正弦函数、余弦函数的性质(二)课件(人教A版必修四)

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)正弦函数、余弦函数的图象与性质正弦函数、余弦函数的图象与性质正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数图象图象定义域定义域R RR R值域值域-1,1-1,1-1,1-1,1正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数单单调调性性在在 上递增，上递增，在在 上递减上递减 在在2k-,2k(kZ)2k-,2k(kZ)上递上递增增, ,在在2k,2k+(kZ)2k,2k+(kZ)上上递减递减最最值值在在x=2kx=2k+ + (k(kZ)Z)时，时，y ymaxmax=1=1；在在x=2kx=2k- - (k(kZ)Z)时，时，y yminmin=-1=-1 在在x=2k(kZ

2、)x=2k(kZ)时时,y,ymaxmax=1;=1;在在x=2k+(kZ)x=2k+(kZ)时时,y,yminmin=-1=-12k, 2k(kZ)2232k,2k(kZ)2222思考：思考：正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？上是减函数，这种说法对吗？提示：提示：不正确不正确. .正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在闭区间弦函数在闭区间2k,2k+2k,2k+(kZ(kZ) )上是减函数，并不上

3、是减函数，并不是在整个定义域上是减函数是在整个定义域上是减函数. .2k,2k(kZ)22【知识点拨【知识点拨】1.1.解读正弦、余弦函数的单调性解读正弦、余弦函数的单调性(1)(1)正弦、余弦函数在定义域正弦、余弦函数在定义域R R上均不是单调函数，但存在单上均不是单调函数，但存在单调区间调区间. .(2)(2)求解求解( (或判断或判断) )正弦函数、余弦函数的单调区间正弦函数、余弦函数的单调区间( (或单调性或单调性) )是求值域是求值域( (或最值或最值) )的关键一步的关键一步. .(3)(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数

4、单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断要注意使用复合函数的判断方法来判断. .2.2.解析正弦函数、余弦函数的最值解析正弦函数、余弦函数的最值(1)(1)明确正、余弦函数的有界性，即明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|1,|cos x|1.|sin x|1,|cos x|1.(2)(2)对有些函数，其最值不一定是对有些函数，其最值不一定是1 1或或-1-1，要依赖函数定义域，要依赖函数定义域来决定来决定. .(3)(3)形如形如y=Asin(x+y=Asin(x+)(A)(A0,0)0,0)的函数的最值通常利用的函数的最值通常利用“整体代换整体代换”，即令，即令x+x+=z=z，将

5、函数转化为，将函数转化为y=Asiny=Asin z z的形的形式求最值式求最值. .类型类型 一一 正、余弦函数的单调性问题正、余弦函数的单调性问题【典型例题【典型例题】1.1.下列函数，在下列函数，在 上是增函数的是上是增函数的是( )( )A Ay ysin x Bsin x By ycoscos x xC Cy ysin 2x Dsin 2x Dy ycoscos 2x 2x2.2.函数函数y ycoscos x x在区间在区间，a a上为增函数，则上为增函数，则a a的取值的取值范围是范围是_._.3.3.求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间ysin(x)62，【解题探究【解题

6、探究】1.1.在在0,20,2上正、余弦函数的单调区间各是上正、余弦函数的单调区间各是什么？什么？2.2.当知道三角函数在某区间上的单调性，求其端点时应注意当知道三角函数在某区间上的单调性，求其端点时应注意什么？什么？3.3.复合函数的单调性有什么规律？复合函数的单调性有什么规律？探究提示：探究提示：1.1.正弦函数在正弦函数在 上递增，在上递增，在 上递减，在上递减，在 上递上递增增. .余弦函数在余弦函数在0,0,上递减，在上递减，在,2,2上递增上递增. .2.2.应注意所给区间与三角函数的单调区间的包含关系应注意所给区间与三角函数的单调区间的包含关系. .3.3.对复合函数而言，当内外

7、函数单调性一致时复合函数为增对复合函数而言，当内外函数单调性一致时复合函数为增函数，相反时为减函数函数，相反时为减函数. .0,23,2 23,2 2【解析【解析】1.1.选选D.D.因为因为y ysin xsin x与与y ycoscos x x在在 上都是减上都是减函数，所以排除函数，所以排除A A，B.B.因为因为 所以所以2x2.2x2.因为因为y ysin 2xsin 2x在在2x2x，22内不具有单调性，所以排内不具有单调性，所以排除除C.C.2.2.因为因为y ycoscos x x在在，0 0上是增函数，上是增函数，在在0 0，上是减函数，所以只有上是减函数，所以只有a00,0

8、)0,0)的函数的单调区间时，的函数的单调区间时，应采用应采用“换元法换元法”整体代换，将整体代换，将“x+x+”看作一个整体看作一个整体“z”z”，即通过求即通过求y=Asiny=Asin z z的单调区间而求出原函数的单调区间的单调区间而求出原函数的单调区间. .求形如求形如y=Acos(x+y=Acos(x+)(A)(A0,0)0,0)的函数的单调区间同上的函数的单调区间同上. .(3)(3)00-0后求解；后求解；若若A0Acossin 2cos 1. 1.(2)(2)因为因为 即即 又又y=sin xy=sin x在在 上单调递增，上单调递增，所以所以 cos 1sin(1)sin

9、2sin22，01222 ，(0,)2sin(1)sin22，33cossin0sinsin18888 ，330cossin1882 ，0,233sin(sin)sin(cos).88【拓展提升【拓展提升】比较三角函数值大小的方法比较三角函数值大小的方法(1)(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值利用诱导公式转化为求锐角三角函数值. .(2)(2)不同名的函数化为同名函数不同名的函数化为同名函数. .(3)(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间自变量不在同一单调区间化至同一单调区间. .【变式训练【变式训练】比较下列各式的大小：比较下列各式的大小：(2)sin 194(2)sin 19

10、4和和coscos 160 160. .【解题指南【解题指南】利用诱导公式把角化至同一个单调区间再比较利用诱导公式把角化至同一个单调区间再比较, ,但必须是同名函数但必须是同名函数. . 21421 sinsin.55与【解析【解析】(1)(1)由于由于 又又 而而y=sin xy=sin x在在 上单调递增，所以上单调递增，所以 即即 (2)(2)因为因为 且且y=sin xy=sin x在在 上是增函数，所以上是增函数，所以 所以所以 即即sin 194sin 194coscos 160 160. .21sinsin(4)sin,555 4222sinsin(8)sin,555 20,55

11、2 0,22sinsin,552142sinsin.55 194977sin 194sinsinsin,1809090160801035cos 160coscoscossin,180909090 7350,90902 0,2735sinsin,9090 735sinsin,9090 类型类型 三三 正、余弦函数的最值问题正、余弦函数的最值问题【典型例题【典型例题】1.1.函数函数y=2sin x y=2sin x 的值域是的值域是( )( )A.A.-2,2-2,2 B.B.-1,1-1,1 C.C.0,10,1 D.D.0,20,22.(20132.(2013深圳高一检测深圳高一检测) )函

12、数函数 的值的值域是域是_._.3.3.已知函数已知函数 的定义域是的定义域是 值域值域是是5,15,1，求，求a a，b b的值的值(0 x)6y2sin(2x)(x)366 f x2asin(2x)ab6 0,2，【解题探究【解题探究】1.1.求解函数值域时首先应注意什么？求解函数值域时首先应注意什么？2.2.对于对于y=Asin(x+y=Asin(x+) )型函数来说，求解其值域时可采用什型函数来说，求解其值域时可采用什么思想？么思想？3.3.对于对于y=asin(x+y=asin(x+)+b)+b，a,ba,b为参数，若已知值域求为参数，若已知值域求a,ba,b时，时，用到什么思想？用

13、到什么思想？探究提示：探究提示：1.1.求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域来求值域. .2.2.对于对于y=Asin(x+y=Asin(x+) )型函数来说，求解其值域时可采用整型函数来说，求解其值域时可采用整体代换的思想体代换的思想. .3.3.要用到分类讨论思想对要用到分类讨论思想对a a的正负进行讨论的正负进行讨论. .【解析【解析】1.1.选选C.C.因为因为0 x 0 x ，所以，所以 所以所以02sin x102sin x1，即函数的值域是，即函数的值域是0,10,1. .2.2.因为因为 所以所以 所以所以

14、 从而从而 所以所以0y20y2，即值域是，即值域是0,20,2. .答案：答案：0,20,210sin x2，x66，202x33，0sin(2x)13 ，02sin(2x)23 ，63.3.因为因为 所以所以 所以所以 当当a a0 0时时, ,当当a a0 0时，时，因此因此a a2 2，b b5 5或或a a2 2，b b1.1.0 x2，72x666，1sin(2x)1.263ab1,a2,b5.b5. 解得3ab5,a2,b1.b1. 解得【拓展提升【拓展提升】求正、余弦函数最值问题的关注点求正、余弦函数最值问题的关注点(1)(1)形如形如y=asiny=asin x( x(或或y

15、=acosy=acos x) x)的函数的最值要注意对的函数的最值要注意对a a的讨的讨论论. .(2)(2)将函数式转化为将函数式转化为y=Asin(x+y=Asin(x+) )或或y=Acos(x+y=Acos(x+) )的形式的形式. .(3)(3)换元后配方利用二次函数求最值换元后配方利用二次函数求最值. .【变式训练【变式训练】(2013(2013天津高考天津高考) )函数函数 在区间在区间 上的最小值是上的最小值是( )( )A.-1 B. C. D.0A.-1 B. C. D.0【解析【解析】选选B.B.因为因为x x 所以所以 根据正弦曲线可知，当根据正弦曲线可知，当 时，时，

16、f(xf(x) )取得最小值取得最小值 f xsin(2x)40,222220,232x,444 ，2x44 2.2【易错误区【易错误区】应用换元法求三角函数最值的常见误区应用换元法求三角函数最值的常见误区【典例【典例】函数函数y=cosy=cos2 2x-4cos x+5x-4cos x+5的值域是的值域是_._.【解析【解析】令令t=cost=cos x x，由于，由于xRxR，故，故-1t1-1t1，y=ty=t2 2-4t+5=(t-2)-4t+5=(t-2)2 2+1+1，当当t=-1t=-1，即，即coscos x=-1 x=-1时函数有最大值时函数有最大值1010；当当t=1t=

17、1，即，即coscos x=1 x=1时函数有最小值时函数有最小值2.2.所以该函数的值域是所以该函数的值域是2,102,10. .答案：答案：2,102,10【误区警示【误区警示】【防范措施【防范措施】换元法求函数的值域换元法求函数的值域在利用换元法求解有关在利用换元法求解有关“二次函数型二次函数型”函数值域问题时，要函数值域问题时，要特别注意换元后特别注意换元后“新元新元”的范围，即为新函数的定义域，以的范围，即为新函数的定义域，以便求解函数的值域，如本例，若忽略余弦函数的有界性，即便求解函数的值域，如本例，若忽略余弦函数的有界性，即不注意新元的范围极易致错不注意新元的范围极易致错. .【

18、类题试解【类题试解】函数函数y y2sin2sin2 2x x2cos x2cos x3 3的最大值是的最大值是( )( )A.-1 B. C. D.-5A.-1 B. C. D.-5【解析【解析】选选C.yC.y2sin2sin2 2x x2cos x2cos x3 32cos2cos2 2x x2cos x2cos x1 1121221112(cos x).2221.1.设设M M和和m m分别表示函数分别表示函数 的最大值和最小值，则的最大值和最小值，则M Mm m等于等于( )( )A. B. C. D.-2A. B. C. D.-2【解析】【解析】选选D.D.函数的最大值为函数的最大值为 最小值为最小值为 所以所以M Mm m2.2.1ycos x 1323234312M133 ，14m133 ，2.2.若若f(x)f(x)cos xcos x在在b b，a a上是增函数，则上是增函数，则f(x)f(x)在在a a，b b上是上是( )( )A A奇函数奇函数 B B偶函数偶函数 C C减函数减函数 D D增函数增函数【解析】【解析】选选C.C.因为因为f(x)f(x)cos xcos x在在R R上为偶函数，上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知所以根据偶函数的性质可知f(x)f(x)在在a a，b b上是减