概率论与数理统计

1、第第5 5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理本章主要内容本章主要内容u5.1 大数定律大数定律u5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似第第5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理多个随机变量的算多个随机变量的算术平均的渐近性质术平均的渐近性质独立随机变量和独立随机变量和的极限分布的极限分布5.2 中心极限定理中心极限定理【例【例5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随

2、机因素叠加而成的互独立的随机因素叠加而成的。考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响：误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响：(1) 在机床方面有机床振动与转速的影响；在机床方面有机床振动与转速的影响；(2) 在刀具方面有装配与磨损的影响；在刀具方面有装配与磨损的影响；(3) 在材料方面有钢材的成分、产地的影响；在材料方面有钢材的成分、产地的影响；(4) 在操作者方面有注意力集中程度、当天情绪的

3、影响；在操作者方面有注意力集中程度、当天情绪的影响；(5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；5.2 中心极限定理中心极限定理【例【例5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的互独立的随机因素叠加而成的。考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响：误差，这是因为在加工时受到一些随机

4、因素的影响：(6)在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影响；响；(7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素在具体场合还可列出许多其他影响因素5.2 中心极限定理中心极限定理u由于这些独立因素很多由于这些独立因素很多u每个因素对加工精度的影响都是很微小的每个因素对加工精度的影响都是很微小的u每个因素的出现又都是人们无法控制的、随机的、时有每个因素的出现又都是人们无法控制的、随机的、时有时无、时正时负的时无、时正时负的u这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差YnuYn是随机变量：是随机变

5、量：Yn = X1 + X2 + Xnu这里这里n是很大的，当是很大的，当n时时，Yn的分布是什么？的分布是什么？5.2 中心极限定理中心极限定理uYn = X1 + X2 + Xnu当时当时n时时，Yn的分布是什么？的分布是什么？u当然，可以考虑用卷积公式去计算当然，可以考虑用卷积公式去计算Yn的分布的分布u但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现的实现的u即使能写出即使能写出Yn的分布，但由于其形式复杂而无法使用的分布，但由于其形式复杂而无法使用本节研究本节研究u在相当一般的条件下，独立同分布的随机变量的和的分在相当一般的条件下，

6、独立同分布的随机变量的和的分布的收敛问题布的收敛问题.第第5 5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理【定理定理5.5】（独立同分布的中心极限定理）设（独立同分布的中心极限定理）设X1，X2，Xn，为相互独立、服从同一分布的随机变为相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且量序列，且E(Xi) = ，D(Xi) = 2 0（i = 1，2，），），则对于任意则对于任意x，有，有林德伯格林德伯格-莱维莱维(Lindeberg-Levy)

7、定理定理该定理是这两位学者在上世纪该定理是这两位学者在上世纪20年代证明的年代证明的)(21lim212xdtexnnXPxtniin 5.2 中心极限定理中心极限定理林德伯格林德伯格(Lindeberg , 1876-1932)u芬兰数学家，因中心极限定理而著名芬兰数学家，因中心极限定理而著名u林德贝格就读于赫尔辛基大学林德贝格就读于赫尔辛基大学u早期对偏微分方程和积分变换感兴趣早期对偏微分方程和积分变换感兴趣u从从1920年开始转向概率统计，当年发表了第一篇中心极年开始转向概率统计，当年发表了第一篇中心极限定理的论文限定理的论文u两年后，他用同样的方法得到了更进一步的结论两年后，他用同样的

8、方法得到了更进一步的结论林德贝格条件林德贝格条件5.2 中心极限定理中心极限定理林德伯格林德伯格(Lindeberg , 1876-1932)u瑞典数学家克拉美瑞典数学家克拉美1922年结识了林德贝格，后来克拉美年结识了林德贝格，后来克拉美曾向人讲起关于林德贝格和他的美丽农场的故事：曾向人讲起关于林德贝格和他的美丽农场的故事：u当有人责备林德贝格没有充分开展科学研究的时候，林当有人责备林德贝格没有充分开展科学研究的时候，林德贝格就说德贝格就说“我其实是个农夫我其实是个农夫”u当有人提及他的农场不适合种植的时候，他就会说当有人提及他的农场不适合种植的时候，他就会说“当当然，我真正的工作是当教授然

9、，我真正的工作是当教授” 5.2 中心极限定理中心极限定理莱维莱维(Levy，1886-1971)u法国数学家，现代概率论开拓者之一法国数学家，现代概率论开拓者之一u曾在巴黎圣艾蒂安矿业学校、巴黎综合工曾在巴黎圣艾蒂安矿业学校、巴黎综合工科学校任教科学校任教.u主要研究概率论和泛函分析主要研究概率论和泛函分析u他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要贡献贡献5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限

10、定理【定理定理5.5】含义：含义：u记记 ， 为为Yn的分布函数，则的分布函数，则u这表明，当这表明，当n充分大时，充分大时，u从而当从而当n充分大时，充分大时， nnXYniin 1)(xFnY)(21lim212xdtexnnXPxtniin )()(limxxFnYn )1, 0(1NnnXYniin近近似似 ),(21 nnNXnii近近似似 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理【定理定理5.5】 u上式说明，不论上式说明，不论X1，X2，Xn服从什么分布，只要满服从什么分布，只要满足定理的条件足定理的条件,当当n充分大时充分大时

11、,就可以把就可以把 近似地作为正近似地作为正态随机变量处理态随机变量处理u将上述结论稍作变形，还可以得到定理结论的另外表现将上述结论稍作变形，还可以得到定理结论的另外表现形形式),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 niiX15.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理【定理定理5.5】 【推论推论5.1】设设X1 ,X2,Xn独立同分布独立同分布,其均值为其均值为 ，方差，方差为为 2 0，则当，则当n充分大时充分大时,有有其中其中),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 n

12、iiXnX11)1 , 0( NnX近近似似 ),(2nNX 近似近似5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理【定理定理5.5】 【推论推论5.1】u由推论可知由推论可知,无论无论X1,X2,Xn是服从什么分布是服从什么分布,只要满足一只要满足一定条件，当定条件，当n充分大时，其算术平均值总是近似服从正态充分大时，其算术平均值总是近似服从正态分布分布.u这一结果是数理统计中大样本理论的基础这一结果是数理统计中大样本理论的基础.),(21 nnNXnii近似近似 )1 , 0(1NnnXnki近近似似 )1 , 0( NnX近近似似 ),(2n

13、NX 近似近似第第5 5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理【例例5.5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为，期望值为100克，标准差为克，标准差为10克，一箱内装克，一箱内装200袋味精袋味精，求一箱味精净重大于，求一箱味精净重大于20400克的概率克的概率解：解：设箱中第设箱中第i袋味精的净重为袋味精的净重为Xi克克, X1, X2, Xn是是200个相互独立同分布的随机变量，且个相

14、互独立同分布的随机变量，且由中心极限定理由中心极限定理即即 ,100)(,100)( iiXDXE200, 2 , 1 i)100200,100200(2001 NXii近近似似)20000,20000(2001NXii近近似似 第第5 5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理【例例5.5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为，期望值为100克，标准差为克，标准差为10克，一箱内装克，一箱内

15、装200袋味精袋味精，求一箱味精净重大于，求一箱味精净重大于20400克的概率克的概率解：解：由中心极限定理由中心极限定理 所以，所以， 2040012040020012001 iiiiXPXP 200002000020400200002000012001iiXP0023. 09977. 01 )20000,20000(2001NXii近近似似 )83. 2(1 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似u现在将定理现在将定理5.5应用于服从应用于服从0-1分布的随机变量：分布的随机变量：u设设X1,X2,Xn,相互独立，且都服从参数为相互独立，且都服从参

16、数为p的的0-1分布：分布：PX = k = pk(1 p)1- k，k = 0，1u此时此时EXi=p, DXi=p(1-p), i=1,2，又记又记 则则 nB(n，p)此时定理此时定理5.5的结论可写成的结论可写成u于是，有下述定理：于是，有下述定理：,1 niinX )(21)1(lim22xdtexppnnpPxtnn )(21lim212xdtexnnXPxtniin 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【定理定理5.6】（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理）设设 n（n = 1，2，）服从参数为）服从参数为n，p（0 p 1）的二

17、）的二项分布，则对于任意实数项分布，则对于任意实数x，有，有 u这个定理表明，当这个定理表明，当n充分大时，服从二项分布的随机变充分大时，服从二项分布的随机变量量 n的标准化变量近似服从标准正态分布即有的标准化变量近似服从标准正态分布即有 ，即，即)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn )1 , 0()1(Npnpnpn近近似似 )1(,(pnpnpNn 近近似似 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【定理定理5.6】（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理） 【实验实验5.1】)(21)1(lim22xdtexpnpnpPxtnn

18、 与泊松定与泊松定理对比理对比5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【实验实验5.1】用用Excel验证二项分布逼近正态分布验证二项分布逼近正态分布u说明：随着说明：随着n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布的增大，二项分布逐渐逼近正态分布n=7, p=0.5n=10, p=0.5n=100, p=0.55.2 中心极限定理中心极限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u法国裔英国藉数学家法国裔英国藉数学家.u自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一自幼接受父亲的教育，稍大后进入当地一所天主教学校念书所天主教学校念书.u学校不重视数学，但棣莫弗常常偷偷地学习学

19、校不重视数学，但棣莫弗常常偷偷地学习.u在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的是惠更斯关于赌博的著作，特别是惠更斯于赌博的著作，特别是惠更斯于1657年出版的年出版的论赌博中论赌博中的机会的机会一书，启发了他的灵感一书，启发了他的灵感.u1686年时棣莫弗到了英国他对数学的所有贡献全是在年时棣莫弗到了英国他对数学的所有贡献全是在英国做出的英国做出的5.2 中心极限定理中心极限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书E哈雷哈雷u哈雷将棣莫弗的重要著作哈雷将棣莫弗的重要著作机会的学

20、说机会的学说呈送牛顿，牛呈送牛顿，牛顿对棣莫弗十分欣赏顿对棣莫弗十分欣赏u据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他据说，后来遇到学生向牛顿请教概率方面的问题时，他就说：就说：“这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的这样的问题应该去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入得多研究比我深入得多”u1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士年，棣莫弗被选为柏林科学院院士u棣莫弗首次发现二项分布的极限形式为正态分布棣莫弗首次发现二项分布的极限形式为正态分布5.2 中心极限定理中心极限定理棣莫弗棣莫弗(1667-1754)u后来，拉普拉斯对棣莫弗的结果进行推广，得到了今天后来，拉普拉斯对棣莫弗的结果进

21、行推广，得到了今天的棣莫弗的棣莫弗-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理.u棣莫弗在棣莫弗在87岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达岁时患上了嗜眠症，每天睡觉长达20小时小时.当达到当达到24小时长睡不起时，他在贫寒中离开了人世小时长睡不起时，他在贫寒中离开了人世 u关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：u在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天需要比前一天多睡睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了

22、小时时，棣莫弗就长眠不醒了. 5.2 中心极限定理中心极限定理拉普拉斯拉普拉斯(1749-1827)u法国著名数学家和天文学家法国著名数学家和天文学家u天体力学的主要奠基人，天体演化学的天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一，分析概率论的创始人，应用数创立者之一，分析概率论的创始人，应用数学的先躯学的先躯u他发表的天文学、数学和物理学的论文有他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专多篇，专著合计有著合计有4006多页多页u其中最有代表性的专著有其中最有代表性的专著有天体力学天体力学、宇宙体系论宇宙体系论和和概率分析理论概率分析理论5.2 中心极限定理中心极限定理拉普拉斯拉普拉斯

23、(1749-1827)u因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父天体力学之父.u18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作.u带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见，后寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔后者拒绝接见，后寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔.u这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书.u以他的名

24、字命名的重要结论和方法颇多：以他的名字命名的重要结论和方法颇多：如拉普拉斯变换、拉普拉斯方程等等如拉普拉斯变换、拉普拉斯方程等等.5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似u一般，当一般，当n较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂u这时可用正态分布来近似二项分布，使概率计算得到简这时可用正态分布来近似二项分布，使概率计算得到简化对于任意正数化对于任意正数n1和和n2，有，有)1(2121 nnknknkknnnPppC )1()1(12pnpnpnpnpnpn )1()1()1(21pnpnpnpnpnppnpnpnP

25、n 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【例例5.6】设电路供电网内有设电路供电网内有10000盏相同的灯，夜间每盏相同的灯，夜间每一盏灯开着的概率为一盏灯开着的概率为0.8，假设各灯的开关彼此独立，计，假设各灯的开关彼此独立，计算同时开着的灯数在算同时开着的灯数在7800与与8200之间的概率之间的概率解：解：记同时开着的灯数为记同时开着的灯数为X，则，则XB(10000，0.8)，于是由棣莫弗，于是由棣莫弗-拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有82007800 XP11)5(2)5()5( )160080007800()160080008200( )

26、1600,8000( NX近近似似5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【例例5.7】某单位内部有某单位内部有260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%的概率满足每个分机在用外线时不用等候的概率满足每个分机在用外线时不用等候?解：解：设设 表示同时使用外线的分机数表示同时使用外线的分机数, 则则 B(260，p)，其中其中p = 0.04根据题意应确定最

27、小的根据题意应确定最小的x使使成立由棣莫弗成立由棣莫弗拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有%95 xP )1(260260)1(260260pppxpppPxP )1(260260(pppx )1(260,260(pppN 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【例例5.7】某单位内部有某单位内部有260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%的概率满足每个分机

28、在用外线时不用等候的概率满足每个分机在用外线时不用等候?解：解：应确定最小的应确定最小的x使使u令令 查得查得%95 xP )1(260260)1(260260pppxpppPxP )1(260260(pppx %,95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 5.2 中心极限定理中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似【例例5.7】某单位内部有某单位内部有260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能

29、以外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%的概率满足每个分机在用外线时不用等候的概率满足每个分机在用外线时不用等候?令令 查得查得u故取故取u于是于是%,95)1(260260( pppx95. 09505. 0)65. 1( 65. 1)1(260260 pppxpppx260)1(26065. 1 61.1504. 026096. 004. 026065. 1 所以需要所以需要16条外线！条外线！5.2 中心极限定理中心极限定理【吸烟率调查问题解答吸烟率调查问题解答】某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被调，将被调查的成年男子中吸烟的

30、频率作为查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证的估计，现在要保证有有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于之间的差异不大于5%，问至少要，问至少要调查多少对象？调查多少对象？解：解：设共调查设共调查n个成年男子，记个成年男子，记u则则Xi独立同分布独立同分布un个调查对象中吸烟的人数个调查对象中吸烟的人数., 2 , 1, 1niiiXi 个个成成年年男男子子不不吸吸烟烟，第第，个个成成年年男男子子吸吸烟烟，第第0 0),(1pnBXXnii 5.2 中心极限定理中心极限定理【吸烟率调查问题解答吸烟率调查问题解答】要保证有要保证有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成年男子的吸烟率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于之间的差异不大于5%，问，问至少要调查多少对象？至少要调查多少对象？解：解：吸烟的人数为吸烟的人数为X，则有，则有u由大数定理知，当由大数定理知，当n很大时，频率很大时，频率X/n与概率与概率p很接近，很接近，可用频率作为可用频率作为p的估计的估计依题意，要保证依题意，要保证u而而),(1pnBXXnii 05. 011pXnPnii,90. 005. 0 pnXP nnpXPnii