CL7第四章-弯曲内力

1、第四章第四章 杆件内力分析杆件内力分析-弯弯曲内力曲内力4-5-1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念当作用在杆件上的当作用在杆件上的载荷和支反力都垂载荷和支反力都垂直于杆件轴线直于杆件轴线时，杆件的轴线因变形由直线时，杆件的轴线因变形由直线变成了曲线，这种变形称为变成了曲线，这种变形称为弯曲变形弯曲变形。工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为引 入引 入纵向对称面纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所：梁的轴线与横截面的对称轴所 构成的平面构成的平面CL7TU1平面弯曲平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成位

2、于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。一条位于纵向对称面内的曲线。 平面弯曲荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。 弯曲梁（横向力作用）受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶；变形特点：杆轴由直变弯。 单跨静定梁的基本形式：qFeMAyFByFxBAy对称面向纵第一节 梁的内力及其求法4-5-2 梁的计算简图梁的计算简图一、杆件的简化一、杆件的简化用梁的轴线来代替实际的梁用梁的轴线来代替实际的梁折杆或曲杆用中心线代替折杆或曲杆用中心线代替二、载荷的分类二、载荷的分类 1. 集中载荷集中载荷2. 分布载荷分布载荷3. 集

3、中力偶集中力偶三、支座的分类三、支座的分类 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：一般可以简化为三种基本形式：1. 固定铰支座固定铰支座2. 可动铰支座可动铰支座3. 固定端支座固定端支座CL7TU2四、静定梁的基本形式四、静定梁的基本形式1.简支梁简支梁2.外伸梁外伸梁3.悬臂梁悬臂梁CL7TU34-5-3 剪力和弯矩剪力和弯矩CL7TU4ablxPAB求距支座A为x的横截面m-m.上的内力 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平衡状态。 用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替剪力Q限制梁段上下移动的

4、内力;弯矩M限制梁段转动的内力偶。 单位：剪力Q KN, N；弯矩M KN.m ， N.m 3)平衡0Y 0ARQAQR0oM0oAMR xoAMR x 若取右半段梁为研究对象,可得：QQQQooMMRARlP bA RBRPblARPalBQRPblAMRxPbxlAablxPRARBxQQMMPAB 1）剪力Q：截面上的剪力Q使所取脱离体产生顺时针转动趋势时（或者左上右下）为正，反之为负。 2）弯矩M：截面上的弯矩M使所取脱离体产生下边凸出的变形时（或者左顺右逆）为正，反之为负。为避免符号出错,要求： 未知内力均按符号规定的正向假设。 2、剪力和弯矩的符号规定例例4-5-14-5-1：悬臂

5、梁如图所示,求1-1截面和2-2截面上的剪力和弯矩。解：解：1）求1-1截面上的内力0Y 112QPql 00M 211128MPlql 1102Pql Q 11()0224llPqlM 求得的 Q1 、M1 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。2）求2-2截面上的内力0Y 2Q =-P-ql00M 2212MPlql2-0PqlQ2()02lPlqlM 求得的 Q2 、M2 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。CL7TU6 例例4-5-2：求图示梁：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的截面上的剪力和弯矩。剪力和

6、弯矩。解：由得MB0RqaA54由得MA0RqaB74QRqaA154MRaqaA1254QRqaqaA24M2Q3MRaqa aqaA32232QqaRqaB434 ,Mqa4254 例例4-5-34-5-3 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。解：1、求支座反力：由整体平衡120,8360BAMPPR14ARkN120,2360ABMPPR 9BRkN校核： 反力无误 1214 9 3 20 0ABY YYPP 2、求1-1截面上的内力：取左半段研究110,0AYRPQ1114 3 11AQRPkN110,310oAMPRM矩心o1-1截面形心 3、求2-2截面上的内力：取右

7、半段研究20,0BYQR 29BQRkN20,1.50oBMRM11135AMRPkNm21.513.5BMRkNm矩心o2-2截面形心RARBRARBMQ 3、直接法求梁的内力： （1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；iQPQ符号规定：外力使截面产生顺时针转动趋势时（或左上右下）该截面剪力为正，否则为负； （2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和；)(iQoPMM 符号规定：外力使梁段产生上凹下凸变形时（或左顺右逆）该截面弯矩为正，否则为负； 计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧

8、有几个力，二看各力使 梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。Q Q CL7TU7Mll Mll lFl2FlACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩CsFlACAQAMAMCsQQCMFlMCFl2FlCDBCsQCMCsQF02FlFlMCFlMCBFDDsQDMDsQF0DMAQAQCL7TU6例例4-5-4：求图示梁：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的截面上的剪力和弯矩。剪力和弯矩。RqaA54RqaB74 Q1=RA=1.25qa Q2=RAP=0.25qa M1=RAa=1.25qa2 M2=RAa=1.25qa2 Q3=RAP=0.25qa M3=RA2aPa=1

9、.5qa2 Q4=RAPqa=0.75qa M4=RA3aqa2aqa0.5a=1.25qa2 对4-4截面可取有部分为研究对象 Q4=qa1.75qa=0.75qa M4=1.75qaaqa0.5a=1.25qa24-5-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、剪力图和弯矩图的概念梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式 Qx = Q(x), Mx = M(x) 称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。 ( )Q xPqx 21()2M xPxqx 反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲线，称作剪力（弯矩）图。二、剪力图和弯矩图的作法： 取

10、平行梁轴的轴线表示截面位置，规定: 正值的剪力画在轴上侧，正值的弯矩画在轴下侧可先列内力方程再作其函数曲线图。(0)xl(0)xl 如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.221qlPl 第二节 梁的内力图及其绘制例题 4-5-5 作图示悬臂梁的内力图。 解：1.列内力方程：（先确定x坐标，再由直接法求x截面的内力。） (),(0)Q xPxl (),(0)M xPxxl 2.作内力图：（先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）Q(x)等于常数，为水平线图形；由 0,(0),( );xQP xl Q lP

11、M(x)等于x的一次函数，为斜直线图形；由;)(,; 0)0(, 0PllMlxMx 结论：当梁段上没有荷载q作用时，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。 结论：在集中力P作用截面，Q图发生突变，突变值等于该集中力P的大小；M图有尖角，尖角的指向与集中力P相同。 内力函数的不连续是由于将集中力的作用范围简化为一个点的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载，则C截面的 Q图和M图应为斜直线和抛物线。 因此，当谈到集中力作用出的剪力时，必须指明是集中力的左侧截面（C左）还是集中力的右侧截面（C右）。弯矩、剪力、荷载集度间的关系 弯矩、剪力、荷载集度间的关系0,( ) ( )( )( )0YQ xQ x

12、dQ xq x dx()().( )dQ xq xadx0,( )( )( )( )( )0;2OMdxM xdM xM xQ x dxq x dx(Mo矩心O取在右侧截面的形心。)()().( )dM xQ xbdx将(b)代入(a)，22( )( ).( )d M xq xcdx(a)、(b)、(c)三式即Q、M、q间的关系。力学意义：微分形式的平衡方程；几何意义：反映内力图的凹凸性；（一阶导数反映切线斜率； 二阶导数反映曲线凹凸性。）1.1.微分关系的几何意义：微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某

13、点处的切线斜率等于该点剪力的大小。小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。 讨论微分关系的几何意义讨论微分关系的几何意义外力情况外力情况q0(向下向下)无荷载段无荷载段集中力集中力F作用作用处：处：集中力偶集中力偶M作作用处：用处：剪力图上的特剪力图上的特征征(向下斜直线向下斜直线)水平线水平线突变突变，突变值突变值为为F不变不变弯矩图上的特弯矩图上的特征征(下凸抛物线下凸抛物线)斜直线斜直线有有尖点尖点有有突变突变，突变突变值为值为M最大弯矩可最大弯矩可 能的截面位置能的截面位置剪力为零的截剪力为零的截面面剪力突变的截剪力突变的截面面弯矩突变的某弯矩突变的某一侧一侧2.2.其它规律其

14、它规律： | |M M| |maxmax可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； q q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； 荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称内力内力F FQ Q 、M M 的变化规律的变化规律, ,归纳如下：归纳如下：载荷载荷图QF图

15、M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角oM弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系斜直线斜直线1.1.先利用计算法则计算分段点先利用计算法则计算分段点Q Q、M M值；值；2.利用微分关系判断并画出分段点之间的利用微分关系判断并画出分段点之间的Q Q、M M图。图。 利用微分关系作剪力弯矩图利用微分关系作剪力弯矩图例例 外伸梁外伸梁ABAB承受荷载如图所示，作该梁的承受荷载如图所示，作该梁的Q Q-M M图。图。解：解： 1 1

16、、求支反力、求支反力kN8 . 3kN2 . 7BAVV2 2、判断各段、判断各段Q Q、M M图形状：图形状：CA和和DB段：段：q=0，Q图为水平线，图为水平线， M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q0， Q图为向下斜直线，图为向下斜直线， M图为上凸抛物线图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3 3、先确定各分段点的先确定各分段点的Q Q 、M M值，值，用相应形状的用相应形状的线条连接。线条连接。Q+_3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kNm)3.81.4132.2_+VAVB 简捷法绘梁内力图的步骤： 1. 求支座反力；（注意校核！悬臂梁可省略。） 2

17、. 将梁分段；（以梁上荷载变化处为界，包括：P、m作用点，q的起 止点，梁的支座和端点等） 3. 绘内力图；（先确定控制截面内力值，再按内力图特征绘图，最后用内力图特征检验。控制截面即梁分界截面。注意P、m作用处应取两侧截面。） 4. 确定内力最大值及其位置。从图上直接找 maxmax| ,|MQ 简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用直接法）；熟记内力图的特征。 确定控制截面内力值的方法有三种： 1）截面法；（三个步骤，两套符号规定。） 2）直接法；（由外力定内力符号看梁的变形。） 3）积分法:（微分关系逆运算的应用。）用简捷法绘制内力图。 解：1、求支座反力：1(8828

18、1023)7( )12AYkN1(8424102 15)5( )12BYkN 1 8220ABYYY校核无误； 2、梁分段：为AC,CD,DB,BE四段； 3、绘图：从左向右逐段作Q图和M图； 检验Q最后与右端P2值相等,结果无误； M极值点的确定:（由三角形的相似比）33(),;4144xxx34()3;13xm 1201 120.5.2FMkN m120.53316.216106.lDrDMkN mMkN m4、确定内力最大值：|Q|max=7kN 在A端； |M|max=20.5kN.m 在距A端5m处（在F端）。RRqlAB2Q xRqxqlqxA( ) 2M xqlxqxx( ) 2

19、2RARBCL7TU8ABlxq()0 xl qxlql22822()0 xlQMql2ql2ql28RPblRPalAB,AC段：Q xRPblA( ) ()0 xaM xRxPblxA( ) ()0 xaCB段：Q xRPalB( ) ()axlM xRlxPallxB( )()()()axlRARBCL7TU8PablxxACBACQ xPblxaM xPblxxaCBQ xPalaxlM xPallxaxl段：段：( )()( )()( )()( )()() 00PabxxACBlQPb l /Pa l /Pab l /M4-5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系q x( )q x( )Q x( )Q xQ x( )( ) dM x( )M xM x( )( ) dCL7TU31dxxq x( )Q x( )Q xQ x( )( ) dM x( )M xM x( )( ) dd( )d( )Q xxq xM xM xM xQ xxq x dx( )( )( )( )( )dd1202Q xQ xQ xq xx( )( )( )( )ddd( )d( )M xxQ x载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:d( )d( )Q xxq xd( )d( )M x