第32章_平稳时间序列分析arma模型

1、第三章平稳时间序列分析第二节 ARMA模型AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）一、AR模型(Auto Regression Model)具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型（一）AR模型定义 AR(P)序列中心化变换对于非中心化序列作变换则原序列即化为中心化序列所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。AR模型的算子表示令则 模型可表示为（二）AR模型平稳性判别判别原因：AR模型是常用的平稳序列的拟合模

2、型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 。判别方法：特征根判别法，平稳域判别法。例3.1:考察如下四个模型的平稳性 从时序图上可以看出，（1）（3）模型平稳，（2）（4）模型非平稳。（三）AR模型平稳性常用判别方法特征根判别平稳域判别 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。 根据特征根和算子多项式的根成倒数的性质，AR(p)模型平稳的充要条件是该模型的算子多项式的根都在单位圆外。平稳域为：（四）两个常见模型的平稳性条件1、AR(1)模型平稳条件特征根为 ，平稳条件平稳域为AR(1)模型的平稳性条件也可以如下讨论：对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的

3、方差： 由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 |1。 而AR(1)的算子多项式方程：的根为z=1/ AR(1)稳定，即 | 1，意味着特征根大于1。2、AR(2)模型平稳条件特征根为由知 等价于平稳域 2 + 1 = - 1 2 + (1 +2) = 1 (1- 1) (1- 2 ) 2 - 1 = - 1 2 - (1 +2) = 1 (1+ 1) (1+ 2 ) 无论 1, 2为实数或共轭复数，由 1 1, 2 0，从而得 2 + 1 1 2 - 1 1 且 -1 2

4、 0 时，特征方程有不等实数根。2, 1的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。 (3)当 12 + 4 2 0 时，特征方程根为共轭复根。 2, 1的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。 AR(2)模型的平稳性也可以如下讨论： 对AR(2)模型： 方程两边同乘以Xt，再取期望得： 又由于：于是： 同样地，由原式还可得到：于是方差为 ：由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+21, 2-11, |2|1 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：(

5、2)由于 可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳 （三）平稳AR模型的统计性质1、均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有推导出（1）Green函数定义2、方差将平稳的AR(p)模型表示成如下的传递形式其中系数 称为Green函数求Green函数递推公式由待定系数法可得如下递推公式（2）平稳的AR(p)模型的方差由平稳AR模型的传递形式两边求方差得例3.2: 求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差为也可用以下方法计算

6、将原过程改写为所以3、自协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘 ，再求期望根据得自协方差函数的递推公式例3.3:求平稳AR(1)模型的自协方差函数递推公式：平稳AR(1)模型的方差为自协方差函数的递推公式为：例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差利用其中所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为4、自相关系数（1）自相关系数的定义：特别（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：上述方程称为Yule-Walker方程。（3）常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型说明：在AR(1)模型中，即使 没有直接出现在模型中， 和 也是相关的。因为所以， 是通过 与 相关的，这种

7、间接相关出现在任何AR模型中。 与 的自相关系数 等于 与 的自相关系数 乘以 与 的自相关系 数 。即5、平稳AR(p)模型自相关系数的性质（1）拖尾性（2）呈负指数衰减拖尾性说明 之前的每一个序列值 都会对 构成影响，但因为自相关系数呈负指数衰减，所以，间隔较远的序列值对现时值的影响很小，具有所谓的“短期相关性”。例3.5:考察如下AR模型的自相关图例3.5自相关系数按负指数单调收敛到零例3.5:自相关系数呈现正负相间地衰减例3.5:自相关系数呈现出“伪周期”性例3.5:自相关系数不规则衰减 6、偏自相关函数 自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变

8、量间完全不同的相关关系。 例如，在AR(1) 中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。 与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partial autocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，Xt-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。定义：对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， 对 影响的相关度量。用数学语言

9、描述就是7、偏自相关系数的计算（1）直接利用回归方法计算 首先将序列中心化，作如下形式的回归滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。注意到：所以， 即为剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， 与 的相关系数，即 与 的 偏自相关系数。（2）利用Yule-Walker方程计算当 时，当 时，所以，一般地：利用Cramer法则可得（3）利用Levinson递推公式计算或写成其中定理的证明： Yule-Walker方程可写为 利用归纳法，对k=1， Levinson递推公式显然成立。假设公式对k-1已经成立，即对k阶Yule-Walker方程作上述分块矩阵，记则 是正交阵。有

10、 k阶Yule-Walker方程可记为所以，由（1）式注意到：-（1）-（2）-（3）代入（2）式得，所以，注意到：已经假定Levinson公式对k-1成立，即所以有再由（3）式得即8、平稳AR(p)模型偏自相关系数的截尾性 AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾，这是因为对于AR(p)模型 与 之间不存在直接相关。所以 平稳AR(p)模型偏自相关系数的截尾性是AR模型所具有的一个重要特性，它可以帮助我们识别AR模型。9、常用AR模型偏自相关系数公式AR(1)模型：AR(2)模型：例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图例3.5理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5:理论偏自相关系数样本偏自相关图

11、例3.5:理论偏自相关系数样本偏自相关图例3.5:理论偏自相关系数样本偏自相关图二、MA模型（Moving Average Model）（一）MA模型的定义具有如下结构的模型称为 阶移动平均模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型 利用延迟算子，中心化 模型又可以简记为 其中， 是 阶移动平均系数多项式 为了以后识别一个模型是否是移动平均模型MA(q)，下面讨论MA模型的统计性质（二）MA模型的统计性质（1）常数均值（2）常数方差显然， MA模型是平稳的。（3）MA模型的自协方差函数MA(q)自协方差函数q 阶截尾（4）MA模型的自相关函数MA(q)自相关系数q 阶截尾(5)常用MA模型的自相

12、关系数MA(1)模型MA(2)模型(6)MA模型的偏自相关系数MA模型的偏自相关系数拖尾对于中心化的MA(q)模型，有例3.6:考察如下MA模型的相关性质MA模型的自相关系数截尾可以看出（1）（2）自相关系数相同MA模型的自相关系数截尾可以看出（3）（4）自相关系数相同MA模型的偏自相关系数拖尾 可以看出（1）和（2）的偏自相关系数相同， （3）和（4）的偏自相关系数相同。（三）MA模型的可逆性 由例3.6可以看出，不同的MA模型可能具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数，为了利用自相关系数和偏自相关系数来识别MA模型，要求给定一个自相关函数能够对应惟一的MA模型，这就要求我们给模型增加约束条

13、件，这个约束条称为件MA模型的可逆性条件。（1） MA模型可逆性的定义定义：若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型。意义：可以保证一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。（2）可逆的MA(1)模型（3）MA模型的可逆条件MA(q)模型可逆的充要条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是算子多项式的根都在单位圆外（4）MA模型逆函数的递推公式利用待定系数法可得如下逆函数递推公式由若MA模型可逆，则MA模型可表示为称为MA模型的可逆表示。例3.6续:考察如下MA模型的可逆性逆函数为逆转形式为（可逆表示）MA(2)可逆条件：(3)的逆函数为(3)的逆

14、转形式为（可逆表示）自回归与移动平均过程的关系 一个平稳的AR(p)过程 (1 - 1B - 2B2 - - pBp ) xt = ut可以转换为一个无限阶的移动平均过程， xt = (1 - 1B - 2B2 - - pBp )-1 u t = B)-1 ut 一个可逆的MA(q)过程 xt = (1 + 1B + 2 B2 + + q Bq ) ut = B) ut可转换成一个无限阶的自回归过程， (1 + 1B + 2 B2 + + q Bq)-1 xt = B) -1 xt = ut 对于MA(q)过程，只需考虑可逆性问题，条件是 B) = 0的根（绝对值）必须大于1，不必考虑平稳性问

15、题。 对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是 B) = 0的根（绝对值）必须大于1。不必考虑可逆性问题。三、ARMA模型（一）ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型。利用延迟算子，中心化 模型又可以简记为其中， 是 阶自回归系数多项式 是 阶移动平均系数多项式（二） ARMA(p,q)平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件：P阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外，即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定。ARMA(p,q)模型的可逆条件：q阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆外，即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定。（三） ARMA(p,q)传递形式与逆转形式传递形式逆转形式无穷阶MA模型无穷阶AR模型格林函数逆函数其中（四）ARMA(p,q)模型的统计性质均值：自协方差函数：自相关系数：例：求ARMA(1,1)过程的自协方差函数，自相关函数，偏自相关函数。解所以，偏自回归系数的Levinson递推公式为：所以， 的偏自相关系数为 类似地可求出ARMA(1,1)模型可转化为无穷阶自回归模型：类似地，可将ARMA(1,1)模