MATLAB-3矩阵运算

1、1第三章第三章 MATLAB矩阵（数值）运算矩阵（数值）运算2矩阵和数组运算矩阵和数组运算要求内容：要求内容：（1 1）熟练掌握）熟练掌握矩阵的创建矩阵的创建。 （2 2）掌握）掌握矩阵运算矩阵运算和和数组运算数组运算。 （3 3）学会如何使用）学会如何使用矩阵运算函数矩阵运算函数和和数组运算函数数组运算函数。 （4 4）注意区分矩阵和数组的差别，特别是运算符的差别。）注意区分矩阵和数组的差别，特别是运算符的差别。 MATLABMATLAB矩阵及其计算矩阵及其计算3一、矩阵的构造；一、矩阵的构造；二、矩阵元素的标识和寻访；二、矩阵元素的标识和寻访；三、矩阵分析；三、矩阵分析；四、矩阵运算。四、

2、矩阵运算。4一、一、 矩阵的构造矩阵的构造1 1、直接输入直接输入2 2、利用、利用内部函数内部函数产生矩阵产生矩阵3 3、利用、利用M M文件文件产生矩阵产生矩阵4 4、数组编辑器产生矩阵、数组编辑器产生矩阵5 A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16利用表达式输入利用表达式输入 B=1,sqrt(25),9,132,6,10,7*23+sin(pi),7,11,154,abs(-8),12,16B = 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8

3、 12 166a=1,2,3,4;x=0.5:0.5:2;b=logspace(0,2,4)y=linspace(0,2,8)% % x=linspace(a,b,n)x=linspace(a,b,n) 生成有生成有 n n 个元素的行向量个元素的行向量 x x，其，其元素值在元素值在 a a、b b 之间线性分布。之间线性分布。% % x=logspace(a,b,n)x=logspace(a,b,n) 生成有生成有 n n 个元素的行向量个元素的行向量 x x，其，其元素起点元素起点 x(1)=10 x(1)=10a a，终点，终点 x(n)=10 x(n)=10b b。7常见矩阵生成函数

4、常见矩阵生成函数zeros(m,n)生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)ones(m,n)生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵, m=n 时可写为 ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵, m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵diag(X)若 X 是矩阵，则 diag(X) 为 X 的主对角线向量若 X 是向量，diag(X) 产生以 X 为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)产生 01 间均匀分布的随机矩阵 m=n

5、时简写为 rand(n)randn(m,n)产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵m=n 时简写为 randn(n)其它特殊矩阵生成函数：magic、hilb、pascal2 2、利用内部函数产生矩阵、利用内部函数产生矩阵8%ones生成全部元素为生成全部元素为1的矩阵的矩阵 ones(3,4) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F=5*ones(3)F = 5 5 5 5 5 5 5 5 5%zeros生成全部元素为生成全部元素为0的矩阵的矩阵 Z=zeros(2,4)Z = 0 0 0 0 0 0 0 0%rand生成均匀分布的随机矩阵生成均匀分布的随机矩阵

6、 R=rand(4) R = 0.9501 0.8913 0.8214 0.9218 0.2311 0.7621 0.4447 0.7382 0.6068 0.4565 0.6154 0.1763 0.4860 0.0185 0.7919 0.4057%compan生成生成x向量的伴随矩阵向量的伴随矩阵x=2,4,6,8,10 x=246810compan(x)ans=-2-3-4-51000010000100001%eye生成单位阵生成单位阵S=eye(6)S=1000000100000010000001000000100000019用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵(1) (1)

7、 魔方矩阵魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的列及两条对角线上的元素和元素和都相等。对于都相等。对于n n阶魔方阵，其元素由阶魔方阵，其元素由1,2,3,1,2,3,n2n2共共n2n2个整个整数组成。数组成。MATLABMATLAB提供了求魔方矩阵的函数提供了求魔方矩阵的函数magic(n)magic(n)，其功能是生成一个，其功能是生成一个n n阶魔方阵。阶魔方阵。10(2) (2) 范得蒙矩阵范得蒙矩阵 范得蒙范得蒙( (Vandermonde)Vandermonde)矩阵最后一列全为矩阵最后一列全为1 1，倒数第二列为一个指

8、定的向量，其他各列是倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLABMATLAB中，中，函数函数vander(V)vander(V)生成以向量生成以向量V V为基础向量的范为基础向量的范得蒙矩阵。例如，得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;4)A=vander(1;2;3;4)即即可得到上述范得蒙矩阵。可得到上述范得蒙矩阵。11 (3) (3) 伴随矩阵伴随矩阵MATLABMATLAB生成伴随矩阵的函数是生成伴随矩阵的函数是compan(p)comp

9、an(p)，其中其中p p是一个多项式的系数向量，高次幂系是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的多项式的x x3 3-3x+6-3x+6的伴随矩阵，可使用命令：的伴随矩阵，可使用命令：p=1,0,-3,6;p=1,0,-3,6;compan(p)compan(p)12(4) (4) 帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵 ( (杨辉三角形杨辉三角形) ) 我们知道，二次项我们知道，二次项( (x+y)nx+y)n展开后的系数随展开后的系数随n n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成

10、的矩阵称为帕斯形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡卡( (Pascal)Pascal)矩阵。函数矩阵。函数pascal(n)pascal(n)生成一个生成一个n n阶帕斯卡矩阵。阶帕斯卡矩阵。133 3、利用、利用M M文件产生矩阵文件产生矩阵144 4、数组编辑器产生矩阵、数组编辑器产生矩阵15二二. .矩阵元素的标识和寻访矩阵元素的标识和寻访 1.1.矩阵元素的标识矩阵元素的标识 161. 1. 通过下标引用矩阵的元素，例如通过下标引用矩阵的元素，例如 A(3,2)=20A(3,2)=20。2. 2. 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是

11、相应元素在内存中的矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在排列顺序。在MATLABMATLAB中，矩阵元素按列存中，矩阵元素按列存储，储，先第一列，再第二列，依次类推先第一列，再第二列，依次类推。17 A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A(1,1)ans = 1 A(2,3)ans = 7 A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0); AA = 0 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 14

12、15 118注：注：显然，序号显然，序号( (Index)Index)与下标与下标( (Subscript )Subscript )是是一一对应的，以一一对应的，以m mn n矩阵矩阵A A为例，矩阵元素为例，矩阵元素A(i,j)A(i,j)的序号为的序号为( (j-1)j-1)* *m+im+i。其相互转换关。其相互转换关系也可利用系也可利用sub2indsub2ind和和ind2subind2sub函数求得。函数求得。19 i,j=ind2sub(size(A),10)i =2 j=320 2.2.矩阵拆分矩阵拆分(1)利用利用冒号冒号表达式获得子矩阵表达式获得子矩阵A(:,j)A(:,j

13、)表示取表示取A A矩阵的矩阵的第第j j列列全部元素；全部元素；A(i,:)A(i,:)表示表示A A矩阵矩阵第第i i行行的全部元素；的全部元素；A(i,j)A(i,j)表示表示取取A A矩阵第矩阵第i i行、第行、第j j列的元素。列的元素。A(A(i:i+mi:i+m,:),:)表示取表示取A A矩阵第矩阵第i i到到i+mi+m行的全部行的全部元素；元素；A(:,A(:,k:k+mk:k+m) )表示取表示取A A矩阵第矩阵第k k到到k+mk+m列的全部列的全部元素，元素，A(i:i+m,k:k+m)A(i:i+m,k:k+m)表示取表示取A A矩阵第矩阵第i i到到i+mi+m行

14、行内，并在第内，并在第k k到到k+mk+m列中的所有元素。列中的所有元素。21(2)利用空矩阵删除矩阵的元素利用空矩阵删除矩阵的元素在在MATLABMATLAB中，定义中，定义为空矩阵。给变量为空矩阵。给变量X X赋赋空矩阵的语句为空矩阵的语句为X=X=。注意，。注意，X=X=与与clear clear X X不同，不同，clearclear是将是将X X从工作空间中删除，而从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0 0。22 三、矩阵分析三、矩阵分析1 1、矩阵常用函数；、矩阵常用函数；2 2、矩阵的分解函数。、矩阵的分解函数。231 1

15、、常用的矩阵运算函数、常用的矩阵运算函数 只有方阵才可计算行只有方阵才可计算行列式值，即列式值，即det(A)的的计算只有在计算只有在A为方阵为方阵时才有意义。时才有意义。logm(A)和和sqrtm(A)计算矩阵的对数计算矩阵的对数/平方平方根是指对根是指对整个矩阵整个矩阵A求对数求对数/平方根平方根。矩阵常用函数总结矩阵常用函数总结242 2、矩阵的分解函数、矩阵的分解函数25 X=3,-1,2;1,2,-1;-2,1,4 %输入矩阵 X X = 3 -1 2 1 2 -1-2 1 4 L,U=lu(X) %对矩阵 X 进行 LU 分解 L = 1.0000 0 0 0.3333 1.00

16、00 0 -0.6667 0.1429 1.0000U = 3.0000 -1.0000 2.0000 0 2.3333 -1.6667 0 0 5.5714 Q,R=qr(X) %对矩阵 X 进行 QR 分解 Q = -0.8018 0.1543 0.5774 -0.2673 -0.9567 -0.1155 0.5345 -0.2469 0.8083 R = -3.7417 0.8018 0.8018 0 -2.3146 0.2777 0 0 4.503326四、四、MATLABMATLAB运算（自学）运算（自学） （一）算术运算（一）算术运算（二）关系运算（二）关系运算（三）逻辑运算（三）

17、逻辑运算27（一）算术运算（一）算术运算1、基本算术运算、基本算术运算MATLAB的基本算术运算有：的基本算术运算有：(加加)、(减减)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)。注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。数据的算术运算只是一种特例。28(1)矩阵加减运算矩阵加减运算假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，则可以由，则可以由A+B和和A-B实现矩阵的加减运算。运算实现矩阵的加减运算。运算规则是：若规则是：若A和和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和和B矩矩

18、阵的相应元素相加减。如果阵的相应元素相加减。如果A与与B的维数不相同，则的维数不相同，则MATLAB将给出错误将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。(2)矩阵乘法矩阵乘法假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，若，若A为为mn矩阵，矩阵，B为为np矩阵，则矩阵，则C=A*B为为mp矩阵。矩阵。29a.矩阵的加减运算矩阵的加减运算 A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16 B=1,sqrt(25),9,132,6,10 7*23+sin(pi),7,11,154,abs(-8),12,16 C=A+B C = 2

19、7 12 17 7 12 17 22 12 17 22 27 17 22 27 32 D=A-BD = 0 -3 -6 -9 3 0 -3 -6 6 3 0 -3 9 6 3 0 E=A+3 E = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 1930(3)矩阵除法矩阵除法在在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：中，有两种矩阵除法运算：和和/，分，分别表示左除和右除。如果别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，矩阵是非奇异方阵，则则AB和和B/A运算可以实现。运算可以实现。AB等效于等效于A的逆左的逆左乘乘B矩阵，也就是矩阵，也就是inv(A)*B，而，而B/

20、A等效于等效于A矩阵矩阵的逆右乘的逆右乘B矩阵矩阵，也就是，也就是B*inv(A)。对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如如3/4和和43有相同的值，都等于有相同的值，都等于0.75。又如，设。又如，设a=10.5,25，则，则a/5=5a=2.10005.0000。对于矩。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般ABB/A。31b.矩阵乘法矩阵乘法 C=A*BC = 30 70 110 150 70 174 278 38

21、2 110 278 446 614 150 382 614 846 D=A*3D = 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48c.矩阵除法矩阵除法左除左除AB=inv(A)*B A=8,1,6;3,5,7;4,9,2A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 B=1,1,1;1,2,3;1,3,6 B = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 ABans = 0.0667 0.0500 0.0972 0.0667 0.3000 0.6389 0.0667 0.0500 -0.0694 C=inv(A)C = 0.1472 -0.1444 0.063

22、9 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028 C*B ans = 0.0667 0.0500 0.0972 0.0667 0.3000 0.6389 0.0667 0.0500 -0.0694右除右除A/B=A*inv(B) A/Bans = 27 -31 12 1 2 0 -13 29 -12 D=inv(B) D = 3 -3 1 -3 5 -2 1 -2 1 A*Dans = 27 -31 12 1 2 0 -13 29 -1232当对矩阵作当对矩阵作除法运算除法运算时，有可能因为误差设置的差别导致不精确的结时，有可能因为误差设置的差别导致

23、不精确的结果，此时，果，此时，MATLAB会自动给出警告信息会自动给出警告信息:MATLAB采用采用IEEE（国际认可的）算法，即使国际认可的）算法，即使A为奇异阵为奇异阵（即即A的行列式值是的行列式值是0），运算也照样进行，但是此时），运算也照样进行，但是此时MATLAB将给出警告将给出警告信息：信息：“Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.”，求出的矩，求出的矩阵所有元素为无穷大（阵所有元素为无穷大（Inf）；）；当矩阵当矩阵A为为病态阵病态阵（BadlyScaled）时，）时，MATLAB使用的算法产生的使用的算法产生的误差可能很大，误差可

24、能很大，MATLAB系统也将给出警告信息：系统也将给出警告信息：“Warning:Matrixisbadlyscaledtoworkingprecision.Resultsmaybeinaccurate.”。 E=1,2,3;4,5,6;7,8,9E = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F=1,4,7;2,5,8;3,6,9F = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 EFWarning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.541976e-018.ans = -0

25、.3333 -7.3333 -14.3333 0.6667 11.6667 22.6667 0 -4.0000 -8.0000 33(4)矩阵的乘方矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要求，要求A为为方阵方阵，x为为标量标量。342、点运算、点运算在在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和和.。两矩阵进行点运算是指。两矩阵进行点运算是指它们的它们的对应元素对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同

26、。进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。35（二）关系运算（二）关系运算MATLAB提供了提供了6种种关系运算符：关系运算符：(小于小于)、(大于大于)、=(大大于或等于于或等于)、=(等于等于)、=(不等于不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。36关系运算符的运算法则为：关系运算符的运算法则为：(1)当两个比较量是当两个比较量是标量标量时，直接比较两数的时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则，否则为为0。(2)当参与比较的量是两个

27、当参与比较的量是两个维数相同的矩阵维数相同的矩阵时，时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由它的元素由0或或1组成组成。37(3)当参与比较的一个是当参与比较的一个是标量标量，而另一个是，而另一个是矩阵矩阵时，则把标量与矩阵的每时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的

28、关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。38例：例：产生产生5阶随机方阵阶随机方阵A，其元素为，其元素为10,90区间的随机整数，然后判断区间的随机整数，然后判断A的元的元素是否能被素是否能被3整除。整除。1)生成生成5阶随机方阵阶随机方阵A。A=fix(90-10+1)*rand(5)+10)2)判断判断A的元素是否可以被的元素是否可以被3整除。整除。P=rem(A,3)=0其中，其中，rem(A,3)是矩阵是矩阵A的每个元素除以的每个元素除以3的余数矩阵。此时，的余数矩阵。此时，0被扩展为与被扩展为与A

29、同维数的零矩阵，同维数的零矩阵，P是进行等于是进行等于(=)比较的结果矩阵。比较的结果矩阵。39（三）（三）逻辑运算逻辑运算MATLAB提供了提供了3种逻辑运算符：种逻辑运算符：&(与与)、|(或或)和和(非非)。逻辑运算的运算法则为：逻辑运算的运算法则为：(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，用在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表表示，零元素为假，用示，零元素为假，用0表示。表示。(2)设参与逻辑运算的是两个标量设参与逻辑运算的是两个标量a和和b，那么，那么，a&ba,b全为非零时，运算结果为全为非零时，运算结果为1，否则为，否则为0。a|ba,b中只要有一个非零，运算结果

30、为中只要有一个非零，运算结果为1。a当当a是零时，运算结果为是零时，运算结果为1；当；当a非零时，运非零时，运算结果为算结果为0。40(3)若参与逻辑运算的是若参与逻辑运算的是两个同维矩阵两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵矩阵，其元素由，其元素由1或或0组成。组成。(4)若参与逻辑运算的一个是若参与逻辑运算的一个是标量标量，一个是，一个是矩阵矩阵，那么运算将在标量与矩阵中，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果

31、是一个与矩阵同维的矩的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由阵，其元素由1或或0组成。组成。41(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。(6)在算术、关系、逻辑运算中，在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级算术运算优先级最高最高，逻辑运算优先级最低逻辑运算优先级最低。例：例：建立矩阵建立矩阵A，然后找出大于，然后找出大于4的元素的位置。的元素的位置。(1)建立矩阵建立矩阵A。A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0(2)找出大于找出大于4的元素的位置。的元素的位置。find(A4)五、数组运

32、算数组运算 43Matlab是以矩阵为基本运算单元的，是以矩阵为基本运算单元的，数组作为独立数组作为独立的计算单元实体是不存在的。数组运算的计算单元实体是不存在的。数组运算是是Matlab的的一种运算形式，一种运算形式，它它从矩阵的单个元素出发，针对每个从矩阵的单个元素出发，针对每个元素进行的运算。元素进行的运算。MATLAB对对数组运算数组运算在符号上做了不同的约定，在符号上做了不同的约定，矩阵运算和数组运算矩阵运算和数组运算有着显著的不同。属于两种不有着显著的不同。属于两种不同的运算：同的运算：矩阵运算矩阵运算是从矩阵的整体出发，按照线性是从矩阵的整体出发，按照线性代数的运算规则进行代数的

33、运算规则进行，有着明确而严格的数学规则；，有着明确而严格的数学规则；而数组运算而数组运算是从矩阵的单个元素出发，针对每个元素是从矩阵的单个元素出发，针对每个元素进行的运算进行的运算。对于加法和减法而言，矩阵运算和数组运算相同对于加法和减法而言，矩阵运算和数组运算相同；对于乘法和除法而言，矩阵和数组的运算有着显著的对于乘法和除法而言，矩阵和数组的运算有着显著的不同。不同。 44（一）（一）数组乘数组乘/除及乘方除及乘方数组除数组除的运算规则：的运算规则： 当参与除运算的两个矩阵同维时，当参与除运算的两个矩阵同维时，运算为运算为矩阵矩阵的相应元素相除的相应元素相除，计算结果是与参与运算的矩，计算结果是与参与运算的矩阵同维的矩阵；阵同维的矩阵； 当参与运算的矩阵有一个是当参与运算的矩阵有一个是标量标量时，运算是标时，运算是标量和矩阵的每一个元素相除，计算结果是与参量和矩阵的每一个元素相除，计算结果是与参与运算的矩阵同维的矩阵；与运算的矩阵同维的矩阵； 右除与左除的关系为右除与左除的关系为A./B=B.A，其中，其中A是被是被除数，除数，B是除数。是除数。45 E=1,2,3;4,5,6;7,8,9E = 1 2 3 4