第4章一个一个呼和

1、第四章第四章动量和角动量动量和角动量本章主要内容：本章主要内容：1. 1. 动量定理及守恒定律动量定理及守恒定律 2. 2. 角动量定理及守恒定律角动量定理及守恒定律 3. 3. 质心运动定理质心运动定理 4. 4. 碰撞碰撞 一、动一、动 量量质点动力质点动力学问题学问题度量质点度量质点运动的量运动的量动动 量量与质量和速度与质量和速度有关的状态量有关的状态量1、瞬时性、瞬时性2、矢量性、矢量性3、相对性、相对性vmp=在直角坐标系中在直角坐标系中在国际单位制（在国际单位制（SI）千克千克米米/秒（秒（kgm/s）讨论讨论xxyyzzpmvpmvpmv4.1 动量定理动量定理质点系的动量质点

2、系的动量:nn221vmvmvmpppp1n21 nnvvvmmm,.,.,2121的的质质点点，速速度度分分别别为为设设niiiiivmpp1二、质点的动量定理二、质点的动量定理( (动量的变化与作用量的关系）动量的变化与作用量的关系）由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：()ddd mvpFdtttFd表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。FtFIdd 1）微分形式：）微分形式：2）积分形式：）积分形式： 21dtttFI若为恒力：若为恒力：tFI ptFdd =1、 冲量冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢力对时间的积累产生的

3、效果是什么呢 ？冲量是力对时间的积累。冲量是力对时间的积累。2、动量定理动量定理1）微分形式：微分形式：由由 得：得：tpFddptFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。2）积分形式：积分形式：2121ddppttptF对上式积分，对上式积分，ptFtt21d 动量定理的积分式动量定理的积分式即：即： 1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。同同向向。与与、pI 23、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。说明说明 从动量定理可以知道，在从动量定理可以知道，在相等的冲

4、量相等的冲量作用下，作用下，不同质量不同质量的物的物体，其体，其速度变化速度变化是不相同的，但它们的是不相同的，但它们的动量的变化动量的变化却是一样的，却是一样的，所以从过程角度来看，所以从过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映了物体的运动动量比速度能更恰当地反映了物体的运动状态。状态。因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。用速度更确切些。动量和位矢动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。是描述物体机械状态的状态参量。动量比速度更能恰当地反映物体的运动状态动量比速度更能恰当地反映物体的运动状态3、动量定理分量形式、动

5、量定理分量形式xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d 即即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。动量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式为为 在在低速运动低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为vmt)t (FIddd1221)d(vmvmttFIt t 1) 冲力冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短，相互作

6、用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。tptpptttFFtt121221d若冲力很大若冲力很大, 其它外力可忽略时其它外力可忽略时, 则：则：若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时, 则则 是合外力的平均。是合外力的平均。FOFF1t2t2) 平均冲力平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：tpF4、动量定理的应用、动量定理的应用 三、质点系的动力学方程质点系的动力学方程由两个质点组成的质点系：由两个质点组成的质点系：tppFFd)d(2121 N 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：

7、NiNiiptF1i1ddtpfFmdd:1111 tpfFmdd:2222 021 ff即即质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。 质点系的动力学方程质点系的动力学方程tpFdd 内力可以改变一个质点的动量，但对系内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量的改变无贡献。统总动量的改变无贡献。1f2F1F2m1m2f说明说明1、微分形式：、微分形式：ptFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明 在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于系统在同一时间内动量的增量。统在同一时间内动量的增量。2 、积分形式：

8、积分形式： 2121ddppttptF由由 得：得：tpFdd 对上式积分，对上式积分，ptFItt 21d动量定理的积分式动量定理的积分式四、质点系的动量定理四、质点系的动量定理3、动量定理分量形式、动量定理分量形式xxttxxPPtFI1221dyyttyyPPtFI1221d zzttzzPPtFI1221d 即：即：系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 21dtttFI 例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关

9、节，以减轻与地面的撞人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。击力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？ 解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h 处跳向地面，落地的速率为处跳向地面，落地的速率为v0 ，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t ，重心下移了，重心下移了s 。由由动量定理动量定理得：得：tpptttFFtt121221d设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止，则：到静止，则：02vst sMvF220 ghv220 shMgF 设人从设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，

10、则：，则：MgshMgF200 可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论tMvF0asvv ,atvv22020设人的体重为设人的体重为70 kg70 kg，此时平均冲力：，此时平均冲力： (N) 1037. 12008 . 9705 F 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将和即将落入车厢的煤落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平为研究的系统。取水平向右为正。向右为正。 t 时刻系统的水平总动量：时刻系统的水平总动量：mvmmv 0dt + dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量: vmmmvmv)d(d dt 时间内水平总动量的增量：时间内水平总动量的增量： m

11、vmvv )mm(pddd由动量定理得：由动量定理得：mvptFddd )N(15003500dd vtmF 例题例题4-2 一辆装煤车以一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为落入车厢的煤为m = 500kg。如果使车厢的速率保持不变，应。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计（摩擦忽略不计)vFmmd一、动量守恒定律一、动量守恒定律:知，知，由由tPFdd时时当当0F0ddtP动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应应用动量守恒定律时应注意注意 , 0iF2、 有以下几种情况：有以

12、下几种情况：不受外力。不受外力。CP则：则：C11iNiiNiivmP即：即：系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。 外力矢量和为零。外力矢量和为零。1、 并不意味着每个质点的动量是不变的。并不意味着每个质点的动量是不变的。 CPF 时时，04.2 动量守恒定律动量守恒定律6、各速度应是相对同一惯性参考系。、各速度应是相对同一惯性参考系。4、动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：、动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：5、动量守恒定律比牛顿定律更基本，应用更广泛。、动量守恒定律比牛顿定律更基本，应用更广泛。 如宏观、微观、量子力学、相对论。如宏观、微观、量

13、子力学、相对论。常量常量xxPF0常量常量yyPF0常常量量zzPF0 内力内力 外力。外力。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。 若系统所受的合外力虽然不为零若系统所受的合外力虽然不为零, ,但合外力在某一但合外力在某一 方向的分量为零方向的分量为零, ,则系统在该方向上动量守恒。则系统在该方向上动量守恒。 例例 质量为质量为M 的木块在光滑的固定斜面上由的木块在光滑的固定斜面上由A 点静止下滑，点静止下滑， 经路程经路程 l 到到B 点时，木块被一水平射来的子弹击中点时，木块被一水平射来的子弹击中 子弹（子弹（m,v）射入木块中，求射

14、中后二者的共同速度。射入木块中，求射中后二者的共同速度。解：分为两个阶段：解：分为两个阶段：第一阶段：从第一阶段：从A 运动到运动到B，匀加速运动：，匀加速运动：sin2glvB )sin,2(202gaasvvt 第二阶段：碰撞阶段第二阶段：碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力内力 外力，可用动量守恒定律求近似解外力，可用动量守恒定律求近似解0ixiixivmvmVmMMvmvB)(cos 可解得：可解得：mMglMmvVsin2cosgmABlvxgMN例题例题4-3 质量为质量为M，仰角为，仰角为的炮车发射了一枚质量为的

15、炮车发射了一枚质量为m的炮的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦，求，不计摩擦，求 (1)炮炮弹出口时炮车的速率；弹出口时炮车的速率；()发射炮弹过程中，炮车移动的距发射炮弹过程中，炮车移动的距离离(炮身长为炮身长为L)。解解()选炮车和炮弹为系统选炮车和炮弹为系统,地面为参地面为参考系考系,系统所受合外力为系统所受合外力为N,mg,Mg都沿都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相分量守恒。设炮弹出口时相对于地面的水平速度为对于地面的水平速度为vx,炮身的反冲速度为炮身的反冲速度为vx,

16、对地面参考系有对地面参考系有0 xxmvvM由相对速度的概念可得由相对速度的概念可得炮对地炮对地弹对炮弹对炮弹对地弹对地vvv得得xxvuv cos0)cos(xxvumvM omuxMmgMgNLu负号表示炮车反冲速度与负号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。轴正向相反。（）若以（）若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率车的速率，则此时炮车相对地面的速率 cos)()(tumMmtvx设炮弹经设炮弹经t1s出口，在出口，在t1s内炮车沿水平方向移动了内炮车沿水平方向移动了ttvStxd10)(解得解得 cosum

17、Mmvx cosLmMm10dtttumMm)(cos 负号表示炮身沿负号表示炮身沿x轴负向后退。轴负向后退。例题例题4-4：光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块两滑块A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的倔强系数为弹簧的倔强系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另一端与滑块点，另一端与滑块A接触，开始时滑块接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块后再释放，滑块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后作完全弹性碰撞，

18、碰后B将沿半圆环轨道上升，将沿半圆环轨道上升，升到升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被压，求弹簧被压缩的距离缩的距离x.OOABC x解：解：设滑块设滑块A离开弹簧时速度离开弹簧时速度为为v,在弹簧恢复原形的过程中机在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒械能守恒222121mvkx A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒2221121)cos(mvm

19、gRmv 当滑块当滑块B B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C C点时，满足点时，满足 Rmvmg22cos （4 4） （1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）、（）、（4 4）联立求解可得）联立求解可得 kmgRx27 例题例题4-5 两个带理想弹簧缓冲器的小车两个带理想弹簧缓冲器的小车A 和和 B，质量分别为，质量分别为m1 、m2，B不动，不动，A 以速度以速度 与与B 碰撞，已知两车的的倔强系碰撞，已知两车的的倔强系数分别为数分别为k1 、k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多少？间的作用力为多少？ （弹簧质量

20、略而不计）（弹簧质量略而不计）0vA1m0vB2m2k1k解解 以两小车为研究对象。以两小车为研究对象。其碰撞过程中，系统的机其碰撞过程中，系统的机械能守恒；动量守恒。械能守恒；动量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛顿第三定律：由牛顿第三定律：2211xkxk 2112kxkx 联立上式：联立上式：)(2121122101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 一、质心一、质心 质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复杂的，为了简洁描述

21、质点系的运动状态，引入质量中心复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心(简简称质心：质点系的质量中心称质心：质点系的质量中心)的概念。的概念。N个质点组成的系统个质点组成的系统 Nimmmm,21位矢分别为位矢分别为 Nirrrr,.,.,21质点系的动量为质点系的动量为 trmtrmtrmNNdddddd2211.).(NNrmrmrmt2211ddNNvmvmvmp .22113m1m2mimNmCzxy4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理取质量为取质量为NmmmM.21并与质点系具有相同动量的质点并与质点系具有相同动量的质点C其位矢为其位矢为cr,其速度为其速度为trvc

22、cdd，则有，则有tr)mmm(cNdd 21trmmmcNdd)(21比较得C称为质称为质点系的质心点系的质心，cr称为质心的位矢。称为质心的位矢。可以证明可以证明：质心相对质点系的位置与坐标系的选取无关，即：质心相对质点系的位置与坐标系的选取无关，即质心相对于质点系本身是一个特定的位置。质心相对于质点系本身是一个特定的位置。cvMp ).(NNrmrmrmt2211dd1 12 2112Ni iN NiCNmmmmmmmMrrrrrMzmzMymyMxmxiiciiciic ,对质量连续分布的质点系对质量连续分布的质点系 MmrrcdMmzzMmyyMmxxcccd,d,d在直角坐标系中：

23、在直角坐标系中：1）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。）有些物体的质心可能不在所求的物体上。3）重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心）重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心 与重心重合。与重心重合。说明说明 二、质心运动定理二、质心运动定理由质心位矢由质心位矢Mrmriic对对t求导，得求导，得trvccddciivMvmp ccaMtvMtp ddddca为质心运动的加速度。由于为质心运动的加速度。由于 tpFdd 外外caMF外质心运动定理质心运动定理MvmiiMtrmiidd

24、作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度说明说明 1 ) 质点系各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很质点系各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很 复杂，但对于复杂，但对于质心的运动，只取决于合外力质心的运动，只取决于合外力，内力对质，内力对质 心的运动不产生影响。心的运动不产生影响。4 ）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了 物体中各质点相对质心的运动。物体中各质点相对质心的运动。3 ) 质心运动定理不能描述各质点的运动情况，质心运动定理不能描述各质点的运动情

25、况，每个质点的实每个质点的实 际运动应是质心运动与质点相对质心运动的叠加。际运动应是质心运动与质点相对质心运动的叠加。2 ) 当当0合合外外F时，时，质心的加速度与把全部质量集中在质心质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。的质点的加速度相同。 例题例题4-6 一长为一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度=0 x/L .0为常量，为常量，x从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。解解 ：取细杆的左端为坐标原点，：取细杆的左端为坐标原点，在距离坐标原点为在距离坐标原点为 x 处取微元处取微元 d x。0 xmdxLxxmddd0 mMd

26、总总质质量量Mmxxcd棒棒的的质质心心LxLx00d L021 L32MxLxL002d 例题例题4-74-7 质量分别为质量分别为m1和和m2的两质点组成的质的两质点组成的质点系，质心处于静止状态。质量为点系，质心处于静止状态。质量为m1的质点以的质点以半径半径r1，速率，速率v1绕质心作匀速圆周运动，求质点绕质心作匀速圆周运动，求质点m2的运动规律。的运动规律。 1p2p2r1r2m1m解解 如图所示，取质心为坐标系的原点，可得如图所示，取质心为坐标系的原点，可得 两质点的位矢满足如下方程两质点的位矢满足如下方程 2122110mmrmrm 1212rmmr 即即由于质心静止，所以质心的

27、动量为零，即由于质心静止，所以质心的动量为零，即021 ppp21pp 即动量的大小为即动量的大小为2211vmvm 1212vmmv 例题例题2 如图所示，浮吊的质量如图所示，浮吊的质量M = 20 t，从岸上吊起从岸上吊起m = 2 t的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角的重物后，再将吊杆与竖直方向的夹角由由600转到转到300 ，设杆长，设杆长l = 8 m，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动，水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动的距离。的距离。 取质心为坐标原点。设取质心为坐标原点。设 在由在由600 转到转到300 时，吊车在水平方向上移动的距离为时，吊车在水平方

28、向上移动的距离为x1 ，重物移动的距离为重物移动的距离为x2 。 解解 取吊车和重物组成的系统为研究取吊车和重物组成的系统为研究对象。由于系统所受的合外力为零，质点对象。由于系统所受的合外力为零，质点系的质心保持原来的静止位置不动。系的质心保持原来的静止位置不动。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在 = 60 0 时时0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266. 0)30sin60(sin001 mMmlx在在 = 30 0 时：时：0)()(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x060 s

29、inmvrL 大小：大小：方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。SI 中中 ： kgm 2 / s质点的角动量与质点的角动量与参考点的选择参考点的选择有关。有关。定义定义:r质量为质量为m的质点以速度在空间运动，某时刻对的质点以速度在空间运动，某时刻对O 点点的位矢为的位矢为 ，则它，则它对对O 点的角动量点的角动量( 动量矩动量矩 ) 为为：vrxyzom vvrL一、角动量一、角动量（动量矩）（动量矩）vmrprL1）矢量性矢量性2）相对性）相对性 原点原点O 选取的不同，则位置矢量不选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。同，角动量也不同。 质点对参考点的角动量质点对参考

30、点的角动量1、质点角动量、质点角动量4.4 角动量定理角动量定理zyxpppzyxkjiprLyzxzpypLzxyxpzpLyyzypxpL3）、 的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式L1、做圆周运动质点、做圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量vmrL 2rmmvrL 大大小小：rvOmzL方向：方向： 与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系右手螺旋关系L L做匀速圆周运动的质点做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。 vmrprL 大

31、小：大小： sinmvrL 方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。t时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：vmrprL 大小：大小：2 sinrvmL 方向：与方向：与 同向。同向。L1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则，则。CL 3）若）若O 取在直线上，则：取在直线上，则：。0 Lt 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为： sinrvm 2 2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量说明说明2、做直线运动质点的角动量、做直线运动质点的角动量 sinr mpr2 omp

32、rrosinrnLLLL 21nnprprpr 2211 niiipr12、质点系的角动量：、质点系的角动量：系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和：二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理对动量，有：对动量，有：Ftp dd对角动量？对角动量？ 定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律。即要找到变化遵守的规律。即要找到?tL dd)pr(ttLddddrptrddtPdd rpvFprL 将角动量将角动量 对对时间求导时间求导，可得：，可得：FrtL dd定义：作

33、用于质点上的定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩合外力对参考点的力矩0 pvzyxFFFzyxkjiFr 2、在直角坐标系中、在直角坐标系中FrM单位：牛单位：牛米（米（Nm）FdFrM sin1、大小：、大小：d 为为力臂力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM niFrFrFrM 214、作用于质点的、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。合外力矩等于合外力的力矩。tLFrMdd MFrFFFrn 合合)(21质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的质点所受的合外力矩合外力矩等于它的等于它的角动量的时间变化率角动量

34、的时间变化率。 力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力各个力的力矩的矢量和（合力矩）矩的矢量和（合力矩）等于等于各个力的合力的力矩各个力的合力的力矩。 和和 是对同一惯性系中同一参考点而言的是对同一惯性系中同一参考点而言的ML说明说明3、相对性：依赖于参考点、相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。（1）、质点角动量）、质点角动量微分形式微分形式LtMdd （2）、质点角动量定理）、质点角动量定理积分形式积分形式 2121ddttLLtML 21dtttML角动量定理角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。质点角动量的增量等于质点受到的角冲量

35、。或或冲冲量量矩矩积积累累称称为为力力矩矩的的角角冲冲量量于于质质点点上上的的力力矩矩的的时时间间内内作作用用表表示示在在的的增增量量，内内表表示示在在21121221MttdtL-ttL-L=Ltt 力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。 例题例题4-8 4-8 质量为质量为m、线长为、线长为l 的单摆，可绕点的单摆，可绕点O 在竖直平面在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: : 摆线摆线与水平线成与水平线成角时，摆球所受到的力矩及摆球对点角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的

36、角动量；的角动量； 摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；张力。任意位置时受力为：重力；张力。由由角动量定理角动量定理： cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬时角动量瞬时角动量：gm重力对重力对O 点的力矩为：点的力矩为： cosmglM 方向方向：垂直于纸面向里。：垂直于纸面向里。张力对张力对O 点的力矩为零点的力矩为零。 ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBAT sin232glmL 。点点时时，当当小小球球到到达达2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 o

37、lBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL niiiiitprptrtL1)dddd(dd niiiifFr1)( niiiniiifrFr11)()( niiiFrtL1)(dd niiiFrM1)(令令三、质点系的角动量定理：三、质点系的角动量定理：0)(1 niiifr作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。1niiiLrpFrM 方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向外，大小：FdM FrM FddFM 方向：垂直板面向里，大小：方向：垂直板面向里，大小：作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用

38、力对同一点的力矩的矢量和为零。0 MMoFF rdr FF 设：设：2、积分形式：、积分形式：LtMLttLL 2121dd质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。1、微分形式：、微分形式：LtMdd tLdd 只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关， 内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量。总角动量。质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率间变化率 质点系的角动量定理。质点系的角动量

39、定理。说明说明tLMdd 一、一、 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩。，则则CLtLM0dd,0 若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。此质点对该参考点的角动量保持不变。 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、孤立体孤立体，。外外外外0, 0 iiMf2、有心力有心力， 与位矢与位矢 在同一直线上，从而在同一直线上，从而 。外外fr0 外外fr3、当作用在

40、质点上的合外力矩对、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零某一方向的分量为零时，时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。则质点的角动量沿此方向的分量守恒。0M并不等于：并不等于：0F注意：注意：00MrFr时，亦有或,/讨论讨论4.5 角动量守恒定律角动量守恒定律 rr |rr|S 21|rr |S 21 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，用下沿椭圆轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积常常量量常常量量， tSLdd由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒sin21rrS 例题例题4-9 利用角动量守

41、恒定律证明开普勒第二定律：行星相利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积( (面积速度面积速度) )是常量。是常量。|trr |t|rr |tStdd2121limlimddS0t0t 面积速度面积速度: :mL|vmr |m|vr |22121 例题例题4-10 我国在我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度h1=226km，远，远地点的高度地点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率，卫星经过近地点

42、时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期（地球半径（地球半径R=6.37103km） 解解 卫星轨道如图所示由卫星轨道如图所示由于卫星所受地球引力为于卫星所受地球引力为有心力有心力，所，所以卫星对地球中心的以卫星对地球中心的角动量守恒角动量守恒(km) 10646311 .hRr在远地点时，位矢的大小为在远地点时，位矢的大小为 若坐标原点取在地心，则卫若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大星在轨道的近地点时，位矢的大小为小为(km) 10208322 .hRr 设卫星在远地点时的速率为设卫星在远地点时的速率为

43、v1,且近地点和远地点处的且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律角动量守恒定律可得可得2211mvrmvr=故有故有(km/s) 5861381020810646331212.vrrv 设椭圆轨道的面积为设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为，卫星的面积速度为dS/dt，则卫，则卫星的运动周期星的运动周期111122ddvrab/vrabt/SST a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为2121221)(2rra-r-a; brra 可得可得(s) 10376312121 .rrv)rr(T 例题补例题

44、补 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率匀速率圆周圆周运动，运动， 其半径为其半径为r0 ，角速度为，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。0 解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。 0=FrM所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。00rmvmvr 000 rvrv 0202 mrmr 0220 rr 因为绳对小球的的拉力因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，沿绳指向小孔，则力则力

45、对对O 点的力矩点的力矩：。时时，即即CLM 0二、质点系的角动量守恒定律：二、质点系的角动量守恒定律： 角动量守恒定律角动量守恒定律1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定合外力为零不一定 合外力矩等于零。合外力矩等于零。2、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。3、适用于惯性系，也可适用于微观现象。、适用于惯性系，也可适用于微观现象。当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒对该参考点守恒。例：例：力偶的合力等于零，合力矩不等

46、于零。力偶的合力等于零，合力矩不等于零。说明说明三、力偶三、力偶 力偶矩：力偶矩：0iF大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。合力矩：合力矩：FrM1FrM2FrFrMMM21FrrFrFr)(FlFdFlMsin大小：大小：方向：垂直方向：垂直纸纸面向里。面向里。FF rdlroORR1r2r1v2v1222211121vmrvmrLLL 例题例题4-11 两人质量相等两人质量相等, ,位于同一高度，各由绳子一端开始位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？绳子与轮的质量不计

47、，轴无摩擦。他们哪个先达顶？ 解解 选两人及轮为系统，选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。 产生力矩的只有重力。产生力矩的只有重力。21MMM 外外gmrgmr2211 222111 sinsingrmgrmM Rgmgm)(211 Ngm1gm222221111 sinsinrvmrvmL )(RvmRvm2211 即两人同时到达顶点。即两人同时到达顶点。则则且且212010,0vvvv 2121,ddddaatvtv 即即则则：,21mm 已已知知)(ddddRvmRvmttL2211 )(dd)(22112

48、1RvmRvmtRgmmtvmtvmgmmdddd)(112221 tLMdd 外外由角动量定理：由角动量定理：012 RmvRmv12vv 法二法二: ( 角动量守恒角动量守恒 )RvmvmtgRmmM)(dd)(112221外21mm 如如果果1122vmvm 则则12vv 所所以以1、若其中一个人不动若其中一个人不动，外力矩情况依然外力矩情况依然，内力矩对角动量内力矩对角动量 无贡献无贡献，因而角动量守恒因而角动量守恒。即轻者先即轻者先到到达达。2、若、若m1m2，则则系统所受的合外力矩为零，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒角动量守恒。讨论讨论mm20v 例题例题4-12 如图所示

49、，静止在水平光滑桌面上长为如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆的轻质细杆和和的小球，系统的小球，系统的小球的小球 l/3 处的处的O点在水平面桌面上转动点在水平面桌面上转动的小球以水平速度的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度求碰后细杆获得的角速度 （质量忽略不计）两端分别固定质量为（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为可绕距质量为m2今有一质量为今有一质量为m质量为质量为m0v/2的速度返回，的速度返回， 解解 取三个小球和细杆组成的系统，取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的

50、重力和桌点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零。点的力矩的矢量和为零。O点对细杆点对细杆的作用力对点的力矩为零系统所受的作用力对点的力矩为零系统所受的合外力矩为零所以，系统的角动的合外力矩为零所以，系统的角动量守恒量守恒 2032mllmv lv23 3223200lvm)l(m)lm(lmv223232解解 取小球与地球为系统，机械能守恒取小球与地球为系统，机械能守恒。RMmGmvRMmGmv3212102020由角动量守恒得由角动量守恒得 sinRmvRmv30联立解得联立解得0020129sinvMGRvR 129

51、arcsin0020vMGRvR 例题例题4-13 质量为质量为m的小球的小球A,以速度以速度v0沿质量为沿质量为M半径为半径为R的地球的地球表面切向水平向右飞出，地轴表面切向水平向右飞出，地轴OO与与v0平行，小球平行，小球A的运动轨道的运动轨道与轴与轴OO相交于点相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球求小球A在点在点C的速度与的速度与OO轴之间的夹角轴之间的夹角。AmMRoo0vCv 一、碰撞及其分类：一、碰撞及其分类：完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的 速度运动，机械能损失

52、最大。速度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象。、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象。不一定不一定接触接触2、碰撞的特点：、碰撞的特点：t 极短，内力极短，内力外力外力3、碰撞分类、碰撞分类 ( 完全完全 ) 弹性碰撞弹性碰撞 碰撞后形变消失，无机械能损失。碰撞后形变消失，无机械能损失。非弹性碰撞非弹性碰撞 碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能碰撞后形变不能完全恢复，部分机械能 变成内能。变成内能。4.6 碰碰 撞撞a.无外力：动量守恒无外力：动量守恒 （质点对质点）（质点对质点）b.无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚

53、体）二、正碰二、正碰 碰撞定律碰撞定律两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。m1m2m2m1m2m12f1f10v20v1v2v牛顿认为牛顿认为 碰撞后的分离速度碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料决定，即成正比，比值由两球的材料决定，即201012vvvvee 称为恢复系数称为恢复系数动量守恒动量守恒 1 102201 122mvm vmvm v几种材料的恢复系

54、数几种材料的恢复系数材料材料玻璃与玻璃与玻璃玻璃铝与铝与铝铝铁与铁与铅铅钢与钢与软木软木e值值0.95上两式联立，解得上两式联立，解得2120102101)()1 (mmvvmevv2120101202)()1 (mmvvmevv碰撞中的动能损失：碰撞中的动能损失：0kE21202102112)(mmvmvmmv21101201222)(mmvmvmmv e = 1 时，为时，为( 完全完全 ) 弹性碰撞。弹性碰撞。)(2)(21201021mmvvmmEk e = 0 时为完全非弹性碰撞。时为完全非弹性碰撞。 0 e 1 时，为一般非弹性碰撞。时，为一般非弹性碰撞。)

55、(2)()1 (2122010212mmvvmmeEK2120210121mmvmvmvv二、斜碰（二维碰撞）二、斜碰（二维碰撞）两球在碰撞前的相对速度不沿两球球心连线的碰撞叫斜碰。两球在碰撞前的相对速度不沿两球球心连线的碰撞叫斜碰。 10v1m20v2m2f2m1f1m10v20v 如果两球是光滑的，碰撞时两球只如果两球是光滑的，碰撞时两球只在对心方向发生在对心方向发生 互相压缩，存在相互互相压缩，存在相互作用力，垂直方向上无相互作用。作用力，垂直方向上无相互作用。 xy20vO10v1m2m 选两球的连心线为选两球的连心线为x 轴，与连心线轴，与连心线垂直方向为垂直方向为y 轴。轴。y 方

56、向上，有方向上，有 yyyyvvvv202101x 方向上，有方向上，有 xxxxvmvmvmvm2211202101 )(xxxxvvevv201012遵循的规律与一维正碰，完全相同。遵循的规律与一维正碰，完全相同。系统的动量守恒系统的动量守恒 2211202101vmvmvmvm 例题例题4-15 4-15 质量分别为质量分别为m和和m的两个小球，系于等长线上，的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，将构成连于同一悬挂点的单摆，将m拉至拉至h高处，由静止释放。在高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。下列情况下，求两球上升的高度。1）碰撞是完全弹性的；）碰撞是完全弹性

57、的；2）碰撞是完全非弹性的。碰撞是完全非弹性的。 解解 1）碰撞前小球）碰撞前小球m的速度的速度 ，由于碰撞是完全弹性的，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为的速度分别为v 和和v， 则有则有 ghv20 ghmmvvmmv20mghmvvmmv2022212121可解得可解得ghmmmvghmmmmv222 设碰撞后两物体上升的高度分别为设碰撞后两物体上升的高度分别为 H 和和 H，则，则HgmvmmgHmv2221 21, 2hmmmmHghmmvumm2)(0 ghmmmu2 hmm

58、mguH222 上升的高度为上升的高度为 22hmmmH 2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量，由动量守恒定律可得守恒定律可得例题例题4-16： 热中子被静止氦核散射。氦核热中子被静止氦核散射。氦核M,热中子热中子m,且且M/m=4,散射为弹性碰撞。中子的散射角散射为弹性碰撞。中子的散射角111，求中子在散射过程，求中子在散射过程中损失了多少能量？中损失了多少能量？10vMmMm1v2v 解：解：系统的动量守恒和机械能守恒系统的动量守恒和机械能守恒 coscos21104mvmvmv 0421 sinsinmvmv2221210242121mvm

59、vmv化简得化简得 coscos11024vvv sinsin124vv21210224vvv 三式联立得三式联立得1017060vv.散射后与散射前中子动能之比为散射后与散射前中子动能之比为50070602210210.vvEEkk所以动能损失了所以动能损失了50%50%。一、对称性与守恒定律：一、对称性与守恒定律：1、对称性、对称性对某种几何形体施行某种操作，使它的形状对某种几何形体施行某种操作，使它的形状和位置都不显现任何可觉察的变化。称这种形体具有几何对和位置都不显现任何可觉察的变化。称这种形体具有几何对称性。雪花、昆虫、晶体称性。雪花、昆虫、晶体。举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转

60、对称性举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性若球体上加记号若球体上加记号“”，不再具有旋转对称性，称为，不再具有旋转对称性，称为“对称性破对称性破缺缺”。2、物理学中的对称性、物理学中的对称性:系统从一个状态系统从一个状态 另一个状态另一个状态变换或操作变换或操作。一个变换使系统从一个状态一个变换使系统从一个状态 另一个与之等价的状态，称该另一个与之等价的状态，称该系统对这一变换系统对这一变换(操作操作)是对称的是对称的。这个变换这个变换(操作操作)叫该系统的一个叫该系统的一个对称操作对称操作。4.7 对称性与守恒定律对称性与守恒定律物理学中两类不同性质的对称性：物理学中两类不同性质的对称