第三知识块三角函数、三角恒等变换及解三角形(第5课时-第8课时) (3)

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形度量问题掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形度量问题 第第7 7课时课时 正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理1对解斜三角形的考查在高考试题中时常出现，主要考查正弦定理、余弦定理、对解斜三角形的考查在高考试题中时常出现，主要考查正弦定理、余弦定理、运用三角公式进行恒等变形及运算能力以化简、求值或判断三角形的形状为运用三角公式进行恒等变形及运算能力以化简、求值或判断三角形的形状为主来考查有关的定理的应用、三角恒等变形、运算能力及转化思想主来考查有关的定理的应用、三角恒等变形、运算能力及转化思想2题目类型有判断三角形形状的填空题，求三角形边角关系的解

2、答题，三角形中题目类型有判断三角形形状的填空题，求三角形边角关系的解答题，三角形中有关三角变换的解答题，但都以较容易的题目出现有关三角变换的解答题，但都以较容易的题目出现 【命题预测【命题预测】1利用正弦定理可将边的关系转化为角的关系，应注意互补角的正弦值相等利用正弦定理可将边的关系转化为角的关系，应注意互补角的正弦值相等这一特殊关系的应用在这一特殊关系的应用在ABC中，中，ABab sin Asin B，但，但要注意命题成立的前提必须是在三角形中，脱离了三角形这个前提条件，命要注意命题成立的前提必须是在三角形中，脱离了三角形这个前提条件，命题是不成立的题是不成立的2判断三角形的形状，实质是判

3、断三角形的三边或三角具备怎样的关系由判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以，可利用正弦定理于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以，可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系利用正弦定理判定三角实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系利用正弦定理判定三角形的形状常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的形的形状常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式有关公式(如诱导公式，和差公式如诱导公式，和差公式)得出角的大小或等量关系得出角的大小或等量关系3已知三角

4、形三边或三边之比，可用余弦定理求出这个三角形的三个角使已知三角形三边或三边之比，可用余弦定理求出这个三角形的三个角使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于最小角，如果最大角小于60，最小角大于，最小角大于60可知三角形无解可知三角形无解【应试对策【应试对策】ABC中的常用结论中的常用结论(1)tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；A、B、C成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是B60；ABC是正三角形的充要条件是是正三角形的充要条件是A、B、C成等差

5、数列且成等差数列且a、b、c成等比数列；成等比数列；abABsin Asin B；【知识拓展【知识拓展】在在ABC中，给定中，给定A、B的正弦或余弦值，则的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解的正弦或余弦有解(即存在即存在)的的充要条件是充要条件是cosAcosB0.简证如下：简证如下：C有解有解(AB)有解有解0AB0ABcos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判断因此判断C是否有解，是否有解，只需考虑只需考虑cos Acos B的符号即可的符号即可(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin .(3)三角形中，任意两边

6、之和大于第三边，任意两边之差小于第三边三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边1正弦定理、余弦定理及相关知识正弦定理、余弦定理及相关知识定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理 内容内容 a2 ，b2 ，c2 b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosC变形形式变形形式a ，b ，c ；sin A ，sin B ，sin C ；(其中其中R是是ABC外接圆的半径外接圆的半径)abc ；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A

7、.cos A ；cos B ；cos C .2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC解决解斜解决解斜三角形的三角形的问题问题已知两角和任一边，求另一角和已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角求第三边和其他两个角.2.在在ABC中，已知中，已知a，b和和A时，解的情况如下时，解的情况如下A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系式关系式absin Absin Aab

8、ab解的个数解的个数一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解1(苏州市高三教学调研考试苏州市高三教学调研考试)在在ABC中，中，A，B，C对应的三边长为对应的三边长为a，b，c，若，若a2(bc)2bc，则，则A的大小等于的大小等于_ 解析：解析：根据余弦定理得根据余弦定理得cos A ， A 答案：答案：2(2010东台中学高三诊断东台中学高三诊断)若若ABC的三个内角的三个内角A、B、C所对边的长所对边的长分别为分别为a、b、c，向量，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若，若mn，则则C等于等于_ 答案：答案：603在在ABC中，如果中，如果A60，c4，a2 ， 则此三角形有则此三角

9、形有_个解个解 解析：解析：A60，c4，a2 ， 由正弦定理得：由正弦定理得： ，即，即 sin C1.又又0C0)，利用余弦定理，有利用余弦定理，有cos AA45.同理可得同理可得cos B ，B60.C180(AB)75.这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断【例【例2】在在ABC中，如果中，如果lg alg clg sin Blg ，且，且B为锐角，为锐角，试判断此三角形的形状试判断此三角形的形状思路点拨：思路点

10、拨：先进行对数的运算，再将边化角即可先进行对数的运算，再将边化角即可解：解：由由lg alg clg sin Blg ，得得sin B ，又又B为锐角为锐角，B45.同时同时 ， . sin C2sin A2sin(135C)，即即sin Csin Ccos C，cos C0，所以所以C90.故此三角形为等腰直角三角形故此三角形为等腰直角三角形变式变式2：在在ABC中，已知中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么，那么ABC的形状是的形状是_解析：解析：由由sin C2sin(BC)cos B，得，得sin C2sin Acos B.再结合正、余弦定理得：再结合正、余弦定理得： 整理

11、得整理得a2b2，所以，所以ABC一定是等腰三角形也可由一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B，可得可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，从而，从而AB.答案：答案：等腰三角形等腰三角形1这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化式有角的转化和边的转化2三角形中三角函数的证明问题主要是围绕三角形的边和角的三角函数三角形中三角函数的证明问题主

12、要是围绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题子的化简问题【例【例3】在在ABC中，证明：中，证明： 思路点拨：思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边左边的角转化为边证明：证明：左边左边 右边故原命题得证右边故原命题得证【例【例4】 在在ABC中，中，a、b、c分别是分别是A、B、C的对边长已知的对边长已知a、b、c成等比数列，且成等比数列，且a2c2acbc，求，求A的大小及的大小及 的值的值思路点拨

13、：思路点拨：把已知条件把已知条件a2c2acbc变形，构造余弦定理结构求出变形，构造余弦定理结构求出A的值，然后再利用正弦定理变形求出的值，然后再利用正弦定理变形求出 的值的值解：解：(1)a、b、c成等比数列成等比数列，b2ac，又又a2c2acbc，b2c2a2bc.在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得cos A ，A60.(2)在在ABC中，由正弦定理中，由正弦定理sin B ，b2ac，A60， 变式变式3：(2010北京海淀区高考模拟题北京海淀区高考模拟题)在在ABC中中，a、b、c分别表分别表示三个内角示三个内角A、B、C的对边如果的对边如果(a2b2)sin(AB)(a2b

14、2)sin(AB)，且且AB，求证求证：ABC是直角三角形是直角三角形证明：证明：由已知得由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用两角和、差的三角函数公式可得利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B.又由正弦定理得又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb，2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即即sin 2Asin 2B.AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形是直角三角形变式变式4： 在在ABC中，中，A、B、C所

15、对的边的长分别为所对的边的长分别为a，b，c，设，设a，b，c满足条件满足条件b2c2bca2和和 ，求，求A和和tan B的值的值解：解：b2c2bca2，b2c2a2bc.由余弦定理得由余弦定理得cosA又又A为三角形一内角，为三角形一内角，A .在在ABC中，中，C(AB) B B.由已知条件及正弦定理得由已知条件及正弦定理得 tan B .【规律方法总结【规律方法总结】1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；化边为角；(2)化角为边，并常用正弦化角为边，并常用正弦(余弦余弦)定理实施边、角转换定理实施边、角转换2用正

16、弦用正弦(余弦余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等角与应用向量的模求三角形边长等3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件挖掘隐含条件4注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用 【高考真题【高考真题】【例【例5】 (2009天津卷天津卷)在在ABC中中，BC ，AC3，sin C2sin A.(1)求求AB的值的值；(2)求求sin 的值的值分析：分析：根据正弦定理

17、求根据正弦定理求AB的值，根据余弦定理求出的值，根据余弦定理求出A的余弦，根据倍角公的余弦，根据倍角公式求出式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式求求sin 的值的值规范解答：规范解答：(1)在在ABC中，根据正弦定理，中，根据正弦定理， 于是于是AB BC2BC2 .(2)在在ABC中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A于是于是sin A 从而从而sin 2A2sin Acos A ，cos 2Acos2Asin2A . 所以所以本题没有按照常规出题方式给出三角形中角的大小，而是给出了两个角的正本题没有按照常规出题方式给

18、出三角形中角的大小，而是给出了两个角的正弦之间的关系，根据正弦定理的特点就可以通过约分的方式将其约掉，达到弦之间的关系，根据正弦定理的特点就可以通过约分的方式将其约掉，达到解决问题的目的，试题设计颇有新意解决问题的目的，试题设计颇有新意【命题探究命题探究】【全解密【全解密】三角恒等变换中经常用到的角度变换，如：三角恒等变换中经常用到的角度变换，如：()()，2()()()()， ， 等，等，通过这些角的变换实现利用已知条件达到整体求解的目的通过这些角的变换实现利用已知条件达到整体求解的目的【知识链接知识链接】一般地，已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，可一般地，已知三角形两边一

19、对角，求解三角形时，若运用正弦定理，可以根据正弦定理的变式以根据正弦定理的变式a b csin A sin B sin C，在知道了两个角，在知道了两个角的正弦比值时也可以使用正弦定理求解三角形，本题就是这种情况；当的正弦比值时也可以使用正弦定理求解三角形，本题就是这种情况；当已知三角形三边时可以根据余弦定理求出任意一个角的余弦值已知三角形三边时可以根据余弦定理求出任意一个角的余弦值【方法探究方法探究】正弦定理是一个连比等式，在使用这个定理时不一定要知道其中的正弦定理是一个连比等式，在使用这个定理时不一定要知道其中的三个量才能求第四个量，只要知道了其比值或等量关系就可以通过三个量才能求第四个量，只要知道了其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题中要注意这个技巧的使用，不要约分达到解决问题的目的，在解题中要注意这个技巧的使用，不要一味地寻找使用正弦定理的具体条件一味地寻找使用正弦定理的具体条件. 【技巧点拨技巧点拨】1在在ABC中，中，a ，b ，B45，解此三角形，解此三角