独立增量过程

1、独立增量过程 引言引言 一、独立增量过程1 1定义定义 设X( (t) ),t0为一随机过程,对于0st,称随机变量X(t)-X(s)为随机过程在区间s,t上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0t0 0t1 1t2 20的泊松过程，若它满足下列条件(1) N(0)=0；(2) N(t)是独立增量过程；(3) 对于任意的s,t0, N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松分布 , 2 , 1,!)()( kkteksNstNPkt 从条件(3)：泊松过程的均值函数为 ttN )( ,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称为此过程的强度。 ttNE)(令N(s,t)=N(t)N(s),0s0的

2、泊松过程,若它满足下列条件(1) N(0)=0；(2) N(t)是独立增量过程；(3) N(t)满足: tttttNP 1),( ttttNP 2),( 定理: 定义2与定义3是等价的。 2 2泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征 设N(t),t0是泊松过程,则 EN(t)=t；DN(t)=t；).,min(),(tstsCN 3泊松过程的定理泊松过程的定理 设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示到t时刻时质点出现的个数,W1，W2，.分别表示第一个，第二个，质点出现的时间,Tn(n1)表示从第n1个质点出现到第n个质点出现的时间间隔. T1T2Tk0 W1 W2 Wk-1 Wk t 通常称

3、 Wn为第n个质点出现的等待时间,Tn为第n个时间间隔,它们都是随机变量。 定理定理1 1. 设N(t)，t0是具有参数的泊松过程,Tn,n1,2,.是对应的时间间隔序列,则随机变量序列Tn,n=1,2,.为独立的且均服从参数为的指数分布。证明：(1)先确定T1的分布. 为此首先注意到事件T1t发生当且仅当在时间间隔0,t内没有质点出现,因而 tetNPtTP 0)(1所以, T1具有参数为的指数分布。 (2)为求T2的分布,先求T1的条件下T2的条件分布,由独立增量性有 sTtssPsTtTP 112,0内内无无质质点点出出现现在在 内内无无质质点点出出现现在在tssP , tetssNP

4、0),( 所以,可得T2也是一个具有参数为的指数分布的随机变量且T2独立于T1,重复同样的推导可得定理。 下面求等待时间Wn分布，注意到第n个质点出现在时间t或之前当且仅当到时间t已出现的质点数至少是n， 即 njjtnjtentNPtWP!)()( 上式对t求得，得Wn的概率密度是 000!1)(1ttntetfntWn 定理定理2.2.设Wn , n=1,2,是与泊松过程N(t),t0对应的一等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为 000!1)(1ttntetfntWn 注意，定理1的逆命题也成立 定理定理3.3. 如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独立，且服从同一指数

5、分布，则质点流构成了强度为的泊松过程。例.设X(t)是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L0为常数，求Y(t),RY(s,t). 解： Y(t)=EY(t)=EX(t+L)-X(t)= (t+L)- t= L； RY(s,t)=CY(s,t)+ Y(s) Y(t), 对任意0st，有 )(),(),(tYsYCovtsCY )()(),()(tXLtXsXLsXCov )(),()(),()(),()(),(tXsXCovtXLsXCovLtXsXCovLtXLsXCov tstLsLtsLtLs,min,min,min,min 2|2|2|2|2tststLsLts

6、LtsLtstsLts |2|tsLtstLs |2|tstsLtsL LtsLtstsL|0|)|( LtsLLtstsLLtsRX|),(2222 所所以以高斯过程（正态过程） 一、定义： 设X(t)为随机过程，如果对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)服从n维正态分布，则称X(t)为正态过程。 正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为X(t),协方差函数为CX(s,t)。 二、正态过程的性质： 对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)的分布由其相应的均值及协方差矩阵完全确定，所以X(t

7、)和CX(s,t)完全确定了X(t)的有限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：1X(t),tT为正态过程，其统计特性由X(t)和CX(s,t)确定。 反之，可以证明，T=0,+,给定(t)和非负二元函数C(s,t)，则存在正态过程X(t)，使X(t)=(t)，CX(s,t)=C(s,t)。 定义：设随机过程X(t),tT，且对任意正整数n2，任意n个不同的t1,t2,tnT，随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立，则称此过程为独立随机过程。2正态过程X(t),tT为独立随机过程对任意的s,t,st时，协方差函数CX(s,t)=0.证明：“” n2,因为X(t1),X(t2)

8、,X(tn)相互独立的正态随机变量，而正态随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立其两两互不相关，即：CX(s,t)=0, st. “”因(X(t1),X(t2),X(tn)为n维正态随机变量，于是X(t1),X(t2),X(tn)为正态随机变量，又CX(s,t)=0, st，所以X(t1),X(t2),X(tn)相互独立。3 X(t)为正态过程它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是正态随机变量。 事实上，由正态的性质， n维正态随机变量的充要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量，显然成立。 4X(t)为正态过程，则X(t)是严平稳过程X(t)是宽平稳过程。 证明：“” 因高

9、斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质，显然成立。 “”由已知：X(t)=X，Rx(t,t+)只与有关。 由严平稳过程定义，对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT, t1+h,t2+h,tn+hT,要证：（X(t1),X(t2), X(tn)）与（X(t1+h),X(t2+h), X(tn+h)）同分布（*）。 而正态过程的分布由X及Rx(s,t)决定，X为常数。 ),(),(hthtRttRjiXjiX ),(),()()(),(),(2jiXXjiXjXiXjiXjiXttCttRtththtRhthtC 即(*)式成立。 例：设随机过程X(t)=Ucos0t+Vsin0t,t0. 0为常

10、数，U,V是两个相互独立的正态随机变量，且E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=2.试证：X(t)为正态过程，并求其一、二维概率密度.解：（1）证X(t)为正态过程：只须证X(t)的任意有限多个随机变量的任意线性组合是一维正态随机变量。 对任意正整数n， 0t1t2s0，W(t)-W(s)服从正态分布N(0,2(t-s)；(3)W(0)=0. 三、三、维纳过程 则称此过程为维纳过程，下图展示了它的一条样本曲线。 2 2维纳过程的性质维纳过程的性质 (1).(1). 维纳过程 W(t)，t0为正态过程(每一个有限维分布均为正态分布)。 证明: 对于任意正整数n和任意时刻t1,t2,tn(0t1t2tn)以及任意实数u1，u2，un，记 则则nkuankiik, 2 , 1, nnnnnnnkkktwatwatwatwatwatwatwatwu 111232212111 nkkkktwtwatwa2111 它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服从n维正态分布，因此W(t)为正态过程。 (2). (2). 维纳过程的均值函数自协差函数、自