大学物理、高等数学的预备知识

1、0数学预备知识1数学预备知识A A 行列式行列式B B 矢量的代数运算矢量的代数运算C C 一元函数微积分一元函数微积分D D 多元函数微积分多元函数微积分2A 行列式行列式A.1 行列式行列式2 21 1- -1 1- -1 1- -2 2- -1 11 11 12 2z zy yx xF Fz zk kF Fy yj jF Fx xi i33 33 33 32 23 31 12 23 32 22 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa a元素：元素：i ij ja ai: 行标行标; j: 列标列标222221211212111

2、1a aa aa aa a1 11 1a a三阶行列式可以一般地表述成2阶、1阶、零阶行列式分别表述成4行列式的运算规则可用下述递归方式定义：递归方式定义：定义定义11 11 11 11 11 11 1a aa aa a1 12 22 21 12 22 21 11 12 22 22 21 11 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa a2 23 32 22 21 13 31 12 23 31 13 33 33 32 21 13 31 12 22 21 13 33 33 32 22 23 32 22 21 11 13 33 33 32 23 31 12 23 32 22

3、 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a5性质性质1：行列可互换性：行列可互换性z zy yx xz zy yx xF FF FF Fz zy yx xk kj ji iF Fz zk kF Fy yj jF Fx xi i6性质性质2：一行的公因子可以提出：一行的公因子可以提出3 33 33 32 23 31 12 23 32 22 22 21 11 13 31 12 21 11 13 33 33 32 23 31 12 23 32 22

4、 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa akkkk7性质性质4：如果行列式中两行成比例，：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。那么行列式为零。03 33 33 32 23 31 11 13 31 12 21 11 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa akkk性质性质3：对换行列式中两行的位置，：对换行列式中两行的位置， 行列式反号。行列式反号。8A.2 应用应用3 33 33 33 32 23 32 21 13 31

5、12 23 32 23 32 22 22 21 12 21 11 13 31 13 32 21 12 21 11 11 1b bx xa ax xa ax xa ab bx xa ax xa ax xa ab bx xa ax xa ax xa a3 33 33 32 23 31 12 23 32 22 22 21 11 13 31 12 21 11 1a aa aa aa aa aa aa aa aa aDD 引入分母行列式线性代数方程组92D , , a aa ab ba aa ab ba aa ab bDD3 33 33 32 23 32 23 32 22 22 21 13 31 12

6、21 11 13 ,2, 1 iDDxii引入分子引入分子行列式行列式方程组的解能表述为方程组的解能表述为10例例1. 公比公比0q1的无穷等比级数求和的无穷等比级数求和qSa aqaqaqaqa aqaqaqaS3232qaS111例2. 求无穷串并联系列的电阻RAB设AB间的电阻为RAB则有ABABRRRR111212B 矢量的代数运算矢量的代数运算B.1 矢量的叠加与分解既有大小，又有方向的量是矢量，记为A标量：只有大小，没有方向矢量的大小称为矢量的模，记为 A单位方向矢量AAAA/ 或13万有引力定律r rr rMMmmGGF F3 3MmFr14矢量的代数性质矢量的叠加:矢量的和标积

7、和矢积：矢量的乘矢量与标量的关系数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量BA矢量之间的关系153 32 21 13 32 21 1A A) )A AA A ( (A AA AA ACBAABC两个矢量的和矢量的叠加满足交换律和结合律16矢量矢量的分解的分解x xy yz zi ij jk kA Ax xA Ay yA Az zA AxyxyA Ai ij jk kk kA Aj jA Ai iA AA Az zy yx xz zy yx xz zy yx xA A, ,A A, ,A A 或或 A A, ,A A, ,A A : :A Ax x轴单位矢量轴单位矢量y y轴单位矢量轴单位矢量z z轴单

8、位矢量轴单位矢量可简写为: k kB BA Aj jB BA Ai iB BA Ak kB Bj jB Bi iB Bk kA Aj jA Ai iA AB BA Az zz zy yy yx xx xz zy yx xz zy yx x17k k维空间维空间i ik k1 1i ik kk k2 22 21 11 1e eA Ae eA Ae eA Ae eA AA Ai i k k1 1i i2 2i iA AA Aie e) )B B( (A AB BA Ak k1 1i ii ii iK维空间矢量矢量的模矢量的和18思考题思考题3 3： k k维空间正方维空间正方“体体”顶点数顶点数棱

9、数棱数面数面数面积面积体积体积3维正方体维正方体81266a2a32维正方维正方“体体”4444aa21维正方维正方“体体”2122a19B.2 矢量矢量的的标积标积 0 0 规规定定 c co os s B BA AABA AB B/B B /ABAABBA/显然有矢量的模量AAA20矢量标积的一些基本性质矢量标积的一些基本性质 B BA AB BA AB B) )A AA A( (A AB BB BA A) )B BA A( (B B) )A A( (2 21 12 21 1)( 为为标标量量 B BA AB BA AB BA AB BA A) )B BB B ( () )A AA A (

10、 (2 22 21 12 22 21 11 11 12 21 12 21 121三维空间三维空间0 0i ik kk kj jj ji iz zz zy yy yx xx xz zy yx xz zy yx xB BA AB BA AB BA A) )k kB Bj jB Bi i( (B B) )k kA Aj jA Ai i( (A AB BA A单位矢量的标积满足正交性归一性1 1k kk kj jj ji ii iiAxA矢量的某一分量22j j若若i i 1 1j j若若i i 0 0 e ee ei ij jj ji ik k维空间维空间i ik k1 1i ii iB BA AB

11、 BA A正交归一性23例题例题3 重力功的计算重力功的计算b ba al l) )g g( (m mW Wz平面xyabazbzPlgmb ba az zmgmgmmg gh h) )z zmmg g( (z za ab b24B.3 矢量矢量的的矢积矢积或由左手系确定的方向或由右手系确定平行四边形的面积）,( sinCABC : :C CB BA A三维空间三维空间两个矢量的矢积定义为两个矢量的矢积定义为A AB B B( (右右) )C C( (左左) )C C25矢积的一些基本性质矢积的一些基本性质 ) )B BA A ( (B B) )A A( ( 2 22 21 12 22 21

12、11 11 12 21 12 21 1B BA AB BA AB BA AB BA A) )B BB B( () )A AA A( (A AB BB BA AB BA AB BA AB B) )A AA A( (2 21 12 21 1反交换律分配律进一步可导出其它较复杂的公式,例如26 B BA Ak kB BA Aj jB BA Ai i B BA Az zz zy yy yx xx x0 0k kk kj jj ji ii ij ji ik k ; ; i ik kj j ; ;k kj ji i矢积只能在三维空间中进行矢积只能在三维空间中进行, 对于坐标基矢有对于坐标基矢有矢积的行列式

13、表示矢积的行列式表示27例例4 矢积在物理学中的应用一矢积在物理学中的应用一FrMprLBvqFv力矩力矩v角动量角动量v洛仑兹力洛仑兹力28baBlIFv安培力安培力v毕奥毕奥-沙伐尔定律沙伐尔定律304 rrlIBlIBablIrP例5 矢积在物理学中的应用二29B.4 B.4 矢量矢量的的三重积三重积 z zz zz zy yy yy yx xx xx xC CB BA AC CB BA AC CB BA A) )C CB B( (A A几何意义：几何意义：平行六面体的体积平行六面体的体积)(CBAABC) )B BA A( (C C) )A AC C( (B B) )C CB B( (

14、A A三重标积的循环可交换性三重标积30C)BA(B)CA()CB(A矢量的三重矢积)(CBA0 0) )C CB B( (A A 共共面面 C C , , B B , ,A A ABCCB三重矢积必在B、C确定的平面内， 是B、C的线性组合。31C 一元函数微积分一元函数微积分C.1 微分微分一元函数可记为一元函数可记为y(x) y xyxxxyyy或或OF(x)y 自变量 x 的增量:x函数增量:)()(xyxxyy32BAyxxAy)y()y(yxxx线性函数当自变量的增量很小时，其它函数的增量能否写成类似的形式？33抛物线函数抛物线函数2Ayx2)A(A2yxxx含有高阶无穷小，其它函

15、数类似。34xs si in ny yxeyxxxxsin cos1)(cos sin y)1(xxeey35)()(xydxxydy自变量增量0 x时, 称为自变量微分,改记成dx相应的函数增量0y, 称为函数微分,记成dydy与dx的关系微分 忽略高阶无穷小AdxdyBAxy ,dxdxxAdyAxy)2( ,2dxxdxxdyxysincos) 1(cossin ,sin36AxBdxAxAxBdxAx 简书为1cos 1cosdxdx简书为dxdxdxdxsin sin简书为dxdxdxdx tan tan简书为edxedxdxdx11)1 ( )1 (简书为数学上可以证明, 对无穷小

16、量dx, 有64274821785251654759457134076630353 772749669676209369995952497757247 66028747135259045235367182818284. 2e37C.2 微商（导数）微商（导数） )(dxdyxyxxyxxyxy)()( 定义定义dxdyy 或OxxyyPQxy几何意义: 平均变化率函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率tan)()(dxxydxxydxdyy38例例6 函数导数的几个实例函数导数的几个实例AyBAxy AxyAxy2 2 sinxyxdxdxxdxdxxycossincos1cossinx

17、yxysin cos39导数的一些重要性质导数的一些重要性质22112211 yAyAyyAyAy212121 yyyyyyyy22212121 yyyyyyyyy40复合函数的微商复合函数的微商)( )(xuuuyyxuxuyy链式法则:xuxuydxdududydxdyy41例例7 几个函数的求导几个函数的求导)sin(CBxAyCBxuuAy sin可看作)cos()cos(CBxABBuAuyyxux42xAycos可变换为可变换为)2sin(xAy即得即得xAxAysin)2cos(43xytan可变换为可变换为xxycossin即得即得xxxxxxy22cos1cos)(cossi

18、ncos)(sin44,2, 1 kxyk可递归地得到1kkxy)()()()(11111kkkkkkxxxxxxxxxx1 x既有45三个常用导数公式三个常用导数公式1)(xx是任意实数aaaxxln)(xx1)(ln ?xe46二阶导数二阶导数dxdydxddxydy )(简写成 22dxydy nnndxydy)( 依此类推, n阶导数记作47例如 , 2 , 1 )()(keexnx , 2 , 1 , 0 cossin)14(kxxkxxksinsin)24(xxkcossin)34(xxksinsin)44(48增加而增加随xyxy 0)(极大值或极小值? 则由该点的二阶导数来确定

19、增加而减小随xyxy 0)(对应极值点 0)( xy导数与极值OxyyPx0 xQMdxydy490)( 0)(00 xyxy极大值点极大值点0)( 0)(00 xyxy极小值点极小值点OxyyPx0 xQMN50非极值点，称为拐点非极值点，称为拐点xy3xy 0)0( y0)0( y在 x = 0 处51例题例题 找出 xsin的全部极值点 , 2, 1, 0 )21(2k0kx极大值点极大值点极小值点极小值点, 2, 1, 0 21) 1(2k0kx52泰勒展开泰勒展开)()()()(0000 xxxydxxydyxyxy导数的一个重要应用函数的幂级数展开dxxx00自变量函数增量也可写成

20、)()()(00000 xxxyxxxyxy猜想函数有如下的幂级数展开0030320201000)()()()()()(nnnxxAxxAxxAxxAxxAxy-泰勒(Taylor)级数53确定泰勒级数的展开系数展开式两边对 x 依次求导, 再取 x = x0, 可确定所有项的系数, 2 , 1 ),(!1 ),(0)(00nxynAxyAnn泰勒级数的收敛性因为y(x)是有限的, 所以至少要求0)(!1)( ,00)(0nnnnxxxynxxAn54 函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开为泰勒级数，便称这一范围为y(x)的收敛区域。xx sin11 )1 (1xx11 1xx11 )1ln

21、(xxxx cosxex x0= 0的泰勒级数，也称为马克劳林(Maclaurin)级数552468-101 第1项! 7! 5! 3sin753xxxxx前3项前2项前4项前9项56! 7! 5! 3sin753xxxxx! 6! 4! 21cos642xxxxxixeixsincos奇函数偶函数例题8 导出欧拉(Euler)公式57! 5! 4! 3! 215432xxxxxex比较得比较得xixeixsincos58矢量微商矢量微商ktAjtAitAtAzyx)()()()(许多物理量是矢量，一般都随时间和空间坐标而变化。任意矢量A(t)可分解为其中基矢均不随t变化。A对t的导数为kdt

22、tAdttAjdttAdttAidttAdttAdttAdttAdtAdzzyyxx)()()()()()()()(即有kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyx59rkdttdzjdttdyidttdxdtrdv)()()(ktzjtyitxtr)()()()(例如质点位矢 r 分解成速度加速度rkdttzdjdttydidttxddtrddtvda 22222222)()()(60dtBdABdtAdBAdtd)(矢量A(t)与矢量B(t)的标积zzyyxxBABABABAdtBAddtBAddtBAddtBAdzzyyxx)()()()(即得61 B BA Ak kB BA Aj jB

23、 BA Ai i B BA Az zz zy yy yx xx xdtBdABdtAddtBAd)(62C.3 积分积分)( )(xfxF)()()()()(12212121xFxFdxxfdxxfxdFxxxxxx若称 f (x) 是 F (x) 的导函数， F (x) 是 f (x) 的原函数定积分Oxyx1x2xx+dx)(xf63)()()()(122121xFxFxdFdxxfxxxx积分的上限积分的下限)()(xfxF)()(xFxf原函数求导导函数积分积分是求导的逆运算64最简单的积分最简单的积分Oxyx1x2xx+dx)(xfhxfahxxF)( ,)()()()()(1212

24、21xFxFxxhdxxfxx65CxFdxxf)()(不定积分不定积分: 求函数的所有原函数求函数的所有原函数1 11CxdxxCxxdxsincosCxxdxcossinCedxexxCxdxxln1几个常用公式:66dxxfAdxxfAdxxfAxfA)()()()(22112211不定积分的一个重要性质定积分的几何意义Oxyx1x2xx+dx?)(21xxdxxf67例题例题9 定积分与曲线长度定积分与曲线长度21212)(1xxxxdxxfdlldxydydxdl222)(1)()(Oxyx1x2xdxdydly = f (x)68D 多元函数微积分多元函数微积分D.1 偏微商（偏导数）),(321kxxxxyy多元函数是由多个独立自变量构成的函数理想气体的状态方程RpVT长方形的体积高宽长V6911xyyx仅由自变量x1的无穷小变化引起的函数增量),(),(3213211kkxxxxyxxxdxxy称为函数对x1的偏微分类似可引入函数对其它自变量的偏导数函数对x1的偏微商或偏导数70例如：理想气体的状态方程例如：理想气体的状态方程RpVTRVpTRpVTT 对p求偏导数时将V处理为常量T 对V 求偏导数时将p处理为常量71k 个自变量均有无穷小增量时引起的 y 增量kkdxxydxxydxxydy2211例如