第2章 基本原理和

1、 第第2章章 基本原理和定理基本原理和定理 介绍电磁理论中的几个重要的原理和定理。分析和计算电磁场问题时利用这些重要的原理和定理可提供一些简便并且有效的方法。基本内容基本内容l2.1 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理l2.2 唯一性定理唯一性定理l2.3 镜像定理镜像定理l*#2.4 等效定理等效定理l2.5 感应原理感应原理l2.6 巴比涅原理巴比涅原理l#2.7 互易定理互易定理l2.8 线性系统的算子方程线性系统的算子方程2.1 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理是矢量场的一个十分重要的定理，它给出了矢量场和它的两种源散度源与旋度源的关系。 亥姆霍兹定理指出， 由闭合面 S 包围的体积V 中任

2、一点r 处的矢量场( )F r 可分为用一标量函数的梯度表示的无旋场和用另一矢量函数的旋度表示的无散场两部分，即 ( )( )( ) F rrA r (2-1) 而式中的标量函数和矢量函数分别与体积V中矢量场的散度源和旋度源， 以及闭合面S上矢量场的法向分量和切向分量有关，即 ( )( )( )44VSddVF rF rSrr -rr -r (2-2a) ( )( )( )44VSddVF rSrr -rr -rF r (2-2b) 上式中闭合面S的法线的正方向指向闭合面外。 证明证明: 利用函数的性质，将矢量场( )F r 写成 ( )( ) ()VdVF rF rrr (2-3) 将Rrr

3、 及214( )RR 代入上式，并交换积分与微分运算次序得 2( )( )( )( )444VVVdVdVdVRRR F rF rF rF r (2-4) 利用了2 AAA。将上式右边第一项中的求散度与积分交换次序，得 ( )4)14VVdVdVRRF rF r 利用11RR 及( )( )( )11()RRRRR F rF rF rF rF r和高斯定理高斯定理，上式重写为 ( )( )( )444VVSddVdVRRR F rF rF rS (2-5) 将式（24）右边第二项中的求旋度与积分交换次序，得 ( )4)14VVdVdVRRF rF r 利用11RR 及1( )( )1()( )

4、RRRRR F rF rrFFrF r和矢量斯托克斯定矢量斯托克斯定理理，上式重写为 ( )( )( )444VVSddVdVRRR F rF rF rS (2-6) 将式（25）和式（26）代入式（24） ，就得到式（21）和式（22） 。 ddVSV AAS( )( )( ) F rrA rddVSVAAS亥姆霍兹定理意义亥姆霍兹定理意义l任一矢量场都可以表示为无散场与无旋场之和。l当任一区域中矢量场的散度、旋度及边界上场量 的 切 向 分 量 和 法 向 分 量 给 定 后 ， 利 用Helmholtz定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度和旋度特性是研究矢量场的首要问题。2

5、.2 唯一性定理唯一性定理l背景背景：在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下的电磁场问题。如果我们只考察空间某一有限区域的电磁场，而区域内、外都存在场源，这时，仅仅知道区域内的场源并不能完全确定有限区域内电磁场，还必须知道区域外场源的影响，这个影响可通过有限区域的边界条件的作用实现。因此，在电磁理论中，常常需要处理各种边值问题。l对于电磁场的边值问题，唯一性定理指出了获得麦克斯韦方程唯一解所必须满足的条件和所适应的范围，唯一性定理是电磁场的边值问题解唯一性的理论依据和理论基础。那么，在什么条件下和什么范围内有限区域中电磁场的解才是唯一的呢？ 唯一性定理指出：有有界界区区域域V内内

6、，如如果果0t 时时电电场场和和磁磁场场的的初初始始值值处处处处已已知知，并并且且在在0t 时时区区域域 的的边边界界上上电电场场的的切切向向分分量量或或磁磁场场的的切切向向分分量量也也是是已已知知的的，那那么么，在在0t 时时，区区域域V中中的的电电磁磁场场就就由由麦麦克克斯斯韦韦方方程程唯唯一一地地确确定定了了。 下面证明电磁场的唯一性定理。 利用反反证证法法，考虑被封闭面S包围的空间区域V，设满足麦克斯韦方程，初始条件和边界条件的电磁场解不唯一，那么，至少有两组解，记为11E ,H 和22E ,H 。设差场 E,H 为 12EEE 12HHH (2-7b) 那么，在0t 时，空间区域V中

7、差场0,0EH,在0t 时区域 的边界上差场 E 的切向分量或 H 的切向分量为零，并且，差场 E,H 满足麦克斯韦方程 tEHE t HE 0B 0D (2-8) 应用矢量恒等式 ()EHHEEH 将式（28）代入上式，并对等式两边在区域V中进行体积分，利用高斯定理，将等式左边的体积分化为面积分得 2221122SVVdE dVHEdVtEHS = (2-9) 上式两边在时间t=0 至(0)t t 内积分，考虑差场的初始值为零，得 2220011d22ttVVSHEVE dV dtdS dt EH (2-10) 上式右边第一项的被积函数总是大于等于零，因此，其积分结果也总是大于等于零的数，所

8、以，可得 22011d22tnVSHEVdS dt EH e (2-11) 考虑矢量恒等式()()()ABCABCBCA，上式右边的被积函数为 ()()()nnnEHeEHeHeE 在给定的边界条件下上式等于零，因此式（211）的右边等于零，所以式（211）变为 2211d022VHEV (2-12) 由于上式的被积函数总为正值，因此，要使上式成立，必有00E E, ,H H，即12E = E ，12H = H 。这就是说，满足初始条件和边界条件的有界区域中麦克斯韦方程的解是唯一的。 2.3镜像原理镜像原理l 镜象原理是根据唯一性定理求解某些具有理想导体边界的电磁边值问题的一种方法。l 一些电

9、磁场问题可以近似为无限大的理想导电平面上源分布已知的边值问题。最简单的情况就是无限大的理想导电平面上有一水平电流元的情况，如图2-1(a) 所示.理想导体面图2-1与图2-2l由边界条件,在理想导电面上电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量为零。如果在理想导电面另一边,电流元的镜像位置处水平放置方向相反的电流元,去掉理想导电面后,容易证明在原理想导体的边界位置上,仍满足电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量为零,如图2-1(b)。l以上两种情况在理想导电面的边界位置以上区域,源与边界条件均相同,根据唯一性定理,在理想导电面的边界位置以上区域的电磁场也是相同的。也就是说,镜像位置水平放置方向

10、相反的电流元在边界以上产生的电磁场与无限大理想导电体边界的影响是相同的。或者说,可以利用镜像电流元代替无限大理想导电平面上的感应电流.l 容易证明,在电流元垂直放置的情况下,也可利用镜像电流元代替无限大理想导电平面,但是电流元与其镜像方向相同,如图2-2所示.l 以电流元的镜像为基础,对于无限大理想导电平面上的各种电流分布均可以用其镜像电流代替无限大理想导体平面.如图2-3所示.l 对于无限大理想导体平面上的磁流元,容易证明,水平磁流元与其镜像方向一致,而垂直磁流元与其镜像方向相反.如图2-4所示为无限大理想导电平面任意取向的电流元的镜像.l 以电流元和磁流元的镜像为基础,镜像原理不仅可用于理

11、想导电(PEC)平面上各种源分布,也可用于无限大理想导磁(PMC)平面上的各种源分布.但必须注意,时变场的镜像原时变场的镜像原理只有对理想导电面或理想导磁面才是严格正确的理只有对理想导电面或理想导磁面才是严格正确的。例例:在无限大的理想导体平面上方附近平行放置一小电流环在无限大的理想导体平面上方附近平行放置一小电流环,电流为电流为I, 小环面积为小环面积为S,距离理距离理想导电面高度为想导电面高度为 h,求远区辐射电场求远区辐射电场. 解解:小电流环可以等效为磁偶及子,也就是磁流元.对于电流I,环面积S位于坐标原点的小电流环,其远区磁场为 2sinjkrer ISH 2sinjkrZerISE

12、 式中为Z 波阻抗,为波长.位于坐标原点的电流元的辐射场为 sin2jkrljZerIE sin2jkrljerIH 根据对偶原理,对上式电流元的辐射场做变换mllIIEH, HE,就得到磁流元的辐射场lIm的辐射场 sin2mjkrljeZrIH sin2mjkrljer IE 将磁流元的辐射场与小电环的辐射场相比较,就可得到电流为 I,环面积为 S 的小电流环对应的磁流元mlI为 2mljIZIS 这样,求无限大的理想导电平面上方小电流环的辐射电场问题就成为无限大的理想导电平面上磁流元的辐射电场问题,如图 2-5( a) 所示.根据镜像定理,在无限大的理想导电平面上方区域的辐射电场等于磁流

13、元的辐射电场与其镜像磁流元的辐射电场之和,如图 2-5(b)所示. 因此,理想导电平面上方的磁流元和镜像磁流元的辐射电场为 121212sinsin22mmjkrjkrlljejerr IIE 对于远区,可取一下近似 21 cos1hrr cos2hrr rrr11121 取以上近似后,理想导体上方的小电流环的辐射电场为 112sinsincos2sinsincosmjkrjkrlkhkhejerrIZISE 2.4等效原理等效原理l等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理。等效原理在电磁场问题的求解中是非常有用的，能使计算大为简化。l考察某一个有界区域，如果该区域内的源分布不

14、变，而在该区域之外有不同分布的源，只要在该区域的边界上满足同样的边界条件，根据唯一性定理，就可以在该区域产生同样的场分布。即，在某一区域内能产在某一区域内能产生同样电磁场的该区域外的两种源，对该区域内的场生同样电磁场的该区域外的两种源，对该区域内的场是等效的，这时对该区域内的场来说，该区域外的两是等效的，这时对该区域内的场来说，该区域外的两种源中的一种源是另一种源的等效源种源中的一种源是另一种源的等效源。l因此电磁场的实际源可以用它的等效源来代替，实际源的边界问题的解可以用等效源的边界问题的解来代替，这就是电磁场的等效原理。问题的提出问题的提出l下面导出等效原理的一般形式。设原问题中场源局限于

15、闭合面设原问题中场源局限于闭合面S包围的区域包围的区域1V内部内部, 源在源在 S内外区域内外区域1V和和2V中产生的场用中产生的场用E,H表示，表示，如图如图 26（a） 。现在做出现在做出 S 面面外区域外区域2V中场的等效问题中场的等效问题。 在等效问题中，S 面内的空间区域1V中无源而且场为零，但在 S 面上有面电流和面磁流 SnJeH mSn JeE （2-13） 式中ne 是 S 的外法线方向单位矢量，E 和 H 是原问题中 S 面上的场，如图 2-6（b）. 根据唯一性定理，原问题和等效问题在 S 面外区域2V中的源分布与边界条件相同,因此, 原问题和等效问题在 S 面外区域2V

16、中的场是相同的。也就是说，对于 S 面外区域2V中的场来说，等效问题中 S 面上由（2-13）式给出的面电流和面磁流是原问题 S 面内的空间区域1V中场源的等效源。这种等效形式称为电磁场的 Love 等效原理,这种等效源又称为零场等效源。 零场等效源零场等效源 SnJeH - HmSn JeE - E非零场等效源非零场等效源 l Love等效原理同时应用了S面上E和H的切向分量,但根据唯一性定理,只需或两者之一的切向分量就可以唯一确定场，也就是说，场的等效源可以仅用S面上的面电流或面磁流表示。 在在 LOVE 等效问题中等效问题中,S 面内的空间区域面内的空间区域1V中场为零中场为零，因此因此

17、，在在 S 面内侧放置理想导面内侧放置理想导电壁或理想导磁壁不会影响电壁或理想导磁壁不会影响 S 面外区域面外区域2V中的场中的场。 在 S 面内侧放置理想导电壁，由于位于 PEC 附近的切向电流源没有任何辐射作用(后面将用互易原理证明)，仅需在 S 面上放置面磁流 mSn JeE (2-14) 如图 2-6(c), E 是原问题中面上的电场,由唯一性定理,在 S 面内的空间区域1V中场为零.在 S 面外区域2V中的场与原问题的场相同,所以这一问题与原问题等效. 在 S 面内侧放置理想导磁壁, 由于位于 PMC 附近的切向磁流源没有任何辐射作用(后面将用互易原理证明)，仅需在 S 面上放置面电

18、流， SnJeH (2-15) 如图 2-6(d), H 是原问题中 S 面上的磁场,由唯一性定理,在 S 面内的空间区域1V中场为零.在S面外区域2V中的场与原问题的场相同,所以这一问题与原问题等效.这两种等效形式称为 Schelkunoff 等效原理. 等效原理意义等效原理意义l利用等效原理,可将所考察区域之外的源(可以是已知的源,也可以是未知的源),用位于所考察区域边界上的等效面源来代替,而等效面源又对应于场的切向分量,这对于根据唯一性定理求解所考察区域电磁场的边值问题是十分有利的.例：传输例：传输 TEM 波的同轴线终端开路，外导体与一接地导电平板相连，如图波的同轴线终端开路，外导体与

19、一接地导电平板相连，如图 2-7（ a）所示，同轴终端开口的辐射场。所示，同轴终端开口的辐射场。 显然要计算环形磁流的辐射场，必须先计算环形开口处的电场。如果忽略同轴线的环形开口处的边缘效应，近似认为环形开口处的电场仍为同轴线中传输的 TEM 波,即 lnUb aEe 22lnmSzUb a JEee 其中，U 为同轴线内外导体之间的电压，a, b 分别为同轴线内外导体的半径。 那么这个小磁流环的电矩为 22222lnbbmmmSaaU baddb a I SIJ 根据对偶原理对偶原理，由上节例题中给出的磁流元与电流环的关系2mljIZIS 做对偶变换,可得小磁流环等效的电流元为 22lnmj

20、baljSb a UII 根据电流元的辐射场，同轴线终端开口的辐射电场为 22sinsin22lnjkrjkrbaljZeerrb aZUIE 上式中 Z 为波阻抗。 2.5感应原理感应原理l感应原理是电磁理论中有关散射场与入射场关系的一个重要的原理。它提供了一种由已知投射到已知障碍物上的入射场来求其反射场或散射场的方法。感应原理和等效源原理的概念既有密切的关系又相区别。 现考虑如图 2-8（a）所示电型源和磁型源在有障碍物存在时的辐射问题。设iE ,iH 表示无障碍物存在时给定源激发的场，即入射场入射场, E,H 表示有障碍物上的感应源激发的总场,总场总场与入射场之差 siEEE (2-16

21、) siHHH (2-17) 称为障碍物的散射场散射场。由于入射场是给定源激发的场,因此散射场是障碍物表面上的感应源辐射的场.在障碍物之外的区域,总场与入射场有相同的源分布,是散射场的无源区;而在障碍物之内的区域,是总场与散射场的无源区,因为总场与散射场的源在障碍物之外和障碍物的表面上. 对于障碍物之外区域的散射场来说,可将实际的边值问题用在障碍物之外仅保持散射场,而在障碍物内保持总场这样的边值问题等效,这时为保持两问题在障碍物之外的散射场和障碍物内的总场不变,则在障碍物表面上应有等效源SJ和mSJ,如图 2-8(b).利用等效原理利用等效原理,在障碍物表面上的等效源为 sSnJeHH (2-

22、18) msSnJEEe (2-19) 感应原理与等效原理联系与区别感应原理与等效原理联系与区别l比较感应原理与等效原理可以看出,它们都是将某一区域中的局外源用边界面上的等效面源来代替,并保持在该区域的场不变.但它们是有区别的:l1 等效原理用于求总场,感应原理用于求散射场, 等效原理可用于两区域都有源的情况,而感应原理要求两区域都无源;l2 等效原理中的两区域边界上的等效面源是未知的,一般情况下,需通过建立积分方程求解,在一些特殊情况下,等效面源也可近似得到,而感应原理中的两区域边界上的等效面源是已知的,由入射场可精确求得;l3 一般情况下,等效原理中可应用整个空间充满均匀线性媒质的公式通过

23、等效面元计算场,而对于感应原理, 障碍物表面上的等效源与障碍物内外的场是边值问题,一般不能应用整个空间充满均匀线性媒质的公式通过等效源计算障碍物内外的场.l应用感应原理的优点在于它把等效源转换为已知函数,在一些特殊情况下,这对求解散射畅问题十分方便.2.6巴比涅原理巴比涅原理l 光学巴比涅原理涉及光强度而不是矢量场，同时光学巴比涅原理中的完全吸收屏也不存在，因此，光学标量巴比涅原理不能直接用于电磁场。适应于电磁场的矢量巴比涅原理是由英国学者Booker建立的，称为推广的巴比涅原理。 如图 2-11 所示，设 Z=0 平面为一无限大理想导电薄屏，屏上有形状任意的孔，孔区的面积用 A 表示，屏的其

24、余部分用 S 表示。为简单起见，设屏两侧均为自由空间，在 Z0 半空间的电磁场为入射场iE ,iH ，当开孔理想导电薄屏存在时，设电磁波通过孔在半空间的衍射场为eE ,eH 。现在设有一形状和理想导电薄屏上开的孔完全相同的理想导磁体薄盘，称为开孔理想导电薄盘的互补盘互补盘。现用互补盘取代开孔理想导体薄屏，互补盘位于原来孔的位置，设在 Z0 半空间的电磁场为mE ，mH 。推广的矢量巴比涅原理指出 emiEEE emiHHH （2-25） 证证明明： 对于 Z=0 平面有开孔理想导电薄电屏的情况，Z=0 处的边界条件为 0eneE （在 S 上） （2-26a） einneHeH （在 A 上）

25、(2-26b) 在理想导电薄屏上,电场切向分量为零是显然的, 在孔面A上,总场为入射场和散射场之和,但但在在平平面面导导电电屏屏上上的的面面电电流流不不会会在在与与它它处处在在同同一一平平面面的的孔孔平平面面 A 上上产产生生切切向向磁磁场场,因此,孔平面 A 上的切向磁场等于入射波的切向磁场. 对于 Z=0 平面有开孔理想导电薄屏的互补盘的情况,Z=0 处的边界条件为 0eneH (在 A 上) (2-27 a) minneEeE (在 S 上) (2-27b) 在互补盘 A 上,磁场切向分量为零是显然的,在其余面上,总场为入射场与互补盘的散射场之和,但但在在互互补补盘盘上上的的面面磁磁流流

26、不不会会和和它它处处在在同同一一平平面面的的平平面面上上产产生生电电场场切切向向电电场场,因此,平面 S 上的切向电场等于入射波的切向电场. 将以上两种场相叠加,相应的边界条件也叠加,得 meinneeEEE (在 A 上) (2-28 a) eminneHHeH (在 S 上) (2-28b) 上式说明,场eE,eH和场mE ,mH 叠加后,在 Z=0 平面的上和入射场有相同的切向电场分量,而在 S 上和入射场有相同的切向磁场分量,所以根据唯一性原理可以得到(2-25). 证毕。 为了使巴比涅原理适应于实际应用的形式,利用对偶原理将互补磁盘换成导电盘,相应的电流源 l I 换成磁流源lmI,

27、媒质的波阻抗媒质的波阻抗 Z 换成换成1Z.若令对偶问题中半空间的电磁场为dE ,dH,根据对偶原理,有 mdEH mdHE (2-29) 然后再把媒质的波阻抗Z1换成 Z，此种情况为，在波阻抗为 Z（现在为自由空间的波阻抗）的空间中，在 Z0半空间的电磁场为cE ，cH。为使 1ddZEH， ccZEH 令 cdZEE cdZHH （2-30） 则 2cddcddZZZZEEEHHH 逻辑不严密将式（2-30）及式（2-29）代入式（2-25） ，得 eciZEHE （2-31 a） eciZHEH (2-31b) 式中，eE，eH表示在电流元的入射场iE,iH激励的开孔导电屏问题中 Z0

28、半空间的电磁场cE，cH表示在磁流元的入射场激励的互补导电盘问题中 Z0 半空间的电磁场。式（2-31）给出了这两种场的关系。如果已知其中一种场，就可以由这一关系计算另一种场。例如，如果已知开孔导电屏对电流元辐射场iE,iH的衍射场eE,eH，那么，与电流元对偶的磁流元辐射场金开孔导电屏的互补导电盘后的衍射场cE，cH为 cieZHEE ceiZEHH 实际上，在式（2-31）中，不必限制开孔导电屏与互补导电盘的照射场源满足对偶关系就可行。例如，TE 波与 TM 波就具有对偶关系. 例例:已知如图 2-12 所示的窄导电板构成的对称天线的辐射场,求如图 2-13 所示与它在形状上互补的缝隙谐振

29、天线的辐射场. 解解:由图可见,在窄导电板构成的对称激励端上电场的方向与缝隙谐振天线的激励端上电场的方向垂直,因此两激励源具有对偶关系.忽略激励源的远区场,即对称天线的辐射场为cE，cH,缝隙谐整天线的辐射场为eE,eH，则根据巴比涅原理 0eciZEHE 0eciHE ZH 由此得 ecZ EH ecZHE 2.7 互易定理互易定理l电磁场互易定理反映两组不同的场源之间的影响和响应关系，在电磁理论中具有比较重要的地位。 设在同一线性介质同一线性介质中有两种同频率同频率的源,maaJJ 和,mbbJJ ，它们相应的场分别为,aaEH和,bbE H 。显然它们各自满足场方程 aaajHJE （2

30、 32a） maaaj EJH （2 - 32b） bbbjHJE （2 -33a） mbbbj EJH （2 - 33b） 用bE 点乘式（2-32a）减去aH 点乘式（2-33b） ，得 ()mbaababbaabjj EHEEHHEJHJ (2 34) 将上式中的 a 与 b 互换得 ()mababababbajj EHEEHHEJHJ (2 35) 式(2 35)减去式 (2 34)得 ()mmabbaabaababaEHEHEJHJEJHJ （2 36） 上式对体积 V 积分，并应用高斯定理，得 ()()mmabbaababbabaSvddVEHEHSEJHJEJHJ (2 37）

31、若 V 中无源，显然上式右边为零，因此有 ()0abbaSdSEHEH （2 38） 式（2 38）称为洛伦兹互易定理洛伦兹互易定理，是无源区的互易，是无源区的互易定理定理。 S S V1 J Jm V2 S 图2 14 互易定理 若空间分两个区域 V1和 V2，封闭面 S 为区域 V1和 V2的边界，如图 2 14 所示，若源在 V1中，V1外的 V2中无源，则 ()0abbaS SdEHEHS （2 39） 式中 S+S为包围 V2的两封闭面， S为无限大封闭面。 由于源分布在有限区域， 在S上电磁场是沿 r 的方向传播的 TEM 波， 也就是在 S上 H = /rZeE， 由此上式中对

32、S面积分的被积函数为 ()()abnbanEHeEHe ()()nabnbaeEHeEH =()()rabrbaeEHeEH =/abbaZZHHHH =0 于是得 ()0abbaSdEHEHS 从而有 ()0abbaSdEHEHS 若将式（2 37）用于有源区域 V1，左边的面积分等于上式的面积分，于是也为零，因此，右边的体积分也为零，即 ()mmababbabavdVEJHJEJHJ 上式也可以写为 ()()mmababbabavVdVdVEJHJEJHJ （2 40） 式（2 40）为有源区域的互易定理有源区域的互易定理，又称，又称 Carson 互易原理互易原理。 互易定理表示从源点（

33、输入）到场点（输出）这一系统（网络）的互易性质。现考察某一空间 V 中的两点 1 和 2 ，设在 1 点仅放电流aVJ，在 2 点产生的电场为aE ，在 2 点仅放电流bVJ，在 1 点产生的电场为bE ，由式（2 40）有源区的互易定理得 abbaVVEJEJ 上式表示空间区域 V 中的任意两点 1 与 2 之间源和场的互易关系。从上式也可以看出，在一些情况下，可以应用互易定理由某一空间区域中一种源的已知场求另一种源的场在一些情况下，可以应用互易定理由某一空间区域中一种源的已知场求另一种源的场。 例：例：利用互易定理证明紧切在理想导体表面上的电流元无辐射场。 证：证：用反证法。如果紧切在理想

34、导体表面上的电流元aI l有辐射场，那么至少有一点不为零，记为,aaEH ，另取一电流元bI l沿aE 放置，设电流元bI l的场为,bbE H 。应用有源区的互易定理，由于无磁流源，由式（2 40）得 abbaVVdVdVEJEJ 积分得 baabIIEEll （2 41） 由于在理想导体表面上电场的切向分量为零，因此上式右边为零，又因为bI l不为零，所以，aE 一定为零。所以紧切在理想导体表面上的电流元无辐射场。 2.8 线性系统的算子方程线性系统的算子方程电磁场问题在数学上往往都可归结为一定边界条件下的微分方程 （边值问题）或积分方程的求解。 例如对于标量电磁场问题，如果 f 与分别表

35、示电磁场的标量源与场，则它们满足标量亥姆霍兹方程 fk22 （2 42） 和一定的边界条件。 许多电磁场问题可以归结为一定边界条件下以上标量亥姆霍兹方程的求解。 在上式中 f 与通过微分运算的这种关系， 可看成线性连续函数 f 与通过微分运算的映射。线性函数之间的映射关系可用算子算子表示。将上式左边的运算用算子 L 表示，即 22kL （2 43） 式（2 42）就变为 fL （2 44） 可见将对应的带一定边界条件的微分运算或积分运算用算子 L 表示后，解边值问题或解积分方程就是方程式（2 44） 。 如果算子 L 的逆1L 存在，根据逆算子的性质，有 ffLL1 （2 45） 1LL （2

36、 46） 用 L 的逆算子1L 作用在式（2 44）两边，就得到 )()(1rfLr （2 47） 由以上可见求解标量亥姆霍兹方程的问题，如果其对应的逆算子存在，原电磁场问题一定有解，算子方程的求解问题就是求其逆算子的问题。 从数学上看，式（2 47）为使函数 f 通过一定的变换，形成函数的运算过程，许多实际问题都可以抽象为这样的运算过程。这这种种实实现现函函数数变变换换的的运运算算过过程程称称为为系系统统。在电磁场问题中，场源与场点的函数变换就是这样的系统。 设系统对源1f和2f的响应分别为1和2，若1和2为任意常数，有 221122111aafafaL （2 48） 则称算子1L 为线性算

37、子，该线性算子表征的系统为线线性性系系统统。 线性系统线性系统 可以证明满满足足标标量量亥亥姆姆霍霍兹兹方方程程的的系系统统是是线线性性系系统统。对于线性系统，如果源函数 f 可以分解成某些基本函数的线性组合，这些基本函数通过线性系统后的响应可以通过对这些基本函数的响应的线性组合来求得。这便是线性系统的最大好处。基本函数可以有不同的取法，但基本函数的选取必须考虑两个因素： （1）是否任何源函数 f 都可以比较方便地分解成这些基本函数的线性组合； （2）系统的基本函数是否能比较方便的求得。 函函数数与与平平面面波波函函数数是标量电磁场中常用的两种基本函数。 基本函数的引入基本函数的引入 常用的基

38、本函数常用的基本函数任何源函数 f 都可以很方便地分解成函数的线性组合。应用函数的性质，)(rf可以用函数表示为，(取负是为了符合标量格林函数的习惯) ( )( )()ffdx dy dzrrrr （2 49） 这个积分可以看成是一种特殊的线性叠加，是无限多个不同位置的函数以) (dzdydxrf为加权系数的线性叠加。如果逆算子存在，将上式代入式（2 47）得 1( )( )()Lfdx dy dzrrrr （2 50） 在上式中，由于( )fdx dy dzr只是函数的系数，所以，算子1L 只需作用到基本函数上就可以了，于是 1( )( )()fLdx dy dzrrrr （2 51） 令

39、1( , )()gLr rrr （2 52） 式（2 51）变为 ( )( ) ( , )fgdx dy dzrrr r （2 53） ( , )g r r的意义是在位置的意义是在位置 r的单位脉冲源通过线性系统后在位置的单位脉冲源通过线性系统后在位置r的标量场的标量场， 称为系统系统的脉冲响应的脉冲响应，电磁场中称为标量格林函数标量格林函数。 函数作为基本函数函数作为基本函数由于标量格林函数的源是函数，因此其满足的标量亥姆霍兹方程为 22( , )( , )()gk g r rr rrr （2 54） 此式说明，满足标量亥姆霍兹方程的线性系统的性质完全由脉冲响应即标满足标量亥姆霍兹方程的线性

40、系统的性质完全由脉冲响应即标量格林函数所表征量格林函数所表征。对于标量格林函数已知的线性系统，任何标量场源对应的标量场都可以由式（2 53）的积分求得。 格林函数的意义格林函数的意义无界空间的标量格林函数是关于源点 r 球对称的。做坐标平移，将坐标原点放在 r ，取场点到源点的距离为 R，即|R rr，那么，标量格林函数只是 R 的函数，式（2 54）简化为 )()()(122RRgkdRRdgRdRdR （2 55） 在除原点以外的区域，上式变为 0)()(1222RgkdRRdgRdRdR 令RRuRg/ )()(，代入上式得 0222ukdRud 此二阶微分方程的解为 jkRjkReCe

41、Cu21 上式第一项为从原点向外的波从原点向外的波，第二项为从外向原点的波从外向原点的波，显然第二项不符合物理意义，仅保留第一项，因此标量格林函数的通解为 ReCRgjkR1)( 将上式代入式（2 55） ，并对等式两边进行体积分，积分体积为中心在原点，半径为 a的小球，再使0a，可得到)4/(11C。这样，可得到无界空间的标量格林函数无界空间的标量格林函数为 |( , )4|jkef r rr rrr （2 56） 无界空间的标量格林函数无界空间的标量格林函数 由以上标量格林函数可以计算无界空间的矢量磁位 A。矢量磁位 A 满足方程为 22k AAJ 在直角坐标系中，A 的的 3 个个直直角

42、角坐坐标标分分量量满满足足标标量量 Helmholtz 方方程程。如如：xA 满满足足： xxxJAkA22 同理，yA 和zA 有类似的结果。由 A 的 3 个直角坐标分量的结果可得到无界空间的矢量磁位 A 为 |( )( )4|jkVedVr rJ rA rrr （2 57） 利用对偶原理，可得到无界空间的矢量电位mA 为 |( )( )4|mjkmVedVr rJrArrr （2 58） 标量格林函数表示的矢量位标量格林函数表示的矢量位线极化平面波函数是另一很重要的基本函数。设平面波函数为 )(00),(zkykxkjrjkzyxeezyx （2 59） 式中2222kkkkzyx，即2

43、22yxzkkkk。在某一xy平面上，平面波函数可表示为 )()(0),(),(ykxkjkyxykxkjzjkyxyxzekkeeyx （2 60） 上式说明，任何平面波可以由任何平面波可以由 xy平面上的复振幅平面上的复振幅),(yxkk及及xk 和和yk 确定确定。 线极化平面波函数作为基本函数线极化平面波函数作为基本函数 定义以下变换对 yxykxkjyxdkdkekkFyxfyx)(),(21),( (2 61a) dydxeyxfkkFykxkjyxyx)(),(21),( (2 - 61b ) 做变量代换yyxxkk,，以上变换对变为 yxyxjyxddefyxfyx)(),(2

44、1),( (2 - 62a) dxdyeyxffyxjyxyx)(),(21),( (2 - 62b ) 式中 ),(yxf=),(yxkkF (2 63) 式（2 62）就是二维傅立叶变换对二维傅立叶变换对，因此式（2 61）也可以看成是二维傅立叶变换对。 与式 （2 60） 比较， 积分式 （积分式 （2 - 61a） 的被积函数表示平面波） 的被积函数表示平面波， 因此式 （2 61a）表示某标量场在 xy平面上的分布函数可以用不同xk 和yk 的平面波展开，其复振幅由式（2 -61b）确定。 如果标量电磁场的源在某 xy平面上为) , (yxf，根据式（2 53） ，考虑到源分布在平面

45、上，则在另一 xy平面上的标量场),(yx为 dxdyyxyxgyxfyx) , ,() , (),( (2 64) 如果格林函数（脉冲响应函数）) , ,(yxyxg的形式为) , (yyxxg，上式变为 dxdyyyxxgyxfyx) , () , (),( (2 65) 则该线性系统为线线性性平平移移不不变变系系统统。 对于线线性性平平移移不不变变系系统统， 当源函数发生一个平移， 即) , (yxf变成),(00yyxxf时，响应函数也只是平移，亦即),(yx变成),(00yyxx。线性平移不变系统的线性平移不变性质很容易由上式通过变量代换得到证明。 线性平移不变系统线性平移不变系统

46、表示线性平移不变系统的上式积分是一个卷积，即 ),(),(),(yxgyxfyx (2 66) 对),(),(),(yxyxgyxf按式（2 61）做二维傅立叶变换，求出其相应的频谱函数),(),(),(yxyxyxkkkkGkkF。利用傅立叶变换的卷积定理，根据上式得 ),(),(),(yxyxyxkkFkkGkk (2 67) 上式与式（2 65）一样，描写了系统对源函数的变换作用，一个在谱域谱域，一个在空空域域。当然空域中的这种描述只有对线性平移不变系统才能成立。 由此可见，对线性平移不变系统可采用两种方法研究两种方法研究。一是先求出空域的格林函数，然后在空域空域通过源函数与格林函数的积

47、分求得标量场;二是先求出源函数和格林函数的谱函数，即将源函数和格林函数在谱域谱域展开,再对其对应谱函数的乘积取逆傅立叶变换求得标量场. 空域空域vs谱域谱域由式(2 67)得 ),(),(),(),(yxyxyxyxkkFkkkkGkkH (2 68) 上式为当线性平移不变系统以平面波作为激励时,响应谱函数与激励谱函数之比,称为线性平移不变系统的传递函数,表示线性平移不变系统对平面波的传递能力。由上式可以看出，如果能找到一个激励源,其谱函数为均匀谱,其系统的响应谱函数就能反应系统的传递能力。函数就是这样的函数。也也就就是是说说，系系统统对对函函数数的的响响应应谱谱就就能能反反映映线线性性平平移

48、移不不变变系系统统对对平平面面波波的的传传递递能能力力. . 本征函数的概念与应用本征函数的概念与应用如果函数)(r满足条件 L （2-74） 式中为一复常数,则称)(r为算子 L 所表征的系统的本征函数，为系统的本征值.算子的本征值也称为算子的谱.当算子的本征值为一系列离散的值时称为离散谱,当算子的本征值为一些连续的值时称为连续谱. 在电磁场问题中，对于闭域的情况，如波导、谐振腔,齐次场方程的本征值是一系列离散值离散值,对应不同模式的波导截止频率和谐振腔谐振频率,而本征函数对应正规模式的场分布； 对于开域情况，如辐射、散射,本征值为连续谱;对于介质波导问题，本征值既有离散谱也有连续谱, 离散

49、谱对应的本征函数为波导模,而连续谱对应的本征函数为辐射模. 如果算子 L 算子的逆算子1L 存在，由式（2-74）得 11L 由此可见，算子 L 的本征函数也是其逆算子1L 的本征函数，其本征值互为倒数。 本征函数本征函数 系统的本本征征函函数数是一个特定的函数， 相相应应的的响响应应函函数数与与激激励励函函数数之之比比是是一一个个复复常常数数。例：后一章将证明平面波函数)(zkykxkjzyxe是无界空间中标量亥姆霍兹方程对应算子在直角坐标系的本征函数。 将本征函数在激励源平面的单位复振幅值代入（2-64）得 ) , (),() (dydxyyxxgeyxykxkjyx 令,yyxx，上式可

50、写为 ddegeyxyxyxkkjykxkj)()(),(),( 上式积分是二维傅立叶逆变换，因此有 ),(),()(yxykxkjkkGeyxyx （2 - 75） 对于给定的xk 和),(,yxykkGk为复常数。 由此，对对于于线线性性平平移移不不变变系系统统，激激励励函函数数取取本本征征函函数数作作为为基基本本函函数数是是非非常常方方便便的的。对对于于自自伴伴算算子子，不不同同本本征征值值的的本本征征函函数数是是正正交交的的。对于非平移不变的线性系统，虽然系统的响应函数与激励函数没有式（2-66）和式（2-68）这样简单的关系，但用自伴算子所有本征值对应本征函数系的线性组合作为激励函数

51、和系统的响应函数计算系统响应函数的常用的方法，也是一种简单的方法。 本征函数的意义本征函数的意义设自伴算子 L 的本征值为,21，对应的本征函数为,21xx，以其本征函数作为正交基，任一函数x可以写成 2211xxx （2 - 76） 因此 222111xxxL （2 77） 由于本征函数是正交的，所以有 xxii, （2 78） 式（2-76）和式（2-77）的本征函数展开式称为算子 L 的谱表示式。对于算子方程 fxL （2 79） 两边用本征函数展开，展开为 iiixf （2 80） fxii, （2 81） 将式（2-77）和式（2-80）代入式（2-79）得 iiiiiiixx 由于

52、本征函数构成函数空间的基函数，故 iii/ （2 82） 从而算子方程的解可用本征函数展开表示为 iiiixx （2 83） 上式中由（2-81）式确定，为 L 的本征值。当本征值为连续谱时，上式中的求和应改为积分。在波导问题中，模模式式展展开开法法就是将待求场用对应齐次亥姆霍兹方程的本征函数展开。 本征函数作为基本函数本征函数作为基本函数 电磁边值问题中电磁边值问题中逆算子存在的条件逆算子存在的条件电磁场问题中标量亥姆霍兹方程在几种常用坐标系可分离为几个二二阶阶线线性性微微分分方方程程。二阶线性微分运算可表示为算子 22102 ( )( )d fdfL fpxppx fdxdx (2 - 69) 式中函数)(),(),(012xpxpxp是给定域,ba内的连续函数，)(xf在给定域内二阶导数连续。边值问题的边界条件有 3 类,即: 第一类边界条件给定边界上的函数值)(af(或)(bf),也可称为 Dirichlet 边界条件; 第二类边界条件给定边界上的函数的导数值)( af(或)( bf),也称为 Neumann 边界