非惯性坐标系中的静止液体

1、1非惯性坐标系非惯性坐标系中的静止液体中的静止液体 流体静力学基本方程式是对流体静力学基本方程式是对惯性坐标系惯性坐标系建立的，建立的，在在非惯性坐标系非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其中，流体处于相对静止状态，则其表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因此，基本方程同样可以成立。不同的是此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐在非惯性坐标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括惯性力，即基本方程中的惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力质量力应为重力和惯性力两部分之和两部分之和。2

2、直线等加速运动容器中的静止液体直线等加速运动容器中的静止液体 如图，一个盛有液体的容器相对于地面作直如图，一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动，线匀加速运动， 其加速度其加速度 为为：akajaiaazyx如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据如果将非惯性坐标系固定在容器上，则根据达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为-a。zga-afx03gaf将上式代入基本方程得将上式代入基本方程得：pag1于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和于是容器中单位质量流

3、体的质量力就由惯性力和重力两部分组成：重力两部分组成：其直角坐标系下的分量式为其直角坐标系下的分量式为：zpagypagxpagzzyyxx1,1,1zga-afx04则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表示为示为：)()()(dzagdyagdxagdpzzyyxx由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：czagyagxagpzzyyxx)()()(其中：其中：c c为积分常数，由具体问题确定为积分常数，由具体问题确定。5ozax h例题例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽：如图为运送液体的槽车简化模型。槽

4、车以等加速度车以等加速度a做水平运动，车内液高做水平运动，车内液高H，试，试求槽车在等加速运动过程中求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状自由液面的形状。假定自由液面的压力为假定自由液面的压力为p0。60,0,0,0zyxzyxaaaagggg带入压力全微分公式带入压力全微分公式：)(gdzadxdp解解：将固定在槽车上的运动：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于坐标系的原点置于静止时自由液面的中点静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质。则槽车运动时单位质量液体受到的重力和液体的量液体受到的重力和液体的加速度加速度分量分别为：分量分别为：ozax h由于自由液面为等压面，由于自由液面为等压面

5、，dp=0，所以有，所以有7adx=-gdz积分得积分得 z =-ax/g+c自由液面通过原点，则自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程则自由液面方程为为： xgazs 说明自由液面是斜率为说明自由液面是斜率为- -a/g的倾斜平面的倾斜平面。 此外，槽车内液体的压力分布为此外，槽车内液体的压力分布为：cgzaxp)(8改写成改写成：)(0zxgagppghpp0)(0gzaxpp)/(zgax式中式中 项正好等于液体自由液面以下项正好等于液体自由液面以下的垂直深度的垂直深度h，0pc 可确定可确定则：此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力同样

6、只是液体深度的函数同样只是液体深度的函数。ozx ha9ozayx等压面方程等压面方程 边界条件 压强分布方程压强分布方程1.1.平面上的等加速运动平面上的等加速运动( (非惯性非惯性/ /动坐标系动坐标系) )101010pXxpYypZz10010paxpypgzddd0pa xg zddd0zaxpg ,0,Xa YZg appaxgz0,apaxgzcxyzpp0axgz自由液面方程自由液面方程图图2-122-12（a a） 102.2.容器沿斜面的等加速运动容器沿斜面的等加速运动zxyaoacos, 0,singZYgaXdcosd)sin(ddzgxgaWp 0d p a(sin)

7、cos0,0,pcagxgzxzpp acpa(sin)cosppagxgzdsindcoszagxg 11例例1一洒水车以等加速一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，在平地行驶，静止时，B点处水点处水深深1m，距，距o点水平距点水平距1.5m，求运动时，求运动时B点的水静压强。点的水静压强。解：gzaxpa=0.98m/s2，x=1.5m，z=1m，代入OmH.gp2151注意坐标的正负号aoBzx例例3图图12例例2： 一加满水的柱体直径为一加满水的柱体直径为30cm30cm，60cm60cm高，问逐高，问逐渐加上多少加速度会溢出渐加上多少加速度会溢出1/41/4的水量？

8、的水量？1/21/2的水量？的水量？全部的水量？全部的水量？ 60cm30cm水量水量13解：若溢出解：若溢出1/4水量，则水量，则 =45如图：如图：那么那么 ax=gtan45=g=9.81m/s2 160cm30cm水量水量若溢出若溢出1/2的水量，则的水量，则 tan =ax/g=60/30=2即即ax=2g 水全部溢出实际上水全部溢出实际上是不可能实现的。是不可能实现的。1/2水量水量 214如图，是一个旋转容器，容器如图，是一个旋转容器，容器半径为半径为R。静止状态时，装有深度。静止状态时，装有深度为为H的液体。的液体。 当容器以角速度当容器以角速度做等速旋转做等速旋转时，液体除受

9、到重力作用外还要受时，液体除受到重力作用外还要受到离心惯性力的作用。到离心惯性力的作用。 则单位质量流体的重力分量为则单位质量流体的重力分量为等角速度旋转容器内液体的相对平衡xzhOyxr2y2x20yxrggggzyx, 0, 0150sincos2222zyxayraxra由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为由达郎贝尔原理，单位质量流体受到的惯性力为- -a，大小为，大小为r2，其分量为，其分量为 于是，容器中液体所受的单位质量力为于是，容器中液体所受的单位质量力为：fx=2rcos =2 xfy= 2rsin =2 yfz=-gyxr2y2x20yxr16将质量力代入全微分公式有将

10、质量力代入全微分公式有：dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)由于等压面上由于等压面上dp=0,则等压面方程则等压面方程: 2 xdx+2 ydy -gdz=0积分积分: 2202222221,0,0,021,2rgzCzrCgzrCgzyxxzOz0zh17压强分布为压强分布为:ghzzgzrggpppCppzrCzrggp)()21(,0,0)21(02200022xzOz0zh18高速回转圆筒内的流体压力分布 如离心机转鼓，转速少则几百转，如离心机转鼓，转速少则几百转，多则数万转。那么这种情况下，液体内多则数万转。那么这种情况下，液体内部的压力分布及自由面是什么样呢？部的压力分布及

11、自由面是什么样呢？19高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重高转速使液体所受的旋转惯性力远大于重力。此时，压力全微分公式力。此时，压力全微分公式-gdz项可以忽项可以忽略，即略，即 dp= ( 2 xdx+ 2 ydy-gdz)可简化为：可简化为： dp=2(xdx+ydy)而等压液面方程则近似为：而等压液面方程则近似为： 2 r 2/ 2=C 近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径近似为圆柱面，令自由液面的圆柱面半径为为r0。2021积分积分：002ddprprpr r整理后整理后：)(220220rrpp 该式为离心机设计和操作分析中经常用到的该式为离心机设计和操作分析中经常用到的压力分布关系

12、式压力分布关系式。22例例:有一容器绕有一容器绕o-o?轴匀速旋转，轴匀速旋转，n=60000rpm，已知已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,静止时水静止时水面高度面高度h=900mm。试求：。试求：r=30mm处的压强。处的压强。23解：在高速旋转时，容器内液体将形成圆柱环，设内环半径为r1，则)(2308 .151000)50(90050)(2122001121222122rrppmmrrrmmrrHrRhR处的压强为则则液体不会溢出。，解得：2422210001013250 030 015823012 9MPan()( .).25例：例：图示为盛满液体的容器顶盖中心处

13、图示为盛满液体的容器顶盖中心处开口，当容器以等角速度开口，当容器以等角速度 绕垂直轴绕垂直轴z旋旋转时，液体借离心力向外甩，但是受顶转时，液体借离心力向外甩，但是受顶盖限制，液面不能形成抛物面。试分析盖限制，液面不能形成抛物面。试分析液体内的压力分布。液体内的压力分布。z0RBpa 26液体内各点的压强分布符合下式，即液体内各点的压强分布符合下式，即 gzrCp222常数常数C，可利用，可利用r=0，z=0，p=pa确定，即确定，即C=pa。故。故 gzrppa222z0RBpa 27222RppaB 故作用于顶盖上（故作用于顶盖上（z=0）各点的压力仍按）各点的压力仍按抛物面分布，如图箭头所

14、示，边缘抛物面分布，如图箭头所示，边缘B处处 边缘边缘B处（处（r=R，z=0）压力最大为（表压）压力最大为（表压）:222RpppaBgz0RBpa 28可知可知 越大，则边缘越大，则边缘处压力越大，处压力越大，离心铸造离心铸造就就是依据此原理，即通过离是依据此原理，即通过离心铸造机的高速旋转而增心铸造机的高速旋转而增大铸模外缘处液态金属的大铸模外缘处液态金属的压力，从而得到较密实的压力，从而得到较密实的铸件。铸件。z0RBpa 29例例.盛满液体的容器顶盖边缘处开盛满液体的容器顶盖边缘处开 口，当其旋口，当其旋转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体

15、刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧紧吸住液体，以致液体跑不出去。试分析液体紧吸住液体，以致液体跑不出去。试分析液体内的压强分布及内的压强分布及o点处的真空度。点处的真空度。0RBpaz DC A30gzrCp222利用利用r=R，z=0时时 p=pa，以确定常数，以确定常数C, 即即222RpCa流体内各点的压强分布符合下式，即流体内各点的压强分布符合下式，即31gzRrppa)(2222z=0, r=0 处真空度为处真空度为222Rpppav0RBpaz DC A32 由上式可知，由上式可知， 越大则越大则0点处的真空越大，点处的真空越大，离心式

16、离心式水泵和离心式风机水泵和离心式风机就是根就是根据此原理设计的，当叶轮据此原理设计的，当叶轮旋转时，在叶轮中心处形旋转时，在叶轮中心处形成真空，流体被吸入，又成真空，流体被吸入，又借离心力将流体甩向外缘，借离心力将流体甩向外缘，增大压力后输送出去。增大压力后输送出去。 0RBpaz DC A33在生产实际中，可根在生产实际中，可根据旋转容器中液面高度的据旋转容器中液面高度的变化来测定旋转角速度。变化来测定旋转角速度。因为旋转前后容器内液体因为旋转前后容器内液体体积不会改变。旋转后中体积不会改变。旋转后中间出现一个被旋转抛物面间出现一个被旋转抛物面包围的空腔，当空腔的底面半径为包围的空腔，当空

17、腔的底面半径为R，即与容，即与容器半径相当时，有器半径相当时，有)(022122HHRHRhR34化简后可得化简后可得：hHH20根据自由表面方程根据自由表面方程：grz22200222HHgRRr处，有在由（由（1）、（）、（2）两式得）两式得)(20HhgR35例题例题1: d=300mm, H=500mm敞口圆柱形容器中，注水高度敞口圆柱形容器中，注水高度为为h1=300mm，容器绕轴作等，容器绕轴作等角速度旋转。角速度旋转。1.确定使水的自由界面正好达到容确定使水的自由界面正好达到容器边缘时的转数器边缘时的转数n1;2.求抛物面顶端碰到容器底时的转求抛物面顶端碰到容器底时的转数数n2,此时容器停止旋转后，水面高此时容器停止旋转后，水面高度度h2将为多少？将为多少？36解：1.根据可得H0=2h1-H=2300-500 =100mm此时角速度为102hHH1033229 81300 10010150 1018 676 rad sg(hH )R.()./37rpmn17814. 3676.1830301则2.2.（方法一方法一）当抛物面顶