、谐振动点的运动就是简谐振动oxyt+ PM0MxA11oxyt+ PM0MxA振幅振幅: :A的大小的大小A初相位初相位:t=0:t=0时刻时刻, , 与与oxox轴夹角轴夹角. .A相位相位:t:t时刻时刻, , 与与oxox轴轴夹角夹角. .A位置位置: :A在在x x轴上投影轴上投影圆频率圆频率 : : 旋转旋转的角速度的角速度A一次完全振动一次完全振动: : 旋转一周旋转一周A12简谐振动的能量简谐振动的能量（以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例）谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep)sin( tAv221mvEk )(sin2122 tkA

10、)cos(tAx221kxEp )(cos2122 tkA谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数tEo4T2T23TT2pk21kAEEE tkAE 22pcos21 tkAE 22ksin21 2pk21kAEEE 13简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点: :(1) (1) 动能动能221 mEk )(sin2122 tkA(2) (2) 势能势能221kxEp )(cos2122 tkA情况同动能。情况同动能。minmax,ppEE分析：分析：0min kE分析：分析：2max21kAEk (3) (3) 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振

11、动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒14 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位7-2 简谐振动的合成简谐振动的合成 一、两个一、两个同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 结论：仍然是同方向同频率仍然是同方向同频率的简谐振动。的简谐振动。合振幅合振幅振动方向相同。振动方

12、向相同。15)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可见：可见：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A16 几何方法几何方法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg由余弦定理由余弦定理:17)cos(212212221AAAAA上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论一：讨论一：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。当当 称为干涉相长。称为干涉相长。 21AA 12AA 2

13、AA1A18讨论二：讨论二：|21AAA当当 时，时， 称为干涉相消。称为干涉相消。21AA 0A2AA1A讨论三：讨论三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情况：一般情况：19 二、二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成振动表达式合成振动表达式： 为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的

14、相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：合成。其振动表达式分别为：20合成振动表达式合成振动表达式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx 其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。 这种合振动忽强忽弱的现象称为这种合振动忽强忽弱的现象称为 “ 拍 ”。21与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动

15、。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA211212)2(212单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为两个分振动频率之差：即拍频为两个分振动频率之差：)2cos(12t)(txt22四、四、 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx(1)20202sinsincoscosttAy(2)(1) cos20(2) cos10 :设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直设一个质点同时参

16、与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即的同频率简谐振动，即j yi xr下面消去下面消去 t ，得其轨迹方程：，得其轨迹方程：23221222212sincos2AAxyAyAx)(1020上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差相位差 决定。决定。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运动。2021AA 当当 时，正椭圆退化为圆时，正椭圆退化为圆。(3)、(4)两式各自两式各自平方后、相加平方后、相加,得得)sin(sincoscos102010

17、2201tAyAx(3)(1) sin20(2) sin10 :)sin(cossinsin1020102201tAyAx(4)24讨论讨论1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。yx221222212sincos2AAxyAyAx25讨论讨论2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论32)(10201222212AyAx所以是在所以是在X 轴半轴长为轴半轴长为 ， Y 轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。的椭圆方程，且顺时针旋转。1A2

18、Ayx21226质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。的椭圆方程，且逆时针旋转。1A2A1222212AyAx23)(10202327讨论讨论6k21020则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。32102121020，kk综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振上进行（直线是

19、退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。28012412431247452122329五、五、 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论：下面就两种情况讨论：1、 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。所示图形依次的循环变化。0

20、12120212当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。300124124312474521223312 2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。用李萨如图形在无线电用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已

21、知标准的李萨如图形去比较，就成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。可得知另一个未知的频率。2:1:yxTT327-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振一、阻尼振动一、阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。33阻尼振动的振动方程阻尼

22、振动的振动方程: :（以摩擦阻尼为例）（以摩擦阻尼为例）运动方程：运动方程：振子受粘性阻力振子受粘性阻力: :vf22dtxdmvkx022022xdtdxdtxd叫阻尼因子叫阻尼因子m2叫固有角频率叫固有角频率mk034而而 是积分常数由初始条件决定是积分常数由初始条件决定、A角频率角频率振幅振幅)cos(tAext22022022T220 a a）欠阻尼）欠阻尼35阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线AAtOxtAetcos) 0( TtAe36220 b b）过阻尼）过阻尼）t）teCeCx2/22/221而而 C1，C2 是积分常数由初始条件决定是积分常数由初始条件决定37220 c c）临界阻尼）临界阻尼otx三种阻尼的比较三种阻尼的比较abc38二、二、 受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。强迫力强迫力振动周期与周期性振动周期与周期性外力的周期相同外力的周期相同受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振动系统的性质而与振动系统的性质(固有角频率、质量固有角频率、质量)、阻尼的、阻尼的大小和强迫力的特征有关。大小和强迫力的特征有