参数的区间估计

1、下下回回停停二、单个正态总体均值的区间估计二、单个正态总体均值的区间估计三、单个正态总体方差的区间估计三、单个正态总体方差的区间估计四、两个正态总体四、两个正态总体 均值差的区间估计均值差的区间估计第三节第三节 参数的区间估计参数的区间估计五、两个正态总体五、两个正态总体 方差比的区间估计方差比的区间估计一、基本概念一、基本概念X)06. 0 ,(N某车间生产的滚珠直径某车间生产的滚珠直径测得直径分别为测得直径分别为(单位单位:mm).14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1试估计滚珠直径的均值试估计滚珠直径的均值.服从正态分布服从正态分布例例1 ，现从某天生产的产

2、品中抽取，现从某天生产的产品中抽取6个，个，X 14.95x 点估计点估计 不能反映估计的误差不能反映估计的误差和精度，因此本节引入了区间估计和精度，因此本节引入了区间估计. .12(,)nXXX 点估计点估计则称区间则称区间一、基本概念一、基本概念定义定义6.7112212(,)(,)1.nnP XXXXXX样本样本. 如果存在如果存在两个统计量两个统计量 ),(211nXXX和和212(,)nXXX，对于给定的对于给定的(01),21 未知参数，未知参数， 是来自总体是来自总体),(21nXXXX的样的样 使得使得的的置信度置信度为为为参数为参数的的置置信区间，信区间，1称为置信上限称为置

3、信上限.2称为置信下限，称为置信下限，设总体设总体 的分布函数为的分布函数为 ， 为为 );(xFX 1 ，有，有于任意的于任意的知参数具有预先给定的高概率（知参数具有预先给定的高概率（置信度置信度），），即对即对它覆盖未它覆盖未置信区间是一个随机区间置信区间是一个随机区间 ,21 .1)(21P 1 12( , )p x 121.P 12, 统计量及其分布统计量及其分布 2(1)均均值值 、方方差差已已知知: :(0,1)/XNn 2(2)均均值值 已已知知, ,方方差差未未知知: :* (1)/nXt nSn 2(3)均均值值 未未知知, ,方方差差已已知知: :*222(1)(1)nnn

4、SnSn 122212(1),均均值值差差- -已已知知, ,方方差差已已知知12221212()()(0,1)XYNnn - -2( ,)XN 221122(,),(,)XNYN 122212(2) 均均值值差差- -已已知知, ,方方差差未未知知121212* 2* 2112212()() (2)11(1)(1)2WnnWXYt nnSnnnSnSSnn - -122212(3),/ 均均值值差差未未知知, ,方方差差已已知知* 2* 212122212/(1,1)/nnSSF nn二、单个正态总体均值的区间估计二、单个正态总体均值的区间估计X21. 正态总体正态总体设总体设总体的一个样本

5、，则有：的一个样本，则有： (0,1)/XUNn 2 已已知知，2( ,),XN 的区间估计的区间估计. 设设 是来自总体是来自总体X),(21nXXX则则 uUP 12/其中其中 为标准正态分布的为标准正态分布的 上侧分位数上侧分位数 . 2/2u的方差的方差已知，求已知，求的置信的置信区间区间.求总体均值求总体均值/ 2 1Up(U)O/2 /2 / 2 即即 nuXnuXP 12/2/反解得反解得故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为：的置信区间为： 1 nuXnuX2/2/,/21/XPn /2/2 ,1P XuXunn 即96. 1025. 0 u，于是得，于是得信区间为信区间为：

6、1.96,1.96XXnn的的置信度为置信度为95%的置的置若给定若给定05. 0 ，查正态分布表得，查正态分布表得例例1 X)06. 0 ,(N某车间生产的滚珠直径某车间生产的滚珠直径，现从某天生产的产品中抽取，现从某天生产的产品中抽取6个，个，测得直径分别为测得直径分别为(单位单位:mm).14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1试求试求平均直径平均直径置信度为置信度为95%的置信区间的置信区间.服从正态分布服从正态分布(0,1)/XUNn 解：解：由由 故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为：的置信区间为： 1 nuXnuX2/2/,置信上限置信上限 15.

7、1596. 195.142/ nnuX所以平均直径所以平均直径 的的置信度为置信度为95%的置信区间为的置信区间为 14.75,15.15 .若取若取 ，可算出，可算出 的的置信度为置信度为 99%01. 0 的置信区间为的置信区间为 . 21.15,69.14置信下限置信下限 75.1496. 195.142/ nnuX，由样本值得，由样本值得 置信度为置信度为 , 95. 01 05. 0 96. 1025. 02/ uu06. 0, 6,95.14 nx求解置信区间步骤：求解置信区间步骤： （1）写出和）写出和未知参数相关未知参数相关的统计量及的统计量及其抽样分布；其抽样分布； （2）由

8、统计量的范围）由统计量的范围反解反解参数的置信区间；参数的置信区间；（写出未知参数的置信区间）（写出未知参数的置信区间）（3）给定）给定样本值样本值及及置信度置信度，求置信下，求置信下限和置信上限的值，并写出置信区间。限和置信上限的值，并写出置信区间。设总体设总体一个样本，则有：一个样本，则有：2( ,),XN 2 未未知知, ,)1(/* ntnSXTn从而对于给定的置信度，从而对于给定的置信度， 有有 1 ntTP 1)1(2/ 的区间估计的区间估计. 设设 来自总体来自总体),(21nXXXX的的求总体均值求总体均值2. 正态总体正态总体X的方差的方差 2未知，求未知，求 的置信区间的置

9、信区间. 其中其中 是自由度为是自由度为 的的 分布关于分布关于 的上侧分位数，于是有的上侧分位数，于是有 )1(2/ nt1 nt2/ntnSXPn 1)1(/2/*反解得反解得*/2/2(1)(1)=1nnSSPXtnXtnnn故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为 1 nSntXnSntXnn*2/*2/)1(,)1(例例2 2( ,),N 2某糖厂用自动包装机装糖，设每包糖的某糖厂用自动包装机装糖，设每包糖的重量服从正态分布重量服从正态分布工后测得工后测得9包糖的重量分别为包糖的重量分别为(单位：单位：kg) 99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3,

10、 99.7, 99.5, 置信区间置信区间. 102.1, 100.5试求每包糖平均重量试求每包糖平均重量 的置信度为的置信度为95%的的 未知未知 . 某日开某日开)1(/* ntnSXTn解：解：由由 置信度置信度 ， 95. 01 查查t/20.025(1)(8)3.306tnt 分布表得分布表得由样本观测值得由样本观测值得 则总体则总体区间为区间为 99.978,x X*/2/2(1),(1)nnXtnSnXtnSn 99.9783.3061.47 / 3, 99.9783.3061.47 / 3 98.642,101.314 的数学期望的数学期望的置信度为的置信度为95%的置信的置信

11、2*211()1nniisxxn 2211()1.471niixnxn 三、正态总体方差的区间估计三、正态总体方差的区间估计2( ,),XN 2, 未未知知, ,设总体设总体差或标准差差或标准差 ),(21nXXX来自总体来自总体 的一个样本，则有：的一个样本，则有： X2*222221(1)()=(1)nniinSXXn 从而对于给定的置信度从而对于给定的置信度 ，有，有 1 2221/2/2(1)(1)1Pnn 的区间估计的区间估计. 设设是是求总体方求总体方故故nSnnSnPnn 1) 1() 1() 1() 1(22/1*222/*222 12222*112222/21/2/21/2(

12、)()(1)(1),(1)(1)(1)(1)nniinniiXXXXnSnSnnnn 而而 的的置信度为置信度为 的置信区间的置信区间为：为： 122*22/21/2(1)(1),(1)(1)nnnSnSnn 的置信区间的置信区间为：为：的的置信度为置信度为2反反解解得得：2( ,),XN 已已知知, ,设总体设总体差或标准差差或标准差 ),(21nXXX来自总体来自总体 的一个样本，则有：的一个样本，则有： X的区间估计的区间估计. 设设是是求总体方求总体方22221()( )niiXn 给定给定 ，有，有 1 2221/2/2( )( )1Pnn 故故2 1221122/21/2()(),

13、( )( )nniiiiXXnn 的置信区间的置信区间为：为：的的置信度为置信度为例例3 ),(2N2 从自动机床加工的同类零件中抽取从自动机床加工的同类零件中抽取16件，件， 测得长度分别为测得长度分别为(单位单位:cm): 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16,12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.01, 12.03, 12.06假设零件长度服从正态分布假设零件长度服从正态分布零件零件长度方差长度方差的置信区间的置信区间.，分别求，分别求和标准差和标准差的置信度为的置信度为95%2

14、*222(1)(1)nnSn 解解 由题意有由题意有分布表得分布表得 ，又，又26. 6)15(, 5 .27)15(2975. 02025. 0 1112.08,niixxn 22*21(1)0.037nniinsxnx 置信下限置信下限 0013. 05 .27037. 0)1()1(22/*2 nSnn置信上限置信上限 0059. 026. 6037. 0)1()1(22/1*2 nSnn故故 的置信度为的置信度为95%的置信区间为的置信区间为 2 , 的置信区间为的置信区间为 . 0059. 0,0013. 0 077. 0,036. 005. 0,95. 01,16 n2，查，查 四

15、、两个正态总体均值差的区间估计四、两个正态总体均值差的区间估计XY设设221122(,),(,),XN YN ),(121nXXX为总体为总体 的样本，的样本， 为总体为总体 的样本，的样本，X),(221nYYYY求求 的区间估计的区间估计. 21 由于统计量由于统计量 12221212()()(0,1)XYUNnn 是两个独立的正态总体，且是两个独立的正态总体，且与与(1)2212, 已已知知22121212(,),(,),XN YN nn121212()() (2)/1/1/wXYUTt nnVnSnn 由于统计量由于统计量 (2)222221212,=未未知知，但但于是，对于给定的置信

16、度于是，对于给定的置信度 ，有，有 12/uUP 1故故 的的置信度为置信度为 的置信区间为的置信区间为： 21 1.,2221212/2221212/ nnuYXnnuYX 于是，对于给定的置信度于是，对于给定的置信度 ，有，有 1 nntTP 1)2(212/ 分布关于分布关于 的上侧分位数的上侧分位数. t2/即即 /212121211()(2)wPXYtnnSnn nnSnntYXw 111)2()(21212/ 其中其中 是自由度为是自由度为 的的 )2(212/ nnt221 nn其中其中 2)1()1(221*22*112122221122 nnSnSnnnSnSnSw故故 的置

17、信度为的置信度为 的置信区间为：的置信区间为： 21 1,11)2()(21212/nnSnntYXw 11)2()(21212/nnSnntYXw 其中其中 2)1()1(221*22*112122221122 nnSnSnnnSnSnSw122222121112()()2nniiiiXn XYn Ynn 两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠个，从乙机床生产的滚珠 中抽取中抽取9个，测得这些滚珠的直径（个，测得这些滚珠的直径（mm）如下）如下: 甲机床：甲机床：15.0，14.8，15.2，15.

18、4，14.9，15.1，15.2，14.8乙机床：乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，15.6，14.8，15.1，14.5，15.0若两台机床生产的滚珠直径的标准差分若两台机床生产的滚珠直径的标准差分别是别是24. 0,18. 021 21 ，求这两台机床生产的，求这两台机床生产的滚珠直径均值差滚珠直径均值差的置信度为的置信度为0.90的置信的置信区间区间.例例5-19, 821 nn解：当解：当24. 0,18. 021 21 22221212/2/21212,.XYuXYunnnn时，时，信度为信度为0.90的置信区间为的置信区间为的置的置查标准正态分布表得查标准正态分布表得

19、645. 105. 0 u，从而，从而018. 02211212/ nnuYX318. 02221212/ nnuYX故置信区间为故置信区间为 .318. 0,018. 0 例例4 4 机床厂某日从两台机床加工的零件中，分机床厂某日从两台机床加工的零件中，分别抽取若干个样品，测得零件的尺寸分别如下别抽取若干个样品，测得零件的尺寸分别如下（单位：（单位：cm）：）： A台：台：6.2， 5.7， 6.5， 6.0，6.3， 5.8，5.7， 6.0， 6.0， 5.8， 6.0 B台台: 5.6， 5.9， 5.6， 5.7， 5.8， 6.0， 5.5 5.7， 5.5 假设两台机器加工的零件

20、尺寸均服从正态分布，假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布， 且方差相等，取置信度为且方差相等，取置信度为0.95，试求两台机器，试求两台机器加工的零件加工的零件平均尺寸之差平均尺寸之差的区间估计的区间估计. 9,11,95. 0121 nn 的置信度为的置信度为 的置信区间为：的置信区间为： 21 1,11)2()(21212/nnSnntYXw 11)2()(21212/nnSnntYXw 解解 设设A台机器加工的零件尺寸为总体台机器加工的零件尺寸为总体 ， B台台机器加工的零件尺寸为总体机器加工的零件尺寸为总体 ，则，则由题设知置信度由题设知置信度9,11,95. 0121 nn查表查

21、表t1009. 2)18(025. 0 t分布表得分布表得XY经计算得两台机器加工的零件平均尺寸分别为经计算得两台机器加工的零件平均尺寸分别为 7 . 6, 0 . 6 BAyx64. 021122111 AniixnxSn24. 022122222 BniiynySn2)1()1(21*22*1122 nnSnSnSw0.640.240.22111192 则则21 1 5088. 0,0912. 0置信下限置信下限: : 0912. 091111)18(025. 0 wStYX置信上限置信上限: : 5088. 091111)18(025. 0 wStYX故故 的置信度为的置信度为95%的置

22、信区间为的置信区间为 21 的置信上下限分别为的置信上下限分别为的置信度为的置信度为五、两个正态总体方差比的区间估计五、两个正态总体方差比的区间估计XY设设为总体为总体由于统计量由于统计量X ， 为总体为总体 的样本，的样本， Y),(222NY),(221nYYY222121,，未知，未知. 求此两个总体的求此两个总体的方差比方差比 的区间估计的区间估计. 2212)1, 1(/212221*2*122 nnFSSFnn 211(,),XN ),(121nXXX的样本，的样本，是两个独立的正态总体，且是两个独立的正态总体，且与与于是对给定的置信度于是对给定的置信度 1 )1, 1()1, 1

23、(212/212/1 nnFFnnFP 有：有：2222*2*1112*/21221/2122211(1,1)(1,1)SSPFnnFnnSS 1 12212反反解解/ /得得：22*1*1/21221(1,1)SFnnS 故故2221 122*1*/21221,(1,1)SFnnS 的置信度为的置信度为的置信区间为的置信区间为 22*1/221*2 (1,1) SFnnS 1/221/2121(1,1)(1,1)FnnFnn 例例5 X),(211NXY为了考查温度对某物体断裂强度的影响，为了考查温度对某物体断裂强度的影响， 在在70与与80分别重复做了分别重复做了8次试验，测得断裂次试验，

24、测得断裂强力的数据如下强力的数据如下 (单位：单位：MPa)： 70：20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5， 21.0，21.2 80：17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1 20.2，19.1 假设假设70下的断裂强度用下的断裂强度用 80下的断裂强度用下的断裂强度用度为度为90%的置信区间的置信区间. 表示，表示，表示，表示，222(,)YN ，且，且试求方差比试求方差比 的置信度为的置信度为YX与与相互独立相互独立.2212解解查查, 8, 9 . 0121 nnF分布表得分布表得79. 3)7, 7(05. 0 F由由 分布分位数的性质得分布分

25、位数的性质得 F0.250.951(7, 7)3.79(7, 7)FF的置信度为的置信度为90%置信区间为置信区间为22212222*11*/2121/2122211,(1,1)(1,1)SSFnnFnnSS 由题设知置信度为由题设知置信度为 0.251210.2639(1,1)Fnn则则的置信度为的置信度为90%置信区间为置信区间为2221 8286. 08857. 079. 3,8286. 08857. 02639. 0 0515. 4,2821. 0 2222*110.2521*0.2512221,(1,1)(1,1)SSFnnFnnSS, 4 .20 x, 4 .19 y,8857.

26、02*1 s8286. 02*2 s经计算得两正态总体的样本均值和样本修正方差经计算得两正态总体的样本均值和样本修正方差分别为分别为 ，有，有即对即对于任意的于任意的知参数在该区间具有预先给定的知参数在该区间具有预先给定的置信度置信度1-a，它表示未它表示未置信区间是一个随机区间置信区间是一个随机区间 ,21 .1)(21P 内容小结内容小结12(1)(,; )nWW XXX 构构造造含含有有样样本本和和参参数数的的统统计计量量求求置置，并并信信区区间间的的步步骤骤：确确定定其其分分布布; ;(2),()1WP aWb 给给定定置置信信度度1-1-利利用用统统计计量量的的分分布布确确定定其其范

27、范围围，使使得得：1212(3),aWb由由不不等等式式，反反解解出出的的取取值值范范围围，即即为为置置信信区区间间。正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计1. 单个总体均值单个总体均值22/2*2/2*(1)(0,1) ./(2) (1)(1) ./nnXUNXunnSXTt nXtnSnn 已已知知，；未未知知，； 的置信区间的置信区间2. 单个总体方差单个总体方差的置信区间的置信区间222*22222/21/2(1)(1)(1)(1) ,.(1)(1)nnnnSnSnSnnn ；2*2211()1nniiSXnXn 其其中中3. . 两个总体均值差两个总体均值差21 的

28、置信区间的置信区间2212(1)和和均均为为已已知知，.2221212/ nnuYX222212(2),但但为为未未知知，.11)2(21212/ nnSnntYXw122222121112()()2nniiiiwXn XYn YSnn 其其中中4. 两个总体方差比两个总体方差比2221的置信区间的置信区间,21为未知为未知总体均值总体均值2222*11*/2121/2122211,(1,1)(1,1)SSFnnFnnSS .)1, 1(),1, 1(122/*2*1122/1*2*12222 nnFSSnnFSS 某商店每百元投资的利润服从正态分布，某商店每百元投资的利润服从正态分布，, 4

29、 . 02 ,，2均值为均值为方差为方差为其中其中现随机抽现随机抽取的五天的利润率为取的五天的利润率为 -0.2，0.1，0.8，-0.6，0.9，试求试求,的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为使的置信区间为使,的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间长度不超过的置信区间长度不超过0.4，则，则至少应随机抽取多少天的利润才能达到至少应随机抽取多少天的利润才能达到.解解 以以X表示每天的利润率，方差表示每天的利润率，方差2已知，则已知，则 的置信区间为的置信区间为.,2/2/ nuXnuX备用题备用题例例1-1由题意可得置信度为由题意可得置信度为/21.96u . 5, 2 . 0,9

30、5. 01 nx查标准正态分布表得查标准正态分布表得故故的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为 .754. 0,354. 0 当当n,05. 0 未定时，置信区间长度为未定时，置信区间长度为nnuL04. 096. 1222/ 由由0.4L ，则，则46.3844 . 096. 122 n.39 n所以所以两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠个，从乙机床生产的滚珠 中抽取中抽取9个，测得这些滚珠的直径（个，测得这些滚珠的直径（mm）如下）如下: 甲机床：甲机床：15.0，14.8，

31、15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8乙机床：乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，15.6，14.8，15.1，14.5，15.0(1) 若两台机床生产的滚珠直径的标准差分若两台机床生产的滚珠直径的标准差分别是别是24. 0,18. 021 21 ，求这两台机床生产的，求这两台机床生产的滚珠直径均值差滚珠直径均值差的置信度为的置信度为0.90的置信的置信区间区间.例例5-1 (2) 若若 2121 0 .15, 0 .1521 未知，求未知，求度为度为0.90的置信区间的置信区间.的置信的置信(3) 若两台机床生产的滚珠直径的均值分若两台机床生产的滚珠直径的均值分别是别是，求方差比，求方差比2221的置的置信度为信度为0.90的置信区间的置信区间. (4) 若若21, 未知，求方差比未知，求方差比2221的置的置信