弯曲应力已看PPT教案

1、弯曲应力已看弯曲应力已看第1页/共80页5. 1 纯弯曲l 横力弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。l 纯弯曲梁的横截面上只有弯矩时的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。l 纯弯曲的变形特征第2页/共80页l 纯弯曲的变形特征第3页/共80页l 纯弯曲的变形特征l 基本假设1: 平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。l 中性层与中性轴l 基本假设2: 纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。第4页/共80页l 中性层与中性轴第5页/共80页5. 2 纯弯曲时的正应力1 变形几何关系取坐标系如图，z轴为中性轴； y轴为对称轴。u 纵向线bb变形后的长度为:d)(ybb

2、u 纵向线bb变形前的长度为求出距中性层 y处的应变，取长dx的梁段研究:中性层长度不变, 所以有:第6页/共80页u 纵向线bb变形后的长度为:d)(ybbu bb变形前的长度bbOOOOdu 纵向线bb的应变为ddd)(yy即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。中性层长度不变, 所以第7页/共80页2 物理关系因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:EyE即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。3 静力关系第8页/共80页NMz3 静力关系MyANAd0XAzMAydAyMAzd对横截面上的内力

3、系，有:由梁段的平衡有:0N0ym0yM0zmMMz第9页/共80页ANAdAzMAydAyMAzd由梁段的平衡有:, 0N, 0yMMMz对横截面上的内力系，有:所以ANAd00dAyEA0dAyEA0dAyA0zS z 轴通过形心。即：中性轴通过形心。第10页/共80页,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由ANAd00dAzyEA0dAyzA即：中性轴通过形心。由AzMAyd0因为y轴是对称轴，上式自然满足。0yzI第11页/共80页,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由 梁的抗弯刚度MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1将上式代入yEzIMy第12页/共80

4、页u 由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况。u 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情形（横力弯曲）？纯弯曲时正应力公式zIMyl 公式的适用性第13页/共80页5. 3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设不再成立此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:hl5则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。 l / h 5 的梁称为细长梁。第14页/共80页l

5、最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。zIyMmaxmaxmax引入符号：maxyIWz则有：WMmaxmax 抗弯截面系数l 比较拉压:ANmaxmaxtWTmaxmax扭转:第15页/共80页l 两种常用截面的抗弯截面系数u 矩形截面,123bhIz62bhW 2maxhyu 圆形截面,644dIz323dW2maxdy第16页/共80页l 弯曲强度条件注意：当截面变化时，还需综合考虑W的值。WMmaxmax第17页/共80页例 1 ( 书例5.1) 已知：板长3a =150mm，材料的许用应力 =140MPa。解：求：最大允许压紧力P。压板可简化为如图的外伸梁。由微分关系，AC段、BC段的

6、弯矩图为斜直线。(1) 求弯矩图第18页/共80页BMMmax且B截面最薄弱。由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线。(1) 求弯矩图作出弯矩图。(2) 确定危险截面PaB为危险截面。(3) 计算B截面W第19页/共80页BMMmax(3) 计算B截面WPaB为危险截面。看成组合物体21zzzIII1202. 003. 031202. 0014. 0348m1007. 1maxyIWz281011007. 136m1007. 1第20页/共80页BMMmax(3) 计算B截面WPaB为危险截面。36m1007. 1W(4) 由强度条件计算PWMmaxmaxmaxWMWPa aWP26810

7、5101401007. 1kN3第21页/共80页例 2 ( 书例5.2) 已知： =100 MPa，P = 25.3 kN。解：求：校核心轴的强度。 计算简图如图。(1) 求弯矩图支反力kN,6 .23ARkN27BR第22页/共80页(1)求弯矩图(2) 确定危险截面u I截面u II截面u III截面支反力kN6 .23ARkN27BR(3) 强度校核u I截面maxMMImkN72. 4第23页/共80页(3) 强度校核u I截面maxMMImkN72. 43231dWI32)1095(3336m101 .84IIIWMMPa1 .56u II截面mkN42. 3IIM第24页/共80

8、页u II截面3232dWII32)1085(3336m103 .60IIIIIIWMMPa7 .56u III截面mkN42. 3IIMmkN64. 4IIIM第25页/共80页u III截面3233dWIII32)1088(3336m109 .66IIIIIIIIIMWMPa4 .69l 结论mkN64. 4IIIMl 注意满足强度要求。最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。第26页/共80页例 3 ( 书例5.3) 已知：T形截面铸铁梁，t= 30 MPa，c=160 MPa。Iz=763cm4, 且 |y1|=52mm。解：求：校核梁的强度。 (1) 求弯矩图u 支反力kN,5 . 2A

9、RkN5 .10BRu 作出弯矩图第27页/共80页(1) 求弯矩图u 支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出弯矩图最大正弯矩为:mkN5 . 2CM最大负弯矩为:mkN4BM(2) 确定危险截面u B截面u C截面第28页/共80页(2) 确定危险截面u B截面u C截面最大正弯矩为:mkN5 . 2CM最大负弯矩为:mkN4BM(3) 强度校核u B截面zBtIyM11MMPa2 .27MPa30tzBcIyM21MPa2 .46MPa160c第29页/共80页(3) 强度校核u B截面zBtIyM11MMPa2 .27zBcIyM21MPa2 .46u C截面zCtIyM2

10、2MPa8 .28显然， 2c 1cMPa30tMl 结论满足强度要求。第30页/共80页5. 4 弯曲切应力横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出1 矩形截面梁切应力。按截面形状，分别讨论。l 切应力分布假设(1) 各点切应力方向平行于剪力Q;第31页/共80页1 矩形截面梁l 切应力分布假设(1) 各点切应力方向平行于剪力Q;(2) 切应力沿宽度均匀分布。l 用平衡条件导出切应力公式u 取研究对象第32页/共80页l 用平衡条件导出切应力公式u 取研究对象第33页/共80页u 由切应力互等定理u 右截面上的N21d2

11、AANA1为右截面 pn1的面积。zIyMM1)d(右截面正应力为:第34页/共80页u 右截面上的N21d2AANzIydMM1)(其中:1d)d(12AzAIyMMN1d)d(1AzAyIMM*)d(zzSIMM 1d1*AzAyS y以下的面积对中性轴的静矩。第35页/共80页u 右截面上的N2其中:*2)d(zzSIMMN1d1*AzAySu 左截面上的N1同理可得:*1zzSIMN u 上表面上的dQxbQdddQu x方向平衡条件0X0d12QNN第36页/共80页*2)d(zzSIMMN*1zzSIMN xbQdddQu x方向平衡条件0X0d12QNN*)d(zzSIMM *z

12、zSIM0dxb*dzzSIM0dxbbISxMzz*dd第37页/共80页dQu 由微分关系*dzzSIM0dxbbISxMzz*ddQxMddbIQSzz*u 由切应力互等定理，得bIQSzz*u 计算Sz*第38页/共80页u 由切应力互等定理，得bIQSzz*u 计算Sz*可用公式11*yASz*zS)2(yhb)2(21yhy)4(222*yhbSz)2(yhb)2(21yh所以：)4(222yhIQz第39页/共80页)4(222*yhbSz所以：)4(222yhIQz 距中性层 y处的切应力公式u 切应力分布切应力沿截面高度按抛物线规律变化。0在上下边缘处max在中性层处zIQh

13、82因为123bhIzbhQ23max第40页/共80页max在中性层处zIQh82因为123bhIzbhQ23max即：最大切应力是平均剪应力的1.5倍。2 工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。u 腹板的切应力腹板是矩形，切应力公式同矩形截面梁。第41页/共80页2 工字形截面梁l 腹板的切应力腹板是矩形，切应力公式同bIQSzz*矩形截面梁:u 计算Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy第42页/共80页u 计算Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy)4(2)(82222yhbhHB则，距中性层 y处的切应力公式为:

14、)4(2)(82222yhbhHBbIQz切应力分布如图。第43页/共80页距中性层 y处的切应力公式为:)4(2)(82222yhbhHBbIQz切应力分布如图。u 最大切应力发生在中性轴处8)(822maxhbBBHbIQzu 最小切应力发生在 y=h/2 处)88(22minBhBHbIQz第44页/共80页u 最大切应力发生在中性轴处8)(822maxhbBBHbIQzu 最小切应力发生在 y=h/2 处)88(22minBhBHbIQzu 腹板切应力的近似公式因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。近似公式:hbQ第45页/共80页u 腹板切应力的近似公

15、式因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。近似公式:hbQl 翼缘的切应力u 特点(1) 除了有平行于剪力Q的切应力分量外，还有与剪力Q垂直的切应力分量；(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。第46页/共80页3 圆形截面梁l 切应力分布的特点(1) 边缘各点的切应力与圆周相切；(2) y轴上各点的切应力沿y轴。l 假设(1) AB弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；(2) AB弦上各点的切应力沿 y轴的分量 y相等。所以，对y可用矩形截面梁的公式bIQSzzy*第47页/共80页所以，对y可用矩形截面梁的bIQSzzy*公式式中，b为AB弦的长度，Sz*为

16、AB弦以外的面积对z轴的静矩。l 最大切应力最大切应力发生在中性轴上。中性轴上的切应力的方向？34212*RRSz中性轴处Rb23*32RSz第48页/共80页34212*RRSz最大切应力是平均切应力的1.33倍。中性轴处Rb2bIQSzzy*2max34RQ644DIz3*32RSz44R第49页/共80页4 弯曲切应力强度条件l 强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。第50页/共80页弯曲切应力强度条件为bISQzz*maxmaxmaxl 实心截面梁正应力与切应力的比较zWPlmaxbIPSzz*m

17、ax正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。第51页/共80页l 实心截面梁正应力与切应力的比较,maxzWPlbIPSzz*maxu 对矩形截面梁hl4maxmaxu 对圆形截面梁dl6maxmax第52页/共80页u 对矩形截面梁hl4maxmaxu 对圆形截面梁dl6maxmax所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。u 需要校核剪切强度几种情况(1) 弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在支座附近作用有较大的集中力；(2) 非标准的腹板较高且较薄的工字梁；(3) 梁上的焊缝、铆钉或胶合面。第53页/共80页例 1 ( 书例5.4) 已知：由木

18、板胶合而成的梁。解：求：胶合面上沿x方向单位长度的剪力。 无法直接用公式。取一微段：与推导剪应力公式的方法相同，有第54页/共80页取一微段：与推导切应力公式相同，有*2)d(zzSIMMN,*1zzSIMN 0X12NN 0d2xqzzISxMq*dd21zzIQS*21第55页/共80页例 2 (书例5.5) 已知：l =2m，a=0.2m, q=10kN/m，P =200kN, =160MPa，=100MPa。解：求：选择工字钢型号 。 (1) 求剪力图和弯矩图u 支反力kN,210ARkN210BRu 作出剪力图和弯矩图第56页/共80页u 作出剪力图和弯矩图最大弯矩mkN45maxM

19、最大剪力kN210maxQu 先根据最大弯矩选择工字钢型号maxMWz3cm281u 查型钢表(p. 416)第57页/共80页u 查型钢表(p. 416)3cm281zW单位为: cm第58页/共80页u 查型钢表(p. 416)3cm281zWu 选22a工字钢,cm3093zWu 校核剪切强度 查型钢表得，对22a工字钢：cm9 .18*zzSI 腹板厚度：cm75. 0 dbbISQzz*maxmaxMPa148MPa100所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。第59页/共80页所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。第60页/共80页u 查型钢表(p. 416), 重选25

20、b工字钢:,cm4233zWcm,3 .21*zzSIcm0 . 1 dbbISQzz*maxmaxMPa6 .98MPa100所以，选25b工字钢可同时满足正应力和切应力强度条件。注：若选25a工字钢，则：MPa5 .121max第61页/共80页5. 6 提高弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：1 减小最大弯矩从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提高抗弯截面系数W。(1) 合理布置支座的位置WMmaxmax第62页/共80页1 减小最大弯矩(1) 合理布置支座的位置第63页/共80页u 工程例子(2) 合理布置载荷第64页/共80页(2) 合理布置载荷第65页/共80页2 提高抗弯截面系数在截面积A相同的条件下，提高抗弯截面系数。u 矩形截面梁的放置u 几种常用截面的比较用比值来衡量AW第66页/共80页u 几种常用截面的比较用比值AW来衡量可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较经济合理。第67页/共80页可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等)比较经济合理。u 根据材