有限元原理与应用11-7板壳有限元法

1、1/43有限元原理与应用潘文 教授，工学博士，博士生导师E-mail: 办公室、传真明理工大学建筑工程学院土木工程系云南省工程抗震研究所云南省抗震工程技术研究中心2/43课程基本情况 上课地点和时间： 公教345，周四69小节，19周 教学方式：课堂讲授，专题研讨 考核方式：三次大作业（20,30,50） 第1次：第6周提交 第2次：第10周提交 第3次：第15周提交3/43课程资源 教材 课件 网络4/43课堂教授内容绪论 杆系结构有限元法杆系的若干补充问题 平面问题有限元法 轴对称问题有限元法 等参数单元板壳有限元法结构动力分析有限元法 非线性有限元法第一次大作

2、业有限元软件简介 有限元分析要点与技巧第二次大作业相关技术： 边界元、有限条、无限元相关领域： CAE、CAM第三次大作业讨论 专题研讨内容5/437. 板壳有限元法7.1 板弯曲问题的分类7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式7.4 十二自由度矩形元(元)7.5 十六自由度矩形单元(元)7.6 常矩三角元(Morley元) 7.7 九自由度三角元(Zienkiewicz三角元)7.8 二十一自由度三角元(Argyris三角元) 7.9 线性曲率协调三角元族(单元族) 7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元) 6/437. 板壳有限元法7.1 板弯曲问题的

3、分类1at在板的分析中，常取板的中面为xoy平面。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小而分为:厚板（Thick plate）和薄板（Thin plate)两种。当 时称为薄板平板上所承受的荷载通常有两种: 1. 面内拉压荷载面内拉压荷载。 由面内拉压刚度承担，属平面应力问题。 2. 垂直于板的法向荷载垂直于板的法向荷载，弯扭变形为主，具有梁的受力特征，即常说的弯曲问题。平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W。 7/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程0z0zx0zy1) 略去垂直于中面的法向应力。（ ），即以中面上沿Z方向的挠度W代表板的挠度)2) 变形前垂直中面的任意直线，

4、变形后仍保持为垂直中面的直线。（法向假定 ）3) 板弯曲时，中面不产生应力。(中面中性层假定) 上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫Kirchhoff 假定）。 7.2.1 基本假定8/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w作为基本未知量。 、几何方程（应变挠度关系）弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD，设其边长为dx, dy，变形后弯曲成曲面ABCD9/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法xwydxxwwywxdyyww设A点挠度w, 则沿x方向倾角

5、(绕y轴) (B点挠度 ) 沿y方向倾角(绕x轴) (D点挠度 ) 10/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法xwzuywzv 沿x, y 方向位移作平行于x0z平面，设中面上点A到Ai的距离为z，变形后，A点有挠度w，同时发生弯曲，曲面沿x方向的倾角为根据法线假定，则A点沿x方向的位移: (负号为方向与x相反) 同理取y0z平面得： xw11/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法 Z平面的应变分量和曲、扭率 由于基本假定，故板内任意点的应变与平面问题相同: 0 xyzxzxvyuyvxuxyyx代入将vu. yxwz

6、ywzxwzxyyx22222212/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法 Z平面的应变分量和曲、扭率 22xw22ywyxw2为曲面在X,Y方向的曲、扭率，记为： yxwywxwxyyx222222 z13/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法xyxyxyyyxxEEE121122 022222222222111DyxwEzxwywEzywxwEzxyyx xDz021000101120ED、物理方程（应力挠度关系） 由于忽略z 对变形的影响, 因此z平面的应力应变关系具有与平面问题相同的形式: 14/437. 板壳

7、有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法、内力方程（内力挠度关系）15/437. 板壳有限元法7.2 薄板小挠度弯曲的基本方程7.2.2 基本方法、内力方程（内力挠度关系） 03222220322220212212DtyxwywxwDtdzDzdzzMMMFttttxyyx16/437. 板壳有限元法7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式为了保证有限元解能收敛到真实解，单元假定的位移场应满足以下条件：(1) 在单元内 连续；(2) 包括足够的刚体位移模式。这种模式有三种：沿z方向的刚体平移和x、y轴的两个刚体型转动。为了保证这一点，假定的单元位移场中应包含x、y的完全一次多项式：

8、(3) 能够描述任何一种常曲率状态。为实现这一点，假定的单元位移场w中还应包含x、y的三个二次项：从(2)和(3)可知：w应至少包括x、y的完全二次多项式(4) 协调条件yx32126524yxyx26524321yxyxyxwywxww，17/43(4) 协调条件四阶问题要求穿过单元边界时连续。但如果沿边界的局部坐标系n-s考察，若穿过单元边界时w连续，则 一定连续。故协调条件更恰当的提法应是：穿过单元边界时w(位移)和(转角)连续。7. 板壳有限元法7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式ywxww，18/43上述四个条件为有限元解收敛到真实解的充分条件，其中条件(1)(3)为必要条件。不满足条件

9、(4)的单元，只有能够通过分片检验时才能保证收敛性。为了同时保证位移和转角的协调性，一般采用Hermite型插值。这样至少可以保证节点处的协调性。既便如此，实现协调性仍然是一件困难的事。下面介绍几种典型的单元。以说明构造平板单元的方法。7. 板壳有限元法7.3 薄板小挠度弯曲的位移模式19/437. 板壳有限元法7.4 十二自由度矩形元(元) 31231131029283726524321xyyxyxyyxxyxyxyxw单元：边与x、y轴平行的矩形。取矩形的四个角点为节点。取为节点参数。单元位移场取)41()()(iywxwwiii、20/437. 板壳有限元法7.4 十二自由度矩形元(元)

10、 收敛性分析上述位移场为x、y的四次多项式，完全到x、y的三次项，故收敛条件(1)(3)可以满足。下面分析协调性，以2-3边为例。 沿2-3边： x = 常数。位移w是y的三次多项式，可以完全被节点2、3处的四个节点参数 所决定，故沿2-3边位移w是协调的。沿2、3边转角 是y的三次函数，不能仅由节点2、3处剩下的两个节点参数 所决定。故沿2-3 不协调。对其它各边可得到类似的结论。 3)()(ywywww、xwnwnw3)()(xwxw、21/437. 板壳有限元法7.5 十六自由度矩形单元（元） 实现协调条件的一个办法是引入高阶导数做为节点参数 单元：边与x、y轴平行的矩形。取矩形的四个角

11、点为节点。取为节点参数。单元位移场取)41()()()(2iyxwywxwwiiii、 331632152314313221231131029283726524321yxyxyxxyyxyxyxyyxxyxyxyxw22/43沿2-3边x=常数，w是y的三次函数， 也是y的三次函数。沿2-3边，w完全由 所决定； 完全由 所决定 ，故沿2-3边w和 都满足协调要求。对其它边，可得到相同的结论。 7. 板壳有限元法7.5 十六自由度矩形单元（元） 收敛性分析上述位移场是x、y的六次多项式，完全到x、y的三次项。对于x和y每一个变量而言，次数不超过三，这16项刚好构成x、y的双三次多项式。显然，收

12、敛条件所要求的(1)(3)得到满足。 3)()(ywywww、xwnwnwxw、)()(xwxw、)()(xwyxwy23/437. 板壳有限元法我们看到，适当引入高阶导数为节点参数，可以解决协调性问题，但在节点处不能保证高阶导数连续（例如板的材料、厚度有突变）的情况下，这种方法遇到了困难。此外，在强制边界条件的边界上与高阶导数有关的节点参数如何处理也缺少一般性的方法。这些困难在构造三角元时也会出现。同矩形单元相比，三角形单元要灵活得多，但满足协调条件的困难也要大些。对于板单元而言，一味追求协调未必得到多少好处。 7.5 十六自由度矩形单元（元） 24/437. 板壳有限元法7.6 常矩三角元

13、(Morley元) 在节点1、2、3取位移wi (i=13)为节点参数；在节点4、5、6取转角）（6 , 5 , 4)(inwi为节点参数。单元位移场取 26524321yxyxyxw在单元内曲率和扭率为常数，故称为常矩三角元 25/437. 板壳有限元法7.7 九自由度三角元（Zienkiewicz三角元） 在节点1、2、3取位移wi (i=13)为节点参数；单元位移场取 )31()()(iywxwwiii、392283726524321)(yxyyxxyxyxyxwyyxxyyxxyyxxNNwNNNwNNNwNw33221126/437. 板壳有限元法7.8 二十一自由度三角元(Argy

14、ris三角元) 在节点1、2、3取为节点参数；在节点4、5、6取转角）（6 , 5 , 4)(inwi为节点参数。单元位移场取 52142032192318417516415314221331241131029283726524321xxyyxyxyxxyxyyxyxxyxyyxxyxyxyxw)31(22222iywyxwxwywxwwiiiiii、27/437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)在节点1、2、3取为节点参数；在节点4、5、6取转角）（6 , 5 , 4)(inwi为节点参数。 )31( iywxwwiii、基本单元(LCCT-12) 单元共有12个自由度（

15、外自由度），习惯上称为LCCT12。28/437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)基本单元(LCCT-12) 为了构造位移场，在单元内再取一个内节点0，线段0-1、0-2、0-3将原三角形分成三个子三角形。内点0的节点参数取为 29/437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)基本单元(LCCT-12) 每个三角形共有10个节点参数，对于三角形它们是： 0004ywxwwnwywxwwywxww、30/437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)基本单元(LCCT-12) 在每个子三角形内可以假设位移w是x、y的完全三次多项式。可以直接用x、

16、y描述，也可以用每个子三角形的面积坐标描述。这样的位移场可以描述每个子三角形的任何一种刚体位移和常曲率状态,因而整个单元的刚体位移和常曲率条件也可以得到满足。 31/43设点7、8、9分别为1-0、2-0、3-0的中点。沿1-0边 是s的二次函数，子三角形与在1和0两点处转角已经协调，若再强制在点7处 协调，则沿1-0将完全满足协调条件。对于2-0和3-0边可做类似的处理，可得到三个约束方程 7. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)基本单元(LCCT-12) 约束条件和内自由度凝聚 nw0009)3(9)2(8)2(8)1(7)3(7)1(nwnwnwnwnwnwnwnw32/

17、437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)基本单元(LCCT-12) 我们可以对LCCT12单元的位移场的特行征归纳如下：（i）在每个子三角形内w是x、y的三次多项式；（ii）单元之间以及子单元之间满足w和的协调条件；（iii）可以描述任何一种刚体位移和常曲率状态。从而保证了有限元解的收敛性。 nw33/437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)可以人为地限定沿LCCT12单元的一边（例如1-3边） 按线性变化。要做到这一点只需在LCCT12的单元位移场中将 以 代替即可实现。这时的单元仅包括11个节点参数，称为LCCT11单元。 nw 6nw 3121nw

18、nw34/437. 板壳有限元法7.9 线性曲率协调三角元族(单元族)Q-19(4个LCCT11) 4个LCCT9 35/431. 基本假设将中厚板板视为三维弹性体，但附加以下假定：变形前垂直于中面的直线（即中面法线），变形后仍然保持为直线，长度不变，但不一定与变形后的中面垂直。因而，在假设中考虑了横向剪切变形。7. 板壳有限元法7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元)36/431. 基本假设设中面上 点的横向位移为w，过这一点的中面法线绕x、y轴的转角为 则中面外一点 处的位移为 7. 板壳有限元法7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元)、),(yxx),(yxy),

19、(zyxM),(),(),(),(),(),(11yxwzyxwyxzzyxvyxzzyxuxy37/431. 基本假设7. 板壳有限元法7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元)xwxwzuywywzvxyzxvyuyzxvxzxuyxzxyzxyxyxyyxz)(0111 )()1 (2)()1 (2)()1 (2)(1)(1011212xwEywExyzExyzEyxzEyxzxyzxyyxxyyxyxyxz应变 应力 38/431. 基本假设7. 板壳有限元法7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元)弯矩 DxyyxEtMMMMxyxyxyyx2)1 (000101)1 (1223可见，只要知道了中面上各点的 即可定出板的曲率、弯矩、横向剪切变形和剪切力。而这三个基本参数是相互而这三个基本参数是相互独立的。独立的。在曲率和应变表达式中只出现它们的一阶导数，与二阶问题相同，因而可以利用等参数单元。 yxw、39/432. 母体单元和形函数 7. 板壳有限元法7.10 考虑剪切变形的板单元(Mindlin单元)母体单元：边长为2的正方形。节点个数：四九