第一章 傅里叶分析

1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材傅里叶光学主讲教师：刘 毅 太原理工大学物理与光电工程学院第一章第一章 傅里叶分析傅里叶分析本章主要内容常用函数函数卷积相关傅里叶级数傅里叶变换本章教学目标1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方法2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常用函数的傅里叶变换傅里叶变换；3、理解常见光学运算，特别是卷积卷积和相关运算相关运算的基本概念，并将两者与傅里叶变换联系起来。复习 常用函数的变型xf(x)xf(x- x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移平移(原点移至原点移至x0)

2、折叠折叠与与f(x)关于关于y轴轴镜像对称镜像对称取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称倍乘倍乘y方向幅度变方向幅度变化化比例缩放比例缩放a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍复习 常用函数的变型xf(x)01x, 0 x10 其它例: f(x)=求 f(-2x+4)解： f(-2x+4) 包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f(-2x+4)3/2最后平移第一节 一些常用函数1）阶跃函数 (Step function)定义 1010200 xstep xxx应用如同一个“开关”，可在某点“开启”或“关闭”另

3、一个函数，常用来表示直边（或刀口）的透过率。第一节 一些常用函数2）符号函数 (Sign function)定义应用Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符号函数，当它与某函数相乘，可使函数x1; g(x) = 0-1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1- x卷积通常具有展宽展宽的作用rect()1 -1/20 1/2rect()1 -1/20 1/2 x-1/2 x x+1/2rect()1 -1/20 1/2 tri xrect xrect x1xxxtrirectrectaaaa第三节 卷积卷积运算的两个

4、效应（1）展宽（2）平滑化平滑化第三节 卷积例题1.8 用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2f0 x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。0( )( )* ( )2cos 2xg xf xh xf xrecta ( )xh xrecta 令狭缝后用光电探测器记录的光强分布为 g x h x设狭缝的透过率函数为第三节 卷积二、卷积的性质( , )* ( , )( , )* ( , )f x yh x yh x yf x y交换律交换律( , )( , )* ( , ) ( , )* ( , ) ( , )* ( , )af x ybg x yh x ya

5、f x yh x yb g x yh x y分配律分配律结合律结合律 ( , )* ( , )* ( , )( , )* ( , )* ( , )f x yg x yh x yf x yg x yh x y平移不变性平移不变性00( )* ()()* ( )f xh xxf xxh x第三节 卷积定标性质定标性质若 )()(*)(xgxhxf)()(*)(bxgbbxhbxf则注意：)()(*)(bxgbxhbxfxxxrectrectatriaaa三、包含三、包含 函数的卷积函数的卷积( , )* ( , )( , )f x yx yf x y0000( , )* (,)(,)f x yxx

6、yyf xxyy （1）任意函数与函数的卷积是其本身 （2）任意函数与发生某一平移的函数的卷积，则是该函数平移到脉冲函数平移到的空间位置。第三节 卷积f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.(双缝、多缝、光栅的透过率)=*bbaaa复制复制第三节 卷积例题1.10 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅光栅的透过率。假定 缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。d1( )xxxt xrectcombrectaddNd第三节 卷积(光学意义)设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用

7、卷积运算来描述f()成像x 0 1f( 1)h(x- 1)2f( 2)h(x- 2)f(0)h(x)物面分布物面分布成像系统成像系统像平面分布像平面分布第四节 相关相关运算包括互相关互相关和自相关自相关运算两种一、互相关1.互相关的定义,fgrx yf x yg x yfgxy d d 互相关与卷积的关系互相关与卷积的关系与卷积运算比较差别在于：相关运算函数g取复共轭，但不需要折叠，而位移、相乘和积分三个步骤是同样的。互相关运算不满足交换律互相关运算不满足交换律,f x yg x yf x ygxy当且仅当为实偶函数时，两者相等,fggfrx yrx y,fggfrx yrxy第四节 相关互相

8、关运算的含义互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度，两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。假如两个信号因为某种物理上的联系在一些部位存在相似性，在相应位置上就存在非零的互相关值。第四节 相关,ffrx yfx yfx yffxy d d ,ffffrx yrxy二、自相关自相关的性质：（1）自相关函数是厄米的，即（2）自相关函数在原点的模最大（用施瓦兹不等式关系），即,0,0ffffrx yr1、自相关的定义第四节 相关 自相关运算的含义自相关函数是自变量相差某一大小时，函数值间相关的量度；当函数相对本身有平移时，就改变了位

9、移为零时具有的逐点相似性，自相关的模越小。但是只要信号本身在不同部位存在相似性，相应部位还会产生不为零的自相关值。第五节 傅里叶级数1）19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交的关于热传导的著名论文中首次提出了傅里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方法已经被广泛应用于物理及工程学科的各个领域。一、三角傅里叶级数一、三角傅里叶级数 0001cos 2sin 22nnnag xanf xbnf x其中， 002ag x dx 002cos 2nag xnf x dx 002sin 2nbg xnf x dx1,2,n 2 2）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某）

10、傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。一函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。 条件 周期函数（周期为 ） 狄里赫利狄里赫利条件：在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。第五节 傅里叶级数二、指数傅里叶级数二、指数傅里叶级数 0exp2nng xcjnf x 001exp20, 1, 2,ncg xjnf x dxn L其中，两种表达形式之间的联系两种表达形式之间的联系002ac 12nnncajb12nnncajb1,2,3,n ncnfnc0, 2 , 3 ,fff傅里叶系数是频率的函数，称为频

11、谱函数频谱函数。一般是复函数，等频率分量，频率取值是离散的，所以只有离散谱离散谱。 它包括振幅频谱和相位频谱。由于周期性函数只包含* * 空间域的函数可以看作是不同频率的复指数分量的线性组合。空间域的函数可以看作是不同频率的复指数分量的线性组合。如果njnncA e其中，An称为振幅频谱， n称为相位频谱。第五节 傅里叶级数 ,40,42Axg xx举例：下图所示的周期为举例：下图所示的周期为 =1/f=1/f0 0的矩形波函数，在一个周期内，函数解析式为的矩形波函数，在一个周期内，函数解析式为（1）展开为三角傅里叶级数形式为 00002111cos2cos23cos25cos272357AA

12、g xf xfxfxfx矩形波的傅里叶综合矩形波的傅里叶综合第五节 傅里叶级数（2）展开为指数傅里叶级数形式 0000002323252522235jfxjfxjfxjfxjf xjf xAAAAg xeeeeee对应的频谱为卷积定义第二节课复习 函数的卷积性质相关定义 ( , )( , )* ( , ),g x yf x yh x yfh xyd d ,fgrx yf x yg x yfgxy d d 0000( , )(,)(,)( , )( , )( , )f x yxxyyf xxyyf x yx yf x y卷积满足交换律( , )* ( , )( , )* ( , )f x yh

13、x yh x yf x y互相关不满足交换律,fggfrx yrx y,fggfrx yrxy傅里叶级数 第二节课复习 三角三角 周期函数可以表示为无穷多不同频率的余弦波分量余弦波分量的线性组合指数指数 周期函数可以表示为无穷多不同频率的复指数函数复指数函数的线性组合满足狄里赫利条件的周期函数周期函数 0exp2nng xcjnf x频谱频谱 频率的分布曲线频率的分布曲线 频率谱密度频率谱密度 001exp20, 1, 2,ncg xjnf x dxn L第六节 傅里叶变换 思想：思想：将非周期函数看作是周期无限大的周期函数。将非周期函数看作是周期无限大的周期函数。0111( )lim( )e

14、xp(2 )exp( 2 )ng xg xjnx dxjnx( )( )exp(2 )exp( 2 )g xdfg xjfx dxjfx展开系数展开系数,或频率或频率f分量的权重分量的权重, G(f), 相当于分立情形的相当于分立情形的Cn0111( )( )exp(2 )exp( 2 )ng xg xjnx dxjnx展开系数Cn频率为n/的分量第六节 傅里叶变换 一、傅里叶变换定义及存在条件一、傅里叶变换定义及存在条件空间域频率域这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换( )( )exp(2 )( )( )exp( 2 )G fg xjfx dxg xG fjfx df第六节 傅里叶变换,exp2F

15、,xyxyxyxyg x yG ffjf xf ydf dfG ff -1将该定义推广到二维形式，有,exp2F,xyxyG ffg x yjf xf ydxdyg x y 思考题：在什么情况下傅里叶积分才有意义？思考题：在什么情况下傅里叶积分才有意义？（1）g在整个积分区域内绝对可积；（2）在任一区域内，g必须只有有限个间断点和有限个极大和极小值；（3）g必须没有无穷大间断点,g x y dxdy第六节 傅里叶变换,limxyg x yrectrect2Fsinsinxyxyrectrectcfcf二、广义傅里叶变换二、广义傅里叶变换 某些函数并不满足傅里叶积分的条件，若希望用傅里叶分析讨论

16、它们，必须将傅里叶变换定义进行推广，即进行广义傅里叶变换。 所谓的广义傅里叶变换就是将函数看作某个可变换函数所组成的序列序列的极限的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。举例：举例：求函数求函数g(x,y)=1的傅里叶变换的傅里叶变换不难求出该矩形函数的傅里叶变换为显然该函数不满足傅里叶变换的条件，但它可以定义为矩形函数序列的极限，即第六节 傅里叶变换2sinsinxyxyrectrectcfcfF2,limsinsin,xyxyg x ycfcfffF根据广义傅里叶变换的定义根据广义傅里叶变换的定义 1,xyffF/2/2/2/

17、2F rectrectexp2 exp21 exp221 2sin xxxxxxxjfjfxxjf x dxjf x dxjf xjfeejfffsinxcf重要结论：重要结论： Fsinxrect xc f第六节 傅里叶变换三、三、 虚、实、奇、偶傅里叶变换的性质虚、实、奇、偶傅里叶变换的性质 ( )exp(2 )G fg xjfx dx( )cos(2 )( )sin(2 )g xfx dxjg xfx dx rig xgxjgx ( )cos(2 )( )sin(2 ) ( )cos(2 )( )sin(2 ) riirG fgxfx dxg xfx dxjg xfx dxgxfx dx

18、R fjIf第六节 傅里叶变换三、三、 虚、实、奇、偶傅里叶变换的性质虚、实、奇、偶傅里叶变换的性质1 1）g(x)g(x)是实函数是实函数 ( )cos(2 )( )sin(2 )G fg xfx dxjg xfx dx *G fGf厄米型函数厄米型函数2 2）g(x)g(x)是实值偶函数是实值偶函数 02( )cos(2 )G fg xfx dx G fGfG(f)G(f)也是实值偶函数也是实值偶函数3 3）g(x)g(x)是实值奇函数是实值奇函数 02( )sin(2 )G fjg xfx dx GfG f G(f)G(f)也是实值奇函数也是实值奇函数傅里叶变换不改变函数的奇偶性，称为傅

19、里叶变换的对称性傅里叶变换不改变函数的奇偶性，称为傅里叶变换的对称性第六节 傅里叶变换四、四、 傅里叶变换定理或基本性质傅里叶变换定理或基本性质若假设：若假设：,xyxyg x yG ffh x yHffFF1 1）线性定理）线性定理,xyxyag x ybh x yaG ffbHffF2 2）相似性定理）相似性定理1,yxffg ax byGababF3 3）平移定理）平移定理,exp2xyxyg xa ybG ffjf af bF均匀性均匀性 叠加性叠加性空域的扩展空域的扩展频域的压缩频域的压缩空域平移频域相移空域相移频域位移,exp2,abxaybg x yjf xf yG ffffFe

20、xp2,abxaybjf xf yffffF第六节 傅里叶变换4 4）ParsevalParseval定理定理22|( , )|(,)|xyxyg x ydxdyG ffdf df 空频域变换空频域变换 能量守恒能量守恒功率谱功率谱2( )( ) *( )( )exp( 2)*()exp(2 )g xdxg x gx dxG fjfx dfGfjf x dfdx交换积分顺序交换积分顺序,先对先对x求积分求积分:( )*()exp( 2)exp(2 )G f Gfdfdfjfxjf x dx 利用复指函数的利用复指函数的F.T. ) () (*)(dfdffffGfG利用利用 函数的筛选性质函数

21、的筛选性质dffGfG)(*)(证明：22sin ( )Parseval:( )xdxx思考：利用定理求积分第六节 傅里叶变换5) 5) 卷积定理卷积定理 F,F,xyxyxyxyg x yh x yG ffHffg x y h x yG ffHff空域的卷积/乘积频域的乘积/卷积( ) ()exp(2)gh xdjfx dx左交换积分顺序:ddxfxjxhg)2exp()()(应用位移定理dfjfHg)2exp()()(dfjgfH)2exp()()(应用F.T.定义右第六节 傅里叶变换6) 6) 自相关定理自相关定理22F,F,xyxyxyg x yg x yG ffg x yG ffG

22、ff7) 7) 互相关定理互相关定理( , )( , ),xyxyF g x yh x yGffH ff第六节 傅里叶变换yxgFffGyx,)(,( , ),F F g x ygxyyxffgyxGF,),(8 8）傅里叶积分定理）傅里叶积分定理,g x yg x yg x y-1-1FFF F9 9）迭次傅里叶变换）迭次傅里叶变换1010）对称性）对称性设则有1111）体积对应关系）体积对应关系)(,yxffGyxgF设则有yxyxgGdd),(0 , 0yxyxffffGgdd),(0 , 0例 1.19（1）第六节 傅里叶变换1212）复共轭函数的傅里叶变换）复共轭函数的傅里叶变换yx

23、g,)(,yxffGyxgF设)(,yxffGyxgF)(,yxffGyxgF则有若为实数)()(,yxyxffGffG)(,yxffG此时具有厄米对称性第六节 傅里叶变换 ,xyg x ygxgy1313）可分离变量函数的变换）可分离变量函数的变换在某个坐标系中，若某个二维函数可表示为两个一维函数的乘积，则称此函数在该坐标系中是可分离的，即其对应的傅里叶变换为 ,xyg x ygxgyxyFFF即是两一维函数傅里叶变换式的乘积。第六节 傅里叶变换四、傅里叶四、傅里叶- -贝塞尔变换贝塞尔变换 极坐标极坐标下的二维傅里叶变换依F.T.定义: (,)( , )exp2 ()xyxyG ffg x

24、 yjf xf y dxdy极坐标变换sincos )(tan122yxxyyxffffff频域sincos )(tan122ryrxxyyxr空域第六节 傅里叶变换四、傅里叶四、傅里叶- -贝塞尔变换贝塞尔变换令:( , )( cos , sin )( , )( cos , sin )GGg rg rr 在极坐标中:200( cos ,sin ) ( cos , sin )exp2cos()Gdg rrjrrdr 则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG第六节 傅里叶变换四、傅里叶四、傅里叶-

25、 -贝塞尔变换贝塞尔变换0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圆对称函数的F.T.仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变换,记为drdrjrrgG020)cos(2exp)( ),( 当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数: g(r,) = g (r). 利用贝塞尔函数关系利用贝塞尔函数关系)(2)cos(exp020aJdja第六节 傅里叶变换四、傅里叶四、傅里叶- -贝塞尔变换贝塞尔变换G(r) = Bg(r), g(r) = B-1G(r)F.T.的性质完全适用于F-B变换相似性定理：21B()() g arGaa傅里叶积分定理：1BB( )( )BB

26、( )g rg rg r第六节 傅里叶变换例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.定义: 是圆对称函数作变量替换, 令r =2r, 并利用:xxxJdJ010)()( 221, 1circ( ) 0, rrrxy其它100Bcirc( )2(2)rrJrdr 21020(2)1Bcirc( )( )2Jrr Jr dr第六节 傅里叶变换五、一些常用函数的傅里叶变换式（三角函数）五、一些常用函数的傅里叶变换式（三角函数）2.Ftri(x)= F rect(x)*rect(x)= F rect(x) F rect(x) = sinc(f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x)x01

27、/21/21rect(x)x01/21/21*tri(x)x0111fsinc(f)01-11fsinc(f)01-11 xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T.F tri(x) = sinc2(f )第六节 傅里叶变换五、一些常用函数的傅里叶变换式（五、一些常用函数的傅里叶变换式（sincsinc函数）函数） FF rectF sincrectrectxfxx Frect( )sincxfFFg( )xgx rectrectxx F sincrectxfrect函数和sinc函数互为傅里叶变换第六节 傅里叶变换五、一些常用函数的傅里叶变换式（余弦函数）五、一些常用函数的傅里叶变换

28、式（余弦函数）2Fcos2cos2 jfxaaf xf xedx指数函数的F.T.1Fsin22aaaf xffffj22222121 FF21 2aaaajf xjf xjfxjf xjf xaaeeedxeeffff第六节 傅里叶变换五、一些常用函数的傅里叶变换式（梳状函数）五、一些常用函数的傅里叶变换式（梳状函数） 0/220/201comb111 11combnjnf xnnnxg xxncx edxenF g xfnfff周期函数的变换 02jnf xnng xc e 0nnG fcfnf combcombFxf第六节 傅里叶变换五、一些常用函数的傅里叶变换式五、一些常用函数的傅里叶

29、变换式 1. 1 与与 函数互为函数互为F.T. 4. 高斯函数的高斯函数的F.T.仍为高斯函数仍为高斯函数 3. rect与与sinc 函数互为函数互为F.T. 2.梳状函数的梳状函数的F.T.仍为梳状函数仍为梳状函数F comb( )comb( )1Fcomb( )comb()xfxf2. F 1,xyffF,1x y Frect( )sincxf F sincrectxf FGaus( )Gausxf常用的傅里叶变换对常用的傅里叶变换对 6.第六节 傅里叶变换五、一些常用函数的傅里叶变换式五、一些常用函数的傅里叶变换式 5. 8. 7. 2Fxjf axae2Fajf xxaeff 2F

30、tri( )sincxf常用的傅里叶变换对常用的傅里叶变换对1Bcirc( )(2) /rJ1Fcos221Fsin22aaaaaaf xfffff xffffj第七节 空间频率及空间频谱 傅里叶分析的方法在“信号与处理”、“通信系统”等课程中都有涉及，只是在通信理论中处理的是一维时间变化电信号，而在傅里叶光学中要处理的是二维空间变化图二维空间变化图像信息像信息。即在傅里叶光学中，我们研究的是随空间位置变化的图像信息，对应的频率则称为“空间频率”，对应的频谱则称为“空间频谱”。在傅里叶光学中把图像看作是由缓慢变化的背景、粗的轮廓等比较低的“空间频率”成分和急剧变化的细节等比较高的“空间频率”成分构成的，用频率的分布和变化频率的分布和变化来描述光学图像。本节介绍介绍一下空间频率和空间频谱的基本概念。第七节 空间频率及空间频谱1.一幅图像必然是各处明暗色彩不同，这是一种光的强度和颜色按空间的分布。这种空间分布的特征可以用空间频率来表明。2.用用傅立叶分析傅立叶分析的方法求出一幅图象的明暗所组成的各个空间频率及的方法求出一幅图象的明暗所组成的各个空间频率及相应的相应的“振幅振幅”，也就是“空间频谱”。 明暗具有空间周期性的图象的频谱中各空间频率（包括 fx 和 fy）具有分立的值，而非周期性图象的频谱中的频率值是连续的。 频谱中