直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量和直线的方向向量和平面的法向量平面的法向量2研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .OPa ABPAPtAB APta 或 POb a OPxayb 6为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的“方向方向”呢？呢？1、直线的方向向量、直线的方向向量a le直线直线 上的非零向量上的非零向量 以及与以及与 共线的非零向量叫做直共线的非零向量叫做直线线 的方向向量的方向向

2、量leel例例1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C1C、B1C1的中点的中点,求证求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法法1:1,MNDAMN 1 1平平面面A A B BD D111111111112211(),22MNC NC MC BCCD ADDDA 法法2:11111111111112211()()221111111()02222222MNC NC MD AD DDBBAD AA DDBDABADADBDABDDABD 即即 可用可用 与与 线性表示线性表示,故故 与与 是共面向量是共面向量,MN平面平面A1BD1,DA

3、 DB MN DB 1DA MN 如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记记作作 ，如果，如果 ，那么向量，那么向量 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量. n n n n 二、平面的法向量二、平面的法向量(1)(1)定义定义 n(2)理解理解1.1.平面的法向量平面的法向量是非零向量是非零向量; ;2.2.一个平面的法向量一个平面的法向量不是唯一的，不是唯一的，其所其所有法向量都互相平行有法向量都互相平行; ;二、平面的法向量二、平面的法向量 n3.3.向量向量 是平面是平面 的法向量，的法向量，

4、 若若 ，则有，则有n m 0n m An 给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 , ,那那么过点么过点A A以向量以向量 为法向量的平面为法向量的平面是完全确定的是完全确定的. .n n 二、平面的法向量二、平面的法向量(3)(3)法向量确定平面的位置法向量确定平面的位置二、平面的法向量二、平面的法向量 121111ABCDA B C D 1DB 1ACD例例2 在正方体在正方体中，求证：中，求证：是平面是平面的一个法向量的一个法向量.13待定系数法求平面的法向量待定系数法求平面的法向量14三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位

5、置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系例例 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C1C、B1C1的中点的中点,求证求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法法3:建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,则可求得则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是于是 11( ,0, )22MN 设平面设平面A1BD的法向量是的法向量是则则 得得( , , )nx y z 100,n DAn DB 且且00 xzxy (1

6、, 1, 1)n 取取x=1,得得y=-1,z=-1, 111(,0,) (1,1,1)0,22MNnMNnMNA BD 又又平平 面面练习一1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行练习二1.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 ,

7、 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交练习三1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= ./llll4-5-84线线面面平平行行 面面面面平平行行 一、平行关系：一、平行关系：111222(,),(,),lea b cna b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/