椭圆的简单几何性质(直线与椭圆的位置关系)

1、5：求椭圆：求椭圆 上一点上一点P,使得点使得点P与椭圆与椭圆两焦点连线互相垂直两焦点连线互相垂直.14922 yx:3,2,5abc解法112(5,0),( 5,0)FF00(,)P xy设12PFPF120PF PF 2000(5)(5)0 xxy22005xy2200194xy又000033554455xxyy 解得：或3434,)5555P(,)或P(5、求椭圆、求椭圆 上一点上一点P,使得点使得点P与椭圆与椭圆两焦点连线互相垂直两焦点连线互相垂直.14922 yx5:3,2,5,3abce解法2( , )P x y设3434,)5555P(,)或P(|1533则：，PFaexx |

2、2533PFaexx|cos| |222121212122PFPFFFF PFPFPF ()2251952 99xx 0 35x 45y 代入椭圆方程得2.1.2椭圆的简椭圆的简单几何性质（单几何性质（4）回忆：直线与圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法(代数法代数法) 联立直线与圆的方程联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)0直线与椭圆相交直线与

3、椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)k-3366-k0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.- (1)由韦达定理由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABA

4、BABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线例例1：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长题型二：弦长公式题型二：弦长公式222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例 2 2: :已知点已知点12FF、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 题型二：

5、弦长公式题型二：弦长公式例例 2 2: :已知点已知点12FF、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 例例3 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例 3 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程

6、，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,), (,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在椭圆上，222

7、2221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 例例3已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于

8、充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题例例4、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22

9、121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 练习练习：1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线， 则弦

10、长则弦长 |AB|= _ , DC193622yx1522myx165练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=

11、45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:

12、59140 xy3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交12:( 2,0),(2,0)FF解 椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求椭圆方程为：xy122yxbyxm 分析：存在直线与椭圆交与