复变函数的积分

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分& 3.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念& 3.2 3.2 柯西柯西- -古萨基本定理古萨基本定理& 3.3.3* 基本定理的推广基本定理的推广- -复合闭路定理复合闭路定理& 3.43.4 原函数与不定积分原函数与不定积分& 3.5 3.5 柯西积分公式柯西积分公式& 3.6 3.6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数& 3.73.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系内容简介内容简介复积分的概念、性质、基本计算公式复积分的概念、性质、基本计算公式Cauchy-Goursat基本定理，复合闭路定理基本定理，复合闭路定理

2、 闭路变形原理闭路变形原理原函数、不定积分，原函数、不定积分，Newton-Leibniz定理定理 Cauchy积分公式、高阶导数公式积分公式、高阶导数公式 调和函数，实部调和函数，实部u, 虚部虚部v 的关系的关系S1 S1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.1.复积分的定义复积分的定义逆逆时时针针方方向向。如如没没有有特特别别说说明明，总总指指简简单单闭闭曲曲线线的的正正方方向向记记为为向向曲曲线线的的曲曲线线为为有有向向曲曲线线。反反作作正正方方向向，称称带带有有方方向向的的两两个个方方向向中中的的一一个个如如果果把把复复平平面面上上一一曲曲线线定定义义,. CC面面积积分分。二二

3、类类分分，第第一一类类面面积积分分，第第类类线线积积分分，第第二二类类线线积积二二重重、三三重重积积分分，第第一一常常见见的的积积分分有有定定积积分分，的的积积分分。是是沿沿着着一一条条有有向向曲曲线线作作（作作功功）有有密密切切关关系系复复积积分分与与第第二二类类线线积积分分,逆逆时时针针方方向向。缺缺省省的的正正方方向向闭闭曲曲线线 :的方向规定的方向规定CA (起点起点)B (终点终点)CC必须明确说明方向。必须明确说明方向。记作记作为负为负则则记作记作为正为正若若终点终点指定起点指定起点开曲线开曲线;,: CabCbaba nkkkCnnkknkkkkkkknkkknkkkknkkkn

4、kkzfdzzfCzfSCnszzszzzzfzzfSnkzzBzzzzzzAnCBADCDzf111111111210)(lim)()(0,max)()(,), 2 , 1(,)( 的的积积分分，记记为为沿沿曲曲线线限限为为函函数数有有唯唯一一极极限限，则则称称此此极极如如何何，的的取取法法的的分分法法及及时时，如如果果不不论论对对且且当当的的长长度度，为为，记记其其中中并并作作和和式式上上任任意意取取一一点点每每个个弧弧段段，在在个个弧弧段段，设设分分点点为为任任意意分分成成把把曲曲线线的的分分段段光光滑滑有有向向曲曲线线。终终点点为为内内起起点点为为是是内内，定定义义在在区区域域函函数数

5、定定义义.)( CdzzfC路路积积分分，记记为为是是闭闭曲曲线线，称称积积分分为为闭闭若若定定义义A1z12z23z3.zk1kzkzkBxyO C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 把曲线C任意分成n个弧段, 设分点为A = z0 , z1,., zk1, zk,., zn = B图 nkkknBAnkkknCxfdxxfzfdzzf1010)(lim)()(lim)( 注注 nkkknBAnkknkkkknkkknkkkknkkknkkxfdxxfBAxfSCnxxxxxfxxfSxxBxxxxxxAnBABAxfy11111111210)(lim)(,)(0,max)(

6、)(,)( 的的定定积积分分，记记为为在在则则称称此此极极限限为为函函数数有有唯唯一一极极限限，的的取取法法如如何何，的的分分法法及及如如果果不不论论对对时时，且且当当，其其中中并并作作和和式式上上任任意意取取一一点点在在每每段段，个个段段，设设分分点点为为分分成成任任意意，把把定定义义在在区区间间对对比比：定定积积分分 abbadxxfdxxfba)()(,. 1也也有有方方向向：定定积积分分中中的的。，则则复复积积分分就就是是定定积积分分就就是是区区间间如如果果,. 2baC点点关关系系。不不明明显显，不不过过跟跟做做功功有有缺缺点点是是物物理理、几几何何意意义义. 32. 2. 积分的性

7、质积分的性质 CCdzzfdzzf)()(. 1)(齐齐次次性性 CCdzzfkdzzkf)()(. 2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()(. 3 nCCCndzzfdzzfdzzfCCC)()()(,. 411则则等等光光滑滑曲曲线线连连接接而而成成，由由若若)(可可加加性性 线线性性3. 3. 积分存在的条件和计算方法积分存在的条件和计算方法一一定定存存在在。是是分分段段光光滑滑曲曲线线，则则连连续续且且若若 CdzzfCzf)()()(路径可加性路径可加性 bccaba号号可可以以自自由由提提出出的的相相当当于于 C21CC CCCudyvdxivdyudxdzzf)(例

8、例 1 P72 法法为为：给给出出，复复积积分分的的计计算算方方设设光光滑滑曲曲线线由由参参数数方方程程btatiytxtzz ),()()( badttztzf)( )(第二类线积分第二类线积分例例 2 P73 例例 3 P74 u2这这是是一一个个重重要要例例子子。 CYXdyyxFdxyxF),(),(分分：计计算算作作功功的的第第二二类类线线积积复习：图形与方程 .1),(1 xyyxxy即即，例如，例如图形由方程的解集画出图形由方程的解集画出。轴轴即即的垂直平分线，的垂直平分线，表示表示：无参数无参数：有参数有参数直线：直线：0Re, 0:1111) 2()()()() 1 (*12

9、1121121 zxyzztzztzzyytyyxxtxxt常见图形的方程：常见图形的方程： irezirzzyryyxrxxrzz 00000sincos) 3()(sin)(cos) 2(,) 1 (*圆：圆：22020)()(ryyxx 121211yyxxyyxx 2 , 0 iyxz 中中要要用用到到。，在在复复积积分分成成可可以以表表示示平平面面上上的的曲曲线线曲曲线线的的参参数数表表示示法法 )(,)()(0),( CdzzfbtatyytxxyxF) 1 ( 1 20 ,sincos 22 zyxttytxt单单位位圆圆即即可可，例例如如的的话话，只只要要消消去去要要化化成成我

10、我们们熟熟悉悉的的方方程程 方方向向的的行行走走情情况况。方方向向、他他在在分分别别代代表表个个轨轨迹迹。的的推推移移，这这个个人人走走出出一一时时间间时时刻刻所所处处的的位位置置。随随着着）理理解解为为某某个个人人在在把把（，我我们们可可以以给给定定一一个个曲曲线线直直观观理理解解YXtytxtttytxbtatyytxx)(),( )(),(,)()( )()()(,)( )()(tiytxtzdttztzfdzzfbaC kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令) 5 (),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknk

11、kkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvi dyyxvdxyxuzfS)(),(),(),(),()(limlim1 -证明证明.0实函数的曲线积分实函数的曲线积分时，均是时，均是当当 Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),( )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(终终起起终终起起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttztzf)( )( dttiytxtytxvitytxu)( )(

12、 )(),()(),( :)()()(:ttiytxtzzC设设光光滑滑曲曲线线由由曲线积分的计算法得曲线积分的计算法得 dttztzfdzzfC)( )()(S2 Cauchy-S2 Cauchy-GoursatGoursat基本定理基本定理）的的作作功功。（例例如如重重力力场场，静静电电场场数数的的积积分分类类似似于于保保守守场场单单连连通通区区域域上上的的解解析析函函：的的积积分分为为曲曲线线内内的的任任何何一一条条闭闭沿沿内内处处处处解解析析，那那么么区区域域在在单单连连通通若若函函数数基基本本定定理理0)()(CBzfBzfGoursatCauchy 为为简简单单闭闭曲曲线线之之和和

13、。为为复复杂杂闭闭曲曲线线可可以以分分解解可可以以是是复复杂杂闭闭曲曲线线，因因注注0)( Cdzzf（作作功功）有有密密切切关关系系复复积积分分与与第第二二类类线线积积分分候候不不能能用用。么么时时什什么么时时候候能能用用它它们们，什什，即即弄弄清清楚楚它它们们成成立立的的条条件件公公式式的的关关键键：学学习习这这些些定定理理、. 0)()( CdzzfCzfGoursatCauchy那那么么内内处处处处解解析析，曲曲线线在在只只要要函函数数基基本本定定理理的的用用法法：)(外外有有多多少少奇奇点点在在不不管管Czf对比对比单单连连通通解解析析区区域域0到到起起点点，作作功功为为质质点点绕绕

14、曲曲线线运运动动又又回回0)( Cdzzf)(重重力力、静静电电保保守守力力场场.,)(与与路路径径无无关关有有关关只只与与起起点点终终点点 Cdzzf., 与与路路径径无无关关有有关关作作功功只只与与起起点点终终点点作作功功 Cdzzf)(（作作功功）有有密密切切关关系系复复积积分分与与第第二二类类线线积积分分 CYXdyyxFdxyxF),(),( CCdzzfdzzf)()( CC作作功功作作功功)3)(2(1)(, 32)(2 zzzzgzzzf例例 不同闭路下的积分不同闭路下的积分 1:. 11 zC CCdzzgdzzf)()(212:. 22 zC313:. 33 zC22:.

15、44 zC22525212:. 5CCCCzC 绕绕两两圈圈，即即32104321CCCC 324)()()(CCCdzzgdzzgdzzgS3S3基本定理的推广基本定理的推广- -复合闭路定理复合闭路定理个个简简单单的的小小问问题题。杂杂的的积积分分问问题题分分解解为为个个复复。它它的的主主要要作作用用是是把把一一广广，即即推推广广到到多多连连通通域域基基本本定定理理的的推推复复合合闭闭路路定定理理是是nGoursatCauchy 内内解解析析，那那么么在在如如果果互互不不相相交交们们互互不不包包含含，内内部部的的简简单单闭闭曲曲线线，它它是是在在包包围围，其其中中条条曲曲线线个个不不解解析

16、析点点集集，分分别别被被里里面面包包含含了了内内的的一一条条简简单单闭闭曲曲线线是是多多连连通通域域若若复复合合闭闭路路定定理理DzfCCCCCnnDCin)(.,21。即即按按顺顺时时针针按按逆逆时时针针进进行行，组组成成的的复复合合闭闭路路及及是是由由均均取取正正方方向向。及及其其中中),(0)()()()1 kkkknkCCCCCCCCdzzfiiCCdzzfdzzfikCCC21DCC1AABBFEEF0d)(0d)( BFABFAAAAEAEBBzzfzzf00d)(d)( BFABFAAAAEAEBBzzfzzf奇奇点点奇奇点点解解析析点点 1d)(d)(CCzzfzzf证明证明n

17、=1的情形：的情形：)2 . 3 . 3(d)(d)()1 . 3 . 3(0d)(d)(0d)(d)(d)(d)(d)(d)(111 CCCCBBBBAAAACCzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzf或或即即 CCdzzfdzzf)()(00d)(d)( BFABFAAAAEAEBBzzfzzf相相等等。的的奇奇点点，则则两两闭闭路路积积分分伸伸缩缩变变形形时时没没有有经经过过的的值值。即即只只要要两两曲曲线线在在它它域域内内作作连连续续变变形形而而改改变变积积分分，不不因因闭闭曲曲线线在在区区沿沿闭闭曲曲线线的的一一个个解解析析函函数数闭闭路路变变形形原原理理)()(

18、zfzf闭路变形原理闭路变形原理DCC1奇点奇点奇点奇点解解析析点点 1d)(d)(CCzzfzzf注意：变形过程中不能够经过注意：变形过程中不能够经过 f(z)不解析的点。所不解析的点。所以闭路变形原理主要用于解析性比较好的函数。以闭路变形原理主要用于解析性比较好的函数。?, CCibydzaxdzz思考：思考：一一条条简简单单闭闭曲曲线线。的的任任意意是是绕绕，推推论论001012)(zCnnizzdzCn DCC1奇点奇点奇点奇点解解析析点点问题问题 绕两圈结果怎么样？绕两圈结果怎么样？ 例例:能否利用闭路变形原理能否利用闭路变形原理4321CCCC注注向向。由由多多条条线线组组成成。注

19、注意意方方复复合合闭闭路路,:. 1 kCC.,. 21互互不不包包含含，互互不不相相交交nCC niiiCniCCzzfzzfzzf1d)(d)(d)()1(1由由)(. 3文文件件见见复复合合闭闭路路定定理理的的用用法法docCCC 210d)(d)(0d)(d)(0d)(d)(111 zzfzzfzzfzzfzzfzzfnniiniiCCCCCCC得得例例例例 P79 计算计算 的值的值, , C C为包含圆周为包含圆周| |z z|=1|=1在内的任何正向简单闭曲线在内的任何正向简单闭曲线. . Czzzzd122 解解 函数函数 在复平面内除在复平面内除z z=0=0和和z z=1=

20、1两个奇点外是处处解析的两个奇点外是处处解析的. . 由于由于C C 是包含着圆周是包含着圆周| |z z|=1|=1在内的任何正向简在内的任何正向简单闭曲线单闭曲线, , 因此因此, , 它也包含这两个奇点它也包含这两个奇点. . 在在C C内内作两个互不包含也互不相交的正向圆周作两个互不包含也互不相交的正向圆周C C1 1与与C C2 2, , C C1 1只包含奇点只包含奇点z z=0, =0, C C2 2只包含奇点只包含奇点z z=1.=1. Czzzzd122xyO1C1C2CiiizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzCCCCCCC40220d1d11d1d11d12d12d1

21、2221121222 1012)(0nnizzdzCn rzkzkzQ)(,)(21 部部分分分分式式真真分分式式解：解：有理函数的部分分式分有理函数的部分分式分 kAzcAzczQ ,)(多多项项式式真真分分式式多多项项式式111) 1(12 zzzzz例例 0)()()()(00000zzzfzzczzczfzfz 的的系系数数为为部部分分分分式式时时展展开开成成分分母母的的单单根根，则则是是真真分分式式若若命命题题消消去去、代代入入不不是是单单根根时时不不要要使使用用。注注 2)2(11)2)(1(11222 zczczzz32135 类类似似2233ss 32212515sss 432

22、3282531156116ssssF ssss例：3243261168253115ssssssss4326116ssss2322122212sss23223326116ssssss32135 假假分式分式多项式真分式多项式真分式长除法：长除法：假假分式分式多项式真分式多项式真分式23795)(223 ssssssF作长除法作长除法 2 3s 462772 2379523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sFssssssF 2112)(1 sssF 11111111121112121111112211111211!rs tr iiiris sis ss ssitk

23、f ttekkF sssdkssF sidskssF sdksstriF sdsf tskktste若二重根，则 1111131112321113111312123131221112131212s ss ss ss tkkkF ssssssskssF sdkssF sdsdkssF sdsf tk tk tket若三重根，则例例 9(1) P100 u nkCCkdzzfdzzf1)()(. 3 复合闭路定理：复合闭路定理：个个简简单单的的问问题题。把把复复杂杂的的问问题题拆拆成成若若干干点点：的的部部分分分分式式展展开开的的共共同同分分式式性性、复复合合闭闭路路定定理理与与真真积积分分的的线

24、线性性、路路径径可可加加技巧：复杂问题技巧：复杂问题简单问题简单问题 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()(:. 1 线性线性 nCCCdzzfdzzfdzzf)()()(:. 21路路径径可可加加性性例例 14 P101 kAzcAzczQ ,)(. 4多多项项式式真真分分式式多多项项式式S4 S4 原函数与不定积分原函数与不定积分也也称称变变上上限限积积分分。内内的的一一个个单单值值函函数数，记记是是定定义义在在内内变变化化，则则积积分分在在固固定定，终终点点的的起起点点令令曲曲线线 zzCdfzFBdzzfBzzC0)()()(0 .,)()(与与路路径径无无关关只只与与起起

25、点点终终点点有有关关么么积积分分内内处处处处解解析析，那那在在单单连连通通区区域域若若函函数数定定理理一一 CdzzfBzf成成立立。多多连连通通区区域域内内定定理理一一不不注注).()( )()(zfzFBzFBzf 内内的的解解析析函函数数，且且必必为为么么函函数数内内处处处处解解析析，那那在在单单连连通通区区域域若若函函数数定定理理二二证证明明01zz复习复习)()()()()(xfxFdttfxFxfyxa 其其特特点点是是称称变变上上限限积积分分，为为实实变变函函数数，设设:公式公式LeibnizNewton )()()()(aFbFxFdxxfbaba 一个常数。一个常数。的任何两

26、个原函数相差的任何两个原函数相差命题命题)(xfCxFdxxfxf )()(:)(的的不不定定积积分分内内的的原原函函数数。在在区区域域为为，那那么么称称，即即内内的的导导数数为为在在区区域域如如果果函函数数定定义义BzfzzfzzfBz)()()()( )()( )(公式公式LeibnizNewton 一个常数。一个常数。的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差命题命题)(zfczFdzzfzfcczFzfzF )()()()()()()(的的不不定定积积分分，记记作作为为任任意意复复常常数数是是的的一一个个原原函函数数，称称是是如如果果定定义义内内的的两两点点。是是区区域域那那么么的的一一

27、个个原原函函数数是是内内处处处处解解析析在在单单连连通通区区域域若若函函数数定定理理三三BzzzGzGzGdzzfzfzGBzfzzzz1001,)()()()(,)()(,)(1010 例例 1,2 P83S5 CauchyS5 Cauchy积分公式积分公式 CdzzzzfizfCzDDDCDzfCauchy000)(21)()()( 内内的的任任一一点点，那那么么为为，是是单单连连通通域域因因此此含含于于闭闭曲曲线线，它它的的内内部部完完全全内内的的任任何何一一条条正正向向简简单单为为内内处处处处解解析析，在在区区域域若若函函数数积积分分公公式式注注上上很很重重要要。理理的的基基础础，在在

28、理理论论积积分分公公式式是是后后面面许许多多定定Cauchy. 1说说明明.)(00zCzzzf内内只只有有一一个个奇奇点点，即即在在被被积积函函数数 理理的的特特殊殊情情况况）（解解析析函函数数的的唯唯一一性性定定。这这与与实实变变函函数数不不同同。内内部部处处处处成成立立的的上上相相等等，那那么么在在在在曲曲线线和和若若两两解解析析函函数数即即值值完完全全决决定定其其内内部部值值，解解析析函函数数在在曲曲线线边边界界的的)()()()(. 2zgzfCCzgzf 0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在则则的的一一条条闭闭曲曲线线内内围围绕绕是是内内解解析析在在单单连连通通设

29、设 CdzzzzfzzzzfzDCDzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf10,CDz曲曲线线的的的的，内内部部包包含含任任意意由由闭闭路路变变形形原原理理 说明说明DCz0C1 Cdzzzzfizf00)(21)( )(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性 .,积积分分公公式式这这就就是是这这个个猜猜想想是是对对的的Cauchy猜想积分猜想积分特别取特别取DCz0C1连连续续可可导导一一点点解解析析-证明

30、DCKzz0R证 由于f(z)在z0连续, 任给0, 存在()0, 当|zz0|时, |f(z)f(z0)|. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|zz0|=R全部在C的内部, 且R1. CzCzzzzzd) 1(e) 2;d) 1(cos) 1225 Cnndzzzzfinzf100)()(2!)( .12cos! 42)(cos)!15(2d) 1(cos15141)4(5|izizizzzzzC ）解解：由由复复合合闭闭路路定定理理，为为中中心心作作两两个个正正向向圆圆周周和和内内以以在在我我们们处处不不解解析析内内的的在在函函数数.,.)1()22122CCiiCizCzez OC1

31、C2Ciixy 21d) 1(ed) 1(ed) 1(e222222CzCzCzzzzzzz ).()!1(2)(0) 1(0zfnidzzzzfnCn )41sin(2d) 1(e.2)1 (d)()(ed) 1(e,.2)1 ()(e)!12(2d)()(ed) 1(e222222222222211 izzeizizizzzeiizizizizzzCziCzCziizzCzCz因因此此同同样样例例 u例例 u2OC1C2Ciixy ).()!1(2)(0) 1(0zfnidzzzzfnCn 思考思考 P99 6 )()( )(),(:,)(的的单单连连通通解解析析区区域域在在公公式式基基本

32、本公公式式非非闭闭路路积积分分zfNLdttztzfbtatzzCdzzfbaC 闭闭路路变变形形原原理理留留数数方方法法（第第五五章章）内内一一个个奇奇点点：内内多多个个奇奇点点：复复合合闭闭路路内内无无奇奇点点：闭闭路路积积分分 CnCCnnkCCCdzzzzfdzzzzfdzzzCdzzfdzzfCIGoursatCauchyCdzzfIk)()(,)(,)(1)()(0,:)(0001)(主主要要总结总结1010)()(zzzzzGdzzf S7 S7 解析函数与调和函数解析函数与调和函数内内的的调调和和函函数数。为为区区域域，那那么么称称方方程程偏偏导导数数，且且满满足足内内有有二二

33、阶阶连连续续在在区区域域若若二二元元实实函函数数定定义义DyxyxLaplaceDyx),(0),(2222 .,.)(yvxuiyxzzfCR 例例如如，方方程程）。函函数数（不不一一定定满满足足和和函函数数不不一一定定组组成成解解析析和和函函数数组组成成，但但两两个个调调可可见见解解析析函函数数由由两两个个调调内内的的调调和和函函数数。都都是是和和虚虚部部它它的的实实部部，内内解解析析的的函函数数任任何何在在区区域域定定理理DyxvyxuivuzfD),(),()( 解解析析。解解析析证证明明：因因为为解解析析”。解解析析等等价价于于：“的的共共轭轭调调和和函函数数”是是的的共共轭轭调调和

34、和函函数数是是“例例如如是是解解析析函函数数。的的共共轭轭调调和和函函数数是是共共轭轭调调和和函函数数”。部部的的“解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实不不是是互互相相共共轭轭，而而是是说说注注iuvivuiivuiuvivuvuuvPivuuv )(:) 2(27102. 2. 1的的共共轭轭调调和和函函数数。是是实实部部内内解解析析，称称虚虚部部在在区区域域若若定定义义),(),()(yxuyxvDivuzf 例例 24 P102计算方法主要有三种：计算方法主要有三种：）。）。、或整个、或整个（或（或）能算出）能算出（或（或方程，由方程，由满足满足密切，密切，的实部和虚部关系非常的实部和虚

35、部关系非常解析函数解析函数fuvvuCRivuzf )(，曲线积分法，曲线积分法不定积分法，偏导数法不定积分法，偏导数法1.1.不定积分法不定积分法)( xyyxxxivviuuivuzf .)(ivuzf 归归零零法法只只能能用用于于解解析析的的注注例例 1,2 P92Cccdzzfzf ,)( )(表表达达式式yx,的表达式？的表达式？表达式，如何求表达式，如何求的的已知已知问题问题zyxzf,)(中中，化化简简。，代代入入，一一般般方方法法),(),(22yxivyxuizzyzzxiyxz ?)2()(222zxyiyx 理）理）（解析函数的唯一性定（解析函数的唯一性定zyixyix222?32 )()(),()0 ,()0 ,()()(, 0.)(),(),()(zgzfxgxivxuxfzfxzyzfyxivyxuzf 则则则则令令表表达达式式解解析析，求求已已知知归归零零法法2.2.偏导数法偏导数法(CR(CR条件法，偏积分法条件法，偏积分法) )：，