流体力学课件ch3

1、流体力学主讲：孟祥铠 第三章第三章 流体动力学基础流体动力学基础3-1 描述流体流动的两种方法描述流体流动的两种方法一、拉格朗日法与质点系一、拉格朗日法与质点系 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。 描述流体的运动参数在流场中各个不同描述流体的运动参数在流场中各个不同空间空间位置上位置上随随时间时间 连续变化的规律。连续变化的规律。 着眼于流场中具体流体质点的运着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟踪每一个流体质点，分析其动。即跟踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的变化规律。运动参数随时间的变化规律。3-1 描述流体流动的两种方法描述流体流动的

2、两种方法 用初始时刻用初始时刻 t0 某流体质点具有的空间坐标某流体质点具有的空间坐标(a,b,c)来标识来标识不同的流体质点。不同的流体质点。 用流体质点的初始坐标用流体质点的初始坐标(a,b,c)和时间变量和时间变量 t 共同表达流体质点共同表达流体质点的运动规律的运动规律 x = x ( a,b,c,t )、y = y ( a,b,c,t )、z = z ( a,b,c,t )，称为，称为拉拉格朗日变数格朗日变数。3-1 描述流体流动的两种方法描述流体流动的两种方法3-1 描述流体流动的两种方法描述流体流动的两种方法二、欧拉法与控制体二、欧拉法与控制体 着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置

3、上的流体质点的着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点的运动规律。运动规律。 广泛采用。广泛采用。 N 流体的运动参数。流体的运动参数。 N = N ( x, y, z, t ) = N x(t), y(t), z(t), t 欧拉变数欧拉变数 流场有两种特例：流场有两种特例： 定常场定常场 均匀场均匀场0pTtttt0pppxyzxyz3-1 描述流体流动的两种方法描述流体流动的两种方法二、欧拉法与控制体二、欧拉法与控制体 控制体控制体借以观察流体运动的空间区域借以观察流体运动的空间区域 与质点系的区别：与质点系的区别： 控制体是相对于坐标系固定位置、有任意确定形状的空控制体是相对于坐

4、标系固定位置、有任意确定形状的空间区域，控制体的表面也标为控制面，流体质点系可以按照间区域，控制体的表面也标为控制面，流体质点系可以按照自身运动规律穿越控制面自由出入于控制体。自身运动规律穿越控制面自由出入于控制体。 质点系相对于坐标系不但可以有位移，而且也可能有变质点系相对于坐标系不但可以有位移，而且也可能有变形形(压缩或者膨胀压缩或者膨胀)，但是在运动过程中控制体相对于坐标系，但是在运动过程中控制体相对于坐标系的位置与形状都是固定不变的的位置与形状都是固定不变的 运动中的流体质点所具有的物理运动中的流体质点所具有的物理量量N(例如速度、压强、密度、温度、例如速度、压强、密度、温度、质量、动

5、量、动能等等质量、动量、动能等等)对时间的对时间的变化率变化率 称为物理量称为物理量N的质点导数。的质点导数。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念一、物理量的质点导数一、物理量的质点导数0limtdNNdtt N 是时间是时间 t 的复合函数，由多元复合函数求导法则可的复合函数，由多元复合函数求导法则可得：得：时变导数时变导数(当地导数当地导数)：在某一固定空间点上物理在某一固定空间点上物理量量N对时间对时间 t 的变化率。的变化率。流体质点所在空间位置变化，流体质点所在空间位置变化，所引起的物理量所引起的物理量N对时间对时间 t 的的变化率。变化率。位变导数位变导数(迁移

6、导数迁移导数)：zNvyNvxNvtNdtdzzNdtdyyNdtdxxNtNdtdNzyx3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念一、物理量的质点导数一、物理量的质点导数 质点导数又可写成质点导数又可写成 式中式中 ()dNNNdttijkxyz 哈密顿哈密顿(Hamilton)算子算子 质点的物理量质点的物理量N可以是压强、密度、温度，也可以是流体可以是压强、密度、温度，也可以是流体运动的速度。运动的速度。 ()xyzdpppppppdtxyztt()xyzddtxyztt()ddtt3-2 流体运动中的几个基本概念流

7、体运动中的几个基本概念一、物理量的质点导数一、物理量的质点导数对于定常流动：对于定常流动： （时（时变导数为零）变导数为零）对于均匀流动：对于均匀流动： （位变导数为零）位变导数为零）对于不可压缩流体：对于不可压缩流体： ( (全全导数为零）导数为零）0dtd0zNyNxN0tN3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念二、迹线与流线二、迹线与流线 流体质点的运动轨迹叫作流体质点的运动轨迹叫作迹线迹线，迹线是拉格朗日法描述，迹线是拉格朗日法描述流体运动的几何基础，而欧拉法描述流体运动的几何基础则流体运动的几何基础，而欧拉法描述流体运动的几何基础则是是流线流线。 1. 流线的定义流

8、线的定义 在某一瞬时，液流中的一条条光在某一瞬时，液流中的一条条光滑曲线。在该瞬时，位于流线上各点滑曲线。在该瞬时，位于流线上各点处流体质点的速度方向与流线相切。处流体质点的速度方向与流线相切。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念迹线迹线3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 流线流线3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 2. 流线的微分方程式流线的微分方程式 设某一点上的质点瞬时速度设某一点上的质点瞬时速度 流线上的微元线段矢量为流线上的微元线段矢量为 根据定义，这两个矢量方向一致，矢性积为零，于是可根据定义，这两个矢量方向一致，矢性

9、积为零，于是可得出流线的矢量表示法为得出流线的矢量表示法为 写成投影形式，则写成投影形式，则 这就是这就是最常用的最常用的流线微分方程式。流线微分方程式。xyzijkdsdxidyjdzk0dsxyzdxdydz【例题例题3-1】3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 3. 流线的性质流线的性质 定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的轨定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的轨迹与流线重合。迹与流线重合。 实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不能突然实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不能突然转折。转折。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基

10、本概念三、流管与流束三、流管与流束 在流场中任意取出一个有流体从中在流场中任意取出一个有流体从中通过的封闭曲线，通过的封闭曲线，过封闭曲线上的每个过封闭曲线上的每个点作适当长度的流线，这无数流线围成点作适当长度的流线，这无数流线围成一个通常称为一个通常称为流管流管的管状假想表面。的管状假想表面。 流管内部的全部流体叫作流管内部的全部流体叫作流束流束。微小流束微小流束 当面积当面积 A 无限缩小趋于零时的无限缩小趋于零时的 流束。流束。过流断面过流断面 流束中与所有流线相垂直的截面。流束中与所有流线相垂直的截面。AdAA3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念四、流量与净通量四、

11、流量与净通量 1. 流量流量 单位时间内流过某一过流断面的流体体积。单位时间内流过某一过流断面的流体体积。 qv m3/s l/min控制面如果是过流断面控制面如果是过流断面(不论平面或曲面不论平面或曲面) 速度方向与面积垂直速度方向与面积垂直 dq = v dA 微小流束过流断面的流量。微小流束过流断面的流量。 q = A v dA 流束过流断面的流量。流束过流断面的流量。 控制面如果不是过流断面控制面如果不是过流断面 控制面的微元面积控制面的微元面积dA与其上一点速与其上一点速度度v之间的夹角为之间的夹角为3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念四、流量与净通量四、流量与净

12、通量微小流束微小流束平面控制面平面控制面cosVdqdAdAndAcosVAAAqdAdAndA3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念四、流量与净通量四、流量与净通量 2. 净通量净通量 取整个封闭曲面作为控制面，流体经一部分控制面流入取整个封闭曲面作为控制面，流体经一部分控制面流入控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体中流出。控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体中流出。 在流过全部封闭控制面在流过全部封闭控制面A的流量称为的流量称为净流量净流量。 cos( , )VAAAqdAndAndA 若若qv大于零大于零 ，流量的流出部分大于流入部分，流量的流出部分大于

13、流入部分 若若qv小于零小于零 ，流量的流入部分大于流出部分，流量的流入部分大于流出部分 3-3 连续方程式连续方程式一、基本原理一、基本原理 在流场中取任意形状的一个控制体，在流场中取任意形状的一个控制体，设其体积为设其体积为V，其表面积为，其表面积为A 。 假如控制体内的流体质量发生了变假如控制体内的流体质量发生了变化，单位时间内的变化量应当记为化，单位时间内的变化量应当记为 ()VdVt3-3 连续方程式连续方程式 如果控制体中质量不变，则必然是在如果控制体中质量不变，则必然是在同一时间内流入与流出的质量差同一时间内流入与流出的质量差 AVdAdVt 根据质量守恒定律、保持流体呈连续流动

14、状态根据质量守恒定律、保持流体呈连续流动状态而得到的所谓连续方程式而得到的所谓连续方程式 一、基本原理一、基本原理3-3 连续方程式连续方程式特例特例1 定常流动定常流动 特例特例2 不可压缩流体流动不可压缩流体流动 = Const 则：则： 即：不可压缩流体流动时任何瞬时流入控制体的流量均即：不可压缩流体流动时任何瞬时流入控制体的流量均等于同一瞬时从控制体流出的流量。等于同一瞬时从控制体流出的流量。0t 则：则： 定常流动中，从控制体流出的质量流量永远等于流入定常流动中，从控制体流出的质量流量永远等于流入控制体的质量流量。控制体的质量流量。0AdA0AdA3-3 连续方程式连续方程式二、一元

15、流动的连续方程式二、一元流动的连续方程式 如图所示，不但微小流束是一元流如图所示，不但微小流束是一元流动；即使有固体边界的总流，如果一切动；即使有固体边界的总流，如果一切流动参数均以过流断面上的平均值计算，流动参数均以过流断面上的平均值计算，它也可以看作是一元流动。它也可以看作是一元流动。 由由 得一元定常流动的连得一元定常流动的连续方程式是续方程式是 一元不可压缩流动的连续方程式是一元不可压缩流动的连续方程式是0AdA111222AA 1122AA211 2 G1G23-3 连续方程式连续方程式假设：假设：管道两截面之间无流体漏损。管道两截面之间无流体漏损。流体在如图所示的管道中流体在如图所

16、示的管道中: : 作连续稳定流动作连续稳定流动; ; 从截面从截面1-11-1流入，从流入，从截面截面2-22-2流出；流出； G1G21A1v12A2v2流体流速与管道的截面积成反比。流体流速与管道的截面积成反比。3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用一、流线上的伯努利方程式一、流线上的伯努利方程式 单位质量的流体质点经单位质量的流体质点经 dt 时间沿流时间沿流线产生微小位移线产生微小位移 。sddx = vxdtdy = vydtdz = vzdt 在三个坐标方向上的分量在三个坐标方向上的分量sd 将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边将上述三式分别与欧拉运动微分方程

17、三个表达式的两边相乘，然后分别相加可得：相乘，然后分别相加可得：dtdvdtvdtdvdtvdtdvdtvdzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzzyyxxzyx13-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用 引入以下限制条件，对上式中的三类项分别进行化简。引入以下限制条件，对上式中的三类项分别进行化简。 流体为不可压缩的；流体为不可压缩的； 流体作定常流动；流体作定常流动； 流体所受的质量力仅为重力。流体所受的质量力仅为重力。1、质量力（由条件、质量力（由条件3） fxdx + fydy + fzdz = gdz2、表面力（由条件、表面力（由条件2） dpdzzpdyypdxxp3-

18、6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用3、惯性力、惯性力于是化简后可得：于是化简后可得：积分上式，并考虑条件积分上式，并考虑条件 1 ， = 常数，常数，得：得： 222222vdvvvddvvdvvdvvzyxzzyyxx022vddpgdzCvpgz22除以除以 g, 则：则：Cgvgpz223-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用一、流线上的伯努利方程式一、流线上的伯努利方程式对于同一流线上的任意两点对于同一流线上的任意两点 1、2 ，上式可写成：，上式可写成： 在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程时，沿流线

19、的伯努利方程(能量方程能量方程)。单位重力流体的动能单位重力流体的动能（速度水头速度水头）gvgpzgvgpz2222222111单位重力流体的位能单位重力流体的位能（位置水头位置水头）单位重力流体的压能单位重力流体的压能（压强水头压强水头）3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用二、总流上的伯努利方程式二、总流上的伯努利方程式 总流总流 流体通过有限过流断流体通过有限过流断面的流动。面的流动。 表达了两个过流断面处流体能量表达了两个过流断面处流体能量的关系，但要以过流断面上的平均的关系，但要以过流断面上的平均值表示。值表示。1、动能项、动能项 以断面平均流速将动能表示为：以断面平均流

20、速将动能表示为：gv223-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用式中：式中： 动能修正系数。动能修正系数。AvdAvvqvdqAmAm33222121 平均动能实际动能 过流断面上速度分布越均匀，过流断面上速度分布越均匀， 1。2、势能项、势能项 若将若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上，则有：坐标平面取在缓变过流断面上，则有： vx = v vy = vz = 0 二、总流上的伯努利方程式二、总流上的伯努利方程式3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用于是欧拉运动微分方程可写成：于是欧拉运动微分方程可写成： 与平衡微分方程相同与平衡微分方程相同dtdvxpfxx101yp

21、fy01zpfzCgpz因此对于同一过流断面上有：因此对于同一过流断面上有：3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用即：过流断面上流体压强分布满足重力作用下静止流体即：过流断面上流体压强分布满足重力作用下静止流体的压强分布规律。的压强分布规律。则：对于沿总流的任意两个过流断面上的单位重力流体则：对于沿总流的任意两个过流断面上的单位重力流体有：有： 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程 (重力、理想、不可压、定常重力、理想、不可压、定常) gvgpzgvgpz222222221111 而在实际总流中，需考虑粘性摩擦对流体运动的阻力，而在实际总流中，需考虑粘性摩擦对流体运动的阻力，要由一部

22、分机械能去克服，使机械能要由一部分机械能去克服，使机械能 热能，沿流动方向热能，沿流动方向机械能机械能降低。降低。 式中：式中： hf 单位重力流体沿总流从单位重力流体沿总流从1 断面流到断面流到 2 断面，断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能，称为为克服粘性摩擦力而消耗的机械能，称为能量损失能量损失或水头或水头损失。损失。fhgvgpzgvgpz222212221111所以：所以：3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用 皮托皮托(Pitot)管是将流体动能转化为管是将流体动能转化为压能、从而通过测压计测定流体运动速压能、从而通过测压计测定流体运动速度的仪器。度的仪器。 设皮托管口前

23、设皮托管口前1点速度为点速度为 v，皮托管，皮托管口后的口后的2点是速度为零的驻点，此时皮点是速度为零的驻点，此时皮托管中的水柱高托管中的水柱高 称为称为总水头总水头。 3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用1. 皮托管皮托管0pHhg对对1、2两点列伯努利方程式，可得两点列伯努利方程式，可得 式中，式中， 为一点上的静压强，为一点上的静压强， 为为一点上的动压强，一点上的动压强， 为一点上的总压强为一点上的总压强（即驻点压强）。（即驻点压强）。 3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用2

24、02ppgggp220p它等于皮托管中总水头与测压管中静水头之差。它等于皮托管中总水头与测压管中静水头之差。201()2ppg HhgHhggg3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用 上图所示的皮托管和测压管可以清楚地说明伯努上图所示的皮托管和测压管可以清楚地说明伯努利方程式的几何意义。利方程式的几何意义。 管道中心线就是位置水头线，连接测压管水面的管道中心线就是位置水头线，连接测压管水面的就是静水头线，连接皮托管水面的就是总水头线。流就是静水头线，

25、连接皮托管水面的就是总水头线。流线不同点上的位置水头、压强水头、速度水头都是变线不同点上的位置水头、压强水头、速度水头都是变的。但对理想流体来说，这二者之和是不变的。的。但对理想流体来说，这二者之和是不变的。3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用 理想流体的总水头线是水平线。由于存在水头损失，故理想流体的总水头线是水平线。由于存在水头损失，故实际流体的总水头线是沿程逐渐下降的。实际流体的总水头线是沿程逐渐下降的。 用皮托管测量速度的公式可求得用皮托管测量速度的公式可求得 由于皮托管结构引起液流扰乱，故精确计算时还要对速度由于皮托管结构引起液

26、流扰乱，故精确计算时还要对速度公式加以修正。公式加以修正。002()22ppppgghg 流速系数流速系数 测量管道中的水流或气流速度时，皮托管需与测压管联合测量管道中的水流或气流速度时，皮托管需与测压管联合使用使用 式中：式中： 3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用2Cgh实际速度理论速度0()()222pphgggghgg为差压计中的液体密度；为管道中的流体密度。3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用三、伯努利方程式的应用三、伯努利方程式的应用 2. 节流式流量计节流式流量计 在管道中安装一个过流断面略小些的节流元件，使在管

27、道中安装一个过流断面略小些的节流元件，使流体流过时，速度增大、压强降低。利用节流元件前流体流过时，速度增大、压强降低。利用节流元件前后的压强差来测定流量的仪器叫作节流式流量计。后的压强差来测定流量的仪器叫作节流式流量计。3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用 工程上常用的有孔板流量计，喷嘴流量计及文丘里流量计工程上常用的有孔板流量计，喷嘴流量计及文丘里流量计三种三种。 3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用文丘里流量计：文丘里流量计： 由进出口过流断面积分别由进出口过流断面积分别为为A1和和A2的一段渐缩管组成，的一段渐缩管组成，在进出口处接入水银差压计在进出口处接入水银差

28、压计（或测压管）。（或测压管）。 取基准面取基准面0-0，另在缓变流动区取断面，另在缓变流动区取断面1-1，2-2，断面，断面形心为计算点。考虑理想流体（暂不计流动的能量损失）。形心为计算点。考虑理想流体（暂不计流动的能量损失）。3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用由连续方程知：由连续方程知：qAvAv2211对两过流断面对两过流断面1-1，2-2列出伯列出伯努利方程：努利方程： 2222222111gvgpzgvgpz( 取取 = 1 )解出：解出：22112112ddvAAvv3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用代入伯努利方程得：代入伯努利方程得： 2/242121

29、222111gddvgpzgvgpz解得：解得： 1242122111ddgpzgpzgvhddgv 124211对于测压管：对于测压管：对于对于U 型差压计型差压计:hddgv 1242113-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用 文丘里流量计若用文丘里流量计若用测压管测压测压管测压推导：推导：gzzahpp1201gapp02则：则：gapgzzahp2121同除以同除以 g 有有 ：agpzzahgp2121则：则：2211zgpzgph3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用 文丘里流量计若用文丘里流量计若用U 形管差压计测压形管差压计测压推导：取推导：取水平面过水平面

30、过U 型管左支管的两液体分界面，型管左支管的两液体分界面，列等压面方程。列等压面方程。左支管：左支管：右支管：右支管：bzgpp11hghbzgpp22即：即：hghbzgpbzgp2211所以：所以：hhhzgpzgp22113-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用于是理论流量：于是理论流量：qT = v1A1考虑实际流体流动中的能量损失后考虑实际流体流动中的能量损失后实际流量为：实际流量为： q = Cqv1A1其中其中Cq 流量系数。流量系数。流量的测量、计算与文丘里流量计放置的倾斜角度无关。流量的测量、计算与文丘里流量计放置的倾斜角度无关。例题例题 3 2：如图所示射流泵，将蓄

31、水池中的水吸上后从出水如图所示射流泵，将蓄水池中的水吸上后从出水管排出。管排出。已知：已知：H = 1 m, h = 5m D = 50 mm 喷嘴喷嘴 d = 30 mm 不计摩擦损失不计摩擦损失求：求：1、真空室中的压强、真空室中的压强 p2 ，2、排出水的流量、排出水的流量qV 。3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用解：取解：取 5 个过流断面如图。个过流断面如图。对对11，33 断面列伯努利方程得：断面列伯努利方程得：gvgpHgp22331则：则：smgHv43. 418 . 9223由连续方程知：由连续方程知：22322d

32、DgHdDvv即：即：4222dDHgv3-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用再对再对 11，22 断面列伯努利方程得：断面列伯努利方程得：gvgpHgp22221解得：解得：aPHdDHgpp35400 103. 005. 0980010013. 1 45412真空室压强真空室压强 p2 低于大气压，降至低于大气压，降至 0.345 105 Pa 后，后，蓄水蓄水池中的水被压上来池中的水被压上来。流量为：流量为：24Dvqv 吸水管中的流速吸水管中的流速对对 44 和和 55 断面列伯努利方程求断面列伯努利方程求 v :hgvgpgpa222解得：解得：smhgppgva59. 5

33、 58 . 9100010345. 018 . 92 2523-6 伯努利方程式及其应用伯努利方程式及其应用排出水的流量：排出水的流量：smDvvDvDvq322323202. 005. 0443. 459. 5 4443-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用质点系的动量定理：质点系的动量定理： 即：质点系动量的变化率等于作用在质点系上所有外即：质点系动量的变化率等于作用在质点系上所有外力的矢量和。力的矢量和。dtvmdF)( 在某一瞬时在某一瞬时 t ，从流场中取出一控制体，从流场中取出一控制体（如虚线所示），其一部分控制表面与要计（如虚线所示），其一部分控制表面与要计算作用力的固体壁面

34、相重合。算作用力的固体壁面相重合。 按照作用力与反作用力大小相等、方向按照作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，讨论运动流体对固体壁面的作相反的原理，讨论运动流体对固体壁面的作用力。用力。一、用欧拉方法表示的动量方程式一、用欧拉方法表示的动量方程式3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用 设设t瞬时控制体瞬时控制体V内任意位置上的质点速内任意位置上的质点速度为度为v、密度为、密度为，则整个质点系在，则整个质点系在t瞬时的初瞬时的初动量为动量为 。 经过经过 时间后，质点系的瞬时末动量为时间后，质点系的瞬时末动量为 VtdVt12VV()()()ttAAttAdVtdAtdAdVtdA

35、式中，式中，A1为控制体的流入表面，为控制体的流入表面， A2为控制体的流出表面。为控制体的流出表面。 3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用0VV()1lim()ttttAdmFdVdVtdAdtt 即即V()AFdVdAt 说明：说明： 只是作用在控制体内质点系上的所有外力的只是作用在控制体内质点系上的所有外力的矢量和。矢量和。 是控制体内流体动量对时间的变化率是控制体内流体动量对时间的变化率 是单位时间内通过所有控制表面的动量是单位时间内通过所有控制表面的动量代数和代数和 FVdVt()AdA 3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用 定常不可压缩一元流定常不可压缩一元流它在三

36、个坐标轴上的投影式为它在三个坐标轴上的投影式为式中，式中，为用平均速度计算动量而引为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数起的动量修正系数 21221 12121()()()vvAAAFdAdAdAqq 212121212121()()()()()()xvxxvxxyvyyvyyzvzzvzzFqqFqqFqq3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用 注意问题注意问题1、控制表面的一部分必须与对流体质点系有作用力的固、控制表面的一部分必须与对流体质点系有作用力的固体壁面相重合。有一部分必须是压强、流速已知或为所求体壁面相重合。有一部分必须是压强、流速已知或为所求的过流断面。在取控制体时要特

37、别注意。的过流断面。在取控制体时要特别注意。2、 F 是作用在控制体内流体质点系上的所有外力的矢量是作用在控制体内流体质点系上的所有外力的矢量和。外力既包括表面力（固体壁面及控制体外部液体对流和。外力既包括表面力（固体壁面及控制体外部液体对流体质点系的作用），也包括质量力。体质点系的作用），也包括质量力。3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用 注意问题注意问题3、外力和流速的方向，与所选定的坐标方向相同时取、外力和流速的方向，与所选定的坐标方向相同时取“+”，反之为，反之为“ ”。4、动量方程中的、动量方程中的 F 是外界（包括固体）对流体质点系施是外界（包括固体）对流体质点系施加的。实

38、际问题中常常要计算的是流体对固体的作用力，加的。实际问题中常常要计算的是流体对固体的作用力，应与前者等值反向。应与前者等值反向。二、动量方程式的应用二、动量方程式的应用3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用1.流体对管道的作用力流体对管道的作用力 可取可取11、22断面及弯管内表断面及弯管内表面为流管控制体。面为流管控制体。 作用在流体质点系的总外力包括：作用在流体质点系的总外力包括：弯管对控制体内流体的作用力及过流弯管对控制体内流体的作用力及过流断面上外界流体对控制体内流体的作断面上外界流体对控制体内流体的作用力。用力。 二、动量方程式的应用二、动量方程式的应用3-7 动量方程式及其应

39、用动量方程式及其应用 假定管道在水平平面内或者重力假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数取为可以不加考虑，动量修正系数取为1。可得以下二式：可得以下二式：1112222211cossin(sin)(cos),Rxvp Ap AFq1112222211sincos(cos)(sin)Ryvp Ap AFq 3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用由此解出流体对管道的作用力为由此解出流体对管道的作用力为 计算结果如果等式右端为正，则流计算结果如果等式右端为正，则流体对管道的作用力方向与原假定一致；体对管道的作用力方向与原假定一致；如果等式右端为负，则相反。如果等式右端为负，则相

40、反。 11122211222221112211cossin(cossin)cossin(cossin)RxvRyvFp Ap AqFp Ap Aq22RRxRyFFFarctanRyRxFF3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用 特例特例1 直角变径弯管直角变径弯管1211220,vqAA流体对直角变径弯管的作用力为流体对直角变径弯管的作用力为 21112222()()RxRyFpAFpA 特例特例21 直角等径弯管直角等径弯管流体对直角等径弯管的作用力为流体对直角等径弯管的作用力为 12120,vAAA qA2122()()RxRyFpAFpA3-7 动量方程式及其应用动量方程式及其应用 特例特例3 反向等径弯管反向等径弯管1212120,90 ,vAAAqA 212(2)0RxRyFppAF 特例特例4 逐渐收缩管逐渐收缩管1211220,90 ,vqAA22111222()()0Rx