第8章 轴向拉压杆的强度计算

1、 本章讲述轴向拉压杆的强度计算。 基本内容为：应力、应变的基本概念，轴向拉压杆横截面和斜截面上的应力计算，轴向拉压杆的变形计算，许用应力法（安全系数法）强度计算准则、轴向拉压杆的强度计算，低碳钢和铸铁等材料在拉伸和压缩时的力学性能等。 内力是由内力是由“外力外力”引起的，仅表示某截面上分布内力向引起的，仅表示某截面上分布内力向截面形心简化的结果。截面形心简化的结果。 构件的变形和强度不仅取决于内力，还取决于构件截构件的变形和强度不仅取决于内力，还取决于构件截面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况。面的形状和大小以及内力在截面上的分布情况。 为此，需引入为此，需引入。 MFAmm(a) 图（图

2、（a）所示某构件的）所示某构件的m-m截面上，围绕截面上，围绕M点取微小面积点取微小面积A，设，设A上分布内力的合力为上分布内力的合力为F。 于是，于是， A上内力的平均集度为上内力的平均集度为 mFpA 随随M点位置及点位置及A的大小的大小改变而改变。改变而改变。 0limAFpA 一点的总应力一点的总应力p是矢量，其方向是当是矢量，其方向是当A0时，内力时，内力F的的。 一般，应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它一般，应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，与截面垂直的分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量，与截面垂直的应力分量称为应力分量称

3、为正应力正应力（或（或），用），用表示；与截面相表示；与截面相切的应力分量称为切的应力分量称为（或（或），用），用表示。表示。(b)(a)MAmmFMp 正应力以拉应力为正，压应力为负；正应力以拉应力为正，压应力为负； 切应力以使所作用的微段有顺时针方向转动趋势者为正，切应力以使所作用的微段有顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。反之为负。 Pa， kPa （千帕）（千帕） ，MPa（兆帕）（兆帕） ， GPa（吉帕）（吉帕） 369GPa =10 MPa10 kPa10 Pa1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm2 当力作用的构件上时，将引起构件的形状和尺寸发当力作用的构

4、件上时，将引起构件的形状和尺寸发生生改变，这种变化定义为变形。改变，这种变化定义为变形。 构件的形状和大小总可以用其各部分的长度和角度构件的形状和大小总可以用其各部分的长度和角度来来表示，所以构件的变形归结为长度的改变即表示，所以构件的变形归结为长度的改变即，以，以及及角度的改变即角度的改变即两种形式。两种形式。 一般而言，不同形状的构件在不同的内力作用下其一般而言，不同形状的构件在不同的内力作用下其内内部各点处的变形是不均匀的。为了研究构件的变形以及部各点处的变形是不均匀的。为了研究构件的变形以及截截面上的应力，就必须确定构件内部各点的变形。面上的应力，就必须确定构件内部各点的变形。围绕构件

5、中某点围绕构件中某点A截取一个微小的正六面体（单元体），如图截取一个微小的正六面体（单元体），如图（a）所示，其变形有下列两类：）所示，其变形有下列两类：CDBDCBAyxuABx(b)(c)x(a)DCBzAxy代表代表A点沿点沿x方向单位长度线段的伸长或缩短，称为方向单位长度线段的伸长或缩短，称为A点沿点沿x方方向的向的 x(a)DCBzAxy(b)xBAu（1）沿棱边方向的长度改变。设）沿棱边方向的长度改变。设x方向的棱边方向的棱边AB长度为长度为x，变形后为变形后为x+ u， u为为x方向的线变形，如图（方向的线变形，如图（b）所示。）所示。定义极限：定义极限： 0limxxux x(

6、a)DCBzAxy(b)xBAu0limxxux 线应变度量了微段线应变度量了微段AB的变形程度，的变形程度，x为正时，微段为正时，微段AB伸长；反之，微段伸长；反之，微段AB缩短。缩短。 同样，可定义同样，可定义A点处沿点处沿y、z方向的线应变方向的线应变y、z。0.001m/m0.1%-61 m =10 m6100 100.01%100，常用百分数来表示，如，常用百分数来表示，如在实际工程中，应变在实际工程中，应变的的。工程中的工程中的100m，即，即1m长线段的伸缩量为长线段的伸缩量为100m，即：，即：xDCBzAxyxyABCDBDC(c)(a)（2）棱边之间所夹直角的改变。）棱边之

7、间所夹直角的改变。 直角的改变量为直角的改变量为，以，以表示。以图（表示。以图（c）所示微段所示微段AB、AD所成直角所成直角DAB为例，该直角改变了为例，该直角改变了+ ，则则切应变无量纲，单位为弧度（切应变无量纲，单位为弧度（rad），其正、负号规定为：），其正、负号规定为：直角变小时，直角变小时， 取正；直角变大时，取正；直角变大时， 取负。取负。 轴向拉压杆的强度并不能完全由轴力决定，还与杆轴向拉压杆的强度并不能完全由轴力决定，还与杆的截面面积以及轴力在截面上的分布情况有关，所以必的截面面积以及轴力在截面上的分布情况有关，所以必须研究截面上的应力。须研究截面上的应力。试验现象试验现象（

8、矩形截面试件）：（矩形截面试件）：周线：平移，形状不变，保持平行；周线：平移，形状不变，保持平行；纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。 拉（压）杆横截面上的内力是轴力，其方向垂直于拉（压）杆横截面上的内力是轴力，其方向垂直于横截面，因此，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正横截面，因此，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力，即应力，即。Fbbd da accFN FF 应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是看不到的。看不到的。 应力与变形有关，应力与变形有关，所以研究应力还得从所以研究应力还得从观察变

9、形出发。观察变形出发。 假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个假想杆件是由若干与轴线平行的纵向纤维组成的，任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀横截面之间所有纵向纤维的伸长均相同；又因为材料是均匀的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截的，各纤维的性质相同，因此其受力也一样，即轴力在横截面上是均匀分布的。面上是均匀分布的。 Fbbd da accFN FF受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两平面相对位移了一段距离。两平面相对位移了一段距离。 轴向拉压等截面直杆，轴向拉压等截面直杆，横截面上正应

10、力横截面上正应力AFN AFN式中式中FN为轴力，为轴力，A为横截面的面积。为横截面的面积。的正负符号约定与轴力的正负符号约定相同，即的正负符号约定与轴力的正负符号约定相同，即。-轴向拉（压）杆件横截面上轴向拉（压）杆件横截面上 各点正应力各点正应力的计算公式。的计算公式。 应当指出，杆端集中力作用点附近区域内的应力分布应当指出，杆端集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，并非均匀分布，比较复杂，并非均匀分布，= FN/A只能计算该区域内横截只能计算该区域内横截面上的平均应力，而不是应力的真实情况。面上的平均应力，而不是应力的真实情况。 实际上，外荷载作用方式有各种可能，引起的变形规实际上，

11、外荷载作用方式有各种可能，引起的变形规律比较复杂，从而应力分布规律及其计算公式亦较复杂，律比较复杂，从而应力分布规律及其计算公式亦较复杂，其研究已经超出材料力学范围。其研究已经超出材料力学范围。 研究表明，弹性杆件横截面上的应力分布规律在距外研究表明，弹性杆件横截面上的应力分布规律在距外荷载作用区域一定距离后，不因外荷载作用方式而改变。荷载作用区域一定距离后，不因外荷载作用方式而改变。这一结论称为这一结论称为圣维南原理圣维南原理。 今后假定，在未要求精确计算杆上外力作用点附近截今后假定，在未要求精确计算杆上外力作用点附近截面内的应力时，轴向拉（压）杆在全长范围内，面内的应力时，轴向拉（压）杆在

12、全长范围内， = FN/A均均适用。适用。100kN100kN150kN150kN100kN+-150kN图示阶梯杆，第图示阶梯杆，第、段为铜质的，横截面积段为铜质的，横截面积A1=20cm2，第第段为钢质的，横截面积段为钢质的，横截面积A2=10cm2，试求杆中的最大正应力。，试求杆中的最大正应力。作出轴力图如图作出轴力图如图压应力压应力拉应力拉应力FBCA(a)30N2100kNABFFN386.6kNBCFF 3NAB222100 10 N141.5MPa130 mm44ABFd3N22286.6 10 N8.66MPa100 mmBCBCFa 图示三角托架中，图示三角托架中，AB杆为圆

13、截面钢杆，直径杆为圆截面钢杆，直径d =30mm；BC杆为正方形截面木杆，截面边长杆为正方形截面木杆，截面边长a100mm。已知。已知F 50kN，试，试求各杆的应力。求各杆的应力。 取结点取结点B为分离体，其受力为分离体，其受力如图所示，由平衡条件可得如图所示，由平衡条件可得可得可得(b)30NABFNBCFF 一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 ,40021mmA 2322200,300mmAmmA试求各横截面上的应力。试求各横截面上的应力。计算轴力画轴力图计算轴力画轴力图利用截面法可求得阶梯杆利用截面法可求得阶梯杆各段的轴力为：各段的轴力

14、为：F1=50kN，F2=-30kN，F3=10kN，F4=-20kN。轴力图。轴力图。F（2）、计算各段的正应力）、计算各段的正应力ABAB段：段： MPaMPaAFAB1254001050311BCBC段：段： MPaMPaAFBC1003001030322CDCD段：段： MPaMPaAFCD3 .333001010323DEDE段：段： MPaMPaAFDE1002001020334F,40021mmA 2322200,300mmAmmAq=gAlFN (b)gAx(x)xxBA(a)N( )FxgAxx NNFFx 称为称为。该轴力方程表明。该轴力方程表明FN是关于截面位置是关于截面

15、位置x的的一次函数，轴力图如图所示。一次函数，轴力图如图所示。图示杆图示杆AB，上端固定、下端自由，长为，上端固定、下端自由，长为l，横截面面积为，横截面面积为A，材料密度为，材料密度为，试分析该杆由自重引起的轴力及横截面上，试分析该杆由自重引起的轴力及横截面上的应力沿杆长的分布规律。的应力沿杆长的分布规律。由截面法，在距下端为由截面法，在距下端为 x截面上的轴力为截面上的轴力为表明该杆的轴力表明该杆的轴力是截面位置是截面位置x的连续函数，的连续函数，0 x (0)0AFFNNxlmax( )BF lFFgAlNNNN( )( )FxxgxA(0)0Amax( )BlglOFN (x)xgAl

16、Oglx(c)(d)时，时，时，时， NNFFx沿杆长的分布规律如图（沿杆长的分布规律如图（c c）所）所示；并可得示；并可得横截面上的正应力沿杆长横截面上的正应力沿杆长呈线性分布。呈线性分布。0 x xl时，时，时，时，FFmFNFpp(a)(b)(c) 在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。究斜截面

17、上的应力。NFF 图示一等直杆，其横截面面积为图示一等直杆，其横截面面积为A，下面研究与横截面成，下面研究与横截面成角角的斜截面的斜截面 m-m 上的应力。此处上的应力。此处角以从横截面外法线到斜角以从横截面外法线到斜截面外法线逆时针向转动为正。沿截面外法线逆时针向转动为正。沿 m-m 截面处假想地将杆截截面处假想地将杆截成两段，研究左边部分，如图（成两段，研究左边部分，如图（b）所示，可得）所示，可得m-m截面上的截面上的内力为：内力为：FFmFNFpp(a)(b)(c)NFpA和横截面上正应力分布和横截面上正应力分布规律的研究方法相似，规律的研究方法相似，同样可以得出同样可以得出的，故的，

18、故coscosFpA/FA为杆件横截面上的为杆件横截面上的。FFmFNFpp(a)(b)(c)A/cosAA式中式中NFpA为斜截面为斜截面m-m的面积。因为的面积。因为所以所以将总应力将总应力p分解为两个分量：分解为两个分量：m-m截面法线方向的正应力截面法线方向的正应力和切线方向的切应力和切线方向的切应力2coscos(1 cos2 )2sinsincossin22pp(1 cos2 )2sin22和和都是都是角的函数，角的函数，随随变化而变化，其极值及变化而变化，其极值及其所在截面的方位为：其所在截面的方位为：max4524521. 当当=0 时，即横截面上，时，即横截面上， 达到极值达

19、到极值； 当当=90时，即纵截面上，时，即纵截面上， 达到极值达到极值0， 在正应力的极值面上切应力为零。在正应力的极值面上切应力为零。45 2. 绝对值最大的切应力发生在绝对值最大的切应力发生在的斜截面上，的斜截面上，45且且斜截面上的正应力斜截面上的正应力 对于等截面直杆在轴向拉伸或者压缩时，除两端受力的对于等截面直杆在轴向拉伸或者压缩时，除两端受力的局部区域外，截面上的应力是均匀分布的。但在实际工程中，局部区域外，截面上的应力是均匀分布的。但在实际工程中，由于构造上的要求，有些构件需要开孔或挖槽（如油孔、沟由于构造上的要求，有些构件需要开孔或挖槽（如油孔、沟槽、轴肩或螺纹的部位），其横截

20、面上的正应力不再是均匀槽、轴肩或螺纹的部位），其横截面上的正应力不再是均匀分布的。分布的。 Fmax(a)(b)板条受拉时，圆孔直径板条受拉时，圆孔直径所在横截面上的应力分所在横截面上的应力分布由试验或弹性力学结布由试验或弹性力学结果可绘出，如图（果可绘出，如图（b b）所示，其特点是：所示，其特点是：在小孔附近的局部区在小孔附近的局部区域内，应力急剧增大，域内，应力急剧增大，但在稍远处，应力迅速但在稍远处，应力迅速降低而趋于均匀。降低而趋于均匀。 Fmax(a)(b)这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区域的这种由于杆件形状或截面尺寸突然改变而引起局部区域的应力急剧增大的现象称为应力

21、急剧增大的现象称为 0N0/FAmaxt0K称为称为应力集中因数应力集中因数它反映了应力集中的程度，是一个大于它反映了应力集中的程度，是一个大于1 1的因数。的因数。设产生应力集中现象的截面上最大应力为设产生应力集中现象的截面上最大应力为max，同一截面，同一截面视作均匀分布按净面积视作均匀分布按净面积A0计算的名义应力为计算的名义应力为0，即，即则比值则比值 应力集中并不是由于洞口直径所在的横截面削弱使得应力集中并不是由于洞口直径所在的横截面削弱使得该面上的应力有所增加而引起的，杆件外形的骤然变化，该面上的应力有所增加而引起的，杆件外形的骤然变化，是造成应力集中的主要原因。是造成应力集中的主

22、要原因。 试验结果表明，截面尺寸改变得越急剧、角越尖，应试验结果表明，截面尺寸改变得越急剧、角越尖，应力集中的程度就越严重。因此，零件上应尽可能地避免带力集中的程度就越严重。因此，零件上应尽可能地避免带尖角的孔和槽，在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡，而且应尖角的孔和槽，在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡，而且应尽量使圆弧半径大一些尽量使圆弧半径大一些塑性材料一般存在屈服阶段，当局部的最大应力达到材料的塑性材料一般存在屈服阶段，当局部的最大应力达到材料的屈服极限时，该处材料的变形可以继续增长，而应力却不再屈服极限时，该处材料的变形可以继续增长，而应力却不再加大。当外力继续增加，增加的力就由截面上尚未屈服的

23、材加大。当外力继续增加，增加的力就由截面上尚未屈服的材料来承担，使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限，直料来承担，使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限，直至整个截面上各点处的应力都趋于屈服极限时，杆件才因屈至整个截面上各点处的应力都趋于屈服极限时，杆件才因屈服而丧失正常的工作能力。因此，服而丧失正常的工作能力。因此， 脆性材料没有屈服阶段，当荷载增加时，应力集中处的脆性材料没有屈服阶段，当荷载增加时，应力集中处的最大应力首先达到强度极限，该处将首先产生裂纹。所以与最大应力首先达到强度极限，该处将首先产生裂纹。所以与塑性材料制成的杆件相比，塑性材料制成的杆件相比，不过脆性材料中的铸铁，由于其

24、内不过脆性材料中的铸铁，由于其内部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而杆部的不均匀性和缺陷往往是产生应力集中的主要因素，而杆件外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素，所以可件外形改变所引起的应力集中就可能成为次要因素，所以可不考虑应力集中的影响。不考虑应力集中的影响。1.在设计在设计构件时，应考虑应力集中的影响。构件时，应考虑应力集中的影响。2.在设计在设计的静强度问题时，通常可以不考虑应力的静强度问题时，通常可以不考虑应力集中的影响。集中的影响。3.设计在设计在作用下的构件时，制造构件的材料无论作用下的构件时，制造构件的材料无论是塑性材料或脆性材料，都必须考虑应力集中的影响。

25、是塑性材料或脆性材料，都必须考虑应力集中的影响。 工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要发生改变，工程构件受力后，其几何形状和几何尺寸都要发生改变，这种改变称为这种改变称为。当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去。当荷载不超过一定的范围时，构件在卸去荷载后可以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只能荷载后可以恢复原状。但当荷载过大时，则在荷载卸去后只能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。在卸去荷载后能部分地复原，而残留一部分不能消失的变形。在卸去荷载后能完全消失的那一部分变形称为完全消失的那一部分变形称为，不能消失而残留下来，不能消失而残留下来的那一部分变形称为的那一部分变形称为lll

26、 ddd 以图示等截面杆为例来研究轴向拉（压）杆的变形。以图示等截面杆为例来研究轴向拉（压）杆的变形。在轴向外力在轴向外力F的作用下，杆件的轴向、横向的尺寸均会发生的作用下，杆件的轴向、横向的尺寸均会发生改变。设杆件变形前原长为改变。设杆件变形前原长为l，横向尺寸为，横向尺寸为d，变形后长度为，变形后长度为l，横向尺寸为横向尺寸为d，ddFlFlllFFddl、d表示杆件轴向、横向的表示杆件轴向、横向的，量纲均为，量纲均为 长度长度 。llddd绝对变形量不能全面反映杆件的变形程度，引入绝对变形量不能全面反映杆件的变形程度，引入线应变线应变的概念。的概念。-，简称。-拉伸时，拉伸时，l0，d0

27、，0；压缩时，压缩时， l0， 0；，ddFlFlllFFdd与与是反号的。是反号的。 试验表明：当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，试验表明：当拉（压）杆内的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与轴向线应变的比值为一常数，即横向线应变与轴向线应变的比值为一常数，即称为称为，量纲为一，其值随材料而异，可通过试验测定。，量纲为一，其值随材料而异，可通过试验测定。-计算出的是轴向纤维在全长计算出的是轴向纤维在全长l内的内的，当沿杆，当沿杆长度均匀变形（所有截面的正应力都相等）时，它也代表长度均匀变形（所有截面的正应力都相等）时，它也代表l长度范围内任一点处轴向方向的线应变。当沿杆长度非均

28、长度范围内任一点处轴向方向的线应变。当沿杆长度非均匀变形时（如一等直杆在自重作用下的变形）并不反映沿匀变形时（如一等直杆在自重作用下的变形）并不反映沿长度各点处的轴向线应变。长度各点处的轴向线应变。llNF llA NF llEA 拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通过试验来获得。拉（压）杆的变形与材料的性能有关，只能通过试验来获得。试验表明，在弹性变形范围内，杆件的变形试验表明，在弹性变形范围内，杆件的变形l与轴力与轴力FN及杆长及杆长l成正比，与横截面面积成正比，与横截面面积A成反比，即成反比，即引入比例系数引入比例系数E，把上式写成，把上式写成式中式中E为为表示材料抵抗弹性变形的能力

29、，是一个只表示材料抵抗弹性变形的能力，是一个只与材料有关的物理量，其值可以通过试验测得，量纲与应力量与材料有关的物理量，其值可以通过试验测得，量纲与应力量纲相同。纲相同。 EA称为轴向拉（压）杆的称为轴向拉（压）杆的表示杆件抵抗表示杆件抵抗拉伸（压缩）的能力。拉伸（压缩）的能力。 对于长度相等且受力相同的杆件，其抗拉（压）刚度越大对于长度相等且受力相同的杆件，其抗拉（压）刚度越大则杆件的变形越小。则杆件的变形越小。 NF llEA -轴向拉（压）杆件的变形与轴向拉（压）杆件的变形与EA成反比。成反比。NF llEA N1 FllE AEE或或称为称为表明，表明，几种常用材料的几种常用材料的E和

30、和的约值的约值材料名称材料名称E/（GPa） 低碳钢低碳钢1962160.240.28合金钢合金钢1862060.250.30灰铸铁灰铸铁78.51570.230.27铜及其合金铜及其合金72.61280.310.42铝合金铝合金700.33 EEAlFlN只适用于在杆长为只适用于在杆长为l长度内长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下，均为常值的情况下，即在杆为即在杆为l长度内变形是均匀的情况。长度内变形是均匀的情况。N()i iiiF llEA N( )d( )lFxlxEA x 若杆件的轴力若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则沿杆长分段为常数，则式中式

31、中FNi、(EA) i和和li为杆件第为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度。段的轴力、抗拉（压）刚度和长度。若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则N120kNFN25kNF 图示一等直钢杆，横截面为图示一等直钢杆，横截面为bh=1020mm2的矩形，材的矩形，材料的弹性模量料的弹性模量E=200GPa。试计算：（。试计算：（1）每段的轴向线变形；）每段的轴向线变形；（2）每段的线应变；（）每段的线应变；（3）全杆的总伸长。）全杆的总伸长。 （1）设左、右两段分别为）设左、右两段分别为、段，段，由轴力图：由轴力图：2m1m20kN

32、5kN25kN5kN20kNFN图1110.5mm0.05%1000mmll2220.25mm0.0125%2 000mmll 120.25mmlll 全杆的总伸长全杆的总伸长3N1 113220 10 N 1000mm0.5mm200 10 MPa (10 20)mmF llEA3N2 22325 10 N 2 000mm0.25mm200 10 MPa (10 20)mmF llEA N120kNFN25kNF bh=1020mm2E=200GPa400mm250mm20kN20kN100mm 图示阶梯杆，第图示阶梯杆，第段横截面为直径段横截面为直径20mm的圆形，第的圆形，第段段横截面为

33、边长横截面为边长30mm的正方形，第的正方形，第段横截面为直径段横截面为直径15mm的的圆形，圆形， 两端的轴向拉力两端的轴向拉力F=20kN，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=210GPa。求杆中的最大正应力和杆的总伸长。求杆中的最大正应力和杆的总伸长。N1N2N320kNFFFFN1N2N320kNFFFF第第段直径段直径20mm第第段边长段边长30mm，第，第段直径段直径15mm各段伸长量各段伸长量总伸长量总伸长量2mxAB1.5m1m21 图示横梁图示横梁AB由两根拉杆悬吊起来，杆由两根拉杆悬吊起来，杆钢质，直径钢质，直径d1=20mm，弹性模量，弹性模量E1=200GPa；杆为铜质，

34、直径杆为铜质，直径d2=25mm，弹性模量，弹性模量E2=100GPa；忽略横梁的自重和变形，；忽略横梁的自重和变形，试求荷载试求荷载F作用在何处方能使横梁保持平衡。作用在何处方能使横梁保持平衡。2mxAB1.5m1m21BN1AN20:2(2)00:20=-+-=-=mFFxmFFxN1N2(10.5 )0.5=-=Fx FFxFN1 1111111N1 1221122(10.5 )0.5-D=D=F lx Fll =E AE AF lxFllE AE A12121122(10.5 )0.5,1.08m-DD=x FlxFll =lE AE AxN1N2(10.5 )0.5=-=Fx FFx

35、F 等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了处在空间位置的改变，即产生了。 ，如前面提到的弹性常数，如前面提到的弹性常数 E 和和，以及胡克，以及胡克定律本身等都是材料所固有的力学性质。定律本身等都是材料所固有的力学性质。 材料的力学性质是对构件进行强度、刚度和稳定性计算的材料的力学性质是对构件进行强度、刚度和稳定性计算的基础，一般由试验来测定。基础，一般由试验来测定。 材料的力学性质除取决于材料本身的成分和组织结构外，材料的力学性质除取决于材料本身的成分和组织结构外，还与荷载作用状态、温度和加载方式等因素有关

36、。还与荷载作用状态、温度和加载方式等因素有关。 重点重点 为使不同材料的试验结果能进行对比，对于钢、铁和有色为使不同材料的试验结果能进行对比，对于钢、铁和有色金属材料，需将试验材料按金属材料，需将试验材料按金属拉伸试验试样金属拉伸试验试样的规定加工的规定加工成成分为圆截面试件和矩形截面试件。分为圆截面试件和矩形截面试件。h0d0(b)(a)3.2l00.8l0b0005ld0010ld， 金属材料的压缩试验，金属材料的压缩试验，试件一般制成短圆柱体。试件一般制成短圆柱体。为了保证试验过程中试件不为了保证试验过程中试件不发生失稳，圆柱的高度取为直径的发生失稳，圆柱的高度取为直径的13倍。倍。 试

37、验段试验段l0称为称为。试件的尺寸统一的规定：试件的尺寸统一的规定：对于对于，记中部原始横截面面积为，记中部原始横截面面积为A0，0l0A0l0A对于对于，设中部直径为，设中部直径为d0，则，则工程上常用的材料品种很多，工程上常用的材料品种很多，以以和和为主要代表，介绍材料的力学性质。为主要代表，介绍材料的力学性质。实验设备：一类称为万能试验机；实验设备：一类称为万能试验机； 另一类设备是用来测试变形的变形仪。另一类设备是用来测试变形的变形仪。 低碳钢是指含碳量在低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。这类钢材在工程以下的碳素钢。这类钢材在工程中使用较广，其力学性质具有代表性。中使用较广，其力

38、学性质具有代表性。变形仪变形仪万能试验机万能试验机 将试件装入材料试验机的夹头中，启动试验机开始缓慢将试件装入材料试验机的夹头中，启动试验机开始缓慢匀速加载，直至试件最后被拉断或压坏。匀速加载，直至试件最后被拉断或压坏。 加载过程中，试件所受的轴向力加载过程中，试件所受的轴向力F可由试验机直接读出，可由试验机直接读出，而试件标距部分的变形量而试件标距部分的变形量l可由变形仪读出。根据试验过程可由变形仪读出。根据试验过程中测得的一系列数据，可以绘出中测得的一系列数据，可以绘出F与与l之间的关系曲线，称之间的关系曲线，称为为。0=/F A0=/ l l荷载位移曲线与试件的几何尺寸有关，不能准确反映

39、材料的荷载位移曲线与试件的几何尺寸有关，不能准确反映材料的力学性能，为了消除影响，用试件横截面上的正应力，即力学性能，为了消除影响，用试件横截面上的正应力，即作为纵坐标；用试件轴向线应变作为纵坐标；用试件轴向线应变作为横坐标。这样所得的拉伸试验曲线称为作为横坐标。这样所得的拉伸试验曲线称为 应力应力 - 应变曲线全面描述了材料从开始受力到最后破坏应变曲线全面描述了材料从开始受力到最后破坏全过程中的力学性态，从而可以确定不同材料发生失效时的全过程中的力学性态，从而可以确定不同材料发生失效时的应力值，也称为应力值，也称为强度指标强度指标，以及，以及低碳钢拉伸时的荷载位移曲线（也称为拉伸图）和低碳钢

40、拉伸时的荷载位移曲线（也称为拉伸图）和-曲线如图。曲线如图。Fl(a)O(b)GGDABCSpebO低碳钢为典型的低碳钢为典型的。在在中呈现如下四个阶段：中呈现如下四个阶段：bepBASCDGGO曲线的初始阶段（曲线的初始阶段（OB段），试件的变形是段），试件的变形是弹性变形。弹性变形。当应力超过当应力超过B点所对应的点所对应的应力后，试件将产生塑性应力后，试件将产生塑性变形。变形。将将OB段最高点所对应的应力段最高点所对应的应力即只产生弹性变形的最大应即只产生弹性变形的最大应力称为力称为，用，用e表示。表示。bepBASCDGGOpE在弹性阶段的直线（在弹性阶段的直线（OA）段，）段，与与成

41、正比，胡克定律就是由成正比，胡克定律就是由此而来。称直线此而来。称直线OA段的最高点段的最高点A点处的应力为点处的应力为，用，用p表示。表示。只有当时，材料才服从胡克定律，时，材料才服从胡克定律，即即与与成正比，这时，称成正比，这时，称材料是材料是的。的。根据胡克定律根据胡克定律直线直线OA段的斜率即为弹性模量段的斜率即为弹性模量E的值，由试验测得低碳钢的的值，由试验测得低碳钢的弹性模量为弹性模量为200GPa左右。左右。弹性极限弹性极限和比例极限的意义虽然不同，但他们的数值和比例极限的意义虽然不同，但他们的数值非常接近，因此在工程应用中对二者不作严格区分。非常接近，因此在工程应用中对二者不作

42、严格区分。对于低碳钢，取对于低碳钢，取ep200MPabepBASCDGGOs240MPa。应力超过弹性极限后，试件将同时产生弹性变形。应力超过弹性极限后，试件将同时产生弹性变形和塑性变形，且应力在较小的范围内上下波动，而应变急剧增和塑性变形，且应力在较小的范围内上下波动，而应变急剧增加，曲线呈大体水平但微有起落的锯齿状。如图中的加，曲线呈大体水平但微有起落的锯齿状。如图中的BC段。段。 这种应力基本保持不这种应力基本保持不变，而应变却持续增长的变，而应变却持续增长的现象称为现象称为。 屈服阶段最低点所对屈服阶段最低点所对应的应力称为应的应力称为，用用S表示，是判别材料表示，是判别材料是否进入

43、塑性状态的重要是否进入塑性状态的重要参数。低碳钢参数。低碳钢s 表面经抛光的试件在屈服阶段，其表面会出现与轴线表面经抛光的试件在屈服阶段，其表面会出现与轴线大致成大致成45的倾斜条纹，称为的倾斜条纹，称为。这是由于拉伸时，。这是由于拉伸时，与轴线成与轴线成45截面上有最大切应力作用，使内部晶粒间相截面上有最大切应力作用，使内部晶粒间相互滑移所留下的痕迹。互滑移所留下的痕迹。 材料进入屈服阶段后将产生显著的塑性变形，这在工材料进入屈服阶段后将产生显著的塑性变形，这在工程构件中一般是不允许的，所以程构件中一般是不允许的，所以tb。 试件经过屈服后，材料内部结构重新进行了调整，具有了试件经过屈服后，

44、材料内部结构重新进行了调整，具有了抵抗新变形的能力，抵抗新变形的能力，-曲线表现为一段上升的曲线（曲线表现为一段上升的曲线（CD段）。段）。这种现象称为这种现象称为，CD段即为强化阶段。段即为强化阶段。 强化阶段最高点强化阶段最高点 D点所点所对应的应力，称为对应的应力，称为，用用b表示，其中，抗拉强度表示，其中，抗拉强度极限记为极限记为bepBASCDGGOcb抗压强度极限记为抗压强度极限记为tcbb400MPa对于低碳钢，对于低碳钢， 强化阶段试件的变形主要是强化阶段试件的变形主要是，其变形量远大于，其变形量远大于弹性阶段。在此阶段可以较明显地观察到整个试件横向尺寸弹性阶段。在此阶段可以较

45、明显地观察到整个试件横向尺寸的缩小。的缩小。 在在-曲线中，曲线中，D点之前，试件沿长度方向其变形基本上是点之前，试件沿长度方向其变形基本上是均匀的，但当超过均匀的，但当超过D点之后，试件的某一局部范围内变形急剧点之后，试件的某一局部范围内变形急剧增加，横截面面积显著减小，形成图示的增加，横截面面积显著减小，形成图示的“颈颈”，该现象称为，该现象称为。 由于颈部横截面面积由于颈部横截面面积急剧减小，使试件变形增急剧减小，使试件变形增加所需的拉力在下降，所加所需的拉力在下降，所以以也随之下降，如图也随之下降，如图中中DG段，直到段，直到G点试件断点试件断裂。裂。bepBASCDGGO其实，此阶段

46、的真实应力（即颈部横截面上的应力）随变形其实，此阶段的真实应力（即颈部横截面上的应力）随变形增加仍是增大的，如图中的虚线增加仍是增大的，如图中的虚线DG 所示。所示。bepBASCDGGO（2）两个塑性指标）两个塑性指标 试件断裂后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下试件断裂后，弹性变形全部消失，而塑性变形保留下来，工程中常用以下两个量作为衡量材料塑性变形程度的来，工程中常用以下两个量作为衡量材料塑性变形程度的指标，即指标，即设试件断裂后标距长度为设试件断裂后标距长度为l1 ，原始长度为，原始长度为l0 ，则延伸率，则延伸率定义为定义为100100%lll010100%AAA5%5% 设试件标

47、距范围内的横截面面积为设试件标距范围内的横截面面积为A0，断裂后颈部的最，断裂后颈部的最小横截面面积为小横截面面积为A1，则断面收缩率定义为，则断面收缩率定义为和和越大，说明材料的塑性变形能力越强。越大，说明材料的塑性变形能力越强。工程中将十倍试件的延伸率工程中将十倍试件的延伸率低碳钢的延伸率约为低碳钢的延伸率约为20%30%，是一种典型的塑性材料。，是一种典型的塑性材料。EOn kmmDDGGpe称为称为 外力全部卸去后，图中外力全部卸去后，图中on段段表示表示m点时试件中的塑性应变，点时试件中的塑性应变，而而nk段表示消失的弹性应变。段表示消失的弹性应变。On kmmDDGGpe： 若加载

48、到强化阶段某点若加载到强化阶段某点m，卸载后立即再次加载，卸载后立即再次加载，-曲线将沿直线曲线将沿直线nm发展，到发展，到m点后大致沿曲线点后大致沿曲线mDG变化，直到变化，直到试件破坏。试件破坏。 因为因为nm段的段的、都是线性关系，所以第都是线性关系，所以第二次加载时，材料的比二次加载时，材料的比例极限提高到例极限提高到m点对应点对应的应力，但塑性变形和的应力，但塑性变形和延伸率有所降低，这种延伸率有所降低，这种现象称为现象称为。 若第一次卸载到若第一次卸载到n点后，让试件点后，让试件“休息休息”一段时间后再加载，一段时间后再加载，重新加载时重新加载时-曲线将沿曲线将沿nmmDG发展，材

49、料会获得更高的发展，材料会获得更高的比例极限和强度极限，但是塑性能力进一步降低，这种现象称比例极限和强度极限，但是塑性能力进一步降低，这种现象称为为。 钢筋经过冷拉处理，钢筋经过冷拉处理，可提高其抗拉强度，但是可提高其抗拉强度，但是冷拉降低了塑性性能且不冷拉降低了塑性性能且不能提高抗压强度。能提高抗压强度。On kmmDDGGpeF压缩拉伸O 低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的-曲线如图实线所示。曲线如图实线所示。试验表明：其弹性模量试验表明：其弹性模量E、屈服极限、屈服极限S与拉伸时基本相同，与拉伸时基本相同，但流幅较短。屈服结束以后，但流幅较短。屈服结束以后，试件抗压力不断提高，既没有试件抗压力

50、不断提高，既没有颈缩现象，也测不到抗压强度颈缩现象，也测不到抗压强度极限，最后被压成腰鼓形甚至极限，最后被压成腰鼓形甚至饼状。饼状。 O压FF拉bctbFF 铸铁试件外形与低碳钢试件相同，其铸铁试件外形与低碳钢试件相同，其-曲线如图所示。曲线如图所示。铸铁拉伸时的铸铁拉伸时的-曲线没有明显的直线部分，也没有明显的屈曲线没有明显的直线部分，也没有明显的屈服和颈缩现象。服和颈缩现象。 工程中认为整个拉伸阶段工程中认为整个拉伸阶段都近似服从胡克定律，约定取都近似服从胡克定律，约定取其弹性模量其弹性模量E为为150180GPa。试件的破坏形式是沿横截面拉试件的破坏形式是沿横截面拉断，是内部分子间的内聚

51、力抗断，是内部分子间的内聚力抗抵不住拉应力所致。抵不住拉应力所致。试件直至拉断时变形试件直至拉断时变形量很小，量很小，0.4%0.5%tbO压FF拉bctbFF铸铁压缩破坏时，其断面铸铁压缩破坏时，其断面法线与轴线大致成法线与轴线大致成4555，是斜截面上的切应力所致。，是斜截面上的切应力所致。是典型的脆性材料。是典型的脆性材料。抗拉强度极限抗拉强度极限 等于等于150MPa左右。左右。铸铁抗压强度极限等于铸铁抗压强度极限等于800MPa左右左右，说明其抗压能力远远，说明其抗压能力远远大于抗拉能力。大于抗拉能力。 铸铁压缩破坏属于剪切破坏。铸铁压缩破坏属于剪切破坏。 低碳钢是典型的塑性材料，铸

52、铁是典型的脆性材料，低碳钢是典型的塑性材料，铸铁是典型的脆性材料，塑性材料的延性较好，对于冷压冷弯之类的冷加工性能比塑性材料的延性较好，对于冷压冷弯之类的冷加工性能比脆性材料好，同时由塑性材料制成的构件在破坏前常有显脆性材料好，同时由塑性材料制成的构件在破坏前常有显著的塑性变形，所以承受动荷载能力较强。著的塑性变形，所以承受动荷载能力较强。 脆性材料如铸铁、混凝土、砖、石等延性较差，但其脆性材料如铸铁、混凝土、砖、石等延性较差，但其抗压能力较强，且价格低廉，易于就地取材，所以常用于抗压能力较强，且价格低廉，易于就地取材，所以常用于基础及机器设备的底座。基础及机器设备的底座。 值得注意的是，材料

53、是塑性的还是脆性的，是随材料值得注意的是，材料是塑性的还是脆性的，是随材料所处的温度、应变速率和应力状态等条件的变化而不同的。所处的温度、应变速率和应力状态等条件的变化而不同的。混凝土，压缩时的应力混凝土，压缩时的应力应变图如图示应变图如图示混凝土的抗压强度要比抗拉强度大混凝土的抗压强度要比抗拉强度大1010倍左右。倍左右。 材料发生断裂或出现明显的塑性变形而丧失正常工作材料发生断裂或出现明显的塑性变形而丧失正常工作能力时的状态称为能力时的状态称为，此时的应力称为，此时的应力称为极限应力极限应力，用用0表示。表示。 制成的拉（压）杆，当其达到屈服而发生显制成的拉（压）杆，当其达到屈服而发生显著

54、的塑性变形时，即丧失了正常的工作能力，所以通常著的塑性变形时，即丧失了正常的工作能力，所以通常 无明显屈服阶段的塑性材料，则用名义屈服极限无明显屈服阶段的塑性材料，则用名义屈服极限0.2作为极限应力。作为极限应力。 ，由于在破坏前不会产生明显的塑性变形，由于在破坏前不会产生明显的塑性变形，只有在断裂时才丧失正常工作能力，所以只有在断裂时才丧失正常工作能力，所以0 n把极限应力除以一个大于把极限应力除以一个大于1的因数，得到的应力值的因数，得到的应力值 称为称为材料的材料的。 极限应力极限应力0由试验测定，而构件工作状态、环境及复杂由试验测定，而构件工作状态、环境及复杂情况与试验有很大不同，为确

55、保构件不致因强度不足而破坏，情况与试验有很大不同，为确保构件不致因强度不足而破坏，必须考虑一定的安全储备。因此，须将极限应力必须考虑一定的安全储备。因此，须将极限应力0除以大于除以大于1的安全因数的安全因数n，即，即有以下几个：有以下几个：（1）强度条件中，有些量的本身就存在着主观认识与客观）强度条件中，有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异。实际间的差异。 例如对荷载的估算、材料的均匀程度、计算理论及其公例如对荷载的估算、材料的均匀程度、计算理论及其公式的精确程度等，实际工作时与理论设计计算时所处的条件式的精确程度等，实际工作时与理论设计计算时所处的条件往往不完全一致，而是偏于不安全

56、的一面。往往不完全一致，而是偏于不安全的一面。（2）考虑到构件的重要性以及当构件破坏时后果的严重性等，）考虑到构件的重要性以及当构件破坏时后果的严重性等，需要以安全因数的形式给构件必要的强度储备。需要以安全因数的形式给构件必要的强度储备。 ssn bbnbsnn（3）以不同的强度指标作为极限应力，所用的安全系数）以不同的强度指标作为极限应力，所用的安全系数n也就也就不同：不同：由于脆性材料的破坏以断裂为标志，发生破坏的后果更严重，由于脆性材料的破坏以断裂为标志，发生破坏的后果更严重，且脆性材料的均匀性较差，因此对脆性材料要多给一些强度储且脆性材料的均匀性较差，因此对脆性材料要多给一些强度储备，

57、所以一般备，所以一般工程中安全因数工程中安全因数n的取值范围，由国家标准规定，一般不能的取值范围，由国家标准规定，一般不能任意改变。任意改变。 NmaxmaxFA 轴向拉（压）杆工作时，正应力绝对值最大的横截面轴向拉（压）杆工作时，正应力绝对值最大的横截面称为称为。-轴向拉（压）杆的轴向拉（压）杆的。N FA根据强度条件，可以解决以下三种强度计算问题：根据强度条件，可以解决以下三种强度计算问题： 已知杆件几何尺寸、荷载以及材料的许用应力已知杆件几何尺寸、荷载以及材料的许用应力判断其判断其强度是否满足要求。一般若强度是否满足要求。一般若max超过超过在在5%的范围内，工的范围内，工程中仍认为满足

58、强度要求。程中仍认为满足强度要求。已知杆件材料的许用应力已知杆件材料的许用应力及荷载，按强度条件选择杆件的及荷载，按强度条件选择杆件的横截面面积或尺寸。横截面面积或尺寸。 已知杆件材料的许用应力已知杆件材料的许用应力及杆件的尺寸，可先求得杆及杆件的尺寸，可先求得杆件所能承受的最大轴力（或称许用轴力），即件所能承受的最大轴力（或称许用轴力），即N FA再利用平衡条件，确定杆件所能承受的最大荷载（或称许用再利用平衡条件，确定杆件所能承受的最大荷载（或称许用荷载）。荷载）。ACB30o(a)30oFN1FN2FF(b)例例 图（图（a）所示三角托架的结点）所示三角托架的结点B悬挂一重为悬挂一重为F的重物，杆的重物，杆为钢杆，横截面面积为钢杆，横截面面积A1=600mm2，许用应力，许用应力1=160MPa；杆；杆为木杆，横截面面积为木杆，横截面面积A2