第2章协方差传播律

1、误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础2.1 2.1 协方差传播律协方差传播律2.2 2.2 协因数传播律协因数传播律2.3 2.3 非线性函数的广义传播律非线性函数的广义传播律2.4 2.4 广义传播律在测量中的应用广义传播律在测量中的应用本章教学内容p本章学习的目的和要求本章学习的目的和要求掌握求函数的掌握求函数的协方差协方差以及以及协方差阵协方差阵；掌握求函数的掌握求函数的协因数协因数以及以及协因数阵协因数阵。p重点和难点重点和难点广义传播律在测量中的应用；广义传播律在测量中的应用；非线性函数的广义传播律非线性函数的广义传播律。第第2 2章章 协方差传播律协方差传播律p先看两个例子

2、看两个例子1、设有观测值向量设有观测值向量 的方差阵为：的方差阵为：（1 1）试写出各观测值的方差以及两两协方差；）试写出各观测值的方差以及两两协方差；（2 2）若有函数）若有函数 ，则该函数，则该函数F F的方差又如何？的方差又如何？TLLLL1230 80 20 10 20 70 30 10 31 0.LLDFLLL123378LLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）2 2、等精度独立观测三角形三内角，若已知观测值的方差、等精度独立观测三角形三内角，若已知观测值的方差m m，则由三个则由三个平差值平差值构成的构成的向量向量

3、的精度如何？的精度如何？123TLLLLp解决类似以上问题的方法就是：解决类似以上问题的方法就是：“协方差传播律协方差传播律”，也称，也称“广义传播律广义传播律”。u所谓协方差传播律： 描述由观测值的方差来推求观测值函数的方差关系的公式，称为“协方差传播律”。 u数学期望传播的几个运算公式1、设C为一个常数，则2、设C为一个常数，X为一随机变量，则3、设有随机变量X和Y，则推广之，则有 4、若随机变量X、Y相互独立，则有推广之，如果随机变量两两相互独立，则有( )E CC()()E CXCE X()()( )E XYE XE Y1212()()()()nnE XXXE XE XE X()()

4、( )E XYE X E Y1212()() ()()nnE X XXE X E XE Xu方差的运算有如下性质1、设C为一个常数，则2、设C为一个常数，X为一随机变量，则3、 4、若随机变量X、Y相互独立，则有推广之，如果随机变量两两相互独立，则有( )0D C 2()()D CXC D X22()()()D XE XE X()()( )D XYD XD Y1212()()()()nnD XXXD XD XD X2.1 2.1 协方差传播律协方差传播律p从测量工作的现状可以看出从测量工作的现状可以看出: : 观测值函数观测值函数与观测值之间观测值之间的关系可分为以下两种情况：的关系可分为以下

5、两种情况：1 1）线性函数线性函数（如观测高差与高程的关系）；（如观测高差与高程的关系）；2 2）非线性函数非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。故，分别从线性函数、非线性函数研究协方差传播律。故，分别从线性函数、非线性函数研究协方差传播律。10 设有观测值设有观测值 , ,数学期望为数学期望为 , ,协方差阵为协方差阵为 ，又设有，又设有X X线性函数为线性函数为: : 求求Y Y的方差的方差D DYYYY 1nX1 1111 1012120:,n nTnnFF FFXXXXFYFX F式中是常数。XXn nD1Xn1 11 11 11 11

6、11 11 11 101122nnF XF XF XYF2.1.1 2.1.1 线性函数的协方差线性函数的协方差或：或：F F为已知系数阵，为已知系数阵，F F0 0为方程常数向量。为方程常数向量。p 为求为求F F的方差，我们需从方差的定义入手。的方差，我们需从方差的定义入手。 根据方差的定义根据方差的定义,Y,Y的方差为：的方差为： 由数学期望运算可得：由数学期望运算可得： 将将Y Y的函数式以及数学期望的函数式以及数学期望E E（Y Y）代入得：）代入得：2( )( )TYYYDEYE YYE Y）2( )( )()()()()()TYYYTXXTTXXTTXXTXXDEYE YYE Y

7、EXFFXFE F XXFFEXXFFDF）（F000)()XEEXFFE XFFF（Y） （Fp由上推导可得出以下结论：由上推导可得出以下结论： 若有函数若有函数: : 纯量形式：纯量形式： 则函数的方差为则函数的方差为: :.nnYF XF XF XF011222TYYYXXDFDF1 1111 10n nYFX F（公式（公式1 1）p以上就是已知观测量的方差以上就是已知观测量的方差, ,求其函数方差的公式。也称为求其函数方差的公式。也称为“协方差传播律协方差传播律”。.nnnnnxx xx xx xxx xYYnnx xx xxFFDFFFF11212 122122122121 12.

8、nnnnYYxxnxx xx xnx xnnxxDFFFF FF FF FFF1121 31122222212212131 1112222方差的纯量形式为：方差的纯量形式为：p可见：若可见：若DX为对角阵时，协方差传播律即为为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律误差传播律”。例例3 3：已知向量：已知向量 ，且，且若有函数：若有函数：试求各函数的中误差试求各函数的中误差 。TLLLL123LLD1 0 00 2 00 0 1123，LLLLLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）2.1.2 2.1.2 多个线性函数的协方差阵多

9、个线性函数的协方差阵 设有观测值设有观测值 ，它们的期望，它们的期望 、方差为、方差为 若有若有X X的的r r个线性函数为个线性函数为: : 求函数的方差以及它们之间的协方差？求函数的方差以及它们之间的协方差？Xn 11111122110221122222011220nnnnrrrrnnrYF XF XFXFYF XF XF XFYF XF XF XF1XnXXn nD 令: 则则X X的的t t个线性函数式可写为个线性函数式可写为: : 同样同样, ,根据协方差阵的定义可得根据协方差阵的定义可得Y Y的协方差阵为的协方差阵为: :1112110121222202111200,nnrr nr

10、rrrnrrFFFFYFFFFYFFFFYYFF()()()()()()TrrTXXTTXXTX XEYE YYE YYYEF XFF XFF EXXFF DFDrr n nrYF XF0111（公式（公式2）p可以看出可以看出线性函数的协方差和线性函数的协方差和多多个线性函数的协方差阵在个线性函数的协方差阵在形式上完全相形式上完全相同同, ,且推导过程也相同且推导过程也相同; ;所不同的是：所不同的是：DYY前者是一个函数值的前者是一个函数值的方差方差（1行行1列）列）;而后者是而后者是r个函数值的个函数值的协方差阵协方差阵（r行行r列）。列）。 即：前者是后即：前者是后者的特殊情况。者的特

11、殊情况。例例4 4：已知向量：已知向量 ，且：，且：若有函数：若有函数：并记并记 ，试求，试求 。LLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）TLLLL123LLD1 0 00 2 00 0 1LLDTLLLL1231023211333121333112333WLLWFLFW 解：解：函数式函数式利用协方差传播律利用协方差传播律p本题关健是本题关健是: :将函数式转换为将函数式转换为“同一同一” 变量的形式变量的形式! ! 211333121333112333TLLLLDFD F 2.1.3 2.1.3 两组线性函数的互协方差阵两

12、组线性函数的互协方差阵 设有两组设有两组X X的线性函数的线性函数 若已知若已知X X的方差阵的方差阵D DXXXX; ; 则则Y Y关于关于Z Z的互协方差阵的互协方差阵D DYZYZ以及以及D DZYZY又如何又如何? ?11111100rr n nrss n nsYFX FZ KX K 根据互协方差阵的定义根据互协方差阵的定义, ,可得可得: : 再利用数学期望传播律，得：再利用数学期望传播律，得： 同理同理, ,可得可得: :( )( )()()()()Tr tTXXTTXXTXXEYE YZE ZYZEFXFKXKFEXXKFDKDZYt r:DTTXXYZKDFDZYD且()()T

13、rtEYE YZE ZYZD（公式（公式3）例例5:5:若有函数若有函数 在已知在已知X X1 1和和X X2 2的协方差阵的协方差阵D D1212时时, ,试求试求Y Y对对Z Z的的协方差阵协方差阵D DYZYZ。解：解：1020YFXFZKXK，1120021120020000XYFXXFFFXXZXKXKKKX1200TYZXXTDFDKFD K故：故：1 1、协方差传播律是用来求、协方差传播律是用来求单个单个函数或函数或多个多个函数构成向量的方差以函数构成向量的方差以及协方差阵；及协方差阵；2 2、适用于各观测为相关观测情况；（不相关的情况是特例）；、适用于各观测为相关观测情况；（不

14、相关的情况是特例）；3 3、定律的通式为：、定律的通式为：0TYYXXYFXFDFDF00TZYXXZKXKYFXFDKDF若若则则若若则则协方差传播律小节协方差传播律小节2.2 2.2 协因数传播律协因数传播律 已知观测向量的协因数阵已知观测向量的协因数阵Q QXX,XX, ,且有函数式：且有函数式： 求其函数的协因数阵以及互协因数阵，即求其函数的协因数阵以及互协因数阵，即00YFXFZKXK?YYZZYZQQQp对于函数精度，还可以用协因数来表示。当已知随机向量的对于函数精度，还可以用协因数来表示。当已知随机向量的协因数阵时，求函数的协因数阵，称之为协因数阵时，求函数的协因数阵，称之为“协

15、因数传播律协因数传播律”。p下面由协方差传播律来导出协因数传播律下面由协方差传播律来导出协因数传播律TYYXXDFDF则：2200TTYYXXXXQFDFFQF故：TYYXXQFQF即：p称称“协因数传播律协因数传播律”或或“权逆阵传播律权逆阵传播律”。0XXYFXFQ若：,且已知。2020XXXXYYYYDQDQ又因：（公式（公式5）TYYXXTZZXXTYZXXTZYXXDFDFDKDKDFDKDKDF可得：00;XXYFXFZKXKQXX若：且,D 已知。TYYXXTZZXXTYZXXTZYXXQFQFQKQKQFQKQKQFp将以上协方差传播律、协因数传播律合称为将以上协方差传播律、协

16、因数传播律合称为“广义广义传播律传播律”。p归纳协方差传播律和协因数传播律得：归纳协方差传播律和协因数传播律得：例例6 6：已知观测向量：已知观测向量X X1 1和和X X2 2的协因数的协因数 和互协因数和互协因数 ， 或写为或写为设有函数设有函数 ： 试求试求Y Y关于关于Z Z的互协因数的互协因数 。1122,X XX XQQ12X XQ1112212212,X XX XXXX XX XQQXXQXQQ12YFXZKXYZQ解：解：函数式可写为函数式可写为应用协因数传播律得应用协因数传播律得121200XYFXXZKX1200YZXXTTX XQFQKFQK2.3 2.3 非线性函数的广

17、义传播律非线性函数的广义传播律设有观测值设有观测值 的非线性函数为的非线性函数为 ： 且已知且已知X X的协方差阵的协方差阵D DXXXX。求求Y Y的方差阵的方差阵D DYYYY。 X1n12()(,)nYF XF XXXp解决这类问题的关键是解决这类问题的关键是必需先将必需先将非线性函数线性化非线性函数线性化, ,得到和前面已推导出的公式得到和前面已推导出的公式“一一致致”的形式的形式! !故，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的故，如何将非线性函数线性化，是我们先要解决的! !p非线性函数的线性化的方法是：非线性函数的线性化的方法是：- -将函数按泰勒级数展开。将函数按泰勒级数展开。

18、1)1)如果函数如果函数 在在 的某一邻域内具有直到的某一邻域内具有直到n+1n+1阶的导数，阶的导数，则在该邻域内则在该邻域内 的泰勒公式为的泰勒公式为2)2)测量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，测量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，并取其并取其零次零次项和项和一次一次项，二次以上各项舍去，即项，二次以上各项舍去，即200000( )00()( )()()()()2!()()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxR xn0 x( )f x( )f x000( )()()()f xf xfxxx( )nR x余项余项3)3)再来看多个变量的函数再来看多

19、个变量的函数 的情况的情况4)4)或者为或者为v 之所以可以舍去二次以上项，是因为当之所以可以舍去二次以上项，是因为当 非常接近非常接近 时，时，上式中二次以上上式中二次以上 各项都很微小，故可略去！各项都很微小，故可略去！12( ,)nf x xx0000012120110221200( ,)(,)() ()() ()() ()(nnnnnfff x xxf xxxxxxxxxfxxx二次以上项）0000012120110221200( ,)(,)() ()() ()() ()nnnnnfff x xxf xxxxxxxxxfxxx0 xx12000000120110220120000000

20、10201201020121201 122( ,)(,)() ()() ()() ()()()()(,)()()()nnnnnnnnnnnnf x xxffff xxxxxxxxxxxxffffffxxxf xxxxxxxxxxxxFxF xF xF令5)故，可表达为故，可表达为p以上即为非线性函数线性化后形式。以上即为非线性函数线性化后形式。即令：即令：则：则：故可以按前推出公式故可以按前推出公式4得：得：.()(). ()(.)()nnnniiiFFFFFFFxxxFFf xxxxx1200012000001201011220.nnYF XF XF xFFXFTYYXXDFDFp以上就是求

21、非线性函数协方差的方法。以上就是求非线性函数协方差的方法。120000001201102201200012010201200012120102012( ,)(,)() ()() ()() ()(,)()()()( ,)(,)()()()(nnnnnnnnnF x xxFFFF xxxxxxxxxxxxFFFF xxxdxdxdxxxxFFFF x xxF xxxdxdxdxxxxFdF01020121122)()()nnnFFdxdxdxxxxdFFdxF dxF dxFdxn把上式可以变形为：把上式可以变形为：120102012( ,.)()()()nnnYF x xxFFFdYdxdxdx

22、xxxn等价于非线性函数两边全微分后：等价于非线性函数两边全微分后： 即令：即令： 则非线性函数式的全微分为：则非线性函数式的全微分为： 同理，可以得到函数同理，可以得到函数dYdY的方差为的方差为.(.)iiiTnndxxxdxdxdxdxdYYYYF xxx012000012()().()nnFFFdYdxdxdxxxxFdX0102012TYYXXDFDFTdYdYdXdXDFDF等价？等价？1 1）按要求写出函数式；）按要求写出函数式；2 2）若是非线性函数式，则先对函数式两边求全微分；）若是非线性函数式，则先对函数式两边求全微分；3 3）将函数式（或微分关系式）写成）将函数式（或微分

23、关系式）写成矩阵矩阵形式（有时要顾及单形式（有时要顾及单位的统一）；位的统一）；4 4）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵。p归纳应用协方差传播律的计算步骤：归纳应用协方差传播律的计算步骤：例例7 7：已知观测向量：已知观测向量 试求函数试求函数 的协因数以及权。的协因数以及权。123210131012TLLLLLP 13sinsinLZL解：解： 非线性函数两边全微分得：非线性函数两边全微分得： 按协因数传播律：按协因数传播律： 则权为：则权为：3111323313113233113122333cos1cossin()sinsinsincoscoss

24、insinsincoscos0sinsinLdZL dLLdLLLLLLdLdLLLdLLLLdLLLdL131312331323cossinsincoscos00sinsinsincossinZZLLLLLLLQQLLLLL1ZZZPQ例例8：如图所示导线如图所示导线, A为已知点为已知点，0为为AB方向的方位方向的方位角角， 为观测角为观测角，其方差为其方差为4.0()2，观测边长观测边长S为为600.00 m，其方差为其方差为0.5cm2， 试求试求C点的点位精度。点的点位精度。 点位方差为点位方差为 （课后思考）（课后思考） 解：解：（1）列函数式列函数式， 由图知由图知: 00sin

25、,cosSYYSXXACAC（2）线性化）线性化 dSdSdYdSdSdXCC0000cossinsincos（3）应用协方差传播公式可得坐标方差计算式应用协方差传播公式可得坐标方差计算式202222022sincosSXsc202222022cossinSYsc（4） 计算点位方差计算点位方差 2222222220202222020222284.00.4*20626510*00.6005.0cossinsincoscmSSYXssCcc2.4.1 测量中常用定权的方法测量中常用定权的方法1.1.水准测量的权水准测量的权iiCPS公式中公式中C C的含义的含义：（1）1个测站的观测高差权（或1

26、公里观测高差的权）； （2）单位权观测高差的测站数（或单位权观测高差的线路公里数）。公式的应用前提：公式的应用前提： （1）当各测站的观测高差为同精度时； （2）当每公里观测高差为同精度时。iiCPn或2.4 2.4 广义传播律在测量中的应用广义传播律在测量中的应用（公式（公式5） 函数式：函数式：则由协方差传播律得：则由协方差传播律得：即：即：利用这公式的前提是：利用这公式的前提是：设各测站观测高差是等设各测站观测高差是等精度独立观测值！精度独立观测值！.ABNhhhh1222222.12NNhAB站ABhN站如果水准路线敷设在平坦地区，设前后两测站如果水准路线敷设在平坦地区，设前后两测站间

27、距离大致相等，则得：间距离大致相等，则得：上式上式：1.公里公里是指一公里观测高差的中误差；是指一公里观测高差的中误差；2.应用前提是当各测站的距离大致相等（应用前提是当各测站的距离大致相等（s)。1ABhSNSSss站站站公里例例9 9：如图所示的水准网，各水准路线长度：如图所示的水准网，各水准路线长度 分别为（设每公分别为（设每公里观测高差中误差相等）：里观测高差中误差相等）： S S1 1=2.0(km) S=2.0(km) S2 2=2.0(km) S=2.0(km) S3 3=3.0(km) =3.0(km) S S4 4=3.0(km) S=3.0(km) S5 5=4.0(km)

28、 S=4.0(km) S6 6=4.0(km) =4.0(km) 试确定各路线试确定各路线 观测高差的权。观测高差的权。ADCBh1h6h5h2h4h3解：解： 设取设取4KM4KM的观测高差为单位权观测的观测高差为单位权观测(C=4KM)(C=4KM)， 则由水准测量则由水准测量 常用定权公式得：常用定权公式得： P P1 1=2=2， P P2 2=2=2， P P3 3=1.3=1.3， P P4 4=1=1， P P5 5=1=1， P P6 6=1=1， p通过上例可知通过上例可知实际定权时，并不需要知道观测值实际定权时，并不需要知道观测值方差方差的具体数字，而只要知的具体数字，而只

29、要知道公里数或测站数就可以了；道公里数或测站数就可以了；在同一个问题中，只能选取在同一个问题中，只能选取一个一个C C值，一旦选好就不能再变了；值，一旦选好就不能再变了；应用常用定权公式时，应用常用定权公式时，注意应用前提注意应用前提！2 2、距离丈量的权、距离丈量的权若每一尺段的距离均为等精度独立观测时，距离的权与距离成若每一尺段的距离均为等精度独立观测时，距离的权与距离成反比，即反比，即距离丈量为：距离丈量为：精度为精度为 （每尺段精度相同）（每尺段精度相同） （每公里精度相同）（每公里精度相同）iicPS（公式（公式6）12NSsss22022SiikmNS22iicPD3 3、三角高程

30、测量高差的权、三角高程测量高差的权（公式（公式7）三角高程观测高差之权与两三角点间距离平方成反比，即三角高程观测高差之权与两三角点间距离平方成反比，即222222222222tantansec/tan(sec)/A BA BA BDA BhDivdhdDDdDD4 4、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权NPCv应用前提应用前提: : n n次次等精度等精度独立重复观测。独立重复观测。（公式（公式8）同精度独立观测值的算术平均值的精度同精度独立观测值的算术平均值的精度 算术平均值算术平均值( (函数式）为函数式）为 由协方差传播律知，平均值的方差为由协方差传播律知，平均值

31、的方差为 可见：算术平均值的精度提高了。可见：算术平均值的精度提高了。1211111.niNixLLLLNNNN222222221111.1xxNNNNN2.4.2 2.4.2 由真误差计算方差估值的公式由真误差计算方差估值的公式1 1、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式 若有一组同精度若有一组同精度独立独立观测的真误差为：观测的真误差为： 则该组观测的中误差为：则该组观测的中误差为：12, .,nnu思考：求出的是什么量的中误差？思考：求出的是什么量的中误差？ 现有一组不等精度的现有一组不等精度的独立独立观测值，它们对应的：观测值，它们对应的：12

32、22;nLLLPP1n1n观 测 值 ， . 权 P， .真 误 差 ， .则其中误差又怎样？则其中误差又怎样？ 设有一组虚拟的观测值：设有一组虚拟的观测值： 由权倒数传播律得（说明什么？）由权倒数传播律得（说明什么？） 对应的真误差关系（怎样得到？）对应的真误差关系（怎样得到？） 利用上公式得到的中误差（或单位权中误差？）：利用上公式得到的中误差（或单位权中误差？）：/iiiLp L/iip 2/11()1,1iiiipppp即 ：0Pnn v 不等精度观测值的真误差计算不等精度观测值的真误差计算单位权中误差单位权中误差估值的公式：估值的公式：210niiippnnv同理，可得用不同精度观测

33、值的改正数计算同理，可得用不同精度观测值的改正数计算单位权中误差单位权中误差的的基本公式为：基本公式为：21011niiipvpvvnn（公式（公式9）（公式（公式10）v 观测值的中误差为：观测值的中误差为：01iipv注意：单位权中误差不是一个定值，随着选择的不同而不同注意：单位权中误差不是一个定值，随着选择的不同而不同！（公式（公式11）2 2、由三角形闭合差求测角方差估值公式、由三角形闭合差求测角方差估值公式 已知等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和闭合差已知等精度独立观测三角形之内角，由此得到内角和闭合差为：为： W W1 1，W W2 2，,W,Wn n 求测角中误差求测角中

34、误差？ 内角和内角和的中误差为的中误差为 而而内角和内角和与角度的函数关系式与角度的函数关系式 则由误差传播律得则由误差传播律得WWniiii133WWn即：3v上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精度。上式称为菲列罗公式，在三角测量中用来初步评定测角的精度。（公式（公式12）设水准环的闭合差为设水准环的闭合差为 ，环线长为，环线长为 ，水准网共有，水准网共有N N个环；个环；并设以并设以1 1公里水准观测高差为单位权观测值；公里水准观测高差为单位权观测值；则单位权方差的估值为：则单位权方差的估值为：3 3、由水准环线高差闭合差计算水准测量单位权方差估值的公式、由水准环线高差闭合差计算水准测量单位权方差估值的公式i()iR km1kmNR（公式（公式13）4 4、由双观测值之差求单位权方差的估值公式、由双观测值之差求单位权方差的估值公式v 在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对的观测，在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对的观测，成对成对的观测称为的观测称为双观测双观测。 设对量设对量X X1 1，X X2 2，X Xn n各测两次，得独立观测值为各测两次，得独立观测值为 又设又设同一对同一对观测是等精度的，不同的观测对精度不同，且各观测是等精度的，不同的观测对精度不同，且各观测对的权