浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 223 实际问题与二次函数同步测试 (新版)新人教版

1、1实际问题与二次函数实际问题与二次函数第 1 课时二次函数与图形面积问题见 A 本 P231小敏用一根长为 8 cm 的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(A)A4 cm2B8 cm2C16 cm2D32 cm2【解析】 设矩形一边长为xcm，则另一边长为(4x)cm，则S矩形x(4x)x24x(x2)24(0 x4)，故当x2 时，S最大值4 cm2.选 A.2如图 2231 所示，点C是线段AB上的一个动点，AB1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)图 2231A当C是AB的中点时，S最小B当C是AB的中点时，S最大C当C为AB的三等分点

2、时，S最小D当C为AB的三等分点时，S最大【解析】 设ACx，则BC1x，所以Sx2(1x)22x22x12x12212.因为二次项系数大于 0，所以当x12时，S的值最小，即点C是AB的中点时，两个正方形的面积和最小，故选 A.3用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足关系y(x12)2144(0 x24)，则该矩形面积的最大值为_144_m2.【解析】 直接根据二次函数的性质作答，当x12 时，y有最大值为 144.24在边长为 4 m 的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是 1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积y(m2)与小正方形边长x(m)之间的

3、函数关系式是_yx216(1x4)_，y的最大值是_15_m2.【解析】yS大正方形S小正方形，所以y42x2，即yx216，又 1x4，所以当x1 时，y最大值为 15 m2.5 将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_12.5_cm2.【解析】 设剪成的两段长分别为xcm，(20 x)cm，这两个正方形面积之和为y，则yx4220 x42116(x240040 xx2)116(2x240 x400)18(x220 x200)18(x220 x100)10018(x10)212.5，故两个正方形面积之和的最小值为

4、 12.5cm2.6某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图 2232 所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗他已备足可以修高为 1.5 m、长为 18 m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即ADEFBCxm(不考虑墙的厚度)(1)若想使水池的总容积为 36 m3，x应等于多少？(2)求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？3图 2232【解析】(1)水池的容积为长宽高，而长为xm，则宽为(183x)m，高为 1.5 m，根据总容积为 36 m3，易列方程求x的值；(2)，(3)

5、根据容积V与x的函数关系，结合二次函数性质即可求解解：(1)ADEFBCx，AB183x，水池的总容积为 1.5x(183x)36，即x26x80，解得x2 或 4，x应为 2 或 4.(2)由(1)知V与x的函数关系式为：V1.5x(183x)4.5x227x，x的取值范围是 0 x6.(3)V4.5x227x92(x3)2812，当x3 时，V有最大值 40.5，若使水池的总容积最大，x应为 3，最大容积为 40.5 m3.7如图 2233，矩形ABCD的两边长AB18 cm，AD4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动，Q在边BC上沿

6、BC方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为x(s)，PBQ的面积为y(cm2)(1)求y关于x的函数关系式， 并写出x的取值范围；(2)求PBQ的面积的最大值图 22334解：(1)SPBQ12PBBQ，PBABAP182x，BQx，y12(182x)x，即yx29x(0 x4)(2)由(1)知yx29x，yx922814.当 0 x92时，y随x的增大而增大，而 0 x4，当x4 时，y最大值20，即PBQ的最大面积是 20 cm2.8 如图 2234，在边长为 24 cm 的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的

7、包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEBFx(cm)(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值图 2234解： (1)根据题意， 知这个正方体的底面边长a 2x，EF 2a2x， AEEFBFAB，x2xx24，x6，a6 2，Va3(6 2)3432 2(cm3)(2)设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a 2x，h242x212 2 2x，S4aha24 2x 2(12x)( 2x)26x296x6(x8)23

8、84.50 x12，当x8 时，S取得最大值 384 cm2.9已知在ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为 20.(1)写出ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为 48 时BC的长；(2)当BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明解：(1)依题意得：y12x(20 x)12x210 x(0 xBCBC，当点A在线段BC上时，即点A与A重合，这时LABACBCABACBCBCBC，因此当点A与A重合时，ABC的周长最小；这时由作图可知：BB20，BC 20

9、210210 5，L10 510，因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为 10 510.10用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图 2235 中的一种)设竖档ABx米，请根据图中图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有线段的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行)(1)在图中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3 平方米？(2)在图中，如果不锈钢材料总长度为 12 米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(3)在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框

10、架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？图 22357解：(1)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 3 条竖档时，BC123x34x，矩形框架ABCD的面积为ABBCx(4x)令x(4x)3，解得x1 或 3，当x1 或 3 时，矩形框架ABCD的面积为 3 平方米(2)当不锈钢材料总长度为 12 米，共有 4 条竖档时，BC124x3，矩形框架ABCD的面积Sx124x343x24x，当x424332时，S最大值3，当x32时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为 3 平方米(3)当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BCanx3，矩形框架ABCD的面积Sxanx3n3x2a3x，

11、当xa32n3a2n时，S最大值a212n，当xa2n时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为a212n平方米8第 2 课时二次函数与最大利润问题见 B 本 P241烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h52t220t1， 若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A3 sB4 sC5 sD6 s【解析】 当tb2a时，即t202524(s)时，礼炮升到最高点，故选 B.2某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 20 元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高 4 元时，则减少 10

12、张床位租出；以每次提高 4 元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高(C)A8 元或 12 元B8 元C12 元D10 元【解析】 设每床每晚应提高x元，则减少出租床x410 张，所获利润y(20 x)100 x410，即y52x250 x2 00052(x10)22 250.由x是 4 的正整数倍和抛物线y52(x10)22 250 关于x10 对称可知，当x8 或x12 时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选 C.3出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8x)个，则当x_4_元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大9【解析】 依题意得yx(8x)(x4

13、)216，当x4 时，y取得最大值4将进货单价为 70 元的某种商品按零售单价 100 元售出时，每天能卖出 20 个，若这种商品零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为获得最大利润，应降价_5 元_【解析】 设降价x元，所获利润为y元，则有y(10070 x)(20 x)x210 x600(x5)2625.当x5 时，y值最大，故应降价 5 元5某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7 000 千克，购进价格为每千克 30 元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于每千克 30 元，市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降

14、低 1 元，日均多售出 2 千克在销售过程中，每天还要支出其他费用 500 元(天数不是一天时，按整天计算)设销售单价为x元，日均获利为y元，那么：(1)y关于x的二次函数关系式为_y2x2260 x6_500(30 x70)_；(2)当销售单价定为_65_元时，日均获利最大，日均获利最大为_1_950_元【解析】 (1)当销售单价为x元时，实际降价了(70 x)元，日均销售量为602(70 x)千克，日均获利为602(70 x)x30602(70 x)500(x30)602(70 x)500，所以y(x30)602(70 x)5002x2260 x6 500(30 x70)(2)因为y2x2

15、260 x6 5002(x65)21 950，所以当销售单价定为 65 元时，日均获利最大，最大利润为 1 950 元6某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖出 10 件(每件售价不能高于 72 元)，设每件商品的售价10上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：(1)依题意有y(60 x50)(20010 x)(0 x12 且x为整数)，即y10 x2100 x2 000(

16、0 x12 且x为整数)(2)y10 x2100 x2 00010(x210 x)2 00010(x5)22 250，当x5 时，y有最大值 2 250，即当每件商品的售价定为 65 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 2 250 元7在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件 假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数(1)求y与x

17、满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？解：(1)设y与x满足的函数关系式为：ykxb.由题意可得：3624kb2129kb.解得k3b108.11故y与x的函数关系式为：y3x108.(2)每天获得的利润为：P(3x108)(x20)3x2168x2 1603(x28)2192.故当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大8某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元时，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4

18、 800 元设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益日租金收入平均每日各项支出)(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？解：(1)1 40050 x；(2)yx(50 x1 400)4 80050 x21 400 x4 80050(x14)25 000，当x14 时，在 0 x20 范围内，y有最大值 5 000，当每日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大是 5 000 元(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y0，即50(x14)25

19、0000，解得x124，x24，但x224 不合题意，舍去，当每日租出 4 辆时，租赁公司日收益不盈也不亏9某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图 2236 所示的关系：12图 2236(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解： (1)设y与x之间的函数关系式为ykxb(k0) 由所给函数图象得130kb50150kb30，解得k1b180函数关系式为yx180.(2)W(x100)y(x100

20、)(x180)x2280 x1 8000(x140)21 600，当售价定为 140 元时，W最大1 600.售价定为 140 元/件时，每天最大利润W1 600 元102013盐城水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售， 若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图 2237 所示的一次函数关系13图 2237求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大

21、利润？最大利润是多少？(利润销售收入进货金额)解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得：80(a2)88a解之得：a20答：现在实际购进这种水果每千克 20 元(2)y是x的一次函数，设函数关系式为ykxb将(25，165)，(35，55)分别代入ykxb，得：25kb16535kb55解得：k11，b440y11x440设最大利润为W元，则W(x20)(11x440)11(x30)21 100当x30 时，W最大值1 100答：将这种水果的单价定为每千克 30 元时，能获得最大利润 1 100 元14第 3 课时二次函数与抛物线形问题见 A 本 P251如图 2238，济南建

22、邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为yax2bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需(D)图 2238A30 sB38 sC40 sD36 s2某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图 2239，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线yx24x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(A)A4 米B3 米C2 米D1 米【解析】y(x24x4)4(x2)24，水喷出的最大高度是 4 米图 223915图 223103如图 22

23、310 所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式为y14x2，当水位线在AB位置时，水面宽为 12 m，这时水面离桥顶的高度h是(D)A3 mB2 6 mC4 3 mD9 m【解析】 可根据点B的横坐标，求出纵坐标根据图形知点B的横坐标为 6，当x6时，y9，h|9|9，故选 D.4图 22311(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m，如图 22311(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(C)图 22311Ay2x2By2x2Cy12x2Dy12x2【解析】 设抛物物的解析式为yax2，则把(2，2)代入得24a，a12，故选

24、C.5西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 米，此时距喷水管的水平距离为12米，在如图 22312 所示的坐标系中，16图 22312这个喷泉的函数关系式是(C)Ay3x1223By3x1223Cy12x1223Dy12x1223【解析】 喷水管喷水的最大高度为 3 米，此时距喷水管的水平距离为12米，抛物线的顶点坐标为12，3，设抛物线的解析式为yax1223，而抛物线还经过点(0，0)，0a1223，a12，抛物线的解析式为y12x1223.6某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱

25、， 防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图 22313)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(C)图 22313A50 mB100 mC160 mD200 m【解析】 以 2 米长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的总长度72012绍兴教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水17平距离x(m)之间的关系式为y112(x4)23，由此可知铅球推出的距离是_10_m.【解析】 令函数式y112(x4)230，即 0112(x4)23，解得x110，x22(舍去)，即铅球推出的距离是 10 m.8廊桥是我国古老的

26、文化遗产，如图 22314 是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y140 x210，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 米的点E，F处要安装两盏警示灯， 则这两盏灯的水平距离EF是_18_米(精确到 1 米)图 22314【解析】 直接根据E、F点的纵坐标为 8，得 8140 x210，解得x280，x9，E(9，8)，F(9，8)，故EF的长约为 18 米图 223159如图 22315 是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为 9 m，AB36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距

27、离为 7 m，则DE的长为_48_ m.【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系18设AB与y轴交于点H，AB36，AHBH18，由题可知：OH7，CH9，OC9716，设该抛物线的解析式为yax2k，顶点C(0，16)，抛物线yax216，代入点(18，7)71818a16，7324a16，324a9，a136抛物线：y136x216，当y0 时，0136x216，136x216，x21636576x24，E(24，0)，D(24，0)，OEOD24，DEODOE242448，10如图 22316 所示，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了19一个简易的秋千，拴绳子的地方

28、距地面高都是 2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1m 的小明距较近的那棵树 0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_0.5_m.图 22316第 10 题答图【解析】 根据题意可建立如图所示的直角坐标系，设绳子对应的抛物线的解析式为yax2bxc， 则此抛物线经过点(0， 2.5)， (2， 2.5)， (0.5， 1)， 所以有c2.5，4a2bc2.5，14a12bc1，解得a2，b4，c2.5，y2x24x2.52(x1)20.5，即抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，所以绳子最低点距离地面的距离为 0.5 m.20图 2231711如图 22317，某公

29、路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM为12 米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式【解析】 (1)M在x轴正半轴上，OM12，所以M(12，0)，又P为抛物线的最高点，所以P(6，6)；(2)用顶点式求抛物线解析式解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)设抛物线的解析式为ya(x6)26.抛物线ya(x6)26 经过点(0，0)，0a(06)26，解得a16，抛物线的解析式为y16(x6)26，即y16x22x.12如图 22318，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED16 米，AE8 米，抛物线的顶点C到ED的距离是 11 米