直线与双曲线的位置关系(公开课)

1、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交含含焦焦点点区区域域外外含含焦焦点点区区域域内内含含焦焦点点区区域域内内PPP当点当点P P在双曲线上时，能在双曲线上时，能作作3 3条直线与双曲线只有条直线与双曲线只有一个公共点。一个公共点。P当点当点P在其中一条渐近在其中一条渐近线上（中心除外）时，线上（中心除外）时，一条是切线，一条是与一条是切线，一条是与另一条渐近线平行。另一条渐近线平行。P当点当点P在含焦点区域在含焦点区域内时

2、，两条是分别与内时，两条是分别与两条渐近线平行。两条渐近线平行。P当点当点P P在双曲线的中在双曲线的中心时，不可能作出一心时，不可能作出一条直线与双曲线只有条直线与双曲线只有一个公共点。一个公共点。过点过点P P且与双曲线只且与双曲线只有一个公共点的直有一个公共点的直线线最多最多有有4 4条条也就是说过点也就是说过点P P作与作与双曲线只有一个公共双曲线只有一个公共点的直线条数可能是点的直线条数可能是4 4条、条、3 3条、条、2 2条、条、0 0条条消去 ，得22222222y = kx+ my = kx+ my:y:xyxy-=1-=1abab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(

3、m2+b2)=01.二次项系数为二次项系数为0时，直线时，直线L（K= ）与双曲）与双曲线的渐近线平行或重合。线的渐近线平行或重合。重合：无交点；重合：无交点；平行：有一个交点。平行：有一个交点。2.二次项系数不为二次项系数不为0时时,上式为一元二次方程上式为一元二次方程, 0 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0=00相交相交相切相切相离相离 特别特别注意注意：直线与双曲线的位置关系中：直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切一解不一定相切，相交不一定相交不一定两解两解，两解不一定同支，两解不一定同支的方程。一个公共点，求直线仅

4、有：与双曲线的直线过点lyxClP14)3 , 0(223kxyl的方程为：设013641432222kxxkyxkxy由 32:,2,0412xylkk此时时当 313:,13, 013446,042222xylkkkk此时得由时当2.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条. 变式变式:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。例题讲解例题讲解例例3：如果直线如果直线y

5、=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4没有公共点，求没有公共点，求k的取值范围的取值范围解：由解：由 得得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解即方程无解y=kx-1x2-y2=41-k20=4k2+20(1-k2) 或或k 或或k0- k 且且k 1- k0解：等价于解：等价于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k20221k0解：等价于解：等价于4k2+20(1-k2)0 x1+x2= - 2 01-k2022- k0 x1x2= - 02-1k0 21,8 ,ABP弦的中点是 2k 8-k中点坐标公式与韦达定理,得-=1 3k -4 22由1 3 得k

6、= 12x直线AB的方程为y-81 = 即直线AB的方程为x-2y+15=0例例4.以以P（1，8）为中点作双曲线为）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条的一条 弦弦AB，求直线，求直线AB的方程。的方程。112222112222,44,44A x yB xyxx解法二:设则yy111112124,yyyyxxxx1,8 ,ABP弦的中点是12122,16.xxyy1112168,yyxx11121,2yyABxx直线的斜率为112x直线AB的方程为y-8 =即直线AB的方程为x-2y+15=03.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 1

7、3422yx32 3，2解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须0,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上，例例6、直线、直线y-ax-1=0和曲线和曲线3x2-y2=1相交，交点为相交，交点为 A、B，当，当a为何值时，以为何值时，以AB为直径的圆经过坐为直径的圆经过坐 标原点。标原点。1212222a2xx,x x3a3a 典型例题典型例题: :解：将解：将y=ax+1代入代入3x2-y2

8、=1(6, 6),a 又设方程的两根为又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须它有两个实根，必须0,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 2、过双曲线、过双曲线 的右焦点的右焦点 倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点

9、，求两点，求|AB|。22136xy2,F045 2222练练习习题题: :已已知知双双曲曲线线C:2x -y =2C:2x -y =2与与点点P 1,2 .P 1,2 .1 1 求求过过点点P 1,2P 1,2 的的直直线线l l的的斜斜率率k k的的取取值值范范围围, ,使使l l与与C C有有一一个个交交点点? ?两两个个交交点点? ?没没有有交交点点? ?2 2 是是否否存存在在过过P P的的弦弦AB,AB,使使ABAB的的中中点点为为P?P?3 3 若若Q 1,1 ,Q 1,1 ,试试判判断断以以点点Q Q为为中中点点的的弦弦是是否否存存在在? ? 312;223.kk 或存在直线y=x+1;不存在作业：作业： 221.直线l:y =kx+1与双曲线C:2x -y =1右支交于不同的两点A,B1 求实数k的取值范围;2 是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.2.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点且互相垂直，又知C