第7章 测量误差的基本知识

1、第七章第七章 测量误差基本知识测量误差基本知识第一节第一节 测量误差概述测量误差概述第二节第二节 大量偶然误差的特性大量偶然误差的特性第三节第三节 无真值条件下的最或是值无真值条件下的最或是值第四节第四节 观测值精度评价指标观测值精度评价指标第五节第五节 误差传播定律及应用误差传播定律及应用【知识目标知识目标】了解：测量误差及其产生的原因、偶然误差的特性。了解：测量误差及其产生的原因、偶然误差的特性。理解：测量误差的分类与处理原则、观测值精度的评价理解：测量误差的分类与处理原则、观测值精度的评价指标。指标。掌握：误差传播定律。掌握：误差传播定律。【技能目标技能目标】能分析误差产生的原因及误差的

2、种类。能分析误差产生的原因及误差的种类。能对各种具体的误差进行分析、归类。能对各种具体的误差进行分析、归类。能计算相对误差。能计算相对误差。 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差误差，比如：，比如：1 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。、对同一量多次观测，其观测值不相同。2 2、观测值之和不等于理论值：、观测值之和不等于理论值：三角形三角形 +180+180 闭合水准测量闭合水准测量 h0h0第一节第一节 测量误差概述（理解）测量误差概述（理解）一、测量误差及其产生的原因一、测量误差及其产生的原因测量误差概念：测量误差概念：观测值：观测值

3、：对某一被观测量进行直接观测所获得的数值。对某一被观测量进行直接观测所获得的数值。真真 值：值：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。反映一个量真正大小的绝对准确的数值。误误 差：差：真值与观测值之差（真值与观测值之差（真误差真误差） = = L L真真 L L观观 X XL L观观 或或L L观观LL真真L L观观X X等精度观测：等精度观测：观测条件相同的各次观测。观测条件相同的各次观测。不等精度观测：不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。观测条件不相同的各次观测。（1） 测量仪器测量仪器 （2） 观测者观测者 （3）外界环境）外界环境观测条件观测条件二、二、 测量误差按其性质可分为测量误

4、差按其性质可分为系统误差系统误差、偶然误差偶然误差和和粗差粗差。（1）系统误差的特性：）系统误差的特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 1、系统误差、系统误差 在相同的观测条件下，对某一观测量进行一系列的在相同的观测条件下，对某一观测量进行一系列的观测，若误差的大小和符号相同，或按照一定的规律变观测，若误差的大小和符号相同，或按照一定的规律变化，则称之为系统误差。化，则称之

5、为系统误差。（2）系统误差的减弱方法：）系统误差的减弱方法： 检校仪器，把系统误差降低到最小程度；检校仪器，把系统误差降低到最小程度； 加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数；加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数； 采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。 在相同的观测条件下，对观测量进行一系列观测，在相同的观测条件下，对观测量进行一系列观测，误差出现的大小及符号在个体上没有任何规律，具误差出现的大小及符号在个体上没有任何规律，具有偶然性。但对大量的观测误差而言，它们遵循正有偶然性。但对大量的观测误差而言，它们遵循正态分布的统计规律，这

6、类误差称为态分布的统计规律，这类误差称为偶然误差偶然误差，或称，或称为随机误差。为随机误差。 偶然误差是不可避免的，是由于人力所不能控制偶然误差是不可避免的，是由于人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同引起的测量误差。的因素或无法估计的因素共同引起的测量误差。 人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、仪器的人力所不能控制的因素：人眼的分辨力、仪器的极限精度和气象因素等。极限精度和气象因素等。 2、偶然误差、偶然误差（1）偶然误差的示例：）偶然误差的示例： N No o9.4 9.7 9.5 9.6 9.3 9.2 9.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1 1 2 3 4

7、5 6 7 = L= L真真 L L观观 = X= XL L010D9.5cm=X（2）偶然误差的减弱方法：）偶然误差的减弱方法：提高仪器等级：可使观测值的精度得到有效的提高，提高仪器等级：可使观测值的精度得到有效的提高，从而限值偶然误差的大小。从而限值偶然误差的大小。降低外界影响：选择有利的观测环境，减小观测值的降低外界影响：选择有利的观测环境，减小观测值的波动。波动。进行多余观测：在测量工作中进行多余必要观测的观进行多余观测：在测量工作中进行多余必要观测的观测，称为多余观测。测，称为多余观测。3 3、粗差（错误）粗差（错误）由有关人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错称为粗由有关人员的粗心大

8、意或仪器故障所造成的差错称为粗差。差。（1）产生的原因：）产生的原因：较多较多 可能由于作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读可能由于作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等。错、读数被记录员记错、照错了目标等。 也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起。也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起。（2）粗差对观测成果的影响极大，）粗差对观测成果的影响极大，所以在测量成果所以在测量成果中绝对不允许有其存在。中绝对不允许有其存在。（3）发现粗差的方法：）发现粗差的方法：进行必要的重复观测，通过进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有多余观测

9、条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。关部门制定的各种测量规范进行作业等。 总结：总结：在测量工作中，一般需要进行多余观测，发在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除或重测。现粗差，将其剔除或重测。（1）有限性：）有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；一定的限值；（2）集中性：）集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；率大；（3）对称性：）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；绝对值相等的正、负误差出现的概率相

10、同；（4）抵偿性：）抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即近于零，即0limnn 一、偶然误差的特性：一、偶然误差的特性： 式中，式中， 在数理统计中，在数理统计中， 也称偶然误差的也称偶然误差的 数学期望为零，即数学期望为零，即E()=0。 n21第二节第二节 大量大量偶然误差的特性偶然误差的特性（了解）（了解）偶然误差偶然误差误差分布曲线误差分布曲线 偶然误差的出现服从标准正态分布，实践中，可偶然误差的出现服从标准正态分布，实践中，可以根据偶然误差的特性合理地处理观测数据，以减少以根据偶然误差的特性合理地处理观测数据，以减

11、少偶然误差对测量成果的影响。偶然误差对测量成果的影响。 在实际测量工作中，只有极少数观测量的理论值或真值是可以在实际测量工作中，只有极少数观测量的理论值或真值是可以预知的，一般情况下，由于测量误差的影响，观测值的真值是很难预知的，一般情况下，由于测量误差的影响，观测值的真值是很难测定的。为了提高观测值的精度，测量上通常采用有限的多余观测测定的。为了提高观测值的精度，测量上通常采用有限的多余观测，通过计算观测值的算术平均值，通过计算观测值的算术平均值 来代替观测量的真值来代替观测量的真值X，用改正，用改正数数Vi代替真误差代替真误差i，以解决实际问题。，以解决实际问题。第三节第三节 无真值条件下

12、的最或是值（理解）无真值条件下的最或是值（理解）x一、算术平均值一、算术平均值 在等精度观测条件下，对未知量进行了在等精度观测条件下，对未知量进行了n n次观测，其观测值分次观测，其观测值分别为别为l1l1，l2.l2.，lnln，将这些观测值取算术平均值，将这些观测值取算术平均值 ：xnlnllxln.21 当观测次数无限增多时，观测值的当观测次数无限增多时，观测值的算术平均值算术平均值趋近于该量的趋近于该量的真真值值X X。但是在实际测量中，不可能对某一量进行无限次观测，因此，。但是在实际测量中，不可能对某一量进行无限次观测，因此，就把有限个观测值的就把有限个观测值的算术平均值算术平均值作

13、为该量的作为该量的最或是值最或是值，也称为观测，也称为观测值的值的最可靠值最可靠值。二、观测值的改正数二、观测值的改正数 0l.n2211lnlnlxnvxvlxvlxvn 算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数vivi。一组观测值取算术平均值后，其改正数之和恒等于零。一组观测值取算术平均值后，其改正数之和恒等于零。第四节第四节 观测值精度评价指标（掌握）观测值精度评价指标（掌握）一、中误差一、中误差 在等精度观测条件下，对真值在等精度观测条件下，对真值X X的某一量进行的某一量进行n n次次观测，其观测值为观测，其观测值为l l1 1，l l2

14、2，.，l ln n，则每次观测中产，则每次观测中产生的真误差为生的真误差为1 1，2 2，.，n n，取各真误差平方，取各真误差平方和的平均值的平方根，作为观测值的中误差，即和的平均值的平方根，作为观测值的中误差，即nnmn22221.1、用真误差来确定中误差、用真误差来确定中误差 由上述计算结果中可以看出，由上述计算结果中可以看出，1组的中误差较小，所以观测组的中误差较小，所以观测精度高于精度高于2组。组。 在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。【例题例题】 1、2两组分别用相同的观测条件观测了某角度两组分别用相同的观测条件观测

15、了某角度各六次，与真值比较得真误差分别为：各六次，与真值比较得真误差分别为：1组：组：+2、+1、2、3、2、3；2组：组：+5、4、+1、4、3、+6。试分析两组观测值的精度。试分析两组观测值的精度。解：解：用中误差公式（用中误差公式（5-7）计算得）计算得1 . 466)3()4(14)(5nm.6)3(2)()3(2)(12nm222222222222 2132),.,2 , 1(nilxvii2、用观测值的改正数来确定中误差、用观测值的改正数来确定中误差 在实际测量工作中，观测值的真值在实际测量工作中，观测值的真值X X往往是不知道，往往是不知道，因此，真误差因此，真误差ii也无法求得

16、，此时，要通过计算观测值也无法求得，此时，要通过计算观测值的算术平均值的算术平均值 来代替观测量的真值来代替观测量的真值X X，用观测值的改正，用观测值的改正数数vivi代替真误差代替真误差ii，在此情况下，中误差的计算公式为，在此情况下，中误差的计算公式为x 1nvvm二、容许误差二、容许误差 通常以两倍中误差作为偶然误差的极限值通常以两倍中误差作为偶然误差的极限值限，并限，并称为极限误差或容许误差，即称为极限误差或容许误差，即限限2m2m。 在测量中，如某观测量的误差超过了容许误差，就在测量中，如某观测量的误差超过了容许误差，就可以认为它是错误的，其观测值应舍去重测。可以认为它是错误的，其

17、观测值应舍去重测。相对误差相对误差K等于绝对误差的绝对值与相应观测值等于绝对误差的绝对值与相应观测值D之比，它是一个无名数，通常用分子为之比，它是一个无名数，通常用分子为1的分数表示的分数表示: : :角度、高差的误差用角度、高差的误差用绝对误差绝对误差(m)(m)表示，表示， 量距误差用量距误差用相对误差相对误差K K表示。表示。NmK1mL1L式中式中 K K相对误差；相对误差； m m观测误差（中误差）；观测误差（中误差）； L L观测量的值；观测量的值； N N相对误差分母。相对误差分母。误差传播定律：阐述观测值的中误差与其函数中误差传播定律：阐述观测值的中误差与其函数中误差之间传播规

18、律的定律。误差之间传播规律的定律。 函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数观测值的函数观测值的函数-又称为间接观测量又称为间接观测量 间接观测量间接观测量: :由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量。由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量。用水准仪测量两点间的高差用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后，通过直接观测值后视读数视读数a 和前视读数和前视读数b 来求得的高差：来求得的高差：h = ab 间接观测量的误差：间接观测量的误差：由于直接观测值由于直接观测值(a、b)中都带有误差中都带有误差,函数函数(间接观测量间接观测量 )也也必然受到影响而产生误差必然受到影响而产生

19、误差.一、倍数函数一、倍数函数设有函数设有函数Zkx，式中，式中，k为常数，为常数，x为直接观测值，为直接观测值，其中误差为其中误差为mx，现求观测值函数，现求观测值函数Z的中误差的中误差mz。则有则有mzkmx（推导过程略）（推导过程略）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数。即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数。例：用水平视距公式例：用水平视距公式D Dklkl求平距，已知观测视距间隔求平距，已知观测视距间隔的中误差的中误差m ml l1cm1cm，k k100100。则平距的中误差则平距的中误差m mD D100100m ml l1m1m。二、和差函数二、和差函数2

20、22yxzmmm 设有函数设有函数z zx xy y，式中，式中，x x，y y为独立观测值，它为独立观测值，它们的中误差分别为们的中误差分别为mxmx和和mymy，则有，则有例：在例：在ABCABC中，对中，对AA和和BB进行了观测，其观测的中进行了观测，其观测的中误差误差mAmA和和mBmB分别为分别为3 3 和和44，试推算，试推算CC的中误差的中误差mcmc。解：解：CC180180AABB，为和差函数。，为和差函数。5432222 BAcmmm三、线性函数的中误差三、线性函数的中误差设有线性函数：设有线性函数：nnxkxkxkz22112222222121nnzmkmkmkm 设个独

21、立观测值设个独立观测值x x1 1，x x2 2，.，x xn n的中误差为的中误差为m m1 1，m m2 2，.，m mn n，则函数，则函数Z Z的中误差为的中误差为m mz z，可导出，可导出例：有一函数例：有一函数Z Z2x2x1 1x x2 23x3x3 3，其中，其中x x1 1，x x2 2，x x3 3的中误的中误差分别为差分别为3mm3mm，2mm2mm，1mm1mm。0 . 7326222 zm四、算术平均值的中误差四、算术平均值的中误差nnlnlnlnnlllx1.11.2121 对某一量对某一量X X进行了进行了n n次等精度观测，各次观测中误差次等精度观测，各次观测

22、中误差为为m m，求某算术平均值的中误差，求某算术平均值的中误差M M。 解：算术平均值可以写为解：算术平均值可以写为 算术平均值的中误差算术平均值的中误差mnmnmnmnMn1)1(.)1()1(22221 总结：算术平均值的中误差是观测值中误差总结：算术平均值的中误差是观测值中误差的的n1五、一般函数的中误差（自学五、一般函数的中误差（自学 P112）习题解答：习题解答：1 1、设有一正方形建筑物，量得其一边长为、设有一正方形建筑物，量得其一边长为a a、其中误差、其中误差m ma a3mm3mm，求周长的中误差。若以相同精度测量其四边，求周长的中误差。若以相同精度测量其四边，各边的中误差

23、均为各边的中误差均为3mm3mm，则周长的中误差又为多少。，则周长的中误差又为多少。解：（解：（1 1）周长周长4a4a，为倍数函数，则有，为倍数函数，则有 m m周周4 4m ma a4 43mm3mm12mm12mm （2 2）周长周长a a1 1a a2 2a a3 3a a4 4，为和差函数，则有，为和差函数，则有 m m周周mma a1 12 2m ma a2 22 2m ma a3 32 2m ma a4 42 236mm36mm6mm6mm2 2、在、在ABCABC中，观测中，观测AA的中误差为的中误差为mAmA3030，BB的的中误差为中误差为mBmB3030，则，则CC的中误差的中误差mcmc为多少？由为多少？由A A角角平分线平分线AOAO与与B B角平分线角平分线BOBO和和ABAB组成的组成的ABOABO，则，则OO的中的中误差误差momo为多少？（图见为多少？（图见p115p115）解：（解：（1 1）CC180180AABB（和差函数）（和差函数） mc mcmmA A2 2m mB B2 290090090090042.442.4 （2 2）OO180180A/2A/2B/2B/2（线性函数）