大学电路第三章

1、3.电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析本章内容本章内容3.1 电路的图电路的图3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数3.6 结点电压法结点电压法3.3 支路电流法支路电流法3.4 网孔电流法网孔电流法3.5 回路电流法回路电流法1. 深刻理解并掌握电路的图和KCL和KVL独立方程数的基本概念。 2. 深刻理解并掌握支路电流法的概念及应用。3. 深刻理解并掌握网孔电流法和回路电流法的概念及应用。4. 深刻理解并掌握结点电压法的概念及应用。 本章重点本章重点3.1 电路的图电路的图1网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。图论的概念由瑞士数学家欧拉最早提出

2、，欧拉在1736年发表的论文依据几何位置的解题方法中应用图的方法讨论了各尼斯堡七桥难题，见图3.1a和b所示。 图3.1（a）哥尼斯堡七桥 图3.1（b） 对应的图 1920世纪，图论主要研究一些游戏问题和古老的难题，如哈密顿图及四色问题。1847年，基尔霍夫首先用图论来分析电网络，如今在电工领域，图论被用于网络分析和综合、通讯网络与开关网络的设计、集成电路布局及故障诊断、计算机结构设计及编译技术等等。随着计算机的发展，网络图论已成为计算机辅助分析中很重要的基础知识，也是网络分析、综合等方面不可缺少的工具。 图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是一些点

3、与线段的集合。在网络图中，将支路用线段表示，支路间的连接用点表示。2电路的图定义 电路的图是结点和支路的集合。是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，其中每条支路的两端都连到相应的结点上，孤立的结点也叫图，没有结点的支路不叫图。如图所示。通常将电压源与无源元件的串联、电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。 电路图电路的图（一个元件作为一条支路）电路的图（采用复合支路）有向图标定了支路方向（电流的方向）的图称为有向图。 连通图 图G的任意两结点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。有向图 非连通图 连通图 子图 若图G1中所有支

4、路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是图G的子图。电路的图（G） 图G的子图 G1 图G的子图 G1 从G的一个结点出发，依次通过图的支路和结点（每一支路和结点只通过一次），到达另一个结点（或回到原出发点），这种子图成为路径。 路径 树（T）是连通图G的一个子图，且满足下列条件： 连通； 包含图G中所有结点； 不含闭合路径。 树 构成树的支路称树枝 不属于树的支路称连支 树支 连支 电路的图与树的定义上图表明 1）对应一个图有很多的树；2）树支的数目是一定的，为结点数减一：bt=n-13）连枝数为 bl=b-bt=b-(n-1)回路l是连通图G的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件： 连

5、通； 每个结点关联2条支路。回路 电路的图与回路定义基本回路 对于图G的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树支组成，又称单连支回路。1）对应一个图有很多的回路； 2）基本回路的数目是一定的，为连支数；3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 l=b-(n-1) 即：电路中结点、支路和基本回路关系为：支路数树枝数连支数结点数1基本回路数 b=n+l-1 电路的图及其基本回路【例3-1】 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路 对应例图的三个树： 解对应三个树的基本回路3.2 KCLKCL和和KVLKVL的独立方程数的独立方程数1.KCL的独立方程数

6、对图中所示电路的图列出4个结点上的KCL方程（设流出结点的电流为正，流入为负）： 结点 结点 结点 结点 把以上4个方程相加，满足：0 结论：n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个，即求解电路问题时，只需选取n-1个结点（称为独立结点）来列出KCL方程。2KVL的独立方程数根据基本回路的概念，可以证明 KVL的独立方程数 = 基本回路数 = b-(n-1) 基本回路以外的回路上列写的KVL方程都可由基本回路上的方程线形组合而成，因而是不独立的 。 对于一个结点为n，支路数为b的连通图，在基本回路（即单连支回路）上列写的KVL方程是一组独立方程，方程数目= b-n+1。这些基本回路称为独立

7、回路。结论独立回路选择方法： 单连支回路法（基本回路法）： 确定一个树； 确定单连支回路（基本回路）,仅含唯一的连支， 其余为树支。3电路方程（n-1） 个KCL方程 b-(n-1) 个KVL方程 b 个VCR方程 3.3 支路电流法支路电流法1支路电流法 以各支路电流为未知量，列写独立电路方程分析电路的方法称为支路电流法。 对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。2. 支路电流方程的列写步骤(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；(2) 从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程(3) 选择基本回路，结合元

8、件的特性方程列写b-(n-1)个KVL方程(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。【例3-2】 求图示电路的各支路电流及电压源各自发出的功率。对结点a列 KCL 方程： -I1-I2+I3=0对两个网孔列 KVL 方程： 求解上述方程： I3=I1+I2=6-2=4电压源发出的功率：P70=670=420W P6=-26=-12W解解【例3-3】列写图示电路的支路电流方程（电路中含有理想电流源）。解一解一解二解二 备注：本例说明对含有理想电流源的电路，列写支路电流方程有两种方法，一是设电流源两端电压，把电流源看作电压源来列写方程，然后增补一个方程，即令

9、电流源所在支路电流等于电流源的电流即可。另一方法是避开电流源所在支路例方程，把电流源所在支路的电流作为已知。【例3-4】列写图示电路的支路电流方程（电路中含有受控源）。备注：本例求解过程说明对含有受控源的电路，方程列写需分两步：(1) 先将受控源看作独立源列方程；(2) 将控制量用支路电流表示，并代入所列的方程，消去控制变量。解【例3-5】列写图示电路的支路电流方程。解0621 iii0541 iii0653 iii41224411SSuuiRiRiR4443355SuiRiRiR 16115665SSuuiRiRiR 结点：结点：结点：结点：结点：结点：回路回路l1：回路回路l2：回路回路l

10、3： 3.4 网孔电流法网孔电流法1. 平面电路与非平面电路 凡是可以把所有元件都布置在一个平面上而端线不出现交叉重叠现象的电路，称为平面电路，称为平面电路，否则便是非平面电路。如下图中的（a）、（b）。对于（c）无论怎样调整布局，都做不到端线不发生交叉重叠，此时就为非平面电路。图3-2 平面电路与非平面电路2. 网孔电流法 网孔电流法是以网孔电流为未知量，根据KVL对全部网孔出方程求解。 式中具有相同下标的电阻R11，R22，Rmm等是各网孔的自阻，有不同下标的电阻R12，R23等是各网孔间的互阻。自阻总为正，互阻总为负。（所有网孔电流都取为顺（逆）时针。方程右边的US11，US22，Usm

11、m的方向与网孔电流一致时，前面取“-”号，反之取“+”号。方程的一般形式定义3解题步骤： 局部调整电路，当电路中含有电流源和电阻的并联组合时，可转化为电压源和电阻的串联组合； 选取网孔电流，方向取顺时针方向； 依据KVL列写网孔电流方程，自阻总为正，互阻视为流过的网孔电流方向而空，两电路同向取“+”，异向取“-”； 解方程求解； 作答。【例3-5】列写如下电路的回路电流方程，求电路中各电源提供的电功率。 联立上述方程解得：各电源提供的电功率分别为： 3.5 回路电流法回路电流法 为减少未知量 ( 方程 ) 的个数，假想每个基本回路中有一个回路电流沿着构成该回路的各支路流动。各支路电流用回路电流

12、的线性组合表示。来求得电路的解。基本思想： 1回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，则称为网孔电流法。 图示电路有两个独立回路，选两个网孔为独立回路，设网孔电流沿顺时针方向流动，如图所示。可以清楚的看出，当某支路只属于某一回路（或网孔），那么该支路电流就等于该回路（网孔）电流，如果某支路属于两个回路（或网孔）所共有，则该支路电流就等于流经该支路两回路（网孔）电流的代数和。如下图电路中： 支路电流与回路电流的关系 回路电流法列写的方程 回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关结点回路电流流进一次，必流出一次，所以回路电流自动满足KCL。因此

13、回路电流法是对基本回路列写KVL方程，方程数为：b-(n-1) 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。 2. 方程的列写 应用回路法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以回路电流为变量的回路电压方程。以上图电路为例列写网孔的KVL方程，并从中归纳总结出简便列写回路KV方程的方法。 第一个等式中，il1前的系数(R1 + R2)是网孔1中所有电阻之和，称它为网孔1的自电阻，用R11表示；il2前的系数- R2是网孔1和网孔2公共支路上的电阻，称它为两个网孔的互电阻，用R12表示，由于流过R2的两个网孔电流方向相反，故R2前为负号；等式右端us1-us2表示网孔1中电压源的代数和，用us11表示

14、，us11中各电压源的取号法则是，电压源的电压降落分向与回路电流方向一致的取负号，反之取正号。用同样的方法可以得出等式2中的自电阻、互电阻和等效电压源分别为：观察方程可以看出如下规律：自电阻：R22 = (R2 + R3) 互电阻：R21= - R2等效电压源： 由此得回路（网孔）电流方程的标准形式： 对于具有l=b-(n -1) 个基本回路的电路，回路（网孔）电流方程的标准形式: R11 il1+ R12il2+R1l il l= us11 R21 il1+ R22il2+R2l il l = us22 Rl1 il1+ Rl2il2+Rll il l= usll 其中：自电阻Rkk为正；

15、互电阻 RjkRkj可正可负，当流过互电阻的两回路电流方向相同时为正，反之为负； 等效电压源uSkk中的电压源电压方向与该回路电流方向一致时，取负号；反之取正号。R11 il1+ R12il2= us11 R21 il1+ R22il2= us22备注：当电路不含受控源时，回路电流方程的系数矩阵为对称阵。(1) 选定l=b-(n -1)个基本回路，并确定其绕行方向；(2) 对l个基本回路，以回路电流为未知量，列写 KVL 方程；(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；(4) 求各支路电流(用回路电流表示 ) ；(5) 其它分析。备注：电路中含有理想电流源和受控源时，回路方程的列写参见例题。回路

16、电流法的一般步骤：【例3-5】列写如下电路的回路电流方程，说明如何求解电流i。选网孔为独立回路 不含受控源的线性网络，回路方程的系数矩阵为对称阵，满足 Rjk = Rkj。 当网孔电流均取顺时针或逆时针方向时，Rkj均为负。本例结果说明解1 为了减少计算量，可以只让一个回路电流经过R5支路如图所示。此时回路方程为： 解2 一个回路电流经过R5支路备注：解法2的特点是计算量减少了，但互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。本题也说明独立回路的选取有多种方式，如何选取要根据所求解的问题具体分析。【例3-5】列写如下电路的回路电流方程，求电路中各电源提供的电功率。解联立上述方程解得：各电源提供的电功

17、率分别为：【例3-6】 列写图中所示电路的回路电流方程（电路中含有无伴理想电流源）。解1解2选取网孔为独立回路备注：本题说明对含有无伴理想电流源的电路，回路电流方程的列写有两种方式：电流源支路仅属于一个回路1. 引入电流源电压U ，把电流源看作电压源列写方程，然后增补回路电流和电流源电流的关系方程，从而消去中间变量U 。这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。2. 使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流等于已知的电流源电流IS。这种方法列写的方程数少。在一些有多个无伴电流源问题中，以上两种方法往往并用。【例3-7】 列写图中所示电路的回路电流方程（电路中含有受控源）。解选网孔

18、为独立回路【例3-8】 列写图中所示电路的回路电流方程。选网孔为独立回路如图所示，设电流源和受控电流源两端的电压分别为U2和U3，则回路电流方程为：回路1 ( R1 + R3) i1 R3 i3=-U2回路2 R2 i2 =U2U3回路3 - R3 i1+ (R3+ R4 + R5) i3R5 i4= 0回路4 R5 i3+ R5 i4=U3U1方程中多出U1、U2 和U3三个变 量，需增补三个方程： is= i1 i2 R1 i1=U1 i4 i2=gU1选网孔为独立回路解1解2 独立回路的选取如图所示，回路方程为： 回路1 is= i1 回路2 R1 i1+ (R1+ R4 + R2) i

19、2+R4 i3=U1 回路3 -R3i1+ R4i2+(R3+ R4 + R5) i2 R5i4=0 回路4 i4 =gU1 增补方程： R1 (i1i2 ) =U1【例3-9】 求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。独立回路的选取如图所示，回路方程为：回路1 i1= 2A回路2 i2= 2A回路3 i3= 3A回路4 6i43i1 +i2 4i3=-4从中解得： i4=(6-2+12-4/6) = 2A则所求电流：I = I1+I3- I4= 2+3-2 = 3A电压： 2i4 +4 =U =8V电压源产生的功率：P = 4i4=-8W 3.6 结点电压法结点电压法 选结点电压为未知量，

20、可以减少方程个数。结点电压自动满足KVL，仅列写KCL方程就可以求解电路。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。结点电压法的基本思想：1结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。结点电压与支路电压的关系 在电路中，任选一结点作参考点：其余各结点与参考点之间的电压差称为相应各结点的电压（位），方向为从独立结点指向参考结点。如下图示电路，选下部结点为参考结点，设结点1，2，3的电位分别为un1，un2，un3 。则支路1的电压为结点的电压un1，支路2的电压为结点和结点的电压差，依此类推，任一支路电压都可以用

21、结点电压表示。 如图所示电路中各支路电压分别为： u1= un1 u2 = un1- un2 u3 = un2- un3 u4 = un2 u5 = un3 u6 = un1- un3各支路电流通过支路电压可以求出。如支路电流： 结点电压法列写的方程 观察上图可见，对电路中任何一个回路利用结点电压列KVL方程，每一个结点电压一定出现一次正号和一次负号。如支路1，2，4构成的回路，KVL方程为：- un1 +( un1- un2)+ un2 = 0 以上说明结点电压自动满足KVL。因此结点电压法是对结点列写KCL方程，方程数为（n-1）。2方程的列写 应用结点法分析电路的关键是如何简便、正确地列

22、写出以结点电压为变量的方程。以上页电路图为例列写结点上的KCL方程，并归纳总结出简便列写结点电压方程的方法。 对各结点列 KCL 方程： 结点： i1 +i2 = is1 + is6 结点： -i1 +i3 +i4= o 结点： -i3 +i5 = - is6把各支路电流用结点电压表示：将以上方程按未知量顺序排列整理得：令Gk=1/Rk，k =1,2,3,4,5 。上式简记为：(G1+ G2)un1- G2un2= is1 + is2-G2un1+ (G3+ G2+ G4)un2-G3un3= 0-G3un2+ (G3+ G5)un3 = -is2+ us/ R5观察方程可以看出如下规律： 等

23、式1：G1+ G2为接在结点上所有支路的电导之和，称结点的自电导，用G11表示。 -G2为结点与结点之间的互电导，应等于接在结点与结点之间的所有支路的电导之和，始终为负值，用G12表示。 iS1 +iS2为流入结点的电流源电流的代数和，称为等效电流源，用i11表示，计算时以流入结点的电流源为正，流出结点的电流源为负。 用同样的方法可以得出等式2和等式3中的自电导、互电导和等效电流源分别为： G22= G3+ G2+ G4 G21= - G2 G23=-G3 i22= 0 G33= G3+ G5 G32= - G3 G31= 0 i33=-iS2+us/ R5由此得结点电压方程的标准形式： G1

24、1un1+G12un2= iS11 G21un1+G22un2= 0 G31un1+G33un3= iS33结论：对于具有n个结点的电路，结点电压方程的标准形式： G11un1+G12un2+G1n-1un-1= iS11 G11un1+G12un2+G2n-1un-1= iS22 G11un1+G12un2+Gn-1n-1un-1= iSn-1n-1其中： Gii自电导，等于接在结点i上所有支路电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 Gij=Gji互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。 iSii流入结点i的电流源电流的代数和（包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源）。 备注：备注：当电路不含受控源时，结点电压方程的系数矩阵为对称阵。 (1) 选定参考结点，标定其余n-1个独立结点；(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；(3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压；(4) 求各支路电流（用结点电压表示）；(5) 其它分析。结点法的