利用随机有限元分析和可靠性分析对斜拉桥进行安全评估的研究(英文文献翻译)

1、利用随机有限元分析和可靠性分析对斜拉桥进行安全评估的研究利用随机有限元分析和可靠性分析对斜拉桥进行安全评估的研究Sung Ho HanReceived March 30, 2009/Accepted February 19,2010摘要：采用可靠性评估方法对实际结构的不确定影响因素进行评价是较为合理的。但是，采用可靠性评估方法对复杂结构进行评估会比较困难，如斜拉桥的极限状态函数呈现非线性。因此，对于斜拉桥不确定的外部随机变量，采用随机有限元分析（SFEA）对结构响应特性进行研究，经试验，采用随机有限元对外部不确定因素进行可靠性分析（RA）可以得出较好结果。对这种方法，在完成对斜拉桥初始形态的分

2、析，要考虑随机变量间的关系，采用非线性的随机有限元（SFEMP）进一步分析随机有限元程序。然后通过蒙特卡洛模拟验证程序（DMCS）比较悬索结构的分析结果，验证计划的可行性。每个随机变量对结构响应的影响都要进行敏感性分析。考虑到随机变量的相关性，应采用与主要随机变量相关性有关的可靠性分析对安全指标和失效概率进行研究。由于存在内部不确定因素的影响，对可靠性评估结果中关键的百分位数分布要重新进行定量评估。关键词：随机有限元分析，敏感性分析，相关性，随机变量，失效概率，斜拉桥161 前言要分析影响斜拉桥结构整体刚度的各项参数，并说明确切的动态特征，需要进行大量的静态分析，特征值分析，动态分析，施工阶段

3、分析，风荷载分析等（Fleming，1980；Nazmy and Abdel-Ghaffar, 1990；Bang，1996；Lee，2000；Jo et al.，2005）。在结构分析中最重要的过程是确定特定结构类型和设计变量下的状态，以及对影响整个结构的状态的充分检验。对于普通结构分析通常采用特定的方法。但是，设计变量中包含有不确定性因素，且存在于结构特征中，这使得结构特征很难被获悉。而通过一项包括经验安全系数的评估方法来精确地检验结构的安全性也是有困难的。考虑到这些不确定影响因素，采用可靠性方法进行安全评估似乎是可行的（Cornell，1969；Cho et al.，1985；Cho a

4、nd Song，2006；Park et al.，2006；Ang and Tang，2007）。对于这一点，重要的是考虑两种不确定因素，即内部与外部两种形式，外部不确定性具有自然随意性并会导致失效或者风险，而内部不确定性产生会出现一系列可能值，他们是由于计算失效概率或者风险产生的（Ang and Tang，2007）。然而，由于这样的可靠性评估方法要求非常复杂的，非线性的极限状态功能函数，而这个函数难以用公式准确表示，因此这个方法并没有被采用。可靠性分析（RA）采用直接蒙特卡洛模拟法（DMCS），可以提供普遍认可的精确分析结果，因此可作为一种替代的解决方案（Shinozuka，1972；Ru

5、binstein，1981）。由于直接蒙特卡洛模拟法要求使用过多 时间重复进行结构分析，因此不适用于复杂结构的结构响应和可靠性分析，如斜拉桥。它主要是用来作为一个近似算法的验证方法。由于随机有限元分析（SFEA）可以评估每个结构分析阶段的随机变量对结构响应的分布特征（Yamazaki et al.，1988；Yang and Kim，1989；Yiguang，1992；Bang，1993；Jung，2002），它可以非常有效地应用到复杂结构的可靠性分析（RA）（Hien leiber，1991；Achintya and Sankaran，2000）如斜拉桥。尽管随机有限元分析应用的例子很多，但

6、在大多数情况下，可靠性分析仅限于获得结构响应的均值和标准差。然而，还没有结构响应的分布特征被定量评估的实例，也没有得出大跨度桥梁可靠性评估的分析结果。因此，在这项研究中，通过采用适用于可靠性理论的改进随机有限元方法对斜拉桥进行可靠性分析，可以得出较好的结果。结构响应结果应当依据考虑随机变量相关性的随机有限元分析结果进行定量研究。在进行稳定性分析时，应当同时考虑内外这两种形式的不确定因素。对于设计的目的而言，安全指数关键值的百分位数和失效概率被作为与斜拉桥的结构安全评估相适宜的技术参数。2 斜拉桥的随机有限元分析（SFEA）2.1 采用微扰法的随机有限元分析在这项研究中，用微扰法对自由变量进行随

7、机有限元分析。对于斜拉桥结构，构件刚度，初始张力，动静荷载都应作为随机变量考虑。偏导函数可以分别用于这些因素和初始张力的计算。考虑到这些随机变量，构件刚度应当用公式表示。斜拉桥中悬索构件刚度的偏导函数利用等式（1）到（3）计算（Hien and Kleiber, 1991; Jung, 2002; Han et al., 2004）。假定悬索横截面（AC）是一个随机变量： (1)Ernst提出等效弹性模量公式(Ernst, 1965)，计算悬索单元的偏导函数和刚度矩阵。假定悬索的弹性模量（EC）是一个随机变量： (2)符合弹性模量的计算，部分计算结果不同于等效弹性模量。假定悬索的初始张力（T）

8、是一个随机变量： (3)，计算结果不同于符合初始张力的等效弹性模量。考虑到纵梁和桥塔构件刚度的随机变量的构成因素，偏导函数的刚度矩阵应包括稳定性函数，利用公式（4）到（6）计算（Hien and Kleiber, 1991; Jung, 2002; Han et al., 2004）。假定纵梁或桥塔的横截面（A）是一个随机变量： (4)假定纵梁或桥塔的弹性模量（E）是一个随机变量： (5)假定纵梁或桥塔的惯性矩（I）惯性的时刻是一个随机变量： (6)以上方程式采用不变函数获得稳定的结果。不变函数的泰勒多项式为S1S4，SC和ST以及省略的高阶条件由下方程式给出（Lee,1997）。确定压力：

9、(7)确定张力： (8)随机有限元分析输入随机变量初始形态分析非线性分析检验收敛性结构可靠性分析计算平均值和标准差随机变量关联一次性稳定性分析安全指数和失效概率的评估荷载增量循环非线性增量循环不确定随机变量最大（最小）位移，作用力，变异系数的确定极限状态函数否是图1 随机有限元分析系统流程图由于静荷载和动荷载是随机变量，容易得出它们的偏导函数。通过计算机编程完成扰动法的标准化过程，建立随机有限元分析程序（SFEAP）（Compaq Visual Fortran）。随机有限元分析程序的建立，可有效地对斜拉桥进行随机有限元分析和可靠性分析，运算过程的流程图如图1。直接蒙特卡洛模拟分析输入已知随机变

10、量初始形态分析非线性分析检验收敛性结构可靠性分析计算平均值和标准差随机变量关联一次性稳定性分析安全指数和失效概率的评估荷载增量循环非线性增量循环不确定随机变量最大（最小）位移，作用力，变异系数的确定极限状态函数随机函数否否是是图2 直接蒙特卡洛模拟分析系统流程图基于计算机语言（Compaq Visual Fortran）的蒙特卡洛随机数量级，直接蒙特卡洛模拟程序（DMCSP）用于结构响应分析。而且，这个程序用于检验之前随机有限元分析程序的结果。为了得到这个过程的准确解析结果，随机样本收集的频率应当为无穷大。但是，由于这不具有现实性，收集频率被限制在适当的范围内。为完成对直接蒙特卡洛模拟法程序的

11、分析，Shooman提出了5%的显著水平的近似等式，确定随机样本收集的频率为10000（Shooman, 1968）。运算流程图如图2。2.2 随机有限元分析程序的验证图3给出了由随机有限元分析程序产生的斜拉桥结构分析结果，并对结果进行有效性评估。对表3的结构进行初始形态分析，设初始张力为3895.294 KN，随机变量为梁单元的刚度、静荷载、集中活荷载和均布活荷载，以及悬索的初始张力、刚度和静力影响。桥塔和纵梁的材料性质如表1。随机变量的统计参数由文献调查和假设确定。表1 梁-悬索结构和构件随机变量参数的性质随机变量平均值外部不确定变异系数分布类型参考文献截面积（）梁2.0000.050常态

12、(Jin Cheng 和 Ru-Cheng Xiao, 2005)(Cho 和 Kim, 2008)悬索0.0300.015常态弹性模量（）梁2.1E80.060常态(Tabsh 和 Nowak, 1991)悬索静荷载（）梁150.700.100常态假设悬索0.2355初始张力（）悬索3895.2940.100常态假设(Nowak and Collins, 2000)惯性矩（）梁0.041670.020常态均布活荷载（）梁100.00.250常态假设集中活荷载（）梁1000.00.250常态假设图3 梁悬索结构的验证表2 利用随机有限元分析程序和直接蒙特卡洛模拟法的单元力平均值和标准偏差构建号

13、随机有限元分析程序（轴向力）直接蒙特卡洛模拟法程序（轴向力）平均值标准偏差变异系数（%）平均值标准偏差变异系数（%）25347.36280.425.2445339.97278.745.22035249.31280.365.3415241.31278.545.31445220.68280.345.3705212.47279.575.36355232.43280.345.3585224.23280.665.37265261.38280.365.3295253.34280.985.34975290.27280.415.3005282.47280.485.31085298.37280.425.2935

14、290.75279.725.28795281.95280.395.3085274.33279.435.298105255.71280.365.3345248.02278.965.316115233.34280.345.3575225.56278.385.327构建号随机有限元分析程序（弯矩）直接蒙特卡洛模拟法程序（弯矩）平均值标准偏差变异系数（%）平均值标准偏差变异系数（%）260672.02905.914.79060683.52934.894.836333723.11928.925.72033748.31943.295.758411356.01156.4310.18311378.01187.

15、4610.4365-6303.6864.6813.717-6273.2846.1913.4896-19827.41188.745.995-19785.81161.075.8687-29765.31691.905.684-29721.01697.475.7118-36075.72178.126.038-36049.32210.996.1339-33851.81816.275.365-33845.11858.305.49110-26737.91350.335.050-26735.21378.065.15411-15334.6748.634.882-15334.3749.654.889图4 斜拉桥的

16、数值分析模型表3 斜拉桥结构截面和性质截面位置截面尺寸弹性模量惯性矩单位重量纵梁变梁0.94752.1E80.947578.5中梁0.43730.5544桥塔顶部0.6462.1E81.22778.5中部0.5250.482底部0.6190.534桥墩35.62.1E8125.425.0悬索0.009981.6E8-78.50.005981.6E8-78.50.004260.00762数值分析的进行需要确定每个随机变量的变异系数。其中不确定量的变异系数可作为代表性不确定性因素。直接蒙特卡洛模拟法分析也可用于比较和检验构建作用力的大小、均值和标准偏差。数值分析首先要假设不确定因素作为独立的自由变

17、量。为评估随机有限元分析程序的结果，需要分析构建荷载（轴向力和弯矩）的平均值和标准偏差。将直接蒙特卡洛模拟法分析和随机有限元分析的结果在相同条件下进行比较，基本一致。由直接蒙特卡洛模拟法分析程序计算得到的平均轴向力比有随机有限元分析程序的处的结果略小，这个结果得出的标准偏差反映出了5号构件的不利因素。比较同类型的变异系数，没有反映出对结构影响的系数值为5.4%。此外，4号和5号构件的弯矩变异系数最大，近似为10.4%和13.5%，而其他构件的变系数大多低于10%。总体而言，利用随机有限元分析程序和直接蒙特卡洛模拟法所产生的平均值和标准偏差是一致的，如表2。对于尺寸为10000的样本，随机有限元

18、分析程序相比直接蒙特卡洛模拟法，在分析时间上具有优势。随机有限元分析程序在斜拉桥结构响应特征的分析中较为实用。3 斜拉桥的随机有限元分析(SFEA)和可靠性分析(RA)3.1 斜拉桥的解析模型斜拉桥的评估包括为宽度为11.3m，长度为484m的钢质箱型纵梁(中心跨度的长度为344 m, 边跨度的长度为70 m)和高度为69m的钢质框架形桥塔（Han and Park, 2009）。斜拉桥由71个节点，34个相同的桁架单元和68个梁单元构成，如图4。桥塔和纵梁单元的材料性质如表3。对于初始形态的分析，由于存在均布静荷载，斜拉桥的非线性特性应当考虑初始张力。这些张力的大小通过试验与错误分析来确定（

19、Wang et al, 1993; Yun and Lee, 2001）。由于斜拉桥为对称结构，对117号悬索进行初始形态分析，其初始张力计算结果列于表4。另外，图5给出了初始形态分析的结果。表4 悬索初始张力（单位：）悬索号张力悬索号张力悬索号张力12843.2973340.13131674.3322586.408529.69141803.9232376.189614.98152008.4142191.20101823.53162417.7052001.28111078.52172443.8761776.96121508.95表5 随机有限元分析的随机变量参数随机变量外部不确定变异系数分布类

20、型参考文献截面积（）0.050（纵梁和桥塔）0.015（悬索）常态(Jin Cheng 和 Ru-Cheng Xiao, 2005)(Cho 和 Kim, 2008)弹性模量（）0.060常态(Tabsh and Nowak, 1991)静荷载（）0.100常态假设初始张力（）0.100常态假设惯性矩（）0.020常态(Nowak and Collins, 2000)均布活荷载（）0.250对数常态假设集中活荷载（）0.250对数常态假设图5 斜拉桥的初始形态分析对斜拉桥验证随机有限元分析程序的应用，结构刚度的不确定性，初始张力，静荷载，集中活荷载，均布活荷载都应作为随机变量来考虑。通过文献查

21、阅和假设得出的随机变量统计参数列于表5。按照韩国高速公路桥的设计方案，影响因素需按照采用（Ministry of Construction & Transportation of Korea, 2005）。在这个条件下，分别取均布活荷载和集中活荷载为34.3kN/m和168.5kN。加上这些荷载，最大正弯矩分别出现在主跨（均布活荷载）和主跨的中心（集中活荷载）。就随机变量的关系而言，悬索张力，静荷载，均布活荷载对斜拉桥结构作用产生了显著的影响，应予以分析。变量间的相关性如下：荷载变量1：相互独立荷载变量2：静荷载+悬索张力（相关性25%）荷载变量3：均布活荷载+悬索张力（相关性25%）

22、荷载变量4：静荷载+均布活荷载（相关性25%）荷载变量5：静荷载+悬索张力（相关性75%）荷载变量6：均布活荷载+悬索张力（相关性75%）荷载变量7：静荷载+均布活荷载（相关性75%）平均值，标准偏差，和变异系数由主要随机变量的相关性确定。在这些条件下，敏感性结果通过随机有限元分析程序计算出来。在图6中，数值8，10，12，14对应左轴的平均值和右轴的标准偏差。在图7中，坐标7，9，11，13，15为随机变量的敏感性分析结果。图6 纵梁竖向位移的平均值和标准偏差图7 纵梁竖向位移标准偏差的敏感性指标3.2 斜拉桥的随机有限元分析位移随机变量分为纵梁的竖直位移和桥塔的水平位移。最大竖直位移（第2

23、0个节点：纵梁的跨中）的平均值为-83.52 cm，最大标准偏差为7.541 cm，见荷载变量7。变异系数说明了所有节点偏差小于24%的情况，但由于最小平均值存在，节点16的偏差大于100%。桥塔最大水平位移（第40个节点：桥塔最高点）的平均值为17.73 cm，最大标准偏差为1.712 cm，见荷载变量6。变异系数说明了总体偏差小于12%的情况，而在最低点的值近似为18%。位移的敏感性分析表明，对于纵梁，静荷载和悬索张力对于边跨的位移有较大影响，静荷载和动荷载对跨中位移有决定性的影响。桥塔上部的活荷载和悬索张力对位移有显著影响，而对桥塔有决定性影响的是下部的结构刚度和活荷载。图8 桥塔水平位

24、移的平均值和标准偏差图9 桥塔水平位移标准偏差的敏感性指标图10 桥塔弯矩的平均值和标准偏差图11 桥塔弯矩标准偏差的敏感性指标这些荷载作用的随机变量分为桥塔和纵梁的轴向力和弯矩。第85和87号（桥塔的最低点）节点的平均轴向力分别为35532.80 KN和-58666.04 KN，其作用的最大标准偏差为1180.95 KN和2804.13 KN，见荷载变量7。桥塔下部受力点的变异系数为4.0%5.0%，整个结构的变异系数小于10%。对于纵梁，编号和点的平均轴向力分别为19468.39 KN和15431.10 KN，每个作用力的最大标准偏差分别为713.69 kN和448.49 KN，见荷载变量

25、7。数据显示，整个结构的变异系数小于20%。然而，评估结果表明了最大变异系数存在于跨中第48个节点，此处的张力转化为压力，大小为36.0%41.0%。由敏感性分析得出，对于桥塔，活荷载和张力影响作用于上部结构的轴向力，而静荷载和活荷载对作用于桥塔下部结构的轴向力有决定性影响。对于纵梁，静荷载和活荷载对结构的轴向力起决定的影响。然而，结构刚度和悬索张力也对距跨中1/4处和边跨的悬索锚固点的轴向力产生显著作用。第85和87号点处的弯矩平均值分别为11224.89 KN/m和13951.40 KN/m，每个作用点的最大标准偏差分别为1506.70 KN/m和2600.46 KN/m，见荷载变量6。在

26、桥塔的下部结构，桥塔和悬索锚固部分的变异系数高达12.0%19.0%。通过对结构悬索张力进行近似初始形态分析，可以发现纵梁边跨的平均弯矩大于跨中平均弯矩。相比之下，跨中的标准偏差较大。第和号点的平均弯矩值为-24430.97 KN/m和21469.70 KN/m，其作用的最大标准偏差分别为2901.35 KN/m和3006.02 KN/m，见荷载变量6。变异系数说明了48号结构跨中的变化很大，其弯矩值由正（+）变为负（-）这一结果表明，在结构设计中，应对其轴向力和弯矩进行仔细分析。敏感性分析结果表明，对于纵梁，活荷载和悬索张力对上部结构的弯矩有影响，对纵梁下部弯矩起决定性作用。特别的，悬索张力

27、对作用在第40号结构上的弯矩具有很大影响，刚度结构对边跨的悬索锚固处的弯矩也具有很大影响。图12 纵梁弯矩的平均值和标准偏差图13 纵梁弯矩标准偏差的敏感性指标图14 悬索张力的平均值和标准偏差图15 悬索张力标准偏差的敏感性指数由之前对初始悬索张力的分析可以发现，悬索张力的变量以自由变量的评估为依据。1号，7号，17号悬索的平均张力分别为4465.33 KN，3831.08 KN and 3642.52 KN，其作用的最大标准偏差分别为318.71 KN，284.94 KN 和 270.16 KN，见荷载变量6。8号悬索近17%的最大变异系数已被获得，其结构上的变异系数小于整体的10%。敏感

28、性分析结果表明，对于不确定因素，如初始张力和弹性模量，都对悬索张力有很大的影响。活荷载对9号和11号悬索的张力具有很大影响。表6 独立随机变量的安全指数和失效概率结构数量轴向力和张力（）弯矩（）安全指数（）失效概率（）纵梁38平均值11980.5022223.395.5421.493E-08标准偏差444.166896.858变异系数（%）3.7074.036偏差因子1.051.0842平均值19468.3924430.974.1181.913E-05标准偏差622.3752588.26变异系数（%）3.19710.594偏差因子1.051.0853平均值15431.1021469.704.2

29、988.624E-06标准偏差390.8472690.537变异系数（%）2.53312.532偏差因子1.051.08桥塔83平均值33543.603872.344.2111.271E-05标准偏差1015.97903.092变异系数（%）3.02923.322偏差因子1.051.0885平均值35532.8011224.903.8665.540E-05标准偏差1025.661359.83变异系数（%）2.88712.114偏差因子1.051.08悬索1平均值4465.33-5.3165.309E-08标准偏差296.922变异系数（%）6.650偏差因子1.057平均值3831.08-3.

30、9833.405E-05标准偏差269.601变异系数（%）7.037偏差因子1.058平均值496.46-7.5292.554E-14标准偏差76.175变异系数（%）15.344偏差因子1.0517平均值3642.52-5.8762.106E-09标准偏差250.552变异系数（%）6.879偏差因子1.053.3 斜拉桥的可靠性分析可靠性分析由结构性分析结果得到，而构建的标准偏差值由随机有限元分析程序得到。因为可靠性分析是应用于安全性而不是适用性，不确定的位移量应排除。试验采用一阶可靠性法作为可靠性分析的方法（Rackwitz 和 Fiessler，1978）结构评估的安全指数（）和失效

31、概率（）通过计算进行比较试验。悬索的极限强度采用1200.0 Mpa，纵梁和桥塔采用190.0 Mpa。（Ministry of Construction & Transportation of Korea, 2005）。为了表示不确定性，对极限屈服强度（）的变异系数和偏差因素，悬索为0.12，1.12，桥塔和纵梁为0.15，1.12（正态分布）（Nowak, 1999; Nowak and Collins, 2000）。斜拉桥的桥塔和纵梁承受轴向力和弯矩，而悬索只承受拉力。在这种情况下，假设分力具有对数正态分布。因此，纵梁，桥塔和悬索所受的力由方程（9）表示。 (9)分别为纵梁，桥塔

32、和悬索的应力分别为纵梁和桥塔的轴向力和弯矩=悬索的张力分别为纵梁，桥塔和悬索的截面分别为纵梁和桥塔的惯性矩由此，极限状态功能函数可以定义为： (10)其中，和分别为纵梁，桥塔和悬索的极限屈服强度。使用极限状态函数，对纵梁和桥塔的第38号，42号（纵梁和桥塔连接处），53号（纵梁跨中处），83号（悬索底部连接处），85号（纵梁和桥塔连接处）截面进行可靠性分析。悬索的可靠性分析为边跨的7号悬索，8号（连接桥塔底部的悬索），1号和17号悬索（其两端以桥塔为中心）。荷载变量1的失效概率和安全指数的平均值，标准偏差，变异系数和各分力的偏差因素列于表6。由于斜拉桥由多个部件组装，桥系统的失效概率被作为关键

33、部件（42号纵梁，85号桥塔，7号悬索）的失效概率。关键部件的失效概率被认为具有相对独立型。综合考虑随机变量的相关性，表7列出了系统失效概率和相应安全指数。桥系统的最大失效概率按照荷载变量6评估，见表7。表7 独立随机变量的安全指数和失效概率荷载变量纵梁（）桥塔（）悬索（）系统失效概率（）安全指数（）11.913E-055.540E-053.405E-051.0858E-043.698221.927E-055.563E-053.497E-051.0987E-043.695231.930E-055.575E-053.503E-051.1008E-043.694741.929E-055.581E-

34、053.420E-051.0930E-043.696551.956E-055.609E-053.689E-051.1254E-043.689161.965E-055.645E-053.706E-051.1316E-043.687771.964E-055.663E-053.450E-051.1077E-043.6931表8 有关内部不确定性的失效概率和安全指数百分比失效概率安全指数平均值1.1311E-43.6787中值1.1309E-43.663425%；75%9.0373E-54.403010%；90%7.0418E-55.0851参考文献1 Achintya, H. and Sankara

35、n, M. (2000). Reliability assessment using stochastic finite element analysis, Wiley, New York.2 Ang, A. H-S. and Tang, W. H. (2007). Probability concepts in engineering, 2nd Ed., Wiley, New York.3 Bang, M. S. (1993). “Stochastic finite element analysis for truss structures.” Journal of Korean Socie

36、ty Civil Engineers KSCE, Vol. 13, No.1, pp. 55-63.4 Bang, M. S. (1996). A study on design and construction method for long span bridges, Report ID KICT/95-SE-111-64, Korea Institute of Construction Technology.5 Cho, T. J. and Kim, T. S. (2008). “Probabilistic risk assessment for the construction pha

37、ses of a bridge construction based on finite element analysis.” Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 44, Issues 6-7, pp. 383-400.6 Cho, H. N., Kim, W. S., and Lee, J. B. (1985). “A study on reliability based design criteria for the steel highway bridge.” Journal of the Korean Society Civil E

38、ngineers, KSCE, Vol. 5, No. 1, pp. 43-53.7 Cho, T. J. and Song, M. K. (2006). “Structural reliability of a suspension bridge affected by environmentally assisted cracking.” KSCE Journal of Civil Engineering, Vol. 10, No. 1, pp. 21-31.8 Cornell, C. A. (1969). “A probability-based structural code.” Jo

39、urnal of the American Concrete Institute, Vol. 66, No. 12, pp. 974-985.9 Ernst, H. J. (1965). “Der E-modul von seilen unter berucksichtigung des durchanges.” Der Bauingenieur, Band 40, Helf 2, pp. 52-55.10 Fleming, J. F. and Egesell, E. A. (1980). “Dynamic behaviour of a cable stayed bridge.” Earthq

40、uake Engineering and Structure Dynamics, Vol. 8, Issue 1, pp. 1-16.11 Han, S. H. and Ang, A. H-S. (2008). “Optimal design of cable-stayed bridges based on minimum life-cycle cost.” IABMAS08 Conference, Seoul, Korea.12 Han, S. H., Jung, I. S., and Shin, J. C. (2004). “Dynamic response analysis and th

41、e algorithm development of the cable-stayed bridge using the stochastic finite element method.” Journal of the Korean Society Civil Engineers, KSCE, Vol. 24, No. 6-A, pp. 1245-1254.13 Han, S. H. and Park, J. K. (2009). “Practical valuations on the effect of two type uncertainties for optimal design

42、of cable-stayed bridges.” International Journal of Steel Structures IJOSS, Vol. 9, No. 2, pp.143-152.14 Hien, T. D. and Kleiber, M. (1991) The stochastic finite element method, Wiley, New York.15 Jin Cheng and Ru-Cheng Xiao. (2005). “Service reliability analysis of cable-stayed bridges.” Technopress

43、 Struc. Eng. Mechnics, Vol. 20, No. 6, pp. 609-630.16 Jo, B. W., Park, J. C., and Kim, C. H. (2005). “Wind characteristics of existing long span bridge based on measured data.” KSCE Journal of Civil Engineering, Vol. 9, No. 3, pp. 219-224.17 Jung, I. S. (2002). A reliability analysis of cable stayed

44、 bridge using the stochastic finite element method, PhD Dissertation, Chungnam National University.18 Lee, T. Y. (1997). The cable optimization of cable stayed bridges, MD Dissertation, Korea Advanced Institute of Science and Technology.19 Lee, I. (2000). A study on wind capacity improvement of long

45、 span bridges, Final Report, Ministry of Construction & Trans- portation.20 Ministry of Construction & Transportation of Korea. (2005). Highway Bridge Specification.21 Nazmy, A. S. and Abdel-Ghaffar, A. M. (1990). “Nonlinear earthquake response analysis of long span cable stayed bridges theo

46、ry.” Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 19, No. 1, pp.45-62.22 Nowak, A. S. (1999). Report 386 Calibration of LRFD Bridge Design Code, Transportation Research Board National Academy Press, pp.151-161.23 Nowak, A. S. and Collins, K. R. (2000). Reliability of Structures, Vol.268, McGraw-Hill, New York.24 Park, M. H., Cho, H. N., and Cho, T. J. (2006). “Probabilistic risk assessment of a cable-stayed br