专题：直线与圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的一些经典题型

1、专题：解圆锥曲线问题常用方法一【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法1椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 2双曲线有两种定义。第一定义中，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离互相转化。 3抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理

2、及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求法，具体有： 1与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，那么有。 2与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0

3、)那么有3y2=2pxp>0与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),那么有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,那么点 P的坐标为_ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,那么点Q的坐标为 。分析：1A在抛物线外，如图，连PF，那么，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。2B在抛物线内，如图，作QRl交于R，那么当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：12，连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为 即 y=2(x-1),代入y2=4x

4、得P(2,2)，注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去2过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，Q()点评：这是利用定义将“点点距离与“点线距离互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。1的最小值为 2的最小值为 分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解：14- 设另一焦点为，那么(-1,0)连A,P 当P是A的延长线与椭圆的交点时, 取得最小值为4-。23 作出右准线l，作PHl交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，

5、c=1，e=，当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征：两个圆心与切点这三点共线如图中的A、M、C共线，B、D、M共线。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径如图中的。解：如图， *点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为点评：得到方程*后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB

6、=sinA,求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2RR为外接圆半径，可转化为边长的关系。解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA即 *点A的轨迹为双曲线的右支去掉顶点2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 x>3点评：要注意利用定义直接解题，这里由*式直接用定义说明了轨迹双曲线右支例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：1可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦

7、长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。2M到x轴的距离是一种“点线距离，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)那么由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9， 当4x02+1=3 即 时，此时法二：如图， 即， 当AB经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，利用

8、整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“压扁时，两边之和等于第三边的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。例6、椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,1求f(m),2求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统，A在准

9、线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影到x轴上，立即可得防 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：1椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)那么BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),那么x1+x2=-2当m=5时，； 当m=2时，点评：此题因最终需求，而BC斜率为1，故可也用“点差法设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代

10、入得，可见当然，解此题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影发现是解此题的要点。【同步练习】1、：F1，F2是双曲线的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，假设，ABF2的周长为 A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、假设点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，那么P点的轨迹方程是 A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，那么顶点A的轨迹方程是 A、 B、 C、 D、4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，

11、其长轴长为4，那么椭圆中心的轨迹方程是 A、 B、C、 D、5、双曲线上一点M的横坐标为4，那么点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，那么弦AB中点的轨迹方程是 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，那么k= 10、设点P是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求sinF1PF2的最大值。11、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，假设直线l与此椭圆相交于

12、A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，求直线l的方程和椭圆方程。12、直线l和双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：。【参考答案】 1、C，选C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，那么方程为y2=16x，选C3、D，且点A的轨迹为椭圆在y轴右方的局部、又A、B、C三点不共线，即y0，应选D。4、A设中心为(x，y)，那么另一焦点为(2x-1，2y)，那么原点到两焦点距离和为4得， 又c<a,(x-1)2+y2<4 ，由，得x-1，选A5、左准线为x=-，M到左准线距离为 那么M到左焦点的距离为6、设弦为AB，A(x1，y1)，

13、B(x2，y2)AB中点为(x，y)，那么y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) 2=2·2x，将代入y=2x2得，轨迹方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，那么，即y2=x+2又弦中点在抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，x>28、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=±2，弦长为49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=±110

14、、解：a2=25，b2=9，c2=16设F1、F2为左、右焦点，那么F1(-4，0)F2(4，0)设那么 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值为a21+cos的最小值为，即1+coscos， 那么当时，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值为1。11、设椭圆方程为由题意：C、2C、成等差数列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2椭圆方程为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)那么 -得2222222即 k=1直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得

15、x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， 椭圆方程为，直线l方程为x-y+3=012、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，那么 -得 设，那么 -得 由、知M、均在直线上，而M、又在直线l上 ，假设l过原点，那么B、C重合于原点，命题成立假设l与x轴垂直，那么由对称性知命题成立假设l不过原点且与x轴不垂直，那么M与重合椭圆与双曲线的对偶性质-必背的经典结论高三数学备课组椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，那么焦点在直线PT上的射影H点的轨

16、迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设在椭圆上，那么过的椭圆的切线方程是.6. 假设在椭圆外 ，那么过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，那么椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆ab0的焦半径公式：,( , ).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，那么MFNF.10. 过椭圆一个

17、焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，那么MFNF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。12. 假设在椭圆内，那么被Po所平分的中点弦的方程是.13. 假设在椭圆内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.内切：P在右支；外

18、切：P在左支5. 假设在双曲线a0,b0上，那么过的双曲线的切线方程是.6. 假设在双曲线a0,b0外 ，那么过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线a0,bo的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，那么双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线a0,bo的焦半径公式：( , 当在右支上时，,.当在左支上时，,9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，那么MFNF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实

19、轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，那么MFNF.11. AB是双曲线a0,b0的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。12. 假设在双曲线a0,b0内，那么被Po所平分的中点弦的方程是.13. 假设在双曲线a0,b0内，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-会推导的经典结论高三数学备课组椭 圆1. 椭圆abo的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.3. 假设P为椭圆ab0上异于长轴端点的

20、任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么.4. 设椭圆ab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.5. 假设椭圆ab0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，那么当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为椭圆ab0上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，那么,当且仅当三点共线时，等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 椭圆ab0，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.1;2|OP|2+|OQ|2的最大值为;3的最小值是.9. 过椭圆ab0的右焦点F作直线交该椭圆右支于

21、M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.10. 椭圆 ab0,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 那么.11. 设P点是椭圆 ab0上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2) .12. 设A、B是椭圆 ab0的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 椭圆 ab0的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连

22、线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-会推导的经典结论高三数学备课组双曲线1. 双曲线a0,b0的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过双曲线a0,bo

23、上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.3. 假设P为双曲线a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么或.4. 设双曲线a0,b0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.5. 假设双曲线a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，那么当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为双曲线a0,b0上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，那么,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7. 双曲线a0,b0与直

24、线有公共点的充要条件是.8. 双曲线ba 0，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.1;2|OP|2+|OQ|2的最小值为;3的最小值是.9. 过双曲线a0,b0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.10. 双曲线a0,b0,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 那么或.11. 设P点是双曲线a0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2) .12. 设A、B是双曲线a0,b0的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13. 双曲

25、线a0,b0的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.

26、 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.第十三单元 直线与圆锥曲线的位置关系一.选择题(1) 椭圆上的点到直线的最大距离是 ( ) A 3 B C D(2) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线 ( )A 有且仅有一条 B 有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在(3) 设双曲线 (0<a<b)的半焦距c, 直线l过(a, 0), (0, b)两点. 原点到直线l的距离为c, 那么双曲线的离心率为 ( )A 2 B C D (4) 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 ( )A B C D

27、(5)过双曲线2x2-y2-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点, 假设|AB|=4, 那么这样的直线有 ( )A 4条 B 3条 C 2条 D 1条(6) 定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|PB|=3，那么|PA|的最小值是 ( )A B C D 5(7) 直线l 交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点, 椭圆的上顶点为B点, 假设BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 那么直线l的方程是 ( )A 5x+6y-28=0 B 5x+6y-28=0 C 6x+5y-28=0 D 6x-5y -28=0 (8) 过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假

28、设线段PF与FQ的长分别为p、q，那么等于 ( )A2a B C D(9) 双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1x轴，那么F1到直线F2M的距离为 ( )A B C D(10) 点P-3，1在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，那么这个椭圆的离心率为 ( )A B C D二.填空题(11) 椭圆的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，那么PQF2的周长为 _.(12) 假设直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，假设l被抛物线截得的线段长为4，那么a=_(13) 过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 .(14) F1、F

29、2是椭圆+y2=1的两个焦点, P是该椭圆上的一个动点, 那么|PF1|·|PF2|的最大值是 . 三.解答题(15) 如图，O为坐标原点，过点P2，0且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于Mx1,y1,N(x2, y2)两点1写出直线的方程；2求x1x2与y1y2的值；3求证：OMON(16) 椭圆C：1ab0的左右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设.证明：1e2；假设，PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程. (17) 中心在原点的双曲线C的右焦点为2，0，右顶点为 1求双曲

30、线C的方程； 2假设直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且其中O为原点. 求k的取值范围.(18) 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()假设点P为l上的动点，求F1PF2最大值参考答案一选择题: 1.D 解析：设椭圆上的点P4cos，2sin那么点P到直线的距离d=2.B ； 解析：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，假设直线AB的斜率不存在，那么横坐标之和等于2，不适合。故设直线AB的斜率为k，那么直线AB为代入抛物线得，A、B两点的横坐标之和等于5，那么这样的直线有且仅有两条3.A； 解析：直线l过(a, 0), (0, b)两点. 即为：，故原点到直线l的距离=c， e = 或2，又0<a<b，故 e = 24.D ；解析：用点差法： 这条弦的两端点位A(x1,y1),Bx2,y2,斜率为k,那么 两式相减再变形得又弦中点为(4，2)，故k=故这条弦所在的直线方程y2=(x-4)5.B ； 解析：过双曲线2x2y22=0