lecture3 多元正态分布

1、1第三章第三章 多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计 北京交通大学李卫东2多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计n基础知识n多元正态分布n均值向量和协方差阵的估计n几种常用的抽样分布n实例分析3基础知识n随机向量n分布密度函数n多元变量的独立性n随机向量的数字特征n多元正态分布4一元分布一元分布一、 一元随机变量与概率分布函数二、概率分布函数的类型三、随机变量的数字特征四、一些重要的一元分布: 二项分布、泊松分布、正态分布5随机向量n随机向量: 由多个随机变量组成的向量。nn个样品，p个指标n数据表：变量为列，样品为行。),(21pXXXXX1X2Xp1 x11x12x1p2 x

2、21x22x2pn xn1xn2xnp6分布函数与密度函数n设随机向量n其多元分布函数为n记为XF,式中， 分布函数的性质: 非降的右连续函数； 分布函数的取值范围为0，1，即 0=F=0,对于任意x属于p维实数空间。2.),()(21pxxxFxFXpxpxdtdtdttttfxF,),()(212112 ppRxxxx),(21pRdxxf1)(8多元向量的独立性n两个随机向量X和Y是相互独立的，若nP（X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y0,则有：a) 的分布为b) 给定 ，),(pNXxx12p),(pNX1)(21pxxP多元正态分布的性质24条件分布和独立性若 ,将X， 作如下划分

3、：(p=2) ),(pNX,)2()1(XXX)2()1(22211211定理1若 , 则 ),(pNX , 0),()(21121)2()1(pNXX其中：)()2()2(12212)1(21X21122121121125条件分布和独立性若 , 将X， 作如下划分： ),(pNX,tsrXXXX)3()2()1(tsr333231232221131211定理2则 , 0)(),(32)2(132231231)3()2()1(XXXXE其中：)()3()(3XXEiikjkkikijkij1tsr)3()2()1(3211322312311)3()2()1(),(XXXD26样本统计量的极大似

4、然估计设 , X1,X2,Xn是来自总体X的样本，则),(pNXnjjjniiXXXXnSnnXnX11)()(111分别是 的极大似然估计量。,27 抽样分布 设 , X1,X2,Xn是来自总体X的样本，则有(n-1)S的分布为自由度为n-1的维希特随机分布； 是独立的。 ),(pNXSX,)/1 ( ,(nNXpSX和28 几种常用的抽样分布 一、维希特（一、维希特（WishartWishart）分布）分布 1 1、定义、定义随机矩阵的分布npnnppxxxxxxxxx212222111211X设随机矩阵 矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列向量拉长，组成一个长向量的分布。

5、npnppxxxxxx1221111x29 特别当 是 阶对称阵，则 的分布为的下三角部分组成的长向量XpXppppppppxxxxxxx,1,1, 1222111x30 在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当于一元统计中的 分布。 1928年由Wishart推导出来的。 22维希特（Wishart）分布31 定义定义 维希特（维希特（WishartWishart）分布的统计量）分布的统计量 设 个随机向量 n), 3 , 2 , 1(),(21niXXXipiii X)()2()1(212222111211npnnp

6、nnppXXXXXXXXXXXXX 独立同分布于 ，则),( pN 服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。n),( nWpniiiXX1)()(当i=0时，称为中心维希特分布，记为Wp(n,)32 定理1：若 ，且 ， ，则 的分布密度为特别，当 和 时， 服从 分布。),(nWppn 0 0,)21(|2)21exp(|)(1221) 1(212)1(ainAtraaFpinnppnpp1 p1 2维希特（ Wishart）分布的密度函数当p=1时，退化为 ，此时中心维希特分布退化为 ，维希特分布是卡方分布的推广。2)(22n33二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质： （1）若A

7、1和A2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。),(1nWp),(2nWp21 ),(21nnWp （2） ，C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。),(nWpCC),(CC nWm34定义： 则相互独立和设,),(),( ppNunW),(212uunpTn 称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。定理定理：),()()(212npTxxn 则相互独立和设,),(),(ppNxnW 当 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布，记为 。0uu12 nuu12 n),(2npT) 1,(12pnpFTnppn35 ),(1121

8、1 pxxx1x),(222212 pxxxx),(21 npnnnxxxx样本均值令 niin11样本叉积矩阵n1iXXXX)(iiS) 1,()()() 1(212npTxSxnn 则) 1,(1),(2 pnpFpnnpnpT且 定理定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有n21xxx,),(pN36霍特林Hotelling 分布n霍特林Hotelling 分布是t分布在多维情况下的推广。n定义 设n且X与S相互独立，np，则称统计量的分布为非中心霍特林 分布，记为。2T2T( ,)pNX( ,)pSWn 21TnX SX22( , ,)TTp n37维尔克斯分布n若 ，则称协差阵的行列式 为X的广义方差，称 为样本广义方差。其中 。n定义 若 且A1和A2相互独立，则称 (0,)pNX1Sn()()1()()nSXXXX11( ,)pAWn 1np22(,)pAWn 0 112AAA 为维尔克斯（wilks）统计量， 的分布称为维尔克斯分布，简记为 12( ,)p n n38实例分析n例3-1 以我国主要城市空气质量状况指标（2003年）为例进行说明。反映空气质量的指标主要有可吸入颗粒物(PM10) （单位：毫克/立方米）、二氧化硫(SO2) （单位：毫克/立方米）、二氧化氮(NO2) （单位：毫克/立方米）、空气质量达到及好于二级的天数(天)等。我们对上述四