信号系统(陈后金)_(5)

1、系统的频域分析及其应用 连续时间系统的频率响应 连续信号通过系统响应的频域分析 无失真系统与理想低通 抽样与抽样定理 调制与解调 离散时间系统的频域分析北京交通大学陈后金教授 信号系统课件连续系统的频率响应连续系统的频率响应 虚指数信号虚指数信号e ej jw wt t( (- - t t ) )通过系统的响应通过系统的响应 任意非周期信号通过系统的响应任意非周期信号通过系统的响应 系统频响系统频响H(j jw w)的定义与物理意义的定义与物理意义 H(jw w)与与h(t)的关系的关系 计算计算H(j jw w) 的方法的方法1 1虚指数信号虚指数信号ejw wt(- - t )通过连续系统

2、通过连续系统的零状态响应的零状态响应)()(thetytjfwwdhetj)()( -wwdheejtj)(-wwdhejHj)()(-)(wwjHetj其中2任意非周期信号通过连续系统的零状态响应 若信号f(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即wwwdejFtftj)(21)(-由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yf (t)。wwwwdejHjFtj)()(21-)(21wwwdejFTtj-tjtjejHjFejFTwwwww)()(21)(21由积分特性wwwwdejHjFtfTtytjf)()(21)()(-即由均匀

3、性tjtjejHeTwww)(Yf (jw)3 3连续系统的频率响应连续系统的频率响应H(jw w)的定义与的定义与物理意义物理意义)(j| )(|)(wwwejHjH系统的幅频特性系统的相频特性H(jw)的物理意义： 系统把频谱为F(jw) 的输入改变成频谱为H(jw) F(jw) 的响应，改变的规律完全由H(jw) 决定。H(jw w)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。H(jw)称为系统的频率响应，定义为wwdhejHj)()(-)()()(wwwjFjYjHf或Yf (jw)= H(jw) F(jw)4 4H(jw w)与与h(t)的

4、关系的关系)()(thFjHw即H(jw)等于系统单位冲激响应h(t)的Fourier变换 由H(jw)的定义，显然有5 5计算计算H(jw w) 的方法的方法 由系统的动态方程式直接计算； 由系统的冲激响应的傅立叶变换计算； 由电路的零状态频域电路模型计算。例1已知某LTI系统的动态方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为)()(2)(3)()(2wwwwwwjFjYjYjjYjfff由定义可求得)()()(wwwjFjYjHf2)(3)(12wwjj例2已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(

5、e-t-e-2t)u(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用H(jw)与h(t)的关系)()(thFjHw2111-wwjj2)(3)(12wwjj例3 图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和单位冲激响应h(t)。+-Ry(t)+f (t)C+-RY(jw)+F(jw)1/jwC解：RC电路的频域(相量)模型如右图，)()()(wwwjFjYjHCjRCjww11RCjRC/1/1w由Fourier反变换，得系统的单位冲激响应h(t)为)(1)()/1(tueRCthtRC-由电路基本原理有RC电

6、路系统的幅度响应1/RC0wjw2/RC3/RC4/RC0 随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。低通滤波器连续连续LTILTI系统响应的频域分析系统响应的频域分析 连续非周期信号通过系统响应的频域分析连续非周期信号通过系统响应的频域分析 连续周期信号通过系统响应的频域分析连续周期信号通过系统响应的频域分析 正弦信号通过系统的响应正弦信号通过系统的响应 任意周期信号通过系统的响应任意周期信号通过系统的响应一、连续非周期信号通过系统响应的频域一、连

7、续非周期信号通过系统响应的频域分析分析1.已知描述系统的微分方程)()( )()(01)1(1)(tyatyatyatyannnn-)()( )()(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbmmmm-方程两边进行Fourier变换，并利用时域微分特性，有)()()()(0111wwwwjYajajajafnnnn-)()()()(0111wwwwjFbjbjbjbmmmm-解此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yf (jw)。)()()()()()()()(01110111wwwwwwwwjFajajajabjbjbjbjYnnnnmmmmf-2.已知系统的频率响应)()()(wwwjHjFjY

8、f)()(1wjYFtyff-对Yf (jw)进行Fourier反变换，可得系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：(1)两种分析方法实质相同，只不过是采用单元信号不同。(2)分析域不同，卷积积分法时域，频域分析法频域。Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。一、连续非周期信号通过系统响应的频域一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析分析例1已知某LTI系统的动态方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=3f (t)+4f(t)，系统的输入激励f(t)=e-3tu(t)，求系统的零状态响应yf (t)。解 由于输入激励f(t)的频谱函数

9、为31)(wwjjF系统的频率响应由微分方程可得)2)(1(4)(32)(3)(4)(3)(2wwwwwwwjjjjjjjH故系统的零状态响应yf (t)的频谱函数Yf (jw)为)3)(2)(1(4)(3)()()(wwwwwwwjjjjjHjFjYf)(25221)()(321tueeejYFtytttff-w二、周期信号通过系统响应的频域分析二、周期信号通过系统响应的频域分析1. 正弦信号通过系统的响应-tttf,sin)(0w由Euler公式可得)(21)()()(00ww-tjtjeejtf由虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为)(0)(

10、000)()(21)(wwww-tjtjejHejHjty)(sin()(000wwwtjH)(sin()()sin(0000wwwwtjHtT同理)(cos()()cos(0000wwwwtjHtT结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。输出信号的幅度y(t)由系统的幅度函数|H(jw0)|确定，输出信号的相位相对于输入信号偏移了 )(0w2. 2. 任意周期信号通过系统的响应任意周期信号通过系统的响应将周期为T0的周期信号f(t) 用Fourier级数展开为)/2()(000TeCtftjnnnwwtjntjnejnHeT00)(0ww

11、w因为故由系统的线性特性可得周期信号f(t)通过频率响应为H(jw)的系统的响应为-ntnnenHCty0 j0)j ()(ww若f(t)、h(t)为实函数，则有)(Re2)0()(0010tjnnnejnHCjHCtyww例2求图示周期方波信号通过系统H(jw)=1/(a+jw)的响应y(t)。f(t)AtT0-T0- 0解：对于周期方波信号，其Fourier系数为2Sa0wnTACn)(Re2)0()(0010tjnnnejnHCjHCtyww可得系统响应y(t)为0010Re2Sa2)(wawawjnenTATAtytjnn由系统响应频域分析小结系统响应频域分析小结 优点优点：求解系统的

12、零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。 不足不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解。 （2）若激励信号不存在傅立叶变换，则无法利用频域分析法。 （3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。 解决方法解决方法：采用拉普拉斯变换无失真传输系统与理想滤波器无失真传输系统与理想滤波器 无失真传输系统无失真传输系统 理想滤波器的频响特性理想滤波器的频响特性 理想低通滤波器理想低通滤波器 冲激响应 阶跃响应无失真传输系统无失真传输系统若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为)()(dttfK

13、ty-K为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。时域特性)()(dttKth-频域特性dteKjHwwj)(-其幅度响应和相位响应分别为KjH | )(|wdt )(ww-无失真传输系统的幅度和相位响应dtww-)(|H(jw)|w无失真传输系统应满足两个条件：(1)系统的幅频响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；(2)系统的相位响应(jw)在整个频率范围内应与w成正比。例1已知一LTI系统的频率响应为wwwjjjH-11)(1)求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2)当输入为f(t)=sint+sin3t (-

14、t) 时，求系统的稳态响应。解：(1)因为)(tan21)(ww-jejH所以系统的幅度响应和相位响应分别为)(tan2)(1)(1www-jH系统的幅度响应|H(jw)|为常数，但相位响应(w)不是w的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。)3(3sin()3()1 (sin() 1()(tjHtjHty)7952. 03sin()2/sin(-tt(2)例1的输入和输出信号波形0-2-1012f (t)ty (t)234显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位非线性相位引起的。理想滤波器的频响特性理想滤波器的频响特性|HLP(jw)|wwc-wc|HHP

15、(jw)|wwc-wc|HBP(jw)|ww1w2-w1-w2|HBS(jw)|ww1w2-w1-w2滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频率通过很少的系统。理想低通理想高通理想带通理想带阻理想低通滤波器理想低通滤波器dcdtcctepejHwwwwwwwwj2-j)(|0|)(-|H(jw)|1wwc-wc0(w)0wc-wcwctd-wctd截止角频率幅频响应|H(jw)|在通带0wc 恒为1，在通带之外为0。相频响应(w)在通带内与w成线性关系1 理想低通滤波器的理想低通滤波器的冲激响应冲激响应dtejHthtj)(21)(-wdteettdCCjj21-ww)(Sa)(dc

16、cttth-ww)(thtdtwcKcdtw-cdtw理想低通滤波器冲激响应分析(1)h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号(t)的波形，有失真。原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号(t)的频带宽度为无穷大。减小失真方法：增加理想低通截频wc。 h(t)的主瓣宽度为2/wc，wc越小，失真越大。当wc 时，理想低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激函数。理想低通滤波器冲激响应分析(2) h(t) 主峰出现时刻t=td比输入信号(t) 作用时刻t=0延迟了一段时间td 。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。(3)h(t)在t0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果

17、系统，因而它是一个物理不可实现的系统。2 理想低通滤波器的理想低通滤波器的阶跃响应阶跃响应-tdhthtg)()()(1wwd)(Sadctct-xxtgdctt)d(Sa121)()(0-wg(t)ttdcdtw-cdtw10.5理想低通滤波器阶跃响应分析(1)阶跃响应g(t)比输入阶跃信号u(t)延迟延迟td 。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。(2)阶跃响应的建立需要一段时间。阶跃响应从最小值上升到最大值所需时间称为阶跃响应的上升时间上升时间tr。tr =2/wc，即上升时间tr与理想低通截频wc成反比。wc越大，上升时间就越短，当wc 时，tr 0。(3)存在存在 Gibbs现象现象

18、。即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽的增加而减小。结论 (1) 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波延迟时间取决于理想低通滤波器的相位特性的斜率器的相位特性的斜率。 (2) 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的波形，上升或下降的时间与理想低通滤波上升或下降的时间与理想低通滤波器的通频带宽度成反比器的通频带宽度成反比。 (3) 理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带系统的通带宽度越大于信号的带宽，则失真越小宽度越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大。例求带

19、通信号f(t)=Sa(t)cos2t ， - t ， 通过线性相位理想低通滤波器 的响应。dctjepjHwwww-)()(2解：因为)()(Sa2wpt利用Fourier变换的频移特性，可得)2()2(2)(22-wwwppjFF(jw)w/213-3-1|H(jw)|wwc-wc)2()2(2)()j ()j ()j (22j2-wwwwwwwwppepFHYdct当wc 3时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即)2()2(2)j (22j-wwwwppeYdty(t)= f(t-td) = Sa(t-td)cos2(t-td) ， - t 当wc 1时，输入信号的所有频率分量都不能通

20、过系统，即0)j (wYy(t)=0， - t 序列kf)(tTt0TT-.)()()(ttftfTs)(tft0 TT-.skfk0 11-. 若连续信号f(t)的频谱函数为F(j)，则抽样信号 其中： T 为抽样间隔，ws=2/T为抽样角频率。理想抽样信号的频谱分析理想抽样信号的频谱分析)( )j ( )(jjTekfFeFkksww-设-kTksnsekTfnFTFwwwwj)()( j 1)j ()j (wsF)()()(ttftfTs的频谱函数为且序列fk的频谱等于抽样信号的频谱，即有抽样信号抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔频谱与抽样间隔T关系：关系：w)j (wFmwmw-10 混

21、叠(aliasing)T1)j (wF)( j sFww-)( j sFwww)j (wsFwmws-ws-wmws /20.)j (wsFT1)( j sFww-)( j sFwww)j (wFwmws-ws-wm0.)j (wsFT1w)j (wFwmws-ws-wmws-ws0.)( j sFww-)( j sFwwmsww5 . 2msww2msww5 . 1 若带限信号f(t)的最高角频率为m，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。若从抽样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足两个条件：fs = 2fm 为最

22、小取样频率，称为Nyquist Rate.(1) f(t)是带限信号，即其频谱函数在|w|wm各处为零；(2) 抽样间隔T需满足 ， 2. 2. 时域取样定理时域取样定理)2/(1/mmfTw或抽样频率fs需满足 fs 2fm （或s 2 m） 。例 题例1：已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算 对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混 叠的最小抽样频率。对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。解：根据信号时域

23、与频域的对应关系及抽样定理得：3. 3. 抽样定理的工程应用抽样定理的工程应用w)j (wF10许多实际工程信号不满足带限条件w)j (wHmwmw-10 抗抗 混混 低通滤波器低通滤波器)(tf)(1tf)(thw)j (1wFmwmw-10混叠误差与截断误差比较混叠误差与截断误差比较w)j (wF10T1w)j(wsFwmws-ws-wm0.)j(wsFT1wwmws-ws-wm0.w)j (1wFmwmw-10思考题思考题(1)根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，在工程应用中，抽样

24、速率常设为抽样速率常设为 fs (35)fm，为什么？为什么？(2)若连续时间信号若连续时间信号 f (t) 的最高频率的最高频率fm未知，未知， 如何确定抽样间隔如何确定抽样间隔T？4. 4. 信号重建信号重建)()(1wrrHFth-)2(Satsw)()()(thtftfrs-krkTthkTf)()(2/02/)(ssrTjHwwwww2sw2sw-wFs(jwwmHr(jw.0-wm)(tf) (tfs序列-冲激串kf 低通滤波器信号重建模型由抽样信号由抽样信号fs(t)恢复连续信号恢复连续信号f (t)tfs(t)f(t)0T2T-TtT- T10hr(t)2(Satsw抽样定理的

25、实际应用举例抽样定理的实际应用举例A/DH(z)D/Af(t)fkyky(t)利用离散系统处理连续时间信号利用离散系统处理连续时间信号 生物医学信号处理生物医学信号处理生物医学信号处理生物医学信号处理生物神经细胞（元）结构图生物神经细胞（元）结构图 生物医学信号处理生物医学信号处理AdLink PCI 9112 A/D, D/A CardPersonal Computers In Window Operation EnvironmentsAIAODOABCBDB生物信号采集系统组成框图生物信号采集系统组成框图 生物医学信号处理生物医学信号处理生物信号采集系统接口生物信号采集系统接口 生物医学信

26、号处理生物医学信号处理采集的生物信号的模式识别采集的生物信号的模式识别生物医学信号处理生物医学信号处理神经元等效电路 Gion1 Gion2 Gionm Eion1 Eion2 Eionm CM Iex Ges1 Ges2 Gesn V1 V2 Vn Gcs1, 1 Gcs1, 2 Gcs1, p Ecs1, 1 Ecs1, 2 Ecs1, p Gcsn, 1 Gcsn, 2 Gcsn, p Ecsn, 1 Ecsn, 2 Ecsn, p Ionic conductances Electrical synapses (es)Chemical synapses (cs)+信号与系统频域分析的应用

27、信号与系统频域分析的应用调制解调调制解调 双边带调幅(DSB AMSC) 同步解调 单边带调幅(SSB AMSC) 频分复用 时分复用一、双边带调幅( (Amplitute Modulation)Amplitute Modulation)信号 的频谱分析ttftycwcos)()()()(*)(21)(ccFYwwwwww-)(21)(21)(ccFFYwwwww-ttccwcos)(双边带调幅中各信号频谱双边带调幅中各信号频谱)(wCw)(cwcw-)(二、同步解调二、同步解调调幅信号解调框图tcwcos)(tr)(tycwcw-2w)(wH)(tfr)cos()()(ttytrcw)()(

28、*)(21)(ccYRwwwwww-)()(21)(ccYYRwwwww-)()()(wwwHRFr三、单边带幅度调制三、单边带幅度调制单边带幅度调制已调信号的解调单边带幅度调制已调信号的解调单边带幅度调制实现单边带幅度调制实现)(wH)(tf)cos(tcw)(tfh)(1ty)(2ty)sin(tcw)(tyStcwcos)(tyD)(tfcwcw-w)(wH)(tys1方法一：采用带通滤波器方法二：利用希尔伯特(Hilbert)变换采用带通滤波器实现单边带幅度调制的谱分析采用带通滤波器实现单边带幅度调制的谱分析)cos()()(ttftycDw)()(21)(ccDFFYwwwww-)()()(wwwHYYDS)(wFwAmwmw-)(wDYw2/Acwcw-)(wSYw2/Acwcw-利用希尔伯特变换实现单边带幅度调制的谱分析利用希尔伯特变换实现单边带幅度调制的谱分析)()(21)(1ccFFYwwwww-)sgn()()()()(wwwwwjFHFFh-)()(21sin)()(2chchchFFjttfFYwwwwww-)()()(21wwwYYYs)(wH)(tf)cos(tcw)(tfh)(1ty)(2ty)sin(tcw)(tyS利用希尔伯特变换单边带幅度调制的频谱利用希尔伯特变换单边带幅度调制的频谱)(1wFw0)(2wFw0)(3wFw0tc1cos