高等数学(高教版)第八章λ 矩阵第三节课件

1、在上一节，我们讨论了在上一节，我们讨论了 - 矩阵的标准形，其矩阵的标准形，其主要结论是：任何主要结论是：任何 - 矩阵都能化成标准形矩阵都能化成标准形.但是但是矩阵的标准形是否唯一呢？矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的答案是肯定的.为了证为了证明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念. 由定义可知，对于秩为由定义可知，对于秩为 r 的的 - 矩阵，行列式矩阵，行列式因子一共有因子一共有 r 个个.行列式因子的意义就在于，它在行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的初等变换下是不变的. 我们只要证明，我们只要证明， - 矩阵经过一次初等矩阵经过一次初

2、等行变换，秩与行列式因子是不变的行变换，秩与行列式因子是不变的.设设 - 矩阵矩阵 A( ) 经过一次初等行变换变成经过一次初等行变换变成 B( ) , f( ) 与与 g( ) 分别是分别是 A( ) 与与 B( ) 的的 k 级行列式因子级行列式因子.我们证明我们证明 f( ) = g( ) .下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论. A( ) 经初等行变换经初等行变换 (1) 变成变成 B( ) . 这时这时 B( ) 的每个的每个 k 级子式或者等于级子式或者等于 A( ) 的某个的某个 k 级子式级子式, 者与者与 A( ) 的某一个的某一个 k 级子式反号级子式反号, 因此因此 f(

3、 ) 是是B( ) 的的 k 级子式的公因式，从而级子式的公因式，从而 f( ) | g( ) . A( ) 经初等行变换经初等行变换 (2) 变成变成 B( ) . 这时这时 B( ) 的每个的每个 k 级子式或者等于级子式或者等于 A( ) 的某个的某个 k 级子式级子式, 者等于者等于 A( ) 的某一个的某一个 k 级子的级子的 c 倍倍 , 因此因此 f ( ) 是是B( ) 的的 k 级子式的公因式，从而级子式的公因式，从而 f( ) | g( ) .或或或或 A( ) 经初等行变换经初等行变换 (3) 变成变成 B( ) . 这时这时 B( ) 中那些包含中那些包含 i 行与行与

4、 j 行的行的 k 级子式和那些不包含级子式和那些不包含i 行行的的 k 级子式都等于级子式都等于 A( ) 中对应的中对应的 k 级子式；级子式；B( )中中那些包含那些包含 i 行但不包含行但不包含 j 行的行的 k 级子式，按级子式，按 i 行分行分成两部分，而等于成两部分，而等于 A( ) 的一个的一个 k 级子式与另一个级子式与另一个k 级子式的级子式的 ( ) 倍的和，也就是倍的和，也就是 A( ) 的两个的两个 k级子式的组合级子式的组合.因此因此 f ( ) 是是 B( ) 的的 k 级子式的公级子式的公因式，从而因式，从而 f( ) | g( ) .对于列变换，可以完全一样地

5、讨论对于列变换，可以完全一样地讨论.总之，如总之，如果果 A( ) 经一次初等变换变成经一次初等变换变成 B( ) ，那么，那么f( ) | g( ) .但由于初等变换是可逆的，但由于初等变换是可逆的， B( ) 也可以经一次初也可以经一次初等变换变成等变换变成 A( ) .由上面的讨论，同样应有由上面的讨论，同样应有g( ) | f( ) .于是于是 f( ) = g( ) .当当 A( ) 的全部的全部 k 级子式为零时，级子式为零时，B( ) 的全部的全部k 级子式也就为零；级子式也就为零；反之亦然反之亦然.因此，因此， A( ) 与与 B( ) 既有相同的各级行列式因既有相同的各级行列

6、式因子，又有相同的秩子，又有相同的秩.设标准形为设标准形为) 1 (00)()()(21rddd其中其中 d1( ) , d2( ) , , dr( ) 是首项系数为是首项系数为 1 的多项的多项式，且式，且 di ( ) | di+1 ( ) ( i = 1, 2, , r-1 ) .不难证明不难证明,在这种形式的矩阵中，如果一个在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为级子式一定为零零.因此，为了计算因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由级行列式因子，只要看由i1 , i2 , , ik

7、行与行与 i1 , i2 , , ik 列列 (1 i1 i2 ik r)组成的组成的 k 级子式就行了，级子式就行了，).()()(21kiiiddd而这个而这个k 级子式等于级子式等于显然，这种显然，这种 k 级子式的最大公因式就是级子式的最大公因式就是).()()(21kddd 设设 (1) 是是 A( ) 的标准形的标准形.由于由于A( ) 与与 (1) 等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，因此， A( ) 的秩就是标准形的主对角线上非零元的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数素的个数 r ;A( ) 的的 k 级行列式因子就是级行列

8、式因子就是) 2()., 2 , 1()()()()(11rkdddDkk于是于是.)()()(,)()()(),()(112211rrrDDdDDdDd(3)这说明这说明 A( ) 的标准形的标准形 (1) 的主对角线上的元素是被的主对角线上的元素是被A( ) 的行列式因子所唯一确定的，所以的行列式因子所唯一确定的，所以 A( ) 的标的标准形是唯一的准形是唯一的. 给出了给出了 - 矩阵的行矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的行列式因子与不变因子是相互确定的.因此，说两因此，说两个矩阵有相同的各级行列

9、式因子，就等于说它们有个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有相同的各级不变因子相同的各级不变因子.必要性已由必要性已由证明证明.充分性是很明显的充分性是很明显的.因为若因为若 - 矩阵矩阵A( )与与B( ) 有相同的不变因子，则有相同的不变因子，则 A( ) 与与 B( ) 和同一个标准和同一个标准形等价，因而它们也等价形等价，因而它们也等价.由由可以看出，在可以看出，在 - 矩阵的行列式因子矩阵的行列式因子之间，有关系之间，有关系Dk ( ) | Dk+1 ( ) ( k = 1, 2, , r-1 ) . (4)在计算在计算 - 矩阵的行列式因子时，常常是先计矩阵的行列式因子时，常

10、常是先计算最高级的行列式因子算最高级的行列式因子.这样，由这样，由 (4) 我们就大致我们就大致有了低级行列式因子的范围了有了低级行列式因子的范围了.作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形.设设 A( ) 为一个为一个 n n 可逆矩阵，由可逆矩阵，由知知| A( ) | = d ,其中其中 d 是一非零常数是一非零常数.这就是说，这就是说，Dn ( ) = 1 .于是由于是由 (4) 可知，可知， Dk ( ) = 1 ( k = 1, 2, , n )，从而，从而dk ( ) = 1 ( k = 1, 2, , n ) .因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E .反过来反过来 ,与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零数列式是一个非零数.这就是说，这就是说，设矩阵设矩阵 A( ) 与与 B( ) 等价，则由矩阵等价的充等价，则由矩阵等价的充分必要条件知，存在一系列初等矩阵分必要条件知，存在一系列初等矩阵 P1, P2, , Pl,Q1, Q2, , Qt , 使使A(