高等代数总复习

1、复复习习第第四四五五六六七七九九章章矩阵复习提纲矩阵复习提纲一一.基本方法基本方法1 求方阵的幂：四种方法求方阵的幂：四种方法 的的方方法法求求1A. 2 )AE()EA(AAA E(AB11行行变变换换或或一一个个可可逆逆阵阵）:BAX. 3 求解矩阵方程求解矩阵方程 X)E()BA(BAX1行变换行变换元素法元素法有相应的方法有相应的方法解解BXA 初等变换法初等变换法子式法子式法求秩的方法求秩的方法:. 4 初等变换是工具初等变换是工具二二. 重点公式重点公式: ,AB)AB( ,AB)AB.(1-1-1-1TTT ,BAAB,A1A,AA. 21T 1nnnAA,AkkA 1m1211

2、1m21AAAAAA. 3 111-1m1m1m21AAAAAA 1-1111CBACOACBOA 1-1-111COBCA-ACOBA可逆）可逆）A(AAA,EAAAAA. 41 1n)A(r01n)A(r1An)A(r . 5*可逆可逆)B(r)A(r)BA(r )B(r),A(rmin)BA(rn)B(r)A(rlnnm OBOBA 可可得得由由)C(r)AC(rA 列满秩时，列满秩时，);B(r)BA(rA 行满秩时，行满秩时，OCOAC 可可得得由由三三.重要结论重要结论:;BAB1.A的乘法公式成立的乘法公式成立与与可换时，可换时，与与可换；可换；与与nEA可换；可换；与与1AA

3、可换；可换；与与 AA;AAA. 2T 对称对称;AAAT 反对称反对称与数量矩阵可换，与数量矩阵可换，A两两同同阶阶对对角角阵阵可可换换，可逆A. 30A n)A( r 的的行行（列列）向向量量组组无无关关A的的乘乘积积可可分分解解为为若若干干初初等等矩矩阵阵A；可得可得由由可逆时可逆时CBACAB,A )C(r)CA(r);B(r)AB(r 是初等矩阵；是初等矩阵；，则则一次行变换一次行变换PPAB,BA. 4 是初等矩阵；是初等矩阵；，则则一次列变换一次列变换QAQC,CA 阵阵仍仍是是初初等等矩矩阵阵。初初等等矩矩阵阵都都可可逆逆，且且逆逆,OOOEA. 5r 初等变换初等变换,A阶梯

4、形阶梯形行变换行变换 ；可得可得由由OBOAB EBA,B 使使OAX 齐次方程齐次方程只只有有零零解解的的特特征征值值都都不不为为零零A二二次次型型复复习习提提纲纲:方方法法种种方方法法化化二二次次型型为为标标准准型型的的三三. 1证证明明正正定定的的方方法法. 2第第六六章章复复习习提提纲纲:.概念概念一一线线性性空空间间的的定定义义. 1)(. 2惟惟一一性性和和不不惟惟一一性性基基、坐坐标标和和维维数数子子空空间间、生生成成子子空空间间. 3子子空空间间的的交交、和和、直直和和. 4间间同同构构映映射射与与同同构构线线性性空空5.基基、维维数数和和坐坐标标常常见见的的线线性性空空间间的

5、的自自然然结结论论：二二.无无关关组组、秩秩的的有有关关结结论论线线性性相相关关、无无关关、极极大大. 1生生成成的的子子空空间间相相同同两两向向量量组组等等价价 . 2的的基基的的子子空空间间的的基基可可扩扩充充为为 VV. 3：交、和的三个充要条件交、和的三个充要条件. 421VV 121VVV 221VVV 直和的三个充要条件：直和的三个充要条件：. 5 21VV 的的分分解解式式惟惟一一 维维数数的的和和和和的的维维数数 补补空空间间存存在在定定理理.6维数公式维数公式. 7)Vdim(V21 )Vdim(V2121dimVdimV ,VV. 8的的同同构构映映射射到到为为由由 相关相

6、关则则s21, , 相关相关)(,),(),(s21 )(线性无关线性无关)(线性无关线性无关的的基基的的基基的的像像是是VVVnP. 9维维线线性性空空间间上上的的任任意意数数域域nP均同构于均同构于维维线线性性空空间间全全部部同同构构上上的的数数域域nP方法：方法：三三.判判线线性性空空间间的的方方法法. 1判判子子空空间间的的方方法法. 2线性无关的方法：线性无关的方法：判判s21, ,. 3 定义法定义法).1同构法：同构法：).2在自然基下的坐标，在自然基下的坐标，求出求出s21, ,Ps21n 中中向向量量组组得得是是否否无无关关判判s21, 求导法：求导法：.3)特殊值法：特殊值

7、法：.4)求求基基的的方方法法：. 4观察法观察法).1:), ,(L).2s21的基的方法的基的方法求求 的的极极大大无无关关组组的的方方法法即即求求s21, , 的的基基的的方方法法求求21WW3). ),(L 4).s21 求求),(Lt21 的的基基的的方方法法A),(),(n21n21 基变换公式基变换公式. 5过过渡渡矩矩阵阵的的求求法法. 6).1求求法法的的过过渡渡矩矩阵阵到到基基由由自自然然基基A,n21n21 求求法法的的过过渡渡矩矩阵阵到到由由两两非非自自然然基基A,).2n21n21 坐坐标标变变换换公公式式. 7XAY-1 或或AYX第第七七章章复复习习提提纲纲:.概

8、念概念一一、性性质质线线性性变变换换的的定定义义及及运运算算. 1A. 2 线线性性变变换换的的矩矩阵阵相似矩阵相似矩阵. 3特特征征值值与与特特征征向向量量. 4间间、特特征征方方程程、特特征征子子空空特特征征矩矩阵阵、特特征征多多项项式式基基、维维数数矩矩阵阵变变换换在在标标准准正正交交基基下下的的特特别别：正正交交变变换换和和对对称称AImkerAAV或或. 5. 6不不变变子子空空间间. 7方法方法二二.A 是是的坐标，的坐标，是是Y. 1 X的的坐坐标标，AXY 则则方方法法求求特特征征值值与与特特征征向向量量的的. 2 抽象矩阵抽象矩阵具体数字矩阵具体数字矩阵 APPPA. 3-1

9、，使使的的方方法法，求求可可逆逆阵阵判判A判判矩矩阵阵是是对对角角阵阵的的方方法法：是是否否可可以以在在一一组组基基下下的的写出写出A，在在某某组组基基下下的的矩矩阵阵 A是是否否可可以以对对角角化化判判A注意注意A的的特特征征向向量量的的写写法法为为对对角角阵阵变变换换在在该该基基下下的的矩矩阵阵恰恰也也可可直直接接找找出出一一组组基基，AV求求. 4的基与维数的方法：的基与维数的方法：ker5.求求A:的基及维数的方法的基及维数的方法结论结论三三.征征向向量量的的结结论论有有关关的的矩矩阵阵的的特特征征值值特特与与A. 1特特征征值值特特征征向向量量的的性性质质. 2kerAdim Vdi

10、m. 3A可可逆逆变变换换单单射射是是满满射射. 5可对角化的充要条件：可对角化的充要条件：A. 6个个无无关关的的特特征征向向量量；有有nA;)(iinnAEr ;diminVi ;dimdimdim21nVVVs An个互不相同的特征值个互不相同的特征值有有A充分条件：充分条件：是是一一维维inWWWWV,21 A子子空空间间 AV dim4.kerA的基与的基与AV的的基基的的原原像像的的基基合合起起来来是是 V于于对对角角阵阵实实对对称称矩矩阵阵恒恒正正交交相相似似. 7当当形形矩矩阵阵任任一一复复矩矩阵阵都都相相似似于于若若. 8对对线线性性变变换换的的加加、数数乘乘上上全全体体线线

11、性性变变换换的的集集合合数数域域,V. 9同同构构做做成成线线性性空空间间，且且与与nnP 第第九九章章复复习习提提纲纲:.概念概念一一内积、欧氏空间定义内积、欧氏空间定义. 1长长度度、夹夹角角、正正交交. 2:A. 3内内积积关关于于基基的的度度量量矩矩阵阵标准正交基及存在性标准正交基及存在性. 4正正交交矩矩阵阵及及性性质质.5)E(标标准准正正交交基基下下是是正正定定同构同构. 6补空间补空间空间正交的概念、正交空间正交的概念、正交. 6正交变换定义正交变换定义. 7对称变换定义对称变换定义. 8方法方法二二.求求出出标标准准正正交交基基利利用用施施密密特特正正交交化化方方法法由由一一

12、组组基基出出发发,. 1方方法法对对角角阵阵，使使求求正正交交矩矩阵阵 AUUU. 21)(标标准准型型的的方方法法正正交交变变换换法法求求二二次次型型的的求求内内积积的的方方法法：. 3YX,).1、为为在在标标准准正正交交基基下下的的坐坐标标已已知知 YX),(T 则则YX,).2、在在某某基基下下的的坐坐标标为为已已知知 AYX),(T 则则结论结论三三.正正定定矩矩阵阵取取定定一一组组基基时时，内内积积. 1关关正正交交向向量量组组一一定定线线性性无无. 2都合同都合同同一个内积的度量矩阵同一个内积的度量矩阵 2121VVVV.3正正交交，则则与与 WWV. 4，都都有有唯唯一一的的正正交交补补的的任任意意子子空空间间nRn . 5维维欧欧氏氏空空间间都都同同构构于于 正交阵正交阵标准正交基下的矩阵是标准正交基下的矩阵是