第5章测量误差的基本知识

1、1本本 章章 摘摘 要要 通过前几章的学习，我们掌握了角度、距通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识。关测量误差的基本知识。第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识2 5 51 1 测量误差概述测量误差概述 5 52 2 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律 5 53 3 衡量观测值精度的指标衡量观测值精度的指标5 54 4 误差传播定律误差传播定律 5 55 5 等精度观测值的最或然值和精度评定等精度观测值

2、的最或然值和精度评定 5 56 6非非等精度观测值的最或然值和精度评定等精度观测值的最或然值和精度评定为重点。为重点。本章目录本章目录3一、一、 测量误差测量误差 测量工作的实践表明：当对某量测量工作的实践表明：当对某量进行多次观测时，无论使用的测量仪进行多次观测时，无论使用的测量仪器多精密、观测进行的多么仔细，测器多精密、观测进行的多么仔细，测量结果总是存在误差，如：往返测量量结果总是存在误差，如：往返测量、对一个量进行多次观测等等。、对一个量进行多次观测等等。5-1 测量误差概述测量误差概述4 大量实例说明测量误差是不可避免的。为此大量实例说明测量误差是不可避免的。为此，人们需对测量误差进

3、行研究。，人们需对测量误差进行研究。测量误差定义：测量误差定义：真误差真误差=观测值观测值-真值真值XLii即：即： 5二、二、 测量误差的来源测量误差的来源 由于任何测量观测值都是由人在外界条由于任何测量观测值都是由人在外界条件下用仪器观测而得到的，因此，尽管产生测件下用仪器观测而得到的，因此，尽管产生测量误差的原因很多，但其来源概括起来有以下量误差的原因很多，但其来源概括起来有以下三个方面：三个方面：1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。的精密度受到限制

4、。62、观测者：观测者：由于观测者的视觉、观测者：观测者：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一定的局限，所听觉等感官的鉴别能力有一定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。整平误差、照准误差、读数误差等。 3、外界条件：测量工作都是在一定的外界、外界条件：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。果带来误差。

5、7观测条件：将上述三个方面的因素统称为观测条件：将上述三个方面的因素统称为观测条件。观测条件。观测条件的好坏与观测精度有密切关系。观测条件的好坏与观测精度有密切关系。观测条件相同的各次观测，称为等精度观观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，而观测条件不同的各次观测，称为不测，而观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。等精度观测。8三、测量误差的分类三、测量误差的分类 测量误差按其对观测结果影响性质的测量误差按其对观测结果影响性质的不同，可分为系统误差和偶然误差两类。不同，可分为系统误差和偶然误差两类。 1 1、系统误差、系统误差定义：在相同的观测条件下，对某量进行的定义：在相同的观测条件下

6、，对某量进行的一系列的观测，若误差在符号、大小上表现一系列的观测，若误差在符号、大小上表现出系统性，即观测过程中按一定规律变化或出系统性，即观测过程中按一定规律变化或保持为常数，这种误差称为系统误差。保持为常数，这种误差称为系统误差。9系统误差具有累积性，对观测结果的系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。除或减弱其影响。通常可采用以下方法：通常可采用以下方法：1 1）测定系统误差的大小，对观测值加以）测定系统误差的大小，对观测值加以改

7、正改正2 2）采用对称观测的方法）采用对称观测的方法10定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系定义：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差在符号和大小上表现出偶然性，列观测，若误差在符号和大小上表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。的统计规律，这种误差称为偶然误差。2 2、偶然误差、偶然误差偶然误差具有低偿性对测量成果的影响较小偶然误差具有低偿性对测量成果的影响较小，但由于没有规律性（从单个误差看），所，但由于没有

8、规律性（从单个误差看），所以不能消除其影响。以不能消除其影响。11 前已述及，在测量工作中，错误是不允许存前已述及，在测量工作中，错误是不允许存在的，系统误差是可以消除或减弱其影响的，在的，系统误差是可以消除或减弱其影响的，因此，观测结果即为一系列偶然误差占主导地因此，观测结果即为一系列偶然误差占主导地位的观测值。为了对这样的观测值进行数据处位的观测值。为了对这样的观测值进行数据处理，就必须进一步研究偶然误差的统计规律性理，就必须进一步研究偶然误差的统计规律性。由于从单个偶然误差来看，其出现的符号和。由于从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，只有对大量的偶然误大小没有一定的规

9、律性，只有对大量的偶然误差进行统计分析，才能发现其规律性，而且偶差进行统计分析，才能发现其规律性，而且偶然误差的个数越多，其规律性越明显。然误差的个数越多，其规律性越明显。5-2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性1213由上表可以看出，偶然误差的特性：由上表可以看出，偶然误差的特性： 1 1） 在一定的观测条件下，偶然误差的在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；差是有界的；2 2） 绝对值小的误差比绝对值大的误差绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；出现的机会大；3 3） 绝对值相等的正、负误差出现的机会相绝

10、对值相等的正、负误差出现的机会相等；等；144） 在相同的条件下，对同一量进行重复观在相同的条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即的无限增加而趋于零，即0limlim21 nnnnn式中式中 表示求和表示求和1516一、精度的含义一、精度的含义精度：指在同一观测条件下，用同一观测方精度：指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，其误差分布的密集法对某量多次观测时，其误差分布的密集或离散程度。或离散程度。二、几种常用的精度指标二、几种常用的精度指标5-3 衡量观测值的精度指标衡量观测值的精度指标171 1

11、、 中误差中误差定义：定义：中误差的几何意义：中误差的几何意义：偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。nm 182 2、相对误差、相对误差对于衡量精度来说，有时单靠中误差还对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离，一段长例如，测得某两段距离，一段长100m100m，另一段，另一段长长400m400m，观测值的中误差均为，观测值的中误差均为0.02m0.02m 。从。从 ，即相对误差。即相对误差。19定义：相对误差定义：相对误差K是中误差是中误差m的绝对值与相应的绝对值与相应观测值观测值D的比值，

12、即用的比值，即用 K=的形式来表示。的形式来表示。相对误差相对误差K是个无量纲的量，在测量上通常将是个无量纲的量，在测量上通常将其分子化为其分子化为1。M120如：上例中前者的相对中误差为：如：上例中前者的相对中误差为：0.02/100=1/5000，后者为，后者为0.02/400=1/20000。显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。结果的精度愈高，反之愈低。213 3、极限误差与容许误差、极限误差与容许误差 由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一

13、定的限测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是极限误差。值。这个限值就是极限误差。mmmmmdemdfmmP683. 021)(222mmmmmdemdfmmP22222954. 021)(2222mmmmmdemdfmmP33332997. 021)(3322由概率论的原理可知，由概率论的原理可知，偶然偶然误差出现在区间（误差出现在区间（-m-m，m m）、）、 （-2m，2m）及（）及（-3m，3m）内的概率值为：内的概率值为：22在实际测量工作中，以三倍中误差作为极限在实际测量工作中，以三倍中误差作为极限误差，即误差，即3 m极限在测量规范中，要求观测值不允许存在较大在

14、测量规范中，要求观测值不允许存在较大的误差，并以二倍或三倍中误差作为偶然误的误差，并以二倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值，称为差的容许值，称为容许容许误差，即误差，即2 m容3 m容或或23误差传播定律：表述观测值函数的中误差与观误差传播定律：表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。律。1、 倍数函数倍数函数倍数函数：倍数函数： Z=KXXZKmm 则：则：5-4 误差传播定律误差传播定律24例例1 1：在：在1 1：500500地形图上量得某两点间的距地形图上量得某两点间的距离离d=31.4mm,d=31.4mm,其中误差其

15、中误差m md d= =0.2mm0.2mm ，求该，求该两点的地面水平距离两点的地面水平距离D D的值及其中误差的值及其中误差m mD D。解：解：50050031.415700mm=15.7mDdmmmdD10. 00002. 0500500252 2、和差函数：、和差函数：和差函数和差函数 Z=XZ=X1 1+X+X2 2 或或 Z=X1-X2 ，且，且X X1 1、X X2 2独立独立12222ZXXmmm则：则：26例例2 2：用：用DJDJ6 6型光学经纬仪观测角度一测回的型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误差。测角中误差。解：解： 已知已知DJDJ6 6型光学经纬仪一个测回一个方

16、型光学经纬仪一个测回一个方向的中误差向的中误差m m= =66 由由12得：得：22222mmmm26 28.5mm273 3、线性函数、线性函数线性函数：线性函数： Z=KZ=K1 1X X1 1+K+K2 2X X2 2+ +.+K.+Kn nX Xn n+K+K0 022222221221XnnXXZmKmKmKm 例例3 3（P113P113例例6-46-4）：设对某一个三角形观测了其）：设对某一个三角形观测了其中中A A、B B两个角，测角中误差分别为两个角，测角中误差分别为m mA A= =22，m m B B = =33，试求试求 C角的中误差角的中误差mC 。解：解：2222(

17、2)(3)3.6CABmmm 284、一般函数、一般函数),(21nxxxfZ 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 295-5 等精度观测值的最或然值和精度评定等精度观测值的最或然值和精度评定一、等精度观测值的最或然值一、等精度观测值的最或然值设对某量进行了设对某量进行了n n次同精度观测，其真值次同精度观测，其真值为为X X，观测值为：，观测值为：n，21，相应的真误差为：，相应的真误差为：n ，21则有：则有：XX2211. . . . Xnn30等号两边求和：等号两边求和：nX等号两边同除以等号两边同除以n：XxXnn式中：式中： x为算术平均值，则有：为算术平

18、均值，则有：nnxn2131根据偶然误差第四个特征，根据偶然误差第四个特征，n0 xXn当当 时时， ，于于是是 即当观测次数即当观测次数n无限多时，算术平均值就无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当观测次数有限时，可趋向于未知量的真值。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，用最或是值作为未知量真值的估值最或然值，用最或是值作为未知量真值的估值。321 1、观测值中误差、观测值中误差由由6-2知：同精度观测值中误差为：知：同精度观测值中误差为：nm由于未知量的真值由于未知量的真值X X无法确知，真误差无法确知，真误差 也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正数实际工作中，多利用观测值的改正数 来计算来计算观测值的中误差。观测值的中误差。ivi331nvvm由改正数可以计算同精度观测值中误差：由改正数可以计算同精度观测值中误差：改正数：改正数：iixv342 2、最或然值的中误