华侨大学第7章 位移法

1、基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用(lyng)(lyng)直接平衡法直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用(lyng)(lyng)基本体系建基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用掌握对称性的利用(lyng)(lyng)。 教学内容：教学内容：位移法的基本概

2、念位移法的基本概念 等截面直杆的形常数和载常数等截面直杆的形常数和载常数 位移法的基本未知量和基本体系位移法的基本未知量和基本体系 位移法方程位移法方程 位移法计算连续梁和刚架位移法计算连续梁和刚架 位移法计算对称结构位移法计算对称结构 第第7 7章章 位移位移(wiy)(wiy)法法精品资料一、一、 位移法是计算超静定结构的另一种基本位移法是计算超静定结构的另一种基本(jbn)(jbn)方法。方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：第一种： 以多余以多余(duy)(duy)未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后未知力为基本未知量；先求其反力或内力

3、，然后计算位移计算位移力法。力法。第二种：第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力位移法。位移法。结构结构在外因作用下产生产生内力变形内力与变形间存在关系内力与变形间存在关系7.1 位移法的基本概念位移法的基本概念精品资料力法：由变形协调条件建立位移力法：由变形协调条件建立位移(wiy)(wiy)方程；方程；位移位移(wiy)(wiy)法：由平衡条件建立的平法：由平衡条件建立的平衡方程。衡方程。二、位移二、位移(wiy)法与力法的区别法与力法的区别1.1.主要区别是主要区别是基本未知量基本未知量选取不同选取不同力法：

4、多余未知力作为基本未知量；力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移位移法：结点位移( (线位移和角位移线位移和角位移) )作为基本未知量。作为基本未知量。2.2.建立的基本方程不同建立的基本方程不同注意：注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而 位移法的基本未知量与超静定次数无关。位移法的基本未知量与超静定次数无关。精品资料1.1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移(wiy)(wiy)；2.2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆

5、件 的轴向变形；的轴向变形；3.3.结点线位移结点线位移(wiy)(wiy)的弧线运动用垂直于杆轴的切线的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结代替，即结 点线位移点线位移(wiy)(wiy)垂直于杆轴发生。垂直于杆轴发生。三、位移法的基本三、位移法的基本(jbn)假定假定精品资料下面以一个下面以一个(y (y )例题来介绍一下位移法的解题思路。例题来介绍一下位移法的解题思路。 结点结点(ji din)位移与杆端位移分析位移与杆端位移分析 BDBD伸长：伸长：22DCDC伸长：伸长： DADA伸长：伸长： 22杆端位移分析杆端位移分析由材料力学可知：由材料力学可知：NDBEAFL222NDAND

6、CEAFFL杆端力与杆端杆端力与杆端位移的关系位移的关系 D D结点有结点有向下的向下的位移位移FPCDAB45o45o四、位移法的基本思路四、位移法的基本思路精品资料02222(22)2NDBNDCNDAPPYFFFFEAFL 建立力的建立力的平衡方程平衡方程由方程解得：由方程解得： 2(22)PLEA 位移位移(wiy)法法方程方程把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：22222PNDBNDANDCFPFFF由结点平衡：由结点平衡： 精品资料 由结点平衡由结点平衡(pnghng)或截面平衡或截面平衡(pnghng)，建立方程；，建立方程；

7、结点位移结点位移(wiy)(wiy)回代，得回代，得到杆端力。到杆端力。总结一下直接平衡法解题的步骤：总结一下直接平衡法解题的步骤： 确定结点位移的数量；确定结点位移的数量； 写出杆端力与杆端位移的关系式；写出杆端力与杆端位移的关系式； 解方程，得到结点位移；解方程，得到结点位移；精品资料F1Pql2/12ql2/121221qlFPAF11AlEI4AlEI2AlEI2AlEI4lEIlEIAA440128021111qllEIFFFAPEIqlA9635ql2/48ql2/48BllqEI=常数ACAqABCAlEI4AlEI2AlEI2AlEI4ABCA4iF11AABCql2/24精品

8、资料基本基本(jbn)体系法解题要点：体系法解题要点： （1 1）位移）位移(wiy)(wiy)法的基本未知量是结点位移法的基本未知量是结点位移(wiy)(wiy)；（3 3）位移法的基本方程是平衡方程；）位移法的基本方程是平衡方程；（4 4）建立基本方程的过程分为两步：）建立基本方程的过程分为两步：1 1）把结构拆成杆件，进行杆件分析；）把结构拆成杆件，进行杆件分析；2 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析；）再把杆件综合成结构，进行整体分析；（5 5）杆件分析杆件分析是结构分析的基础。是结构分析的基础。（2 2）位移法的基本结构）位移法的基本结构-单跨梁系；单跨梁系；精品资料一、杆端力和杆

9、端位移的正负一、杆端力和杆端位移的正负(zhn(zhn f) f)规定规定二、形常数(chngsh)和载常数(chngsh)1.1.杆端转角杆端转角、杆两端相对位移、杆两端相对位移以使杆件顺时针转动以使杆件顺时针转动 为正号。为正号。2.2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点 逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转 动为正号。动为正号。形常数形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力载常数载常数：由荷载引起的固端力由荷载引起的固端力7.2

10、 等截面直杆的刚度方程等截面直杆的刚度方程精品资料MABQBAMBAQABAB根据根据(gnj)力法可求力法可求解：解：其中其中(qzhng)i=EI/l(qzhng)i=EI/l，称为，称为杆件的线刚度杆件的线刚度liiiMliiiMBABABAAB6426241.1.由杆端位移求杆端内力（形常数）由杆端位移求杆端内力（形常数）MABMBA2A2B1A1B2121BBBAAA图（图（1 1）图（图（2 2）精品资料1 1）求图）求图(1) (1) 中的中的A A1 1, ,B B1 1MBAMABBMABA(a) 精品资料M=11ABM=11A(b) (c) 精品资料2 2）求图）求图(2)

11、(2)中中 A2和和B23 3）叠加得到）叠加得到(d do) (d do) lMEIiMEIllMEIlMEIlBAABBBAABA3663变换式上式可得杆端内力变换式上式可得杆端内力(nil)(nil)的刚度方程（转角位移方程）：的刚度方程（转角位移方程）： liiiMliiiMBABABAAB642624精品资料由平衡条件得杆端剪力：见图（由平衡条件得杆端剪力：见图（d)d)21266lilililMMFFBABAABQBAQABFQBAMBAMABBAFQAB(d) 精品资料4422ABAABAAAEIMiLEIMiL由力法求得由力法求得由力法求得由力法求得4422BABBABBBEI

12、MiLEIMiL1.1.两端固定单元，在两端固定单元，在A A端发生一个顺时针的转角端发生一个顺时针的转角 。AAABMABMBA2.2.两端固定单元，在两端固定单元，在B B端发生一个顺时针的转角端发生一个顺时针的转角 。BABMABMBAB4i2iM精品资料由力法求得由力法求得226666ABBAEIiMLLEIiMLL 3.3.两端固定单元，在两端固定单元，在B B端发生一个向下的位移端发生一个向下的位移 。ABMABMBA4.4.一端固定一端铰结单元，在一端固定一端铰结单元，在A A端发生一个顺时针的转角。端发生一个顺时针的转角。AABMABMBA由力法求得由力法求得03BAAABMi

13、M精品资料由力法求得由力法求得2330ABBAEIiMLLM 由力法求得由力法求得ABABBAAAEIMiLEIMiL 5.5.一端固定一端铰结单元，在一端固定一端铰结单元，在B B端发生一个向下的位移。端发生一个向下的位移。MABABMBA6.6.一端固定一端滑动单元，在一端固定一端滑动单元，在A A端发生一个顺时针的转角。端发生一个顺时针的转角。MABMBAABA精品资料由单位杆端位移引起由单位杆端位移引起(ynq)的形常数的形常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili 6li 6li 6AB10li 3AB=13i023liAB=

14、1i-i0li 3精品资料单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAAB q212ql212qlABP8Pl8PlAB q28qlABl/2l/2P316Pl002.2.由荷载求杆端内力由荷载求杆端内力(nil)(nil)固端弯矩和固端剪力（载固端弯矩和固端剪力（载常数）常数）精品资料结点结点(ji din)角位移数：刚结点角位移数：刚结点(ji din)的数目的数目独立结点线位移数：独立结点线位移数：铰结体系的自由度铰结体系的自由度 7.3 位移法的基本未知量位移法的基本未知量结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。 杆件：等截面的直杆，不能

15、是折杆或曲杆。杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=EA=。 精品资料123121精品资料只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽，由于忽略轴向变形，略轴向变形，B B结点只有结点只有BB 只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽略轴向变形及由于忽略轴向变形及C C结点的约束形式，结点的约束形式，B B结结点有一个转角和水平位点有一个转角和水平位移移BBHABCABC例例1.1.例例2.2.精品资料例例3.3. 有两个刚结点有两个刚结点E、F、D、C，由于，由于忽略轴向变形，忽略轴向变形， E、F、

16、D、C 点的竖点的竖向位移为零，向位移为零， E、F 点及点及D、C 点点的水的水平位移相等，因此该结构的未知量为：平位移相等，因此该结构的未知量为：EFCDEFCD例例4.4. 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于忽略轴向，由于忽略轴向变形，变形，B B、C C点的竖向位移为零，点的竖向位移为零，B B、C C点的水平位移相等，因此该结构的未点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：知量为：BCBC结论：刚架（不带斜杆的）一个结点结论：刚架（不带斜杆的）一个结点(ji din)一个转角，一层一一个转角，一层一个侧移。个侧移。精品资料 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于，由于忽

17、略轴向变形及忽略轴向变形及B B、C C点的约点的约束，束，B B、C C点的竖向、水平位点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未移均为零，因此该结构的未知量为：知量为：BC ABCD例例5.5.ABCD例例6.6. 桁架杆件要考虑轴向变形。因此桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：知量为：.AHAVBHBVDH精品资料 排架结构，有两个铰结点排架结构，有两个铰结点A A、B B，由于忽略轴向变形，由于忽略轴向变形，A A、B B两点的竖两点的竖向位移为零，向位移为零，A A、B B两点的水平位移两点的水平位移相等，因此该结构的未知

18、量为：相等，因此该结构的未知量为： ABEA=ABCD 两跨排架结构，有四个结点两跨排架结构，有四个结点A A、B B、C C、D D，同理，同理A A与与B B点、点、D D与与C C点的水平位移相同，各结点的点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但竖向位移为零，但D D结点有一转结点有一转角，因此该结构的未知量为：角，因此该结构的未知量为： ABDCD例例7.7. EA=ABDCEFG例例8. 8. 精品资料CDECHDV该题的未知量为该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移

19、。对于线位位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。个线位移。ABCDEABCDE例例9.9.精品资料结点转角结点转角(zhunjio)(zhunjio)的数目：的数目：7 7个个独立独立(dl)(dl)结点线位移的数目：结点线位移的数目：3 3个个123精品资料 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点D D、E E，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，

20、结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3426=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。铰结体系几何不变，无结点线位移。 ABCDEABCD 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点C C、D D，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3324=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。铰结体系几何可变，有一个线位移。 精品资料ABDCEABDCE 刚架结构，有两个刚结点刚架结构，有两个刚结点D D、E E，故有两个角位移，结点线位移由铰故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，结体系来判断，W=3426=0，铰结体系几何瞬变，有一个线

21、位移。铰结体系几何瞬变，有一个线位移。 精品资料精品资料分析方法：分析方法： 该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设的分析方法：假设B B结点向左有一个水平位移，结点向左有一个水平位移，BCBC杆平杆平移至移至BCBC，然后它绕，然后它绕BB转至转至D D点。点。结论：结论：该题有两个未知量：该题有两个未知量：其中其中BABA杆的线位移为：杆的线位移为：BCBC杆的线位移为：杆的线位移为：SinB例例10.10. B C A B C D精品资料注意：注意：(1)(1)铰处的转角不作基本铰处的转角不作基本(jbn)(jbn

22、)未知量。未知量。(2)(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本(jbn)(jbn)未未知量。知量。a(3)(3)结构结构(jigu)(jigu)带无限刚性梁时，即带无限刚性梁时，即EIEI时，若柱子时，若柱子平行，平行， 则梁端结点转角为则梁端结点转角为0 0；若柱子不平行，则梁端结；若柱子不平行，则梁端结 点转角可由柱顶侧移表示出来。点转角可由柱顶侧移表示出来。（4 4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。 A B C D E 精品资料杆

23、长为：杆长为：l B42BABABEIMLEIMLBABA杆杆238BcBEIqLMLBCBC杆杆解：解：1.1.确定未知量确定未知量B未知量为未知量为: :2.2.写出杆端力的表达式写出杆端力的表达式3.3.建立建立(jinl)(jinl)位移法方程位移法方程取取B B结点，由结点，由 , ,得得: :0BM2708BqLiAEIB CEIq例例1:精品资料4. 4. 解方程，得解方程，得: :256BqLi5. 5. 把结点把结点(ji din)(ji din)位移回代，得杆端弯矩位移回代，得杆端弯矩6. 6. 画弯矩图画弯矩图2222223568144561428BCBAABiqLqLq

24、LMiiqLqLMiqLM ql28ql214ql228ABCM图图 精品资料4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m例例2.1 1、基本、基本(jbn)(jbn)未知量未知量BB、CC2 2、列杆端力表达式、列杆端力表达式令令EI=EI=1 1BAqlm8420822mkN.40BCqlm125201222CBmkNm .7 .41mkN.7 .41CCCFM25 . 04BBEBM5 . 175. 02CBCBM7 .4142CBBCM7 .4124BBAM403CCFCM5 . 02BBBEM375. 04CCDM33

25、3、列位移、列位移(wiy)(wiy)法法方程方程0CFCDCBCMMMM0BEBCBABMMMM07 . 1210CB07 .4192CB4 4、解方程、解方程B=1.15 C=4.89=43.5=46.9=24.5=14.7=9.78=4.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)位移不是真值位移不是真值!5 5、回代、回代6 6、画、画M M图图MBAMBCMBE精品资料例例3. .1. 位移法未知量位移法未知量未知量：未知量： BBV 2. 杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式226

26、 241212812ABBBABiqLMiLiqLMiL33BCBiMiL3. 建立位移方程建立位移方程取出取出B B结点结点(ji din):(ji din):00BBABCMMM2911012BiqLiL 00QBAQBCPYFFFLLqFP2EIEIABC精品资料求求F FQBA QBA 2021212 2L2AABBCQBABMMMqLFLiiqLL 求求F FQBC QBC 2033BCcQBCBMMFLiiLL 把把FQBCFQBAFQBCFQBA代入方程代入方程(fngchng)(fngchng)中得：中得：2221224330292702BBPBPiiqLiiFLLLLiiqL

27、FLL后面的工作后面的工作就省略了。就省略了。 精品资料例例4.4.1.1.未知量未知量2 2个：个：BBC20631001216BABBCiqLPLiMML 位移法方程位移法方程222B264126212BABBCABBCEIEIqLMLLEIEIqLMLL2.BA2.BA杆：杆端弯矩表达式：杆：杆端弯矩表达式：323160PBCBCBF LEIMLMBCBC杆：端弯矩表达式：杆：端弯矩表达式：3.3.建立位移法方程建立位移法方程取取B B结点由结点由 : :0BMqEI2EIABCFPLL/2L/2精品资料求求FQBA, ,取取BABA杆杆, ,由由0AM226122BAABQBABMMq

28、LFLiiqLLL 把把FQBA代入式代入式, ,得得: :261202BiiqLLL-位移法方程位移法方程0QBAF取取BCBC截面由截面由 : :0X FQBAqFQABMABMBABA精品资料小小 结结（1 1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移) ) 思路与方法基本相同；思路与方法基本相同；（2 2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比， 在具体作法上增加了一些新内容：在具体作法上增加了一些新内容： 在基本未知量中，要含结点线位移；在基本未知量中，要含结点线位移； 在杆件计算中，要考虑线位移的影响；在杆件计

29、算中，要考虑线位移的影响； 在建立基本方程在建立基本方程(fngchng)(fngchng)时，要增加与结时，要增加与结点线位移对点线位移对 应的平衡方程应的平衡方程(fngchng)(fngchng)。精品资料7.5 7.5 基本基本(jbn)(jbn)体系和典型方体系和典型方程法程法2.2.建立建立(jinl)(jinl)基本体系基本体系（1 1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，）在每个刚结点处添加一个附加刚臂， 阻止刚结点转动阻止刚结点转动（不能阻止移动）（不能阻止移动）；（2 2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆， 阻止结点线位移阻止结点线位

30、移（移动）（移动）。一、位移法基本体系一、位移法基本体系1.1.基本体系基本体系单跨超静定梁的组合体单跨超静定梁的组合体 用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。定梁看待。 经过以上处理，原结构就成为一个由经过以上处理，原结构就成为一个由n n个独立单跨超静定梁组个独立单跨超静定梁组成的组合体成的组合体即为位移法的基本体系。即为位移法的基本体系。精品资料例例. .建立图示结构位移建立图示结构位移(wiy)(wiy)法的基本体系。法的基本体系。 未知量未知量2 2个：个：B基本基本(jbn)体系体系 在有转角位移的结点处先

31、加在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。其发生转角。 在有线位移的在有线位移的结点处先加一链杆，结点处先加一链杆，阻止线位移，然后阻止线位移，然后再让其发生再让其发生线位移。线位移。EIEIABCLqLq原结构原结构 精品资料精品资料精品资料二、利用基本二、利用基本(jbn)(jbn)体系建立位体系建立位移法方程移法方程锁住锁住将原结构转换成基本体系。把原结构将原结构转换成基本体系。把原结构“拆拆 成成”孤立的单个超静定杆件；孤立的单个超静定杆件；放松放松将基本结构还原成原结构。即强行使将基本结构还原成原结构。即强行使“锁锁 住住”的结点发生与

32、原结构相同的转角的结点发生与原结构相同的转角(zhunjio)(zhunjio)或线或线 位移。位移。2.2.位移法典型方程的建立与求解位移法典型方程的建立与求解1.1.基本原理基本原理先锁、后松。先锁、后松。精品资料EIEIABCqLL 原结构原结构(jigu) EIEIABCq 基本基本(jbn)体系体系3 i4 i2 i M1图图Z1 M2图图Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1 MP图图=+6EIL26EIL2 在在M1 1、M2 2、MP P三个三个图中的附加刚臂和链杆图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起而三个图中的反力加起来应等于零。

33、来应等于零。qL28精品资料+=k11k21F1PF2Pk12EIEIABCq 基本体系基本体系Z1Z2k22 M2图图Z2Z2=16EIL26EIL2qL28 MP图图qL28 M1图图Z1Z1=13 i4 i2 i精品资料 位移法典型方程位移法典型方程1111221211222200PPkZkZFkZkZF由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：ijjikk 在在M1 1、M2 2、MP P三个图中附加刚臂和链杆中产生的附三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：加力加起来应等于零，则有： 方程中的系数和自由项就是方程中的系数和自由项就是M1 1、M2 2、MP P三个图中

34、三个图中刚臂和链杆中产生的附加反力。刚臂和链杆中产生的附加反力。精品资料求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面(jimin)(jimin)利用利用 平衡原理求得。平衡原理求得。21660QBAiFLiXkL 1206BMikL 212QBAiFL 0X 22212ikL1107BMki由由M1 1图：图：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA由由M2 2图：图：精品资料由由MP P图：图：2108BPMqLF 200PXF把系数和自由项代入典型方程，有：把系数和自由项代入典型方程，有：21212267086120iqL

35、iZZLiiZZLL位移位移(wiy)法法方程方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0精品资料1212nnPMM ZM ZM ZM用基本体系求内力的计算步骤用基本体系求内力的计算步骤: :1 1、确定未知量，画出位移法的基本体系，、确定未知量，画出位移法的基本体系，2 2、建立位移法的典型方程，、建立位移法的典型方程，3 3、画出、画出M1 1、MP P图，图，4 4、求出系数和自由项，、求出系数和自由项，5 5、代入解方程，得到结点位移，、代入解方程，得到结点位移，6 6、按下式画弯矩图：、按下式画弯矩图：精品资料如果结构有如果结构有n n个未知量，那么个未知量，那么(n me)(n me

36、)位移法方程为：位移法方程为： 其中：其中：1122nnkkk是主系数，永远是正的。是主系数，永远是正的。123124kkk 是副系数，有正有负。是副系数，有正有负。由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：ijjikkijk物理意义是：由第物理意义是：由第j j个结点位移发生单位位移个结点位移发生单位位移 后，在第后，在第i个结点位移处产生的反力。个结点位移处产生的反力。11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnpk Zk Zk ZFk Zk ZkZFk ZkZk ZF精品资料【例【例1 1】用位移法计算图】用位移法计算图(a)(a)所示结构，并作内力图。已所示结构

37、，并作内力图。已知各杆知各杆EIEI为常数。为常数。【解】（【解】（1 1）在结点）在结点(ji din)B(ji din)B加一刚臂得基本结构加一刚臂得基本结构( (图图(b)(b)，只有，只有 一个未知量一个未知量Z1Z1。（2 2）位移法典型方程为）位移法典型方程为k11Z1+F1P=0k11Z1+F1P=0（3 3）求系数和自由项）求系数和自由项 绘绘M1M1图图( (图图(c)(c)，求得，求得 k11=3i+4i=7i k11=3i+4i=7i 绘绘MPMP图图( (图图(d)(d)，求得，求得 F1P=5-40=-35kNm F1P=5-40=-35kNm精品资料精品资料（4 4

38、）求未知量）求未知量Z1Z1 将将k11k11、F1PF1P之值代入典型方程，得之值代入典型方程，得7iZ1-35=07iZ1-35=0故故 Z1=5/i Z1=5/i（5 5）用叠加法绘最后弯矩图）用叠加法绘最后弯矩图( (图图(e)(e)。（6 6）绘制）绘制(huzh)(huzh)剪力、轴力图。剪力、轴力图。精品资料【例【例2 2】用位移法计算图】用位移法计算图(a)(a)所示结构，并作弯矩图。已知所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为各杆长度均为l l，EIEI为常数。为常数。【解】（【解】（1 1）基本结构如图）基本结构如图(b)(b)所示。所示。 （2 2）位移法方程为）位移法方程

39、为k11Z1+F1P=0k11Z1+F1P=0 （3 3）求系数和自由项）求系数和自由项 绘绘M1M1图图( (图图(c)(c)，求得，求得 k11=4i+4i+3i=11i k11=4i+4i+3i=11i 如图如图(d)(d)所示，结点所示，结点D D被刚臂锁住，加外力偶后不能转被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形动，所以各杆均无弯曲变形(bin xng)(bin xng)，因此无弯矩图，因此无弯矩图，即即MP=0MP=0。 精品资料精品资料截取结点截取结点D(D(图图(d)(d)，由结点力矩平衡条件，由结点力矩平衡条件MD=0MD=0，得，得F1P+m=0F1P+m=0故

40、故 F1P=-m F1P=-m若外力偶若外力偶m m是逆时针方向的，则是逆时针方向的，则 F1P=+m F1P=+m 写成一般写成一般(ybn)(ybn)式，当结点受外力偶作用时：式，当结点受外力偶作用时： F1P=m F1P=m 当外力偶为顺时针时当外力偶为顺时针时m m取负号，为逆时针时取负号，为逆时针时m m取正号。取正号。解方程，求解方程，求Z1Z1：Z1=-F1P/k11=m/11iZ1=-F1P/k11=m/11i精品资料按叠加法绘最后弯矩图按叠加法绘最后弯矩图( (图图(e)(e)：M=M1Z1+MP=M1Z1M=M1Z1+MP=M1Z1当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：当

41、结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：F1P=MF1P=M固端固端+m+m式中：外力偶为顺时针时，式中：外力偶为顺时针时，m m取负号取负号(f ho)(f ho)；反之，；反之，m m取正取正号。号。精品资料精品资料精品资料精品资料【例【例3 3】用位移法计算图】用位移法计算图(a)(a)所示排架，并绘所示排架，并绘M M图图【解】基本【解】基本(jbn)(jbn)结构如图结构如图(b)(b)所示，有一个基本所示，有一个基本(jbn)(jbn)未知量未知量Z1Z1。 位移法方程为位移法方程为k11Z1+F1P=0k11Z1+F1P=0 绘绘M1M1图如图图如图(c)(c)所示，得所示，得k1

42、1=3i/l2=12i/l2k11=3i/l2=12i/l2 绘绘MPMP图如图图如图(d)(d)所示。得所示。得F1P=-3ql/4F1P=-3ql/4 将将k11k11、F1PF1P之值代入位移法方程，解得之值代入位移法方程，解得 Z1=-F1P/k11=ql3/16i Z1=-F1P/k11=ql3/16i 按叠加法绘最后弯矩图。按叠加法绘最后弯矩图。 精品资料精品资料精品资料【例【例4 4】用位移法计算图】用位移法计算图(a)(a)所示刚架，并绘所示刚架，并绘M M图。图。【解】此刚架具有【解】此刚架具有(jyu)(jyu)两个刚结点两个刚结点B B和和C C，无结点线位移，无结点线位

43、移， 其基本结构如图其基本结构如图(b)(b)所示。所示。 列位移法典型方程：列位移法典型方程：k11Z1+k12Z2+F1P=0k11Z1+k12Z2+F1P=0k21Z1+k22Z2+F2P=0k21Z1+k22Z2+F2P=0分别绘出分别绘出M1M1图图(c)(c)、M2M2图图(d)(d)和和MPMP图图(e)(e)。各系数和自由项分别计算如下：各系数和自由项分别计算如下：精品资料精品资料k11=4i+8i=12ik11=4i+8i=12ik21=k12=4ik21=k12=4ik22=8i+6i+4i=18ik22=8i+6i+4i=18iF1P=-26.67-10=-36.67kN

44、mF1P=-26.67-10=-36.67kNmF2P=26.67-30=-3.33kNmF2P=26.67-30=-3.33kNm将上述所求系数和自由项代入位移法方程将上述所求系数和自由项代入位移法方程(fngchng)(fngchng)，解得，解得Z1=3.23/i Z1=3.23/i Z2=-0.53/iZ2=-0.53/i按叠加法公式按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MPM=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如绘出最后弯矩图如图图(f)(f)所示。所示。 精品资料【例【例5 5】用位移法计算图】用位移法计算图(a)(a)所示刚架，并绘所示刚架，并绘M M图图【解】此刚架具有一个独

45、立转角【解】此刚架具有一个独立转角Z1Z1和一个独立线位移和一个独立线位移Z2Z2。 基本体系基本体系(tx)(tx)如图如图(b)(b)所示。所示。根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立位移法方程如下：可建立位移法方程如下：k11Z1+k12Z2+F1P=0k11Z1+k12Z2+F1P=0k21Z1+k22Z2+F2P=0k21Z1+k22Z2+F2P=0分别绘出分别绘出M1M1图图(c)(c)、M2M2图图(d)(d)和和MPMP图图(e)(e)。 精品资料精品资料由由M1 1图：图： k11=3i+4i=7i由

46、由M2 2图：图： k12=-3i/2由由MP P图图: : F1P1P=0=0 求求k21k21可在可在M1M1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用算出作用(zuyng)(zuyng)于柱顶的剪力，取其上部为隔离体于柱顶的剪力，取其上部为隔离体( (图图2(a)2(a)，由，由 X=0 X=0 k21-QCD=0 k21-QCD=0 故故k21=QCD=k12k21=QCD=k12 精品资料图2精品资料为求为求k22k22，可在，可在M2M2图上引截面，由隔离体图上引截面，由隔离体( (图图2(b)2(b)的平衡条的平衡条件件X=0X=0，可推出计算公

47、式如下，可推出计算公式如下(rxi)(rxi)： 对于本例：对于本例：同理可求得同理可求得F2PF2P，由，由MPMP图：图： F2P=-60kN F2P=-60kN222212123iirll被截柱顶剪力222212123154416iiir精品资料将上述将上述(shngsh)(shngsh)所求系数和自由项代入位移法方所求系数和自由项代入位移法方程，解得程，解得 Z1=20.87/i Z2=97.39/i Z1=20.87/i Z2=97.39/i按叠加法公式按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MPM=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图绘出最后弯矩图如图(f)(f)所示。所示。精品

48、资料小小 结结 （1 1）确定基本）确定基本(jbn)(jbn)未知量，取基未知量，取基本本(jbn)(jbn)体系。体系。位移法的解题位移法的解题(ji t)(ji t)步骤与方法同力法相比较：步骤与方法同力法相比较：力法力法：多余未知力；多余未知力；位移法位移法：未知角位移、线位移。未知角位移、线位移。未知量未知量力法力法静定结构；静定结构；位移法位移法单跨超静定梁的组合体。单跨超静定梁的组合体。基本体系基本体系精品资料（3 3）作）作MPMP、Mi Mi 图，求系数图，求系数(xsh)(xsh)和自和自由项由项力法：力法：先作出静定结构分别在载荷先作出静定结构分别在载荷F FP P、多余

49、未知力、多余未知力 作用作用下的弯矩图下的弯矩图MP P 、Mi ；然后应用图乘法求出系数和自由项：；然后应用图乘法求出系数和自由项：iP、ij、ii；1iX （2 2）建立）建立(jinl)(jinl)典型方程典型方程建立方程条件建立方程条件力法力法：去掉多余约束处的位移条件去掉多余约束处的位移条件；位移法位移法：附加约束上约束反力的平衡条件。附加约束上约束反力的平衡条件。方程的性质方程的性质 力法力法：变形协调方程；变形协调方程；位移法位移法：平衡方程。平衡方程。 精品资料位移法：先作出基本体系分别在载荷位移法：先作出基本体系分别在载荷FPFP、单位位移（、单位位移（Zi=1)Zi=1)作

50、用作用(zuyng)(zuyng)下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项：杆中的反力，即位移法的系数和自由项：F i pF i p、k i jk i j、k iik ii。（4 4）解典型方程）解典型方程(fngchng)(fngchng)，求，求基本未知量。基本未知量。（5 5）绘制最后内力图）绘制最后内力图采用叠加法。采用叠加法。iipMM XMiiPMM ZM力法：力法：位移法：位移法： 精

51、品资料7.6 7.6 对称对称(duchn)(duchn)结结构的计算构的计算 对于对称结构用位移法求解时，可以取半边对于对称结构用位移法求解时，可以取半边(bnbin)(bnbin)结构进行计结构进行计算，所以下面先介绍半边算，所以下面先介绍半边(bnbin)(bnbin)结构的取法。结构的取法。 000000CHNCCVQCCCFFM以单跨刚架为例以单跨刚架为例，对称点对称点C的位移和内力如下：的位移和内力如下：1.1.奇数跨对称结构在对称荷载作用下奇数跨对称结构在对称荷载作用下 变形正对称，对称轴截变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，面不能水平移动，也不能转动，但是可以竖向移

52、动。取半边结但是可以竖向移动。取半边结构时可以用滑动支座代替对称构时可以用滑动支座代替对称轴截面。轴截面。 对称轴截面上一般有弯矩对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。和轴力，但没有剪力。精品资料000000CHNCCVQCCCFFM2.2.偶数跨对称偶数跨对称(duchn)(duchn)刚架在对称刚架在对称(duchn)(duchn)荷载作用下荷载作用下以双跨刚架为例，对称点以双跨刚架为例，对称点C的位移的位移(wiy)和内力如下：和内力如下：CB 变形正对称，对称轴截面无水平位移和变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截角位移，又因忽略竖柱的轴向变形

53、，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。替。 中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。精品资料000000CHNCCVQCCCFFM3.3.奇数奇数(j sh)(j sh)跨对称刚架在反对称荷载作用下跨对称刚架在反对称荷载作用下以单跨刚架为例，对称点以单跨刚架为例，对称点C的位移的位移(wiy)和内力如下：和内力如下：FPFP 变形反对称，对

54、称轴截面左半部分梁向下弯曲，变形反对称，对称轴截面左半部分梁向下弯曲，右半部分梁向上弯曲，由于结构是一个整体，在对称轴截右半部分梁向上弯曲，由于结构是一个整体，在对称轴截面面C处不会上下错开，故对称轴截面处不会上下错开，故对称轴截面C在竖直方向不会移在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。 对称轴截面对称轴截面C上无弯矩和轴力，但一般有剪上无弯矩和轴力，但一般有剪力。力。精品资料4.4.偶数偶数(u sh)(u sh)跨对称刚架在反对称荷载作用下跨对称刚架在反对称荷载作用下以两跨刚架为例以两跨刚架为例：图图1 1FPF

55、P 变形反对变形反对(fndu)称，中柱在左侧荷载称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。由中柱的弯曲变形引起的。 中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱

56、抗弯刚度的一半来计算。取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。精品资料小小 结结 （1 1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力内力(nil)(nil)存在，反对称的内力存在，反对称的内力(nil)(nil)一定为零；一定为零； （2 2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力反对称内力(nil)(nil)存在，对称的内力存在，对称的内力(nil)(nil)一定为零；一定为零； （3 3）对于对称结构，若荷载是任意的，则

57、可把荷载变换成：对称与反对）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；称两种情况之和； （4 4）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的方法进行）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。谁。精品资料例例1.1.利用对称性计算利用对称性计算(j sun)(j sun)图示结构，图示结构，EIEI为常数。为常数。 解：由于有两根对称轴，可以取解：由于有两根对称轴，可以取1/41/4 刚架进行刚架进行(jnx

58、ng)(jnxng)计算。计算。 原结构原结构1.1.未知量：未知量： A2221222422AEAEAAAFAFAAEIqLMLEIqLMLEIEIMMLL 2.2.杆端弯矩表达式：杆端弯矩表达式：LqqLACBD基本体系基本体系qAEFL/2L/2精品资料00AAEAFMMM2412AqLi 348AqLEI222412AEEAqLMqLM 222424AFFAqLMqLM 3.3.建立位移建立位移(wiy)(wiy)法方程法方程4.4.解方程，得：解方程，得：5.5.回代，得杆端弯矩：回代，得杆端弯矩：6.6.画弯矩图画弯矩图 qL224qL224qL224qL224qL212M图图 精

59、品资料例例2.2.利用对称性计算利用对称性计算(j sun)(j sun)图示结构。图示结构。 所有杆长均为所有杆长均为L L，EIEI也均相同。也均相同。原结构原结构(jigu) 解：解：1.由于该结构的反力是静定的，由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。求出后用反力代替约束。 2.该结构有两根对称轴，因此该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。把力变换成对称与反对称的。=原结构=对称+反对称FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2 FP/4FP/4FP/4FP/4+精品资料 对称情况，只是三根柱受轴力，对称情况，只是三

60、根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。因此不用计算。 反对称情况，梁发生相对错动，反对称情况，梁发生相对错动，因此会产生弯矩，但左右两半是因此会产生弯矩，但左右两半是对称的，可取半刚架计算。对称的，可取半刚架计算。 由于对称，中柱弯矩为零，因由于对称，中柱弯矩为零，因此可以不予考虑。此可以不予考虑。原结构FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2FP/2FP/2FP/2 精品资料反对反对(fndu)称情况的半刚称情况的半刚架：架： 此半刚架还是个对称结构，此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继荷载是反对称