相对论习题课

1、洛伦兹变换洛伦兹变换vtxx 2vttxc yy zz 同时性和因果律同时性和因果律时间膨胀（原时）时间膨胀（原时）长度收缩（原长）长度收缩（原长）21( / )tttv c 同一地点同一地点相对静止相对静止21( )vLLLc21xxxuvuvuc 221 ( )1yyxuvuvcuc 221 ( )1zzxuvuvcuc 作业作业1：假定一个粒子在假定一个粒子在S系的系的x y 平面内以平面内以c/2的恒定速度的恒定速度运动，运动，t =0，粒子通过原点，粒子通过原点O ，其运动方向与，其运动方向与x 轴承轴承60度度角。如果角。如果S 系相对于系相对于S系沿系沿x轴方向的速度为轴方向的速

2、度为0.6c，试求由，试求由S系所确定的粒子的运动方程。系所确定的粒子的运动方程。解解1：先确定先确定S 系中系中的运动方程的运动方程。60sin260cos2cttuycttuxyx 可得可得S 系中系中的运动方程的运动方程2222211cvxcvttyycvvtxx ctyctx23342317 作业作业1：假定一个粒子在假定一个粒子在S系的系的x y 平面内以平面内以c/2的恒定速度的恒定速度运动，运动，t =0，粒子通过原点，粒子通过原点O ，其运动方向与，其运动方向与x 轴承轴承60度度角。如果角。如果S 系相对于系相对于S系沿系沿x轴方向的速度为轴方向的速度为0.6c，试求由，试求

3、由S系所确定的粒子的运动方程。系所确定的粒子的运动方程。解解2：S 系中系中的运动方程的运动方程tuytuxyx 可得可得S 系中系中的运动方程的运动方程ccuccuyx4360sin24160cos2 。ctyctx23342317 由题目已知由题目已知2222111cvucvuuucvvuuxyyxxx 作业作业3：在静止于实验室的放射性物质样品中，有两个电子在静止于实验室的放射性物质样品中，有两个电子从放射性原子钟沿相反的方向射出。由实验室观察者测得每从放射性原子钟沿相反的方向射出。由实验室观察者测得每一个电子的速度为一个电子的速度为0.67c，根据相对论，两个电子的相对速度，根据相对论

4、，两个电子的相对速度应该是多少？应该是多少？解：解：甲甲乙乙xyyo0.9c 0.9c关键：画图后定好参考系！关键：画图后定好参考系！如果以甲为参考系如何求解？如果以甲为参考系如何求解？作业作业4：一原子核以一原子核以0.5c的速度离开一观察者而运动。原子核的速度离开一观察者而运动。原子核在它运动方向上向前发射一电子，该电子相对于核的速度为在它运动方向上向前发射一电子，该电子相对于核的速度为0.8c；此原子又向后发射了一光子飞向观察者，对静止观察；此原子又向后发射了一光子飞向观察者，对静止观察者来讲（者来讲（1）电子具有多大速度？（）电子具有多大速度？（2）光子具有多大速度？）光子具有多大速度

5、？解：解：(2)验证光速不变原理验证光速不变原理xy cyx12xxxucvvuu cccvuc 21例：例：地球上的人看到地球上的人看到t1时刻有一束太阳光子时刻有一束太阳光子(太阳风的一部太阳风的一部分分)射过地球之后，他又在射过地球之后，他又在t2=t1+ t时刻看到木星发射一时刻看到木星发射一束无线电波。另外在从地球以速率束无线电波。另外在从地球以速率V=0.5c飞往木星的火飞往木星的火箭上有一名宇航员也看到了同样两件事情。假设地球位箭上有一名宇航员也看到了同样两件事情。假设地球位于太阳到木星的直线上，且距离木星于太阳到木星的直线上，且距离木星6.8108km远。令远。令 t=900s

6、。在火箭上的宇航员看来，时间间隔为多少？。在火箭上的宇航员看来，时间间隔为多少？他是否会认为光子束导致了无线电波的发射？他是否会认为光子束导致了无线电波的发射？事件事件1：光子到达地球：光子到达地球事件事件2：木星发射电波：木星发射电波已知已知解：解：设地球为设地球为S系，火箭为系，火箭为S系系=s21900t tt =km8216.8 10 x xx =2221VtxctVc =s173 在火箭中看到无线电波先发在火箭中看到无线电波先发射，说明两事件无因果关系射，说明两事件无因果关系例：例：地球上的人看到地球上的人看到t1时刻有一束太阳光子时刻有一束太阳光子(太阳风的一部太阳风的一部分分)射

7、过地球之后，他又在射过地球之后，他又在t2=t1+ t时刻看到木星发射一时刻看到木星发射一束无线电波。另外在从地球以速率束无线电波。另外在从地球以速率V=0.5c飞往木星的火飞往木星的火箭上有一名宇航员也看到了同样两件事情。假设地球位箭上有一名宇航员也看到了同样两件事情。假设地球位于太阳到木星的直线上，且距离木星于太阳到木星的直线上，且距离木星6.8108km远。远。 假设是此光子束导致无线电波的发射，假设是此光子束导致无线电波的发射， t的取值范围是的取值范围是多少？多少？解：解：若有因果关系，则在任何参考系看来此时间间隔都非负。若有因果关系，则在任何参考系看来此时间间隔都非负。0 =222

8、1VtxctVc 2Vtxc而而Vv飞离地球，并当地球上的时钟显示飞离地球，并当地球上的时钟显示t2时刻时追上前时刻时追上前一艘宇宙飞船。其中一艘宇宙飞船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。（1）(t10)是原时还是膨胀了的时间间隔？是原时还是膨胀了的时间间隔？（2）当地球上时钟为）当地球上时钟为t1时刻时，慢飞船上的钟读数是多少？时刻时，慢飞船上的钟读数是多少？（3）此时地球离较慢飞船多远？）此时地球离较慢飞船多远？（4）(t20)是原时还是膨胀了得时间间隔？是原时还是膨胀了得时间间隔？（5）当被快飞船追上时，慢飞船上的钟显示的什么时刻？）当被快飞船追上时，慢飞船上

9、的钟显示的什么时刻？（6）从慢船看，快船追上用的时间？）从慢船看，快船追上用的时间？（7）从慢船看，快船追上时飞的距离？）从慢船看，快船追上时飞的距离？例：例：在在t=t=0时刻，一艘宇宙飞船以相对速度时刻，一艘宇宙飞船以相对速度v经过地球。当经过地球。当地球上的时钟读书为地球上的时钟读书为t1时，一艘更快的宇宙飞船以相对速时，一艘更快的宇宙飞船以相对速度度Vv飞离地球，并当地球上的时钟显示飞离地球，并当地球上的时钟显示t2时刻时追上前时刻时追上前一艘宇宙飞船。其中一艘宇宙飞船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。=1112001( / )tttv c （1）(t10)

10、是原时还是膨胀了的时间间隔？是原时还是膨胀了的时间间隔？（2）当地球上时钟为）当地球上时钟为t1时刻时，慢飞船上的钟读数是多少？时刻时，慢飞船上的钟读数是多少？（3）此时地球离较慢飞船多远？）此时地球离较慢飞船多远？原时。原时。飞船上的钟是非原时。飞船上的钟是非原时。=111xv tvt 1vt非原长非原长1vt 例：例：在在t=t=0时刻，一艘宇宙飞船以相对速度时刻，一艘宇宙飞船以相对速度v经过地球。当经过地球。当地球上的时钟读书为地球上的时钟读书为t1时，一艘更快的宇宙飞船以相对速时，一艘更快的宇宙飞船以相对速度度Vv飞离地球，并当地球上的时钟显示飞离地球，并当地球上的时钟显示t2时刻时追

11、上前时刻时追上前一艘宇宙飞船。其中一艘宇宙飞船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。（4）(t20)是原时还是膨胀了得时间间隔？是原时还是膨胀了得时间间隔？（5）当被快飞船追上时，慢飞船上的钟显示的什么时刻？）当被快飞船追上时，慢飞船上的钟显示的什么时刻？（6）从慢船看，快船追上用的时间？）从慢船看，快船追上用的时间？非原时。非原时。= -220tt 是原时=2220ttt =1112001( / )tttv c 2211tttt 例：例：在在t=t=0时刻，一艘宇宙飞船以相对速度时刻，一艘宇宙飞船以相对速度v经过地球。当经过地球。当地球上的时钟读书为地球上的时钟读书为

12、t1时，一艘更快的宇宙飞船以相对速时，一艘更快的宇宙飞船以相对速度度Vv飞离地球，并当地球上的时钟显示飞离地球，并当地球上的时钟显示t2时刻时追上前一时刻时追上前一艘宇宙飞船。其中艘宇宙飞船。其中vt2=V(t2t1)，即，即t2=Vt1/(V v)。2211tttt （7）从慢船看，快船追上时飞的距离？）从慢船看，快船追上时飞的距离？快船相对于慢船的速度为快船相对于慢船的速度为21xxxuvuvuc 21VvVvVc 快船飞行距离为快船飞行距离为21()Vtt =111xv tvt 1vt 作业作业7：在在S系中有一个静止的正方形，其面积为系中有一个静止的正方形，其面积为100m2，观，观察

13、者以察者以0.8c的速度沿正方形的对角线运动，观察者测得的该的速度沿正方形的对角线运动，观察者测得的该正方形的面积多少？正方形的面积多少？解：解：xycvcvyx22,22 yxv尺度收缩。尺度收缩。沿沿x轴方向的对角线收缩，轴方向的对角线收缩，y轴的不变。轴的不变。xyyxvvxvy222211cvyycvxx yxS 作业作业8：两飞船在自己静止参考系中测得各自长度约为两飞船在自己静止参考系中测得各自长度约为l0。飞。飞船甲上测得甲的前端驶完乙的全长需要船甲上测得甲的前端驶完乙的全长需要 t。求两飞船的相对。求两飞船的相对速度大小。速度大小。解解1：2201cvll 尺度收缩。尺度收缩。2

14、21cvtt l0是乙的原长，从甲看来会尺度收缩。是乙的原长，从甲看来会尺度收缩。时间膨胀。时间膨胀。tv 解解2： t为原时，从乙看来时间会膨胀。为原时，从乙看来时间会膨胀。vtl 0 例：例：一宇宙飞船相对地球以一宇宙飞船相对地球以 的速度飞行，的速度飞行，一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长船长 90 m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出达到船头两事件的空间间隔为达到船头两事件的空间间隔为 （A）90 m ，（，（B）54 m，（，（C）270 m，（，（D）150 m。c8 .0解解 设地球为

15、设地球为 S 系系, 飞船为飞船为 S 系系m9012 xxxm270m8 . 01908 . 090122 txxvctttm90-12 xyo y xc8 . 0o事件一：光从船尾出发事件一：光从船尾出发 事件二：光到达船头事件二：光到达船头解解 设地球为设地球为 S 系系, 飞船为飞船为 S 系系xyo y xc8 . 0o y xc8 . 0o),(11xt),(22xt)(1212ttcxx 201 llm27011122 xcxctcxvm900 lxc8 .0 v已知已知：)(12ttl v例：例：设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c

16、的速率向东飞行，的速率向东飞行，5.0s后该飞船将于一个以后该飞船将于一个以0.80c的的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：从飞船中的钟速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：从飞船中的钟来看，还有多少时间允许它离开航线，以避免与彗来看，还有多少时间允许它离开航线，以避免与彗星碰撞？星碰撞？解一解一：用洛伦兹变换。：用洛伦兹变换。xyoc6 . 0 y xoc8 . 0 发现飞船：发现飞船：1111:(,),:(,)Sx tSx t2222:(,),:(,)Sx tSx t 船星碰撞船星碰撞215.0sttt xv t 2224.0s1vtxctvc 由条件已知由条件已知解二解二：用时间膨胀效应。：用时

17、间膨胀效应。xyoc6 . 0 y xoc8 . 0 发现飞船：发现飞船：1111:(,),:(,)Sx tSx t2222:(,),:(,)Sx tSx t 船星碰撞船星碰撞5.0stt 2214.0svttc 飞船上测的时间为原时，飞船上测的时间为原时，例：例：设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以设想地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.60c的速率向东飞行，的速率向东飞行，5.0s后该飞船将于一个以后该飞船将于一个以0.80c的的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：从飞船中的钟速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：从飞船中的钟来看，还有多少时间允许它离开航线，以避免与彗来看，还有多少时间允许它离开航

18、线，以避免与彗星碰撞？星碰撞？ 相对论质量相对论质量 动量、动力学方程动量、动力学方程 动能动能 相对论能量相对论能量0211( )mmvc Pmv 220mcm c kEE0= m0c2静止能量静止能量E = mc2 = Ek+ m0c2EPcm0c2Ek对光子：对光子：EPc 2Emc 下面考察一个例子：下面考察一个例子：两个全同粒子两个全同粒子A、B的完全非弹性碰撞。的完全非弹性碰撞。M(u)AmBm碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后A 、B两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。碰撞前碰撞前BKBm(v)Avm0KABAm0m(v)- -v我们分别以我们分

19、别以A、B两个粒子为惯性参照系来讨论。两个粒子为惯性参照系来讨论。KB系中，系中，B粒子静止，粒子静止，A粒子速率为粒子速率为v ,A粒子质量为粒子质量为mA=m(v)；B粒子质量为粒子质量为 mB= m0KA系中，系中，A粒子静止，粒子静止，B粒子速率为粒子速率为v ,A粒子质量为粒子质量为mA= m0；B粒子质量为粒子质量为 mB= m (v)碰撞后碰撞后uM(u)KBM(u)- -uKA设碰撞后复合粒子在设碰撞后复合粒子在KB系的速度为系的速度为u ,质量为质量为M(u)；设碰撞后复合粒子在设碰撞后复合粒子在K A系的速度为系的速度为u,由于对称性由于对称性可以看出可以看出 ，故复合粒子

20、的质量仍为，故复合粒子的质量仍为M(u)。uu 根据动量守恒和质量守恒定律可以得到根据动量守恒和质量守恒定律可以得到根据洛伦兹速度变换公式可得根据洛伦兹速度变换公式可得( )( )(1)m v vM u u0( )( )(2)m vmM u0( )( )( )( )m vmM um vm v01( )mm v (3)vu2(4)1/uvuuuv c 2211/(5)vvcu 022( )1/mm vvcBKBm(v)Avm0例：例：把把100kg的铜的铜(C=0.389kJ/kg K)的温度升高的温度升高100度，度，求质量的增加量。求质量的增加量。3890kJEmC T 解：解：由于热传导，

21、铜增加的能量由于热传导，铜增加的能量1124.33 10kgEmc 例：例：将一个将一个2kg的物体从地面提到高的物体从地面提到高30cm的桌子上。的桌子上。求由于势能的增加导致物体质量的增加量。求由于势能的增加导致物体质量的增加量。解：解：势能增加势能增加Emgh1726.5 10kgEmc 思考：如何解释？思考：如何解释？例例一个中性一个中性 介子相对于观察者以速度介子相对于观察者以速度v = kc 运动，以后衰变运动，以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与为两个光子，两光子的运动轨迹与 介子原来的方向成相等的介子原来的方向成相等的角度角度 。 试证明试证明:（1）两光子有相等的能量）两光子有相等的能量;（2）cos = k 。证证明明：v 1 2动量守恒动量守恒: :coscos12120cEcEkvmEEE21cos2120cEkvm竖直方向：竖直方向：水平方向：水平方向：0sinsin21cEcE能量守恒：能量守恒：212201