[点到直线的距离 两条平行直线间的距离]

1、12当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A=0A=0时：时：x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )Q Q. .l ：By+C=0By+C=0， y=- y=- C CB B|y|y0 0-y-yQ Q|= |= |By|By0 0+C| +C| |B| |B| x xy yo oP P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )Q Q. .当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中B=0B=0时：时：l ：Ax+C=0Ax+C=0， x=- x=- C CA A|PQ|= |PQ|= C CB B= =y y0 0

2、+ + |x|x0 0-x-xQ Q|= |= |Ay|Ay0 0+C| +C| |A| |A| |PQ|= |PQ|= x x0 0+ + C CA A= =3当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x(x0,y,y0) ). .d dQ QS SR R过过P P0 0分别作分别作x x轴和轴和y y轴的平行线，交直线轴的平行线，交直线l于点于点R R，S S4当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0

3、(x(x0,y,y0) ). .d dQ QS SR R过过P P0 0分别作分别作x x轴和轴和y y轴的平行线，交直线轴的平行线，交直线l于点于点R R，S S则则P P0 0R R的方程为的方程为y=yy=y0 0， R R的坐标为：的坐标为： 则则P P0 0S S的方程为的方程为x=xx=x0 0， S S的坐标为：的坐标为： ) ) ByBy0 0+C +C A A- -，y y0 0 ( (AxAx0 0+C +C B B- -x x0 0 , ,) ) ( (5当直线当直线l 的方程的方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo

4、 olP P0 0(x0,y0)(x0,y0). .d dQ QS SR R于是有：于是有：|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| |A|A|P|P0 0R|= R|= ByBy0 0+C +C A A- -x-x0 0 = =|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| |B|B|P|P0 0S|= S|= AyAy0 0+C +C B B- -y-y0 0 = =|RS|RS|= = |P|P0 0R|R|2 2+|P+|P0 0S|S|2 2 = =A A2 2+B+B2 2 |A|B|A|B|Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 6当直线当直线l 的方程的

5、方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0中中A A0 0且且B B0 0时：时：x xy yo olP P0 0(x0,y0)(x0,y0). .d dQ QS SR R设设|P|P0Q|=dQ|=d，由三角形面积公式可得：，由三角形面积公式可得：d d|RS|=|P|RS|=|P0 0R|R|P|P0 0S|S|于是得：于是得：= =A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| d=d=|P|P0 0R|R|P|P0 0S|S|RS|RS|7点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l ：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式：的

6、距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 当直线方程中的当直线方程中的A=0A=0时：时： |d|= |d|= |By|By0 0+C| +C| |B|B|当直线方程中的当直线方程中的B=0B=0时：时： |d|= |d|= |Ax|Ax0 0+C| +C| |A|A|8点点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l ：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式：的距离公式：d=d=A A2 2+B+B2 2 |Ax|Ax0 0+By+By0 0+C| +C| 求点求点(-1(-1，2)2)到直线：到直线：3x=23

7、x=2的距离的距离? ? 解：解：d=d=3 32 2+0+02 2 |3|3(-1)-2| (-1)-2| = =5 53 39练习：求下列点到直线的距离：练习：求下列点到直线的距离：(1)A(-2(1)A(-2，3)3)，l：3x+4y+3=0 3x+4y+3=0 (3)C(1(3)C(1，-2)-2)，l： 4x+3y=0 4x+3y=0 (2)B(1(2)B(1，0)0)，l： 3x+y- 3=0 3x+y- 3=0 9 95 50 02 25 510例例1.1.已知点已知点A(1A(1，3)3)，B(3B(3，1)1)，C(-1C(-1，0)0)，求，求ABCABC的面积的面积解：设

8、解：设ABAB边上的高为边上的高为h h， ABAB边所在的直线方程：边所在的直线方程： 点点C C到到x+y-4=0 x+y-4=0的距离：的距离： x xy yo o1 12 23 31 12 23 3-1-1A AB BC Ch h则：则：S SABCABC = = 1 12 2|AB|AB|h h |AB|= |AB|= (3-1)(3-1)2 2+(1-3)+(1-3)2 2 = = 2 ,2 ,2 2 y-3y-31-3 1-3 x-1x-13-1 3-1 = =, ,即即x+y-4=0 x+y-4=0。因此，因此，S SABC ABC = = 1 12 22 2 2 2 2 2

9、5 5=5=5h=h=|-1+0-4| |-1+0-4| 1 12 2+1+12 2= =2 2 5 511例例2(1)2(1)已知点已知点A(-2A(-2，3)3)到直线到直线y=ax+1y=ax+1的距离为的距离为1 1，求，求a a的值的值(2)(2)已知点已知点A(-2A(-2，3)3)到直线到直线y=-x+ay=-x+a的距离为的距离为1 1，求，求a a的值的值解：解： (1)(1)直线方程直线方程y=ax+1y=ax+1即即ax-y+1=0 ax-y+1=0 d= d= a a2 2+(-1)+(-1)2 2 |a|a(-2)+(-1)(-2)+(-1)3+13+1| | =1=

10、1a a2 2+1+1|-2a-2| |-2a-2| = =解出：解出：a= a= 3 3-4+-4+7 7或或 a= a= 3 3-4-4-7 7(2)(2)直线方程直线方程y=-x+ay=-x+a即即x+y-a=0 x+y-a=0 d= d= 1 12 2+1+12 2 |1|1(-2)+1(-2)+13-a3-a| | 2 2|1-a| |1-a| =1=1= =解出：解出：a= a= 1+1+7 7或或 a= a= 1-1-7 7122780 xy2760 xy例例3：求平行线：求平行线和和的距离的距离 思考思考8 8：这两条平行直线间的距离是否为固定的？：这两条平行直线间的距离是否为

11、固定的？如何求这两条平行直线间的距离？可以选择哪如何求这两条平行直线间的距离？可以选择哪个点？个点？变形变形解：在直线解：在直线2760 xy上任取上任取一点，例如一点，例如(3,0),P2780 xy22237081414 53.53532( 7)d 则则到直线到直线就是两平行线间的距离因此就是两平行线间的距离因此(3,0),P的距离的距离00,P x y思考思考9：是否可以在直线：是否可以在直线上取一般的点上取一般的点来求距离？来求距离？ 2780 xy 13求证：两平行直线求证：两平行直线 11:0,lAxByC22:0,lAxByC12( ,0)A BCC且的距离的距离 为为1222.CCdAB 评价反思，推广到一般结论：评价反思，推广到一般结论：14求下列两条平行线间的距离：求下列两条平行线间的距离：(1)2x+3y-8=0(1)2x+3y-8=0，2x+3y+18=0 2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10(2)3x+4y=10，3x+4y=03x+4y=02 21313 2 2 15某市现有自市中心某市现有自市中心O通向正西和东北方向的通向正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向决定修一条