第六章简单的超静定问题

1、1第第 六六 章章简单的超静定问题简单的超静定问题2第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题6-1 6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题31.1.单纯依靠静力平衡方程单纯依靠静力平衡方程能够能够确定全部未知力（支反确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为力、内力）的问题，称为静定问题静定问题。F123F1236-1 6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法相应的结构称为相应的结构称为静定结构。静定结构。2.2.单纯依靠静力平衡方程单纯依靠静力平衡

2、方程不能不能确定全部未知力（支反确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为力、内力）的问题，称为超静定问题超静定问题。相应的结构称为相应的结构称为超静定结构。超静定结构。4( (1) 1) 静力学关系：列静力静力学关系：列静力平衡方程平衡方程4.4. 超静定问题的解题方法步骤：超静定问题的解题方法步骤：( (2) 2) 几何关系（变形几何相容条件）：列几何方程几何关系（变形几何相容条件）：列几何方程(3) (3) 物理关系：由胡克定律列物理方程物理关系：由胡克定律列物理方程(4) (4) 补充方程：由几何方程和物理方程得到补充方程：由几何方程和物理方程得到(5) (5) 解由平衡方程和补充方

3、程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 3. 3. 超静定次数：超静定次数：n =( =(未知力数未知力数) )( (独立的平衡方程数独立的平衡方程数) ) 所有超静定结构所有超静定结构, ,都是在静定结构上再加一个或几都是在静定结构上再加一个或几个约束个约束, ,这些约束对于特定的工程要求是必要的这些约束对于特定的工程要求是必要的, ,但对但对于保证结构平衡却是多余的于保证结构平衡却是多余的, ,故称为故称为多余约束，多余约束，相应的相应的有有多余未知力。多余未知力。5 静定基：静定基：解除超静定结构的多余约束后得到的静解除超静定结构的多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统

4、的定结构，称为原超静定系统的静定基，静定基，同一问题静定同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。位移。 相当系统：相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。静定基、基本静定系（相当系统）静定基、基本静定系（相当系统）F1F2RF1F2F1F2R6 例例6-2-16-2-1 如图三杆用铰链连接，已知：如图三杆用铰链连接，已知：l1=l2=l、 l3；横截面积横截面积A1=A2=A、 A3 ；弹性模量为：弹性模量为

5、：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。ABDC132a aFa a6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题 对拉压超静定问题，可综合运用对拉压超静定问题，可综合运用静力学关系、物静力学关系、物力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求力关系和几何关系（变形几何相容条件）三方面来求解。解。一、拉压超静定问题解法一、拉压超静定问题解法7A11l3l2l1111N1AElFl 3333N3AElFl(2)(2)几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：(3)(3)物理方程物理方程胡克定律：胡克定律：(4)(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：

6、补充方程：由几何方程和物理方程得：解解: : (1)(1)以铰以铰A为研究对象，列为研究对象，列平衡方程平衡方程: :(5)(5)联联解（解（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式，得）式，得: :0 xF:0yFacos321lll)3(cos3333N1111NaAElFAElF33311333N333112112N1Ncos2 ; cos2cosAEAEFAEFAEAEFAEFFaaaABDC132a aFa aAFN1a aFa aFN2FN3) 1 (0sinsin2N1NaaFF)2(0coscos3N2N1NFFFFaa8 例例6-2-26-2-2 两端固定直杆受轴向外力

7、两端固定直杆受轴向外力 F 作用，截面作用，截面尺寸如图所示，求两端反力。尺寸如图所示，求两端反力。解解: :BARR 、端端，加加支支反反力力放放松松B0:总l变形协调条件变形协调条件) 2(022EAaREAaRFllBBCBAC 54,5FRFRAB) 1 (0FRRBA，则则由（由（1 1）、（）、（2 2）式得）式得EA2EAABCaa2FBRARABCF9 例例6-2-36-2-3 刚性梁刚性梁AD由由1 1、2 2、3 3杆悬挂，已知三杆材杆悬挂，已知三杆材料相同，许用应力为料相同，许用应力为 ，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为 E，杆长均为杆长均为l，横截面面积均为，横截面面

8、积均为A，试求结构的许可载，试求结构的许可载荷荷 F 。Aa123FDaa10解：解：取刚性梁为研究对象，列取刚性梁为研究对象，列静力平衡方程：静力平衡方程：变形协调条件：变形协调条件：) 1 ( 0332N3N2N1aFaFaFaF13123 ,2llll即：即：AElFAElFAElFAElFN1N3N1N23 ,2)2( 3 ,2N1N3N1N2FFFF:0AMAaFDaaFN1FN3FN21l2l3lAD受力图受力图位移图位移图11联立求解联立求解(1)(1)和和(2), (2), 得：得：FFFFFF149 ,146 ,143N3N2N11493N33AFAF3 3杆轴力为最大杆轴力

9、为最大, ,其强度条件为其强度条件为: :AF914AF91412 例例6-2-46-2-4木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个4040 4040 4 4的等边角钢的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为加固，角钢和木材的许用应力分别为 1 1=160=160MPa和和 2 2=12=12MPa，弹性模量分别为弹性模量分别为E1 1=200=200GPa 和和 E2 2 =10=10GPa；求许可载荷求许可载荷P。21ll（2）列变形几何相容方程）列变形几何相容方程（3）由物理方程得）由物理方程得补充方程补充方程：解：解：（1）以压头为研究对象）以压头为研究对象, 设每设每个角钢受力为

10、个角钢受力为FN1，木柱受力为，木柱受力为FN2.1N4F2NF042N1NPFF2222211111lAElFAElFlNN13（4） 解平衡方程和补充方程解平衡方程和补充方程，得，得: :120.07 ; F0.72NNFPP（5 5）求结构的许可载荷：求结构的许可载荷：角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm2 kN104272. 010121025072. 0662222AP kN4 .70507. 01016010086. 307. 064111AP1N4F2NF111AFN1107. 0AP 222AFN2272. 0AP kN4705

11、.P 取取14解：解：(1)(1)取铰取铰A分析，列分析，列平衡方程平衡方程: : 例例6-2-56-2-5如图所示如图所示3 3号杆的尺寸误号杆的尺寸误差为差为 ，求各杆的装配内力。，求各杆的装配内力。二、装配应力二、装配应力: : 杆件尺寸误差引起的应力。杆件尺寸误差引起的应力。1 1 静定问题无装配应力。静定问题无装配应力。2 2 静不定问题存在装配应力。静不定问题存在装配应力。FN1、 FN2 为压力，为压力， FN3为拉力。为拉力。AN1FN2FN3F:0 xF0sinsin2N1NaaFF:0yF0coscos3N2N1NFFFaaABDC132A0 0a aa a 15acos)

12、(333N3111N1AElFAElF(3) (3) 物理方程及物理方程及补充方程补充方程：(4) (4) 解平衡方程和补充方程解平衡方程和补充方程，得，得: : / cos21cos331132113N2N1AEAEAElFFaa / cos21cos2331133113N3AEAEAElFaa(2) (2) 几何方程几何方程acos)(31ll 1l2l3lAA0A1ABDC132A0 0a aa a A1161 1、静定问题无温度应力、静定问题无温度应力三、温度应力三、温度应力 例例6-2-66-2-6 如图，如图，1 1、2 2号杆的尺寸及号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由材料都相同

13、，当结构温度由T1变到变到T2时时, ,求各杆的温度内力。（各杆的线求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为膨胀系数分别为i； T= T2 -T1) )(2) (2) 几何方程几何方程2 2、静不定问题存在温度应力、静不定问题存在温度应力A11l3l2lABDC132 AFN1 FN2FN3解解: : (1)(1)以铰以铰A为研究对象，列为研究对象，列平衡方程平衡方程: :0 xF:0yF) 1 (0sinsin2N1NFF)2(0coscos3N2N1NFFFcos321lll17iiiiiiilTAElFlaN(3) (3) 物理方程：物理方程：(4) (4) 补充方程：补充方程：)3(

14、cos)(33333N311111N1aalTAElFlTAElF / cos21)cos(3311323111N2N1AEAETAEFFaa / cos21cos)cos(23311323111N3AEAETAEFaa杆件变形包括杆件变形包括温度引起的变形温度引起的变形和和外外力引起的变形力引起的变形两部分。两部分。(5)(5)联联解（解（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式，得）式，得: :18(2)(2)几何方程几何方程解：解：(1)(1)解除约束，代之以约束力。解除约束，代之以约束力。列列静力平衡方程静力平衡方程: :) 1 (0:021RRyFFF0FTlll 例例6-2-

15、7 6-2-7 如图，阶梯钢杆的上下两端在如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定时被固定, ,杆的上下两段的面积分别杆的上下两段的面积分别为为 = cm2、 = =c cm2，当温度升至，当温度升至T T2 2 =25=25时时, ,求各杆的温度应力。求各杆的温度应力。( (线膨胀系线膨胀系数数 ；弹性模量；弹性模量E=200GPa) )C1105 .126aABCaaABCaaFR1FR219(3) (3) 物理方程物理方程(5)(5)联解（联解（1 1）、（）、（2 2）式）式，得，得: : kN3 .3321RRFF(4) (4) 补充方程补充方程2211 ; 2EAaFEAaFlT

16、alRRFTa)2(22211EAFEAFTRRa(6) (6) 温度应力温度应力 MPa7 .66111AFR MPa3 .33222AFRABCaaFR1FR220 例例6-2-8 6-2-8 如图刚性梁悬挂于如图刚性梁悬挂于3 3根平行杆上，根平行杆上，l2m, F40kN，a = 1.5m， b = 1m， c = 0.25m， 0.2mm。1杆由黄铜制成，杆由黄铜制成， A1=2cm2， E1=100GPa， 。2杆和杆和3杆由碳钢制成，杆由碳钢制成， A2=1cm2， A3=3cm2， E2=E3=200GPa， 。设。设温度升高温度升高20，试求各杆应力。，试求各杆应力。C110

17、5 .1661aC1105 .12632aaF123balcAB解：解：分析，分析，各杆中即有由外载各杆中即有由外载荷荷F引起的应力，也有装配应力，引起的应力，也有装配应力，还有温度应力。还有温度应力。设三杆最终变形分别为设三杆最终变形分别为l1、 l2、 l3 。 取刚性梁为研究对取刚性梁为研究对象，受力如图所示象，受力如图所示。21(1)(1) 列静力平衡方程列静力平衡方程: :F123balcABFABFN1FN3FN2l1l2l3(1) 0)()( , 032caFbaFaFMNNA(2) 0 , 0321FFFFFNNNy(2)(2) 几何方程几何方程: :(3)(3) 物理方程物理

18、方程: :(4) 1111N11TlAElFla(5) 2222N22TlAElFla(6) 3333N33TlAElFla(3) )(2312lll22联解（联解（1 1）（）（6 6）式得）式得: :, kN8 1NF, kN10 2NF kN22 3NF（4 4）三杆应力分别为）三杆应力分别为: : MPa40 11AFN MPa100 22AFN MPa3 .73 33NAF236-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题 例例6-3-16-3-1 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C处受扭转力偶矩处受扭转力偶矩Me作用，如图作用，如图a a。已知杆的扭转

19、刚。已知杆的扭转刚度为度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭截面的扭转角。转角。(a) 扭转超静定问题，同样是综合运用扭转超静定问题，同样是综合运用静力学关系、静力学关系、物力关系和几何关系三方面来求解。物力关系和几何关系三方面来求解。24 解解: : 1. 1. 以以AB为研究对象为研究对象, ,有二个未知约束力有二个未知约束力偶矩偶矩MA, , MB，但只有一个独立的静力平衡方程，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB2. 2. 变形几何方程为：变形几何方程为：0AB25另一约束力偶矩

20、另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为可由平衡方程求得为3. 3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：Bpp()0BeABMMaM bGIGIeBM aMleeeeABM aM bMMMMll讨论：讨论：C截面相对截面相对A的扭转角为：的扭转角为： peplGIabMGIaTACCA(a)MAMB26 例例6-3-26-3-2由半径为由半径为 a 的铜杆和外半径为的铜杆和外半径为 b 的钢的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩 Me 作作用，如图用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩。试求铜杆和钢管横截面上的扭

21、矩Ta和和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况情况(P82,(P82,思考题思考题3-4)3-4)。(a)27 解解: : 1. 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别为扭矩为扭矩T Ta a和和T Tb b( (图图b)b)，为一次超静定问题。，为一次超静定问题。2. 2. 位移相容条件为位移相容条件为BbBa(b)TbTa静力平衡方程：静力平衡方程： Ta+Tb= Me，3. 3. 利用物理关系得补充方程为利用物理关系得补充方程为bbbaaaIGlTIGlTppbbbaaaTIGIGTpp 即即284. 4.

22、联立求解补充方程和平衡方程得：联立求解补充方程和平衡方程得：epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，5. 5. 铜杆横截面上任意点的切应力为铜杆横截面上任意点的切应力为aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep钢管横截面上任意点的切应力为钢管横截面上任意点的切应力为baIGIGMGITbbaabbbbppep29 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在，故铜杆和钢管在r =

23、a处切处切应应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。处切向的切应变应该相同是一致的。aaab30一、一、超静定梁的解法超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压、扭转超静定问解超静定梁的基本思路与解拉压、扭转超静定问题相同。题相同。6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁 (1) (1) 解除解除“多余多余”约束，并代之以约束，并代之以“多余多余”约束力约束力（未知力），得原超静定结构的（未知力），得原超静定结构的基本静定系

24、基本静定系（或（或相当系相当系统统）。）。 (2) (2) 利用利用“基本静定系在多余未知力作用处相应基本静定系在多余未知力作用处相应的位移应满足原超静定结构的约束条件的位移应满足原超静定结构的约束条件”这一点求解这一点求解未知量。未知量。31lBAqZEIBFLBAqqlFA85qlFB83281qlmAql83ql85kN21289ql281qllBAqZEIlBAqZEI1BwlBAZEI2BwBF021BBwwZEIql84ZBEIlF330qlFB83kNm+ +- - -+ +32 例例6-4-1 试求图试求图a所示等截面连续梁的约束力所示等截面连续梁的约束力FA , FB , F

25、C，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。解解: : 1. 1. 此梁为一次超静定梁。此梁为一次超静定梁。33 此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端处的梁端还分别作用有等值反向的还分别作用有等值反向的“多余多余”未知力矩未知力矩 弯矩弯矩MB，图，图b中的中的“多余多余”未知力矩为一对正弯矩。未知力矩为一对正弯矩。位移位移相容条件相容条件(参见图参见图b)为为 2. 为便于求解，对于连续梁常取中间

26、支座截面处为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左、右两侧梁相对转动的内部角约束为阻止左、右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余多余”未知力，如图未知力，如图b。BB 343. 3. 利用附录利用附录可得可得物理关系物理关系为为EIlMEIqlABBABB3243EIlMEIllllFlBCBBCDCBCDCBDB36 应该注意，在列出转角应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正的算式时每一项的正负号都必须按同一规定负号都必须按同一规定( (例如顺时针为正，逆时针为负例如顺时针为正，逆时针为负) )

27、确定。确定。BB 和354. 4. 将物理关系代入位移相容条件得将物理关系代入位移相容条件得补充方程补充方程，mkN80.31BM5. 5. 利用图利用图b b可得约束力：可得约束力： kN64.11kN66kN05.32CBAFFF，EIlMEIllllFlEIlMEIqlBCBBCDCBCDCBDABBAB363243解得：解得：36(c)(d)绘出剪力图和弯矩图如图绘出剪力图和弯矩图如图c,dc,d。37由上由上3式得：式得：例例6-4-26-4-2如图所示梁。已知如图所示梁。已知: :q=15N/m, ,l=4m, ,梁圆截面直梁圆截面直径径d=100mm, ,=100MPa。试校核该

28、梁的强度。试校核该梁的强度。解解：（1）列静力平衡方程列静力平衡方程1)( 0qlFFFCBA:0yF:0AM)2( 0222qllFlFBC（2）列变形协调方程列变形协调方程 0CCCFwqw) 3( 048384534zCZEIlFEIqlqlFC85qlFB163qlFA1632lBA2lqCCFAFBFkNmM5 . 7maxZWMmax3max32dMMPa4 .76 （3）得补充方程得补充方程梁满足强度条件梁满足强度条件kNm22. 4kNm5 . 7kNm22. 4+ + +- -38例例6-4-3 6-4-3 试求图示梁的支反力。试求图示梁的支反力。m4BAm20kNm2m2k

29、N40DC解：解：在小变形条件下在小变形条件下, ,B点点轴向力较小可忽略不计轴向力较小可忽略不计, ,所所以为一次超静定。以为一次超静定。Bm2m2kN40DCm4AmkN20BBFBF1Bw2Bw21BBwwZBEIqlw841ZBEIlF33ZBBEIlFw332ZPEIlF3232222lEIlFZP485823PBFqlFkN75. 8AFBAFqlFkN25.71AMlFqlMBA22kNm125CFBPCFFFkN75.48CMlFlFMBPC2kNm11539例例6-4-4 6-4-4 结构如图示结构如图示,设梁设梁AB和和CD的弯曲刚度的弯曲刚度EIz相相同同.拉杆拉杆BC的

30、拉压刚度的拉压刚度EA为已知为已知,求拉杆求拉杆BC的轴力的轴力.a2BAqaCaDBAq 解：解：将杆将杆CB移除，则移除，则AB,CD均为均为静定结构，杆静定结构，杆CB的未知轴力的未知轴力FN作作用在用在AB,CD梁上。为梁上。为1次超静定。次超静定。CDNFNFNFNFBCCBlwwZBEIaqw824ZNEIaF323ZNCEIaFw33EAaFlNBCEAaFEIaFEIaFEIaqNZNZNZ33282334ZNIAaAqaF233240练习练习：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况：两悬臂梁间有一滚柱以实现弹性加固，受力情况如图。如图。AB梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为EI，D

31、C梁抗弯刚度为梁抗弯刚度为2 2EI。试。试求：经过滚柱所传递的压力。求：经过滚柱所传递的压力。得相当系统得相当系统得变形协调方程：得变形协调方程：选取静定基选取静定基解：一次超静定解：一次超静定ABDCl/2l/2PPRCRC)()(DCCABCyy)2(3)2(6)23()2(3)2(323EIlREIlllPEIlRCCPRC3541 当系统的温度升高时当系统的温度升高时, ,下列结构中的下列结构中的_不不会产生温度应力会产生温度应力. . A C DA B42 图示等直梁承受均布荷载图示等直梁承受均布荷载q作用作用, ,C处用铰链连处用铰链连接。在截面接。在截面C上上_。A. . 有弯

32、矩，无剪力；有弯矩，无剪力；B. . 有剪力，无弯矩；有剪力，无弯矩；C. . 既有弯矩又有剪力；既有弯矩又有剪力；D. . 既无弯矩又无剪力；既无弯矩又无剪力；2lBAqC2lD43(二二) 梁的上、下表面温度差异的影响梁的上、下表面温度差异的影响 图图a所示两端固定的梁所示两端固定的梁AB在温度为在温度为 t0 时时安装就位，其安装就位，其后，由于梁的后，由于梁的顶顶面温度升高至面温度升高至 t1，底，底面温度升高至面温度升高至 t2，且，且 t2t1，从而产生，从而产生约束力约束力如图中所示。如图中所示。 由于未知的由于未知的约束力约束力有有6个，而独立的平衡方程只有个，而独立的平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。个，故为三次超静定问题。l(a)44 现将右边的固定端现将右边的固定端B处的处的3个约束作为个约束作为“多余多余”约束，约束，则解除则解除“多余多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上它在上, ,下表面有温差的情况下，右端产生转角下表面有温差的情况下，右端产生转角 Bt和挠度和挠度wBt( (见图见图c) )以及轴向位移以及轴向位移 Bt。l(a)(b)(c)45 如果忽略如果忽略“多余多余”未知力未知力FBx对挠度和