控制系统状态空间设计

1、控制系统状态空间设计2022年7月4日2 设计实例设计实例内模控制器自动检测系统2022年7月4日3例9-43 内模控制器 在许多实际场合，状态变量反馈方法并不是一种改善系统性能的实用方法。其主要原因为： 其一，状态变量反馈往往要求用具有无限带宽的PD控制器或PID控制器来实现，但实际部件和控制器都只有有限的带宽； 其二，实际应用中通常无法测量和反馈所有的状态变量，除了设置状态观测器以外，实用的状态反馈综合装置只能依赖于系统的输出、输入和少量的可测量的状态变量，从而影响系统综合的效果。2022年7月4日4 内模控制器是另一类校正控制器，能以零稳态误差渐近跟踪各类参考输入信号，如阶跃信号、斜坡信

2、号及正弦信号等。众所周知，在经典控制理论中，对于阶跃输入信号，型系统可以实现零稳态误差跟踪。如果在校正控制器中引入参考输入的内模，则可以在状态空间设计法中推广这一结论。采用类似的内模控制器方法，可以在更多的情况下实现零稳态误差跟踪。2022年7月4日5设单输入-单输出系统的状态空间表达式为)()()()()(ttytuttcxbAxx其中，xRn为状态向量，u为标量输入，y为标量输出，A、b和c维数适当。 生成参考输入信号r(t)的线性系统为)()()()(ttrttrrrrrxdxAx 其中，初始条件未知。2022年7月4日6 此外，参考输入r(t)的生成系统也可以等效为)()()()2(2

3、)1(1)(trtrtrnnnnn)()(01trtr 首先考虑参考输入r(t)为单位阶跃信号时的内模控制器设计。此时，r(t)可由下列方程生成：)()(0)(txtrtxrr ，或等价为0)(tr 2022年7月4日7定义跟踪误差)()()(tytrte于是有)()()(ttytexc 现在，引入两个中间变量z(t)和w(t)，其定义为：)()()()(tutwtt，xz故有)()()()(tuttt bxAxz)()(twtbAz2022年7月4日8则式(9-414)与式(9-415)构成如下增广系统方程weebzAcz000当增广系统可控时，即10rank122nnnbAbAAbbbcA

4、cAbcb)()()(twttbAzz)()()(ttytexc2022年7月4日9总可以找到反馈信号)()()(21ttektwzk使该系统渐近稳定。这表明跟踪误差e(t)是渐近稳定的，因此系统输出能以零稳态误差跟踪参考输入信号。当增广系统可控时，即10rank122nnnbAbAAbbbcAcAbcb2022年7月4日10)(d)()(021tektutxk 对式(9-418)求积分，可得系统内部的反馈控制信号为与此对应的框图模型如图9-43所示。 图9-43 阶跃输入的内模设计k1k2+-es1-对象G(s)2212 ssY(s)R(s)ux)()()(21ttektwzk2022年7月

5、4日11 由图可见，在校正控制器中，除包含有状态变量反馈外，还包含了参考阶跃输入的内模（图中积分器环节），故称为内模控制器。 下例为一个具体系统的单位阶跃输入内模控制器的设计过程。k1k2+-es1-对象G(s)2212 ssY(s)R(s)ux2022年7月4日12设有)(01)()(21)(2210)(ttytuttxxx 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日13要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。由式(9-416)weebzAcz000wee210220100010zz 知增广系统方程为

6、由于可控性矩阵3862621210rank0rank2bAAbbcAbcb满秩，增广系统可控，2022年7月4日14故通过状态反馈23121zkzkekzewk要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。式中k=k1 k2 k3，可任意配置闭环增广系统的极点。2132121210220100010zzekkkzze2022年7月4日152132121210220100010zzekkkzze如果要求闭环极点为s1，2=-1j，s3=-10，则希望特征方程为)10)(1)(1(sjsjs020221223sss要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日16而实

7、际特征方程为04)2() 22(22)1 ( 22101det13212323321321kskkkskkskskkkksks2132121210220100010zzekkkzze要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日17则由式(9-419)得到内模控制律为)(09. 1)(83. 7d)(5)(210txtxetut相应的单位阶跃输入内模控制系统的结构图如图9-44所示。020221223sss04)2()22(13212323kskkkskks要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。令上述两个特征方程式的对应项系数相等，解得k1=-5，k2=7

8、.83，k3=1.09或者 k1=-5，k2=2.17，k3=3.912022年7月4日18521.09227.83s1s1s1reux1=yx22x 1x 图9-44 单位阶跃输入内模控制系统要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日19显然，本例设计的内模控制系统是渐近稳定的。对任意初始跟踪误差e(0)，反馈控制信号都可以保证在t时，e(t)0。图9-45直观地表明了系统在单位阶跃参考输入时，跟踪误差的渐近收敛性。要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。图9-45 跟踪误差 的内模设计响应，输入为单位阶跃响应，初始跟踪误差非零跟踪误差时间(s)202

9、2年7月4日20 其次，考虑参考输入为斜坡信号的内模设计问题。单位斜坡参考输入信号为r(t)=t，由下列系统生成：rrrrrrrrxxdxxAx010010要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日21)()()()2(2) 1(1)(trtrtrnnnnn)()(01trtr设单输入-单输出系统的状态空间表达式为)()()()()(ttytuttcxbAxx)()()(ttytexc ，有，定义跟踪误差单输出系统，则对于单输入且有yretr)4099(0)( 单位斜坡参考输入信号为r(t)=t要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日2

10、2令中间变量uw ，xz有czxcbAzbxAzbxAxz yewuu要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。构造增广系统weeeebzAcz000000010 （9-420）2022年7月4日23若系统(9-420)可控，即2000rank322nbAbAAbbbcAcAbcbcAbcb则存在状态反馈zkeekkw321zk321ekekweeeebzAcz000000010 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日24要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。可使增广闭环系统zkbAczeekkee 321000000010zbkAbbc

11、eekk32100010渐近稳定。（9-422）2022年7月4日25 其中，k1、k2和k3可由要求的闭环增广系统(9-422)的极点位置来确定。这样，当t时，必有e(t)0。z eezbkAbbceekk32100010要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日26 对式(9-421)作二次积分，可得含有输入内模信息的反馈控制信号)(d)(dd)()(030201tekektutttxk 斜坡输入的内模设计系统框图如图9-46所示。zk321ekekw要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日27图9-46 斜坡输入的内模设计k1k2

12、对象k3euxR(s)Y(s)s1s1)(d)(dd)()(030201tekektutttxk 要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日28 由图9-46可见，虚框表示的控制器中含有两个积分器，这正是斜坡输入的内模形式。类似地，可以将内模方法推广到处理其他参考输入形式。此外，如果将扰动信号的生成模型也纳入校正控制器中，还可以通过扰动内模设计来克服持续扰动对系统性能的影响。要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。2022年7月4日29例9-45 自动检测系统 电气开关面板上有各种开关、继电器和指示灯，若采用手工方式检测，会降低产量并造成较大的检验误差。

13、图9-51是一个自动检测系统示意图，该系统通过直流电机来驱动一组探针，使探针穿过零件的引线，以便检测零件的导通性能、电阻及其他功能参数。解码器编码器电机磁场电压开关面板探针导杆导轨选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%2022年7月4日30 该自动检测系统利用直流电机上的编码器来测量电压和探针的位置，如图9-52所示。其框图模型如图9-53所示，其中K为所需要的功率放大系数。解码器直流电机磁场电流增量编码器电机激磁磁场放大器U(s)(s)Vf(s)If(s)K51s)1(1ss选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%

14、2022年7月4日31设状态变量选择为：x1=，x2=d/dt，x3=if；假定这些状态变量均可测，且能用于反馈，形成图9-54所示闭环系统，其中控制律332211xKxKxKu图9-54 反馈控制系统选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%R(s)输入1U(s)Kx3x2x1输出位置51s11ss1-K3-K2-K12022年7月4日32 本例的设计目标是：合理选择放大器增益K和反馈增益K1、K2和K3，使系统单位阶跃响应的调节时间小于2s(=2%)，超调量小于4%。选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%2022年

15、7月4日33解 首先列写系统的状态方程。由图9-54可见，当系统状态反馈未接入时，有)()()(tuttbAxxuK00500110010 x选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%R(s)输入1U(s)Kx3x2x1输出位置51s11ss1-K3-K2-K12022年7月4日34当系统接入状态反馈控制律，并令K1=1时，得闭环系统方程为)()()5(110010)(32ttKKKKKtxAxx选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%R(s)输入1U(s)Kx3x2x1输出位置51s11ss1-K3-K2-K12022

16、年7月4日35)()()5(110010)(32ttKKKKKtxAxx选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%，令0)det( AI s0)(5)6(32233KsKKKsKKs上式可写为0)1()5)(1(333223KsKKKsKKsss可得闭环系统特征方程2022年7月4日36其等效闭环特征方程为0)5)(1()1(1333223sssKsKKKsKK以KK3为可变参数，绘制等效系统的根轨迹图，并适当选择待定参数，使系统性能满足设计指标。0)1()5)(1(333223KsKKKsKKsss选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s

17、(=2%), %4%2022年7月4日37根据给定的性能指标要求，应有25 . 4%4%e100%21/nst故可求得1 . 372. 0n，则系统希望主导极点在复平面上的有效取值区域，如图9-55(a)中阴影线区域所示。选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%2022年7月4日38 为了把根轨迹拉向图9-55(a)所示阴影线区域，将等效系统的开环零点取为s=-4j2（位于阴影线区域内），且令)24)(24(133322jsjsKsKKKs2082ss选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4% 满足性能指标要求1 . 3

18、n72. 0的有效区域实轴虚轴2022年7月4日39即有20183332KKKK，解出05. 035. 032KK，)24)(24(133322jsjsKsKKKs2082ss选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%2022年7月4日40 运行图9-55(b)所式MATLAB文本，可以画出以KK3为可变参数的根轨迹图，如图9-55(a)所示。选择K和反馈增益K1,K2和K3,使单位阶跃响应的ts2s(=2%), %4%Root locus script for Automatic Test System%including performance specs regionsnum=1 8 20;den=1 6 5 0;clg;rlocus(num,den);hold on%zeta=0.72;wn=3.1;x=-10:0.1:-zeta*wn;y=-(sqrt(1-zeta2)/zeta)*x;xc=-10:0.1:-zeta*wn;c=sqrt(wn2-xc.2);plot(x,y,:,x,-y,:,xc,c,:,xc,-c,:);gridpause作 图2022年7月4日41 由图