专升本高等数学二（解答题）模拟试卷2（共135题）

专升本高等数学二（解答题）模拟试卷2（共9套）（共135题）专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第1套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限．标准答案：所求极限为∞一∞型，不能直接用洛必达法则，通分变成型．知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、证明当x＞0时，有．标准答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、求函数的连续区间和相应的极值：标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．标准答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．知识点解析：暂无解析设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0．8、验证f’’(μ)+=0；标准答案：求二元复合函数z=的二阶偏导数中必然包含f’(μ)及f’’(μ)，将的表达式代入等式=0中，就能找出f’(μ)与f’’(μ)的关系式，由题意可知μ=，则知识点解析：暂无解析9、若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式．标准答案：在方程f’’(μ)+=0中，令f’(μ)=g(μ)，则f’’(μ)=g’(μ)，方程变为g’(μ)+=0，这是可分离变量微分方程，解得g(μ)=，即f’(μ)=，由初始条件f’(1)=1C1=1，所以f’(μ)=，两边积分得f(μ)=lnμ+C2，由初始条件f(1)=0C2=0，所以f(μ)=lnμ．知识点解析：暂无解析10、求微分方程y’+ysinx=sinx满足=π的特解．标准答案：利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式可得y=e－∫sinxdx(sinxe∫sinxdx+C)=ecosx(∫sinxe－cosxdx+C)=ecosx(∫e－cosxd(－cosx)+C)=ecosx(e－cosx+C)=Cecosx+1，将初始条件=π，代入得C=π一1，故原方程的特解为y=ecosx(π一1)+1．知识点解析：暂无解析11、求函数单调区间和极值：标准答案：知识点解析：暂无解析12、将f(x)=sin2x展成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求过点(2，1，1)，平行于直线且垂直于平面x+2y一3z+5=0的平面方程．标准答案：直线的方向向量为s=｛3，2，一1｝，平面的法向量为n1=｛1，2，一3｝，s×n1==一4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x一2)一2(y一1)－(z－1)=0，即x一2y－z+1=0．知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第2套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、标准答案：知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析9、已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．标准答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．知识点解析：暂无解析10、已知f(x)在[a，b]上连续且f(a)一f(b)，在(a，b)内f’’(x)存在，连接A(a，f(a))，B(b，f(b))两点的直线交曲线y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，试证在(a，b)内至少有一点ξ使得f’’(ξ)=0．标准答案：由f(a)=f(b)且f(x)在[a，b]上连续可知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)内有一点η1，使得f’(η1)=0；在(c，b)内有一点η2，使得f’(η2)=0，这里a＜η1＜c＜η2＜b．再由罗尔定理，知在(η1，η2)内至少有一点ξ，使得f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析11、标准答案：0；1；1；0知识点解析：暂无解析12、求下列定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析13、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第3套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析2、设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?标准答案：设底边长为x，直柱体高为y，则V=，S’=，令S’=0得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为时，表面积最小．知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析已知曲线y=x2，4、求该曲线在点(1，1)处的切线方程；标准答案：因为y’=2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x一1；知识点解析：暂无解析5、求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；标准答案：S=∫01；知识点解析：暂无解析6、求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．标准答案：V=∫01π(x2)2dx一．知识点解析：暂无解析7、z=f(x，ex，sinx)，求．标准答案：令μ=ex，ν=sinx，则z=f(x，μ，ν)，于是知识点解析：暂无解析8、求函数极限：标准答案：知识点解析：暂无解析9、设微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，求该微分方程．标准答案：特解的一阶导数y’=2e2x+(2+x)ex，y’’=4e2x+(3+x)ex，将y’，y’’代入到原方程中可得4e2x+(3+x)ex+a[2e2x+(2+x)ex]+b[e2x+(1+x)ex]=(4+2a+b)e2x+[(a+b+1)x+2a+b+3]ex=cex．对应系数相等，故可得故原方程为y’’一3y’+2y=一ex．知识点解析：暂无解析10、求函数单调区间和极值：标准答案：知识点解析：暂无解析11、判断的敛散性．标准答案：发散．知识点解析：暂无解析12、求下列函数的定义域：标准答案：知识点解析：暂无解析13、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第4套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限．标准答案：Sn=．知识点解析：暂无解析2、求函数y=的导数．标准答案：等式两边取对数得lny=，两边对x求导得，所以y’=．知识点解析：暂无解析3、设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、求反常积分∫－∞＋∞．标准答案：∫－∞＋∞．知识点解析：暂无解析6、设z=x3f(xy，)，f具有连续的二阶偏导数，求．标准答案：=x4f1’+x2f2’，=x4(xf11’’+f12’’)+x2(xf21’’+f22’’)=x5f11’’+2x3f12’’+xf22’’，=4x3f1’+x4(yf11’’一f12’’)+2xf2’+x2(yf12’’一f22’’)=4x3f1’+2xf2’+x4yf11’一yf22’’．知识点解析：暂无解析7、标准答案：由题意知：P(A)=1/2;P(B)=1/2;知识点解析：暂无解析8、判断的敛散性．标准答案：因为，而级数发散，由比较：判别法知，所给级数是发散的．知识点解析：暂无解析判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?9、；标准答案：原级数为交错级数，并化为．知识点解析：暂无解析10、(a＞0)．标准答案：级数为任意项级数，因，用比值法判别的敛散性．故收敛，由比较判别法知原级数为绝对收敛．知识点解析：暂无解析11、设平面π通过点M(2，3，一5)，且与已知平面x—y+z=1垂直，又与直线平行，求平面π的方程．标准答案：用一般式求之．设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，则从而，平面π的方程为x一2y一3z=11．知识点解析：暂无解析12、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第5套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，证明：g’(x)=2g(x)．标准答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．知识点解析：暂无解析2、求极值：标准答案：知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、求曲线，z=t2过点(，2，1)的切线方程及法平面方程·标准答案：x’(t)=，y’(t)=，z’(t)=2t．该点为t=1时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为s=(，一1，2、)．所求切线方程为：．法平面方程为：一(y一2)+2(z一1)=0，即2x一8y+16z一1=0．知识点解析：暂无解析7、求微分方程3x2一2x一3y’=0的通解．标准答案：方程分离变量得dy=(x2一x)dx，两边积分得∫dy=∫(x2一x)dx，即通解为y=+C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析8、求微分方程xy’+y=xsinx2满足的特解．标准答案：将原方程改写成y’+=sinx2，则将初始条件，故原方程的特解为y=．知识点解析：暂无解析9、求函数单调区间和极值：标准答案：知识点解析：暂无解析10、根据a的取值情况，讨论级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析11、判断的敛散性．标准答案：因为，而级数发散，由比较：判别法知，所给级数是发散的．知识点解析：暂无解析12、判断的敛散性．标准答案：收敛．知识点解析：暂无解析13、求幂级数xn的收敛域．标准答案：所以收敛半径R=．当x=时，级数变为，发散；当x=时，级数变为，收敛．因此原级数的收敛域为．知识点解析：暂无解析14、求下列函数在给定的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第6套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、标准答案：知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、讨论分段函数f(x)=在x=0处的连续性．标准答案：≠f(0)．所以f(x)在x=0处不连续，为可去间断点．知识点解析：暂无解析8、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析9、设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb—arctana＜．标准答案：只需证明，在[a，b]上用拉格朗日中值定理，知识点解析：暂无解析10、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．标准答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．知识点解析：暂无解析11、已知二阶可导函数y=f(x)满足f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，求f(x)．标准答案：对等式求导得f’(x)=3x2一∫0xf(t)dt—xf(x)+xf(x)=3x2一∫0xf(t)dt，再求导得f’’(x)=6x一f(x)，即f’’(x)+f(x)=6x，这是二阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0，所以r1=i，r2=一i，故对应二阶齐次微分方程通解为y=C1cosx+C2sinx．λ=0不是该微分方程的特征根，故特解形式为y*=Ax+B，(y*)’=A，(y*)’’=0，代入原方程得Ax+B=6x，解得A=6，B=0．故通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+6x，又方程满足f(0)=1，f’(0)=0，所以解之可得C1=1，C2=一6，故函数f(x)=cosx一6sinx+6x．知识点解析：暂无解析12、求幂级数(x一1)2n的收敛域．标准答案：令(x一1)2=t，则级数化为tn．∵=1．∴R=1．故级数在0≤t＜1，即一1＜x一1＜1上收敛，而当t=1时，即x=2或x=0时，级数为，这是交错级数，由莱布尼茨定理知级数收敛．∴级数在[0，2]上收敛．知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第7套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求．标准答案：0．∞型，先变形为，再求极限．=1．知识点解析：暂无解析2、求极限．标准答案：因x≠0，且x→0时，有0≤≤｜x｜．而｜x｜=0，故由夹逼准则得原式=0．知识点解析：暂无解析3、函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．标准答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．知识点解析：暂无解析4、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析5、求下列函数的全微分：标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、求∫(x—ex)dx．标准答案：∫(x－ex)dx=∫xdx－∫exdx=一ex+C．知识点解析：暂无解析8、求函数的连续区间和相应的极值：标准答案：知识点解析：暂无解析9、设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=1+∫1xf(t)dt，求f(x)．标准答案：因f(x)=1+∫1xf(t)dt可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，所以f’(x)=，则f(x)=lnx+C，再由x=1时，f(1)=1，得C=1，故f(x)=lnx+1．知识点解析：暂无解析10、求空间曲线：x=∫0teμcosμdμ，y=2sint+cost，z=1+e3t在t=0处的切线方程和法平面方程．标准答案：当t=0时，x=0，y=1，z=2，x’=etcost，y’=2cost—sint，z’=3e3t，则x’(0)=1，y’(0)=2，z’(0)=3，于是，切线方程为：，法平面方程为：x+2(y一1)+3(z一2)=0，即x+2y+3z一8=0．知识点解析：暂无解析11、已知二阶可导函数y=f(x)满足f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，求f(x)．标准答案：对等式求导得f’(x)=3x2一∫0xf(t)dt—xf(x)+xf(x)=3x2一∫0xf(t)dt，再求导得f’’(x)=6x一f(x)，即f’’(x)+f(x)=6x，这是二阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0，所以r1=i，r2=一i，故对应二阶齐次微分方程通解为y=C1cosx+C2sinx．λ=0不是该微分方程的特征根，故特解形式为y*=Ax+B，(y*)’=A，(y*)’’=0，代入原方程得Ax+B=6x，解得A=6，B=0．故通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+6x，又方程满足f(0)=1，f’(0)=0，所以解之可得C1=1，C2=一6，故函数f(x)=cosx一6sinx+6x．知识点解析：暂无解析12、求幂级数xn的收敛域．标准答案：所以收敛半径R=．当x=时，级数变为，发散；当x=时，级数变为，收敛．因此原级数的收敛域为．知识点解析：暂无解析13、将函数f(x)=展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第8套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求．标准答案：=e×e=e2．知识点解析：暂无解析2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、证明：当x＞0时，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1一，f’’(x)=当x＞0时，f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，故有f’(x)＞f’(0)=0，则f(x)单调递增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx．知识点解析：暂无解析4、已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．标准答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．知识点解析：暂无解析5、求空间曲线：x=∫0teμcosμdμ，y=2sint+cost，z=1+e3t在t=0处的切线方程和法平面方程．标准答案：当t=0时，x=0，y=1，z=2，x’=etcost，y’=2cost—sint，z’=3e3t，则x’(0)=1，y’(0)=2，z’(0)=3，于是，切线方程为：，法平面方程为：x+2(y一1)+3(z一2)=0，即x+2y+3z一8=0．知识点解析：暂无解析6、求微分方程ysindy=0的通解．标准答案：分离变量，得，两边积分，有ln｜y｜=－2ln｜cos｜+ln｜C1｜，故方程通解为y=，其中C(C=2C1)为任意常数．知识点解析：暂无解析7、求方程(y2+1)dx＋xydy=0，满足y｜x=1=1的特解．标准答案：方程分离变量得两边积分有ln(y2+1)+ln｜C｜，则=C．由y｜x=1=1代入方程得C=．则方程的特解为．知识点解析：暂无解析8、求y’’一y’一2y=sin3x的特解．标准答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一r一2=0，r1=一1，r2=2，ω=3i不是特征方程的根，故设原方程的特解为y=Asin3x+Bcos3x，则y’’=一3Bsin3x+3Acos3x，y’’=一9Asin3x一9Bcos3x，代入原方程得一9Asin3x一9Bcos3x一(一3Bsin3x+3Acos3x)一2(Asin3x+Bcos3x)=sin3x，则cos3x．知识点解析：暂无解析9、求y’’+y’一12y=(x+2)e－x的通解．标准答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2+r一12=0，解得r1=一4，r2=3，所以对应的齐次方程的通解为=C1e－4x+C2e3x，λ=一1，不是特征方程的根，故设原方程的特解为y*=e－x(Ax+B)，则(y*)’=e－x(一Ax—B+A)，(y*)’’=e－x(Ax+B一2A)，代入原方程得e－x(Ax+B一2A)+e－x(一Ax—B+A)一12e－x(Ax+B)=(x+2)e－x，解得，故原方程的通解为y=C1e－4x+C2e3x+e－x．其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析10、已知二阶可导函数y=f(x)满足f(x)=x3+1一x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，求f(x)．标准答案：对等式求导得f’(x)=3x2一∫0xf(t)dt—xf(x)+xf(x)=3x2一∫0xf(t)dt，再求导得f’’(x)=6x一f(x)，即f’’(x)+f(x)=6x，这是二阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0，所以r1=i，r2=一i，故对应二阶齐次微分方程通解为y=C1cosx+C2sinx．λ=0不是该微分方程的特征根，故特解形式为y*=Ax+B，(y*)’=A，(y*)’’=0，代入原方程得Ax+B=6x，解得A=6，B=0．故通解为f(x)=C1cosx+C2sinx+6x，又方程满足f(0)=1，f’(0)=0，所以解之可得C1=1，C2=一6，故函数f(x)=cosx一6sinx+6x．知识点解析：暂无解析11、求下列定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析专升本高等数学二（解答题）模拟试卷第9套一、简单解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限．标准答案：所求极限为0．∞型，先变形为型．=0．知识点解析：暂无解析2、证明方程x3+x2+3x=一1至少有一个大于一1的负根．标准答案：令f(x)=x3+x2+3x+1，f(一1)=一2＜0，f(0)一1＞0，f(x)在(一1，0)上连续，由零点定理知，在(一1，0)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，所以方程在(一1，0)内至少有一根，即方程至少有一个大于一1的负根．知识点解析：暂无解析3、设f(x)=3x，g(x)=x3，求f’[g’(x)]．标准答案：因为f’(x)=3xln3，g’(x)=3x2，所以f’[g’(x)]=f’(3x2)=33x2ln3．知识点解析：暂无解析4、设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，试求函数g(x)=的导数．标准答案：当x≠0时，g’(x)=；知识点解析：暂无解析5、标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识