环境流体力学第二章分子扩散

1、第二章第二章 分子扩散分子扩散静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微静止的水体中存在分子的不规则运动，从而使在水中的微粒也作不规则的运动，这个现象早已在粒也作不规则的运动，这个现象早已在18261826年为布朗的著年为布朗的著名实验证实。名实验证实。分子运动称为布朗运动分子运动称为布朗运动除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一除了在静水中，分子扩散是使污染物质发生扩散的唯一原因外，它还存在于一切流动的水体中。原因外，它还存在于一切流动的水体中。第一节第一节 费克定律费克定律一、费克定律一、费克定律费克（费克（FickFick）扩散（分子扩散）：）扩散（分子扩散）： 由于水

2、的分子运动而使水中的污染物质发生扩散由于水的分子运动而使水中的污染物质发生扩散第三节第三节 费克定律费克定律费克定律：费克定律： 1855年德国生理学家费克（年德国生理学家费克（Fick）提出）提出静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面静水中的污染物由于分子扩散作用，在单位时间内按一定方向通过单位面积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。积的扩散输送的物质与该方向的浓度梯度成正比。各向同性的介质。cQx式中：式中：Q是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量；是单位时间通过单位面积的扩散物质，也称为通量；C是扩散物质的浓度。是扩散物质的浓度。 :

3、x方向的浓度梯度。方向的浓度梯度。 D是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为是比例系数，称为分子扩散系数，量纲为L2T-1 一般约为一般约为10-610-5cm2s-1 。x用等号用等号一维费克扩散示意图一维费克扩散示意图对一维扩散，费克定律可表示为：对一维扩散，费克定律可表示为：费克定律第一定律费克定律第一定律cQDx 第三节第三节 费克定律费克定律cx公式中的负号公式中的负号三维的费克定律三维的费克定律: : 哈密顿算子哈密顿算子说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散说明：只要存在浓度梯度，必然产生物质的扩散费克定律第二定律费克定律第二定律QD c ijkxyz 一滴红墨水在玻璃杯中的扩

4、散一滴红墨水在玻璃杯中的扩散分子的扩散系数分子的扩散系数D与介质与物质本身的特性有关，又与温与介质与物质本身的特性有关，又与温度和压力有关。度和压力有关。第三节第三节 费克定律费克定律cQDx 某些物质在水中的分子扩散系数（某些物质在水中的分子扩散系数（ cm2s-1，水温为，水温为20）D值由实验确定，值由实验确定，D值大，扩散快；反之，扩散慢。值大，扩散快；反之，扩散慢。第三节第三节 费克定律费克定律单位时间进入单位时间进入x面的扩散质通量为：面的扩散质通量为：Q(x,t)从从(x+x)面出去的通量为面出去的通量为: : 设设c(x,t)是时刻是时刻t位于位于x处上扩处上扩散质（溶质）的浓

5、度。在该控散质（溶质）的浓度。在该控制体积内扩散质对时间的制体积内扩散质对时间的变化率为：变化率为：第二节、分子扩散方程的推导第二节、分子扩散方程的推导( (单纯扩散）单纯扩散）( , )c x tx tt t( , )c x txt一维为例一维为例 第四节第四节 分子扩散方程分子扩散方程一维输移的控制体：两个具有单位一维输移的控制体：两个具有单位面积的平行面与面积的平行面与x轴垂直轴垂直变化量：变化量：( , )( , )Q x tQ x txx22ccDtx0Qcxt 根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量根据质量守恒定律有：单位时间流入的污染物质量- -流出流出的污染物质的污染物质

6、= =污染物质量对时间的变化率相等，即污染物质量对时间的变化率相等，即: :Fick定律：定律：( , )( , )( , ) ( , )Q x tc x tQ x tQ x txxxt如将如将Q(x,t)作为热通量（即热流密度），作为热通量（即热流密度），c(x,t)作为热浓度（即温度），以作为热浓度（即温度），以热扩散系数热扩散系数a a（或导温系数）代替分子扩散系数（或导温系数）代替分子扩散系数D,变为热传导傅里叶方程。变为热传导傅里叶方程。分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。分子扩散与热传导是数学形式相同的两个过程。二阶线性抛物二阶线性抛物型偏微分方程型偏微分方程cQDx 第四节

7、第四节 分子扩散方程分子扩散方程cQt 2cDct推广到三维：推广到三维： 故有故有用直角坐标表示用直角坐标表示222222()ccccDtxyz时变项时变项分子扩散项分子扩散项扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现扩散方程本质上是质量守恒定律在扩散问题上的体现QD c 第四节第四节 分子扩散方程分子扩散方程Fick定律：定律：222222()ccccDtxyz在扩散特性各向同性的液体中，在在扩散特性各向同性的液体中，在x、y、z三个方向上，三个方向上，D为常数。为常数。在扩散特性各向异性的液体中在扩散特性各向异性的液体中222222xyzccccDDDtxyz第三节第三节 一维扩散方

8、程的基本解一维扩散方程的基本解 & 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件）。& 解的形式：解析解、数值解。解的形式：解析解、数值解。& 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源、不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。绝对的点源、无限长线源、无限大面源，只是一种近似处理。& 污染源（按时间）：污染源（按时间）：瞬时源瞬时源、时间连续源（、时间连续源（事故排放事故排放、正常排、正常排放）。放）。& 瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，

9、实际上一种近似，如瞬时源是指污染物在瞬时内排放入水域，实际上一种近似，如热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。热核武器试验的核污染或者油轮事故突然泄漏的油污染。& 连续源又分为恒定和非恒定源。连续源又分为恒定和非恒定源。& 污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方污染物扩散：根据水域是几维，对应一维、二维、三维扩散方程。程。第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 集中投入的情况，在集中投入的情况，在t=0时刻，在原点瞬时投入质

10、量为时刻，在原点瞬时投入质量为M M的的扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，这扩散质，分析以后任意时刻在无界空间中的浓度分布，这是扩散方程的最基本的解。是扩散方程的最基本的解。 是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重是在静止水域中的扩散，而且是瞬时集中源与坐标原点重合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线合的一维扩散方程的特解。因为扩散方程是线性的，在线性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条性的边界条件下，可用这个特解式叠加来构造其他定解条件下的解。件下的解。0 x-x第三节第三节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 第五节第五节 一维扩散方

11、程的基本解一维扩散方程的基本解 瞬时瞬时单位单位平面源的扩散平面源的扩散 瞬时源：瞬时源：t=0t=0时，在原点瞬时集中投放质量为时，在原点瞬时集中投放质量为M M的扩散质。的扩散质。 1 1、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个、一根无限长断面均匀的直水管，截面积是一个单位单位 2 2、垂直管轴，瞬时投入一包含质量、垂直管轴，瞬时投入一包含质量M M的薄片红色染液的薄片红色染液 3 3、染液薄片充满了整个断面、染液薄片充满了整个断面 4 4、染料只沿长度方向扩散、染料只沿长度方向扩散令染液投入点为坐标原点令染液投入点为坐标原点0 x-x瞬时点源或称瞬时点源或称瞬时瞬时无限无限平面源平面源

12、在无界空间的定解条件下的在无界空间的定解条件下的解析解。定解条件在数学上表达为：解析解。定解条件在数学上表达为：c(x,0)=M (x) 狄拉克（狄拉克（Dirac） 函数函数 当当t=0时，在通过时，在通过x=0处且与处且与x轴垂直的平面上，污染物质量轴垂直的平面上，污染物质量为为M,它位于它位于x=0处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间处以无限大的浓度强度浓缩在无限小的空间（2）边界条件：边界条件： c(,t)=0, c(,t)/ x=022xcDtc （1）初始条件：初始条件：一维分子扩散方程：一维分子扩散方程：1.1.定解条件定解条件0( )00 xxx第五节第五节 一维扩散方程的基

13、本解一维扩散方程的基本解 M ( (x) )表示质量表示质量M集中于微小容积集中于微小容积内。相对概念。例如把一小桶颜内。相对概念。例如把一小桶颜色水倾注到大河里，可以认为起色水倾注到大河里，可以认为起始浓度集中于微小体积内。始浓度集中于微小体积内。物理含义：物理含义：2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法量纲分析量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律：l量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同；l任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项

14、组成的方程而任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而不会改变物理过程的规律性；不会改变物理过程的规律性；l物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有个有量纲的物理量，如果选择其中量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该个作为基本物理量，那么该物理过程可以由物理过程可以由(k+1)-m个无量纲数所组成的关系来描述。个无量纲数所组成的关

15、系来描述。第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 式中式中: :f为待定函数，在上式中写上为待定函数，在上式中写上4和和4，目的是使最终，目的是使最终的解较为简明的解较为简明; ;M是全部污染物的质量，量纲是是全部污染物的质量，量纲是MM假设有函数：假设有函数： F(c,M,D,x,t)=0 方程线性方程线性 利用利用定律，选定律，选c、D、t为基本变量，可得：为基本变量，可得：从物理概念上分析，浓度从物理概念上分析，浓度c是是M、D、x、t的函数的函数(,)0MxFc DtDt( , )()44Mxc x tfDtDt第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 (

16、 , )= ()44c x txfMDtDt一维一维 扩散中，浓度的量纲扩散中，浓度的量纲 ML-1,浓度浓度c应与应与M除以某一特征长度成除以某一特征长度成正比。正比。 是一个合适的特征长度是一个合适的特征长度Dt 进一步令进一步令 ，有，有: : 。边界条件由原来的边界条件由原来的c(,t)=0, c(,t)/ x=0f()=0()=0，df()/()/dh0h0以以f的边界条件代入上式得的边界条件代入上式得k1 1=0=0，故上式变为，故上式变为: :第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 设变量设变量22ccDtx4xDth22220d fdffddhhh( , )(

17、)4Mc x tfDth则有( )2dffd hhh0ddh进一步令进一步令 ，有，有: :( )2dffd hhh0ddh即即= =常数常数k1, ,因此有：因此有：12dffkdhh20dffdhh02fk eh它的通解为：它的通解为：20dffdhh02fk eh确定待定函数确定待定函数f20ddffddhhh（）12 2lnlnlndfdffAhhh 222222221- ( )241=-44-=2 +2+=0d(+2)=0dcMfftDtcMfDxtDtccdfd fDftxdddffdhhhhhhhhhh2-00-0=exp(-) ()=44=1uMeduxxMMkdkDtDtk可

18、得积分常数为2( , )exp()44Mxc x tDtDt为任何时刻源点浓度（坐标为任何时刻源点浓度（坐标原点与源点重合的情况下）原点与源点重合的情况下）根据污染物质的质量守恒定律，有根据污染物质的质量守恒定律，有对上式分别通过求对上式分别通过求t0、 x0和和t0（x0）的极限，可）的极限，可得到得到c =和和c =0，这说明了该解也是满足初始条件的。，这说明了该解也是满足初始条件的。此外，上式虽然是对此外，上式虽然是对x0的定解条件求解，但也可用于的定解条件求解，但也可用于x0情形。情形。 , ,推出推出k0=1第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 cdxM瞬时点源一维

19、无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度分布瞬时点源一维无界空间的浓度瞬时点源一维无界空间的浓度场在任一时刻场在任一时刻t沿沿x轴是正态分布，轴是正态分布，随时间随时间t的增加，浓度的峰值的增加，浓度的峰值Cm变小，而扩散的范围变宽，分变小，而扩散的范围变宽，分布曲线趋于平坦。布曲线趋于平坦。第五节第五节 一维扩散方程的基本解一维扩散方程的基本解 2( , )exp()44Mxc x tDtDt22( , )1exp()222( 2)c x txMDtDt浓度分布符合正态分布（即高斯分布）浓度分布符合正态分布（即高斯分布）污染源点和坐标原点重合的情况污染源点和坐标原点重合的情况1、 浓度对

20、距离的各阶矩定义浓度对距离的各阶矩定义 零阶矩零阶矩 0( , )iiiMc x t dxcx一阶矩一阶矩 1( , )iiiiMxc x t dxx cx二阶矩二阶矩222( , )iiiMx c x t dxx cx对原点的任意对原点的任意p阶矩阶矩 ( , )pppiiiiMx c x t dxx cx对瞬时点源来说，零阶矩对瞬时点源来说，零阶矩 M0 0= =全部扩散质的质量，对任全部扩散质的质量，对任意时刻意时刻M0 0是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。 各式的右端可供各式的右端可供当具有实验资料当具有实验资料时，计算浓度各时，计算浓

21、度各阶矩之用。阶矩之用。第四节第四节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩第六节第六节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩2、 浓度分布的统计特征值浓度分布的统计特征值（1）浓度分布的距离均值（数学期望）浓度分布的距离均值（数学期望）表示浓度分布曲线重心距表示浓度分布曲线重心距x坐标原点的水平距离坐标原点的水平距离，当曲线对称于，当曲线对称于c轴时轴时 x=0=0。 10iiiixiiix cxMMcx（2）浓度分布的距离方差浓度分布的距离方差 2 2 22222210000()( , )(2) ( , )2xxxxxxxc x t dxxxc x t dxMMMMMM222220()iiiiiii

22、ixxiiiiiix cxx cxMMcxcx表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度， 2 2值愈大，值愈大，分布曲线愈平坦。分布曲线愈平坦。 第六节第六节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩质量中心坐标质量中心坐标 x对于正态分布曲线（标准）有：对于正态分布曲线（标准）有：22100,0,xxMMM将瞬时点源的解代入将瞬时点源的解代入M2 2，得距离方差：，得距离方差：22222011( , )exp()244xMxx c x t dxxdxDtMMDtDt当已求得当已求得 ，可用上式反求，可用上式反求D。由于。由于D是常数，将上式对是常数，将上式对t t求

23、导，有：求导，有：2x dtdDx221 称为矩法公式，可以称为矩法公式，可以差分差分代替微分。代替微分。对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件： 0 xccx和和时时，0),(0),(2 txxtxc和和或或dtdDx221 仍存在仍存在上式表明上式表明 方差与扩散历时方差与扩散历时t t成正比。凡符合这个规律的成正比。凡符合这个规律的扩散，都称为扩散，都称为费克型扩散费克型扩散。 2x 第六节第六节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩曲线的分布区间曲线的分布区间-2 ,2 -2 ,2 占总面积的占总面积的95%源与坐标原点不重合源与

24、坐标原点不重合源与坐标原点重合源与坐标原点重合2 2 , , 2 2 证明此结论证明此结论（3）三阶中心矩三阶中心矩表示曲线偏斜度：表示曲线偏斜度：a a =0 左右对称左右对称; 正态分布正态分布 a a 0左右不对称，长尾伸向正轴方向；左右不对称，长尾伸向正轴方向； a a0，长尾伸向负轴方向。，长尾伸向负轴方向。 330MMaa a=0=0a a00a a0 0图图 a a对浓度分布图形的影响对浓度分布图形的影响第六节第六节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩偏态系数偏态系数（4）四阶中心矩四阶中心矩440MMa表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈

25、大表示峰型愈大。峰型愈大。 第六节第六节 浓度分布的各阶矩浓度分布的各阶矩2 2、对静止和动水环境中射流的一些基本原理、基本、对静止和动水环境中射流的一些基本原理、基本规律的研究现状。规律的研究现状。源与坐标原点重合时，浓度源与坐标原点重合时，浓度曲线的分布区间曲线的分布区间-2-2 ,2,2 范围内，分布曲线与范围内，分布曲线与x x轴所围面积轴所围面积占总面积的占总面积的95%。1、证明此结论、证明此结论作业作业第五节第五节 一维扩散方程的若干定解条件下的解一维扩散方程的若干定解条件下的解设只当设只当t =0时在时在x= =处投放污染物质（瞬时点源）处投放污染物质（瞬时点源）初始条件：初始

26、条件：c(x,0)=M(x-) )边界条件边界条件：c(,t)=0 第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解2( , )exp44Mxc x tDtDt（）有解：如果示综物质如果示综物质M不是集中到一处，而是非均匀地分布在一不是集中到一处，而是非均匀地分布在一定范围上同时瞬时投放，这就是瞬时投放源，这种情况可定范围上同时瞬时投放，这就是瞬时投放源，这种情况可考虑为若干个瞬时集中源的迭加，按迭加原理求解。考虑为若干个瞬时集中源的迭加，按迭加原理求解。现将初始条件改为：现将初始条件改为： c(x,0)=f(x), -x 其中其中f(x)为任意给定的函数，亦即该

27、初始分布是沿无限为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长直线上给定的浓度为长直线上给定的浓度为f()，d微小长度上投放示踪质的质微小长度上投放示踪质的质量为量为M=f()d。位于位于处由该微小污染单元的扩散处由该微小污染单元的扩散而导致在时刻而导致在时刻t位于位于x的浓度应为的浓度应为:用一系列质量为用一系列质量为f()d的的团块来求浓度分布团块来求浓度分布第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解2( )()exp44fdxdcDtDt2-( )()( , )exp44fxc x tdDtDt下面讨论下面讨论f()为常数的两种特殊情况：为常数的两种特殊情

28、况：单侧阶梯浓度函数的浓度分布单侧阶梯浓度函数的浓度分布1.当当f(x)为阶梯函数：为阶梯函数： 该问题的物理模型可认该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等为是在一条无限长的等截面管（渠）的静水中，截面管（渠）的静水中，左端（左端（x0）为清水，现闸）为清水，现闸门突然打开，左边的污门突然打开，左边的污染物质向右边扩散。解染物质向右边扩散。解的形式为：的形式为：第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解000( )( ,0)0 xf xc xcx当当20 x()( , )exp44cxc x tdDtDtt=0时时 取变换取变换式中：式中：erf(z)为为

29、z的的误差函数，误差函数，erfc(z)为为z的的余误差函数，即余误差函数，即第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解,4,4xuDtduDtd =-有202( )exp()( )1( )zerf zu duerfc zerf z 22004040( , )exp()exp()2()224xDtxDtccc x tu duu ducxerfDt00( , )1()()2244cxcxc x terferfcDtDt即：误差函数的值可查误差函误差函数的值可查误差函数数值表或计算软件得到数数值表或计算软件得到误差函数的定义误差函数的定义: : 从而有：从而有：

30、余误差函数的定义余误差函数的定义: :第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解202( )exp()zerf zudu2()( )2( )exp()( )1,(0)0erfxerf xderf xxdxerferf ( )1( )erfc zerf z 000误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分误差函数的计算是把被积函数展开为麦克劳林级数，然后逐项积分第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解 取变换取变换=x-,有有该问题的物理模型可认为是在一条无限长的等截面渠该问题的物理模型可认为是在一条无限长

31、的等截面渠（管）的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染（管）的静水中，突然发生事故，在渠中出现一段污染源而向两端扩散的情形。解的形式为：源而向两端扩散的情形。解的形式为：2.当当f(x)为阶梯函数：为阶梯函数： x=0 x=x1x=-x1初始浓度分布图初始浓度分布图第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解1010( )( ,0)xxf xc xcxx当当1120()( , )exp44xxcxc x tdDtDt1120( , )exp44x xx xcc x tdDtDthh再取变换再取变换 , ,有有4uDtht=0时时1111()/ 420()/

32、 4()/ 4()/ 422000011011( , )exp()exp()exp()()()244()()244x xDtx xDtx xDtx xDtcc x tu ducu duu ducxxxxerferfDDcxxxxerferfDD双侧阶梯浓度函数的浓度分布双侧阶梯浓度函数的浓度分布第七节第七节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析一维扩散方程空间瞬时线源的解析解解随着随着 增大，浓度增大，浓度分布曲线愈平坦化。分布曲线愈平坦化。1/Dt x第六节第六节 一维扩散方程的时间连续源的解析解一维扩散方程的时间连续源的解析解 一、时间连续点源一、时间连续点源 在流场的某一点上，连续不断地投入浓

33、度为在流场的某一点上，连续不断地投入浓度为c c0 0（常数）（常数）的污染物质，即时间连续恒定点源。的污染物质，即时间连续恒定点源。 如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原如果一维扩散区域无限长，则可将投放点位置取为坐标原点，初始条件点，初始条件c(0,t)=c0 在在x=0处浓度突然从零增加到处浓度突然从零增加到c0，以后保，以后保持不变，持不变， 无限边界条件无限边界条件c(,0)=0 初瞬时初瞬时t=0，沿，沿x轴各处的浓度均为零轴各处的浓度均为零 本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某本问题的解也是一个有用的基本解，可以用来构造其他某些问题的解。些问题的解。第

34、八节第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解1、点源处给定投放浓度、点源处给定投放浓度第八节第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解边界条件为边界条件为f(0)=1,f()=0,显然有显然有c(-x,t)=c(x,t),解对称于原点，解对称于原点，只需沿只需沿x正向求解。正向求解。借助借助量纲分析法量纲分析法来求解浓度分布来求解浓度分布c(c(x, ,t) ) 显然，显然，c c与与c c0 0, ,D, ,x和和t有关，利用有关，利用定理定理, ,选选 c、D和和t为基本变量，可得如下关为基本变量，可得如下关系式：系式： 0()xcc

35、fDt22221cd cxtD dh2cdcdctdtt dhhhh 式中：式中：f是某一待确定的函数。令是某一待确定的函数。令 , ,有有二阶变系数齐次常微分方程二阶变系数齐次常微分方程/xDth22102dfdfddhhh代入扩散方程代入扩散方程等强度连续点源的浓度分布等强度连续点源的浓度分布00( , )1()4(),04xc x tcerfDtxc erfcxDt1 1、点源处给定投放浓度问题的解、点源处给定投放浓度问题的解 在任一时刻在任一时刻t总的浓度是总的浓度是t以前全以前全部时段内浓度分布的总和，由上部时段内浓度分布的总和，由上式通过积分可得的解：式通过积分可得的解：用于求解浓

36、度用于求解浓度c0(t)的迭加法的迭加法第八节第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解0()()4 ()cxcerfctD t00( , )()4()tcxc x terfcdD t更一般的情形是更一般的情形是c0不是常数，不是常数，即不是时间连续恒定点源。而即不是时间连续恒定点源。而是是c0随时间随时间 而变，即而变，即c0= c0() )。则可以看作无数不同强度的。则可以看作无数不同强度的瞬时源产生的扩散在时间上扩散的结果。瞬时源产生的扩散在时间上扩散的结果。当时间增加当时间增加，位于，位于x=0处的浓度增量为处的浓度增量为 ，由于浓度，由于浓度增量的关系，相应

37、的扩散结果可借助上式表示为增量的关系，相应的扩散结果可借助上式表示为:0c由于是时间连续点源，故可得由于是时间连续点源，故可得如果如果 为常数，上式变为为常数，上式变为 ( )M第八节第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解2( )exp4()4()MxcD tD t 20( )( , )exp4 ()4()tMxc x tdD tD t 201( , )exp4()4tMxc x tdD tDt以下讨论在以下讨论在x=0处，给定单位时间投入的污染物质量的速度处，给定单位时间投入的污染物质量的速度 (简称质量投放率简称质量投放率) ，即在，即在时间投放质量为时间投放

38、质量为 。此。此时，根据瞬时点源的解式可得在瞬时时，根据瞬时点源的解式可得在瞬时 投放质量投放质量 的浓的浓度场：度场：( )M( )M ( )M2、点源处给定投放质量、点源处给定投放质量第六节第六节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解时间连续点源的浓度分布时间连续点源的浓度分布污染的范围和污染的范围和浓度均随时间浓度均随时间的增加而增大的增加而增大 第八节第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解24 ()/,uD tx设有24/011( , )exp4Dt xMxc x tduuDu通过数值积通过数值积分进行计算分进行计算二、时间连续线源

39、二、时间连续线源第八节第八节 一维扩散方程时间连续源的解析解一维扩散方程时间连续源的解析解全部分布连续源一维扩散产生的浓度应将上式几分二次成为全部分布连续源一维扩散产生的浓度应将上式几分二次成为20( , )()( , )exp4()4()tbafxc x td dD tD t 如果连续源不集中在原点，而是分布在沿如果连续源不集中在原点，而是分布在沿x轴一定范围如轴一定范围如a x1 b之上，则加入的扩散质最一般的情况是时间和空之上，则加入的扩散质最一般的情况是时间和空间的函数，设间的函数，设f(x,t)为在单位时间内单位体积上投放的污为在单位时间内单位体积上投放的污染物质质量，在染物质质量，

40、在x= 处处d d 上，于时刻上，于时刻 在在d d 时间内加入扩时间内加入扩散质的量为散质的量为 M= f( , )d d d ，一维扩散经时间，一维扩散经时间(t- )在在x处处得浓度为：得浓度为：2( , )()exp4()4()fxcd dD tD t 第七节第七节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法 以上讨论的全是无限空间的扩散，实际河渠或水库湖泊以上讨论的全是无限空间的扩散，实际河渠或水库湖泊都有岸和底存在，污染物质在河渠、水库中扩散至边界时，都有岸和底存在，污染物质在河渠、水库中扩散至边界时，有两种可能，一种是扩散物质到达边界后被边界吸收或粘结有两种可能，一种是扩散物质

41、到达边界后被边界吸收或粘结在边界上，称为在边界上，称为完全吸收完全吸收；另外一种情况是遇到边界就反射；另外一种情况是遇到边界就反射回去，称为回去，称为完全反射完全反射。介于两种状态之间的为不完全吸收和。介于两种状态之间的为不完全吸收和不完全反射，这在不完全反射，这在实际中居多。实际中居多。显然，吸收和反射与污染物显然，吸收和反射与污染物性质和边界的性质有关。当然，最不利的情况是发生完全反性质和边界的性质有关。当然，最不利的情况是发生完全反射。如果天然河岸是土壤，就不能看做是最不利的情况。射。如果天然河岸是土壤，就不能看做是最不利的情况。 下面仅研究完全反射的情况。下面仅研究完全反射的情况。第九

42、节第九节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法 讨论最简单的情况：当讨论最简单的情况：当t=0时，在时，在x=0处与处与x轴垂直的单轴垂直的单位面积上，投放的污染物质量为位面积上，投放的污染物质量为M。在正方向的边界为无穷。在正方向的边界为无穷远，但在远，但在x=-L处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不处有一阻止物质扩散的壁存在，并设该壁不吸收扩散物质（完全反射），则任意时刻通过该岸壁的示吸收扩散物质（完全反射），则任意时刻通过该岸壁的示踪量的净通量为零。踪量的净通量为零。 第七节第七节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法 ( , )0 xLc x tx 对扩散被各种边界所

43、限制的问题，通常运用叠加原理来对扩散被各种边界所限制的问题，通常运用叠加原理来解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，解决。因为扩散方程是线性的，如果边界条件也是线性的，则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。则可以叠加任意数量的单独解，从而构成新的解。 假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。假设边界为完全反射壁，即不吸收扩散物质。 一、一边反射的瞬时点源情形一、一边反射的瞬时点源情形边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到边界条件：壁面上的浓度梯度必须是零，由费克定律得到: : 初始条件：初始条件：( ,0)( )c xMx第九节第九节 有界一维扩散和叠加方法有界

44、一维扩散和叠加方法第九节第九节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法一边侧壁的像源法一边侧壁的像源法像源法：像源法： 设想有一平面镜位于固体边界处，在平面镜后面有一反射设想有一平面镜位于固体边界处，在平面镜后面有一反射源（又称像源），反射源到真源的距离源（又称像源），反射源到真源的距离x=-2L，像源的强度与，像源的强度与真源的强度相同，标准差也相同，因而像源在边界上的通量与真源的强度相同，标准差也相同，因而像源在边界上的通量与真源在边界上的通量大小相等，方向相反，故形成边界上扩散真源在边界上的通量大小相等，方向相反，故形成边界上扩散物质的通量为零。物质的通量为零。第九节第九节 有界一

45、维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法一边侧壁的像源法一边侧壁的像源法22( +2 )( , )exp()exp444MxxLc x tDtDtDt 真源与像源相距为真源与像源相距为2L，在，在x轴上任意点的浓度轴上任意点的浓度应该为由像源和真实源各自产生的浓度之和，即应该为由像源和真实源各自产生的浓度之和，即第九节第九节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法一边侧壁的像源法一边侧壁的像源法 对于完全反射的边界，对于完全反射的边界，在反射壁边界处的浓度等于在反射壁边界处的浓度等于不存在该壁时的两倍。不存在该壁时的两倍。222(+2 )( , )exp()exp4442 exp()44M

46、LLLc L tDtDtDtMLDtDt当当x=-L时（即固体边界上），其浓度为时（即固体边界上），其浓度为二、两边反射的瞬时点源情形二、两边反射的瞬时点源情形 24682468xLLLLLAxLLLLL 对 边 壁有 像 源真 源对 边 壁有 像 源在在x=-L和和x=L均有完全反射壁：均有完全反射壁：无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解：无穷多像源各自的浓度分布叠加便得到问题的解： 两面侧壁的像源法两面侧壁的像源法2(2)( , )exp44nMxnLc x tDtDt第九节第九节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法在在x=-2L的像源的扩散又会在的像源的扩散又会在x=L处

47、产生一个正的浓度梯度，需要处产生一个正的浓度梯度，需要在在x=4L处放一个像源。处放一个像源。 在岸壁处，即在在岸壁处，即在x= L处要求浓度为零，在处要求浓度为零，在x= 2L处必须放置强度为负值的瞬时源，在处必须放置强度为负值的瞬时源，在x= 4L处放置强度为正值的瞬时源，如此类推。完整解为处放置强度为正值的瞬时源，如此类推。完整解为22(4)(42) )( , )expexp444nMxnLxnLc x tDtDtDt第九节第九节 有界一维扩散和叠加方法有界一维扩散和叠加方法另一种边界条件另一种边界条件在实际问题中，因河流较宽，在实际问题中，因河流较宽，L比较大，一般只考虑一、比较大，一

48、般只考虑一、两次反射就可以满足实际需要，如两次反射就可以满足实际需要，如n=0, 1， 2。第八节第八节 二维和三维扩散方程的解析解二维和三维扩散方程的解析解 一、瞬时点源一、瞬时点源二维扩散方程为：二维扩散方程为： 上式中的上式中的Dx和和Dy分别为分别为x和和y方向的扩散系数，虽然在方向的扩散系数，虽然在分子扩散中，分子扩散中，Dx =Dy=D，但因为我们将来可以借用该方程，但因为我们将来可以借用该方程的解来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以的解来解决某具有非各向同性性质的紊流扩散问题，所以在这里以在这里以DxDy进行讨论。进行讨论。2222xycccDDxxy第十节第十节 二维

49、和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解c(x,y,0)=M (x) (y) （2）边界条件：）边界条件： c(,y,t)=0, c(,t)/ x=0c(x, ,t)=0, c(,t)/ y=0（1）初始条件：）初始条件： 上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从上式只有当两个括号内的量分别等于零才能得到满足，从而得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具而得到两个一维扩散方程，它们的瞬时点源无界空间的解均具有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。有扩散方程基本解的形式，将这两个解相乘，就得到解答。利用利用“乘积法则乘积法则”求解：则本问题的解可

50、以表为求解：则本问题的解可以表为2221121 2122122()xyccccc cccc Dc Dtttxy2211222122()()0 xycccccDcDtxty221 2( , , )exp()444zxyxyMxyc x y tc cD tD tt D Dc(x,y,t)=c1(x,t)c2(y,t)式中式中c1不依赖于不依赖于y, c2不依赖于不依赖于x，代入扩散方程，故有，代入扩散方程，故有第十节第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解当当Dx=Dy=D时，上式变为：时，上式变为：在在z轴上单位面轴上单位面积上的质量积上的质量22( , , )exp

51、()44zMxyc x y tDtDtzcdxdyM 对于一维扩散，浓度对于一维扩散，浓度c c的单位是单位长度的质量；对于二的单位是单位长度的质量；对于二维扩散它是单位面积上的质量；对于三维扩散则是单位体积内维扩散它是单位面积上的质量；对于三维扩散则是单位体积内的质量。的质量。可将可将“乘积法则乘积法则”求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三求解的方法推广到瞬时点源无界空间的三维扩散。三维扩散方程为：维扩散。三维扩散方程为： 222222xyzccccDDDxxyz2223/21/2( , , )exp()(4)()444xyzxyzMxyzc x y ttD D DD tD tD tMcdx

52、dydz 式中：当当Dx=Dy=Dz=D时，时，r2=x2+y2+z2,有有第十节第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解23/21/2( , , )exp()(4)()4xyzMrc x y ttD D DDtr是自点源起算的距离。在是自点源起算的距离。在 处上式指数为处上式指数为0.01，即这里，即这里的浓度等于原点瞬时浓度值的百分之一。的浓度等于原点瞬时浓度值的百分之一。 4.292rDt初始条件：初始条件：c(x,y,z0)=M (x) (y) (z) 二、瞬时无限长线源二、瞬时无限长线源瞬时无限长线源情形瞬时无限长线源情形第十节第十节 二维和三维扩散方程的

53、某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解 一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位一个瞬时无限长线源是沿一无限长直线上的每一个单位长度瞬时投放质量为长度瞬时投放质量为mz z所构成的，所构成的，mz z的量纲为的量纲为MLML-1-1 。对于一。对于一个沿个沿z轴分布的无限长线源来讲，根据三维瞬时点源的解可得轴分布的无限长线源来讲，根据三维瞬时点源的解可得由于由于h h处的点源处的点源mz zdh h所产生的所产生的P点（点（x,y,z）处的浓度为）处的浓度为与瞬时点源的二维情形相同与瞬时点源的二维情形相同223/21/22221/2( , , )exp()(4)()44()exp4e

54、xp()(4)()44zxyzxyzzxyxymxyc x y ttD D DD tD tzdDtmxyt D DD tD thh2223/21/2()exp(4 ) ()444zxyzxyzmdxyzdctDD DDtDtDthh无限长线源无限长线源h h积分从积分从负无穷到正无穷负无穷到正无穷令令()4zuzD th变更上下限变更上下限其解可由瞬时点源的解迭加得到其解可由瞬时点源的解迭加得到单位面积瞬时引入质量为单位面积瞬时引入质量为m, ,对在对在yz平面上的一个平面源平面上的一个平面源来讲，由位于来讲，由位于 处沿处沿z方向单方向单位宽度上质量位宽度上质量mz z= =md d 的无限

55、的无限长线源在长线源在P点（点（x, ,y, ,z）处产）处产生的浓度：生的浓度：三、瞬时无限平面源三、瞬时无限平面源 221/2()exp4()44xyxymdxydct D DD tD t第十节第十节 二维和三维扩散方程的某些解析解二维和三维扩散方程的某些解析解于是由无限平面源在于是由无限平面源在P点处产生的浓度为：点处产生的浓度为：当当Dx= =Dy= =Dz=D时，有时，有瞬时无限平面源情形瞬时无限平面源情形l瞬时无限平面的分子瞬时无限平面的分子扩散只沿与该平面垂扩散只沿与该平面垂直的方向进行，是一直的方向进行，是一维扩散维扩散l一维扩散问题中，点一维扩散问题中，点源就是无限平面源。源

56、就是无限平面源。 221/221/2()( , )exp()exp4()44exp()(4)4xyxyxxmxyc x tdt D DD tD tmxD tD t21/2( , )exp()(4)4mxc x tDtDt 设在坐标原点处（设在坐标原点处（x= =y= =z=0=0），单位时间内投放的污染物），单位时间内投放的污染物质量为质量为M（常数）。在（常数）。在d d 的微小时间内，投放质量为的微小时间内，投放质量为M d ，将，将每一个每一个M d 看作是一个瞬时点源，借助瞬时点源的解在瞬时看作是一个瞬时点源，借助瞬时点源的解在瞬时投入质量投入质量M d 的浓度场的浓度场: : dM四、三维时间连续恒定点源四、三维时间连续恒定点源 2223/21/2exp4 () ()4()4()4()xyzxyzMdxyzdctDD DD tD tD t2223/21/23/2011( , , )exp()4 () ()()() 444txyzxyzMxyzc x ytdtDDDttDDD2221 (),() 444xyzxyzutDDD取变换则有第十节第十节 二维和三维扩散方程的某些解