多目标决策分析

1、第第6 6章章 多目标决策分析多目标决策分析n6.1 多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系n6.2 目标规划方法目标规划方法n6.3 化多为少方法化多为少方法n6.4 多维效用合并方法多维效用合并方法n6.5 AHP方法方法（简介）（简介）n6.6 DEA方法方法6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系 一、什么是目标准则体系一、什么是目标准则体系 二、结构如何，几种类型二、结构如何，几种类型 三、评价准则和效用函数三、评价准则和效用函数 四、对风险因素的处理四、对风险因素的处理问问题题一、目标准则体系的意义一、目标准则体系的意义n决策目标决策目标 在决策分析中，决策

2、问题要达到的目的。在决策分析中，决策问题要达到的目的。n决策准则决策准则 用数值表示决策方案实现某个目标程度的标用数值表示决策方案实现某个目标程度的标 准和法则。准和法则。n目标准则体系问题目标准则体系问题 单目标决策单目标决策单决策准则单决策准则（准则选择）（准则选择）方案择优方案择优 多目标决策多目标决策多决策准则（构建目标准则体系）多决策准则（构建目标准则体系）总体上总体上 对可行方案择优对可行方案择优 构造原则：系统性原则可比性原则可操作性原则构造原则：系统性原则可比性原则可操作性原则 一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题 直接进行评价和比较直接进行评价和比较 n目标目标 难以直接

3、评价难以直接评价 分解成子目标分解成子目标 （可以直接评价为止）（可以直接评价为止）n例如，某经济特区计划兴建一个大型海港，港址的选择就是例如，某经济特区计划兴建一个大型海港，港址的选择就是多目标决策问题多目标决策问题 海港港址决策的目标准则体系，包括海港港址决策的目标准则体系，包括经济、技术、环境经济、技术、环境以以及及社会社会四个分目标四个分目标 海滩港址海滩港址经济经济技术技术环境环境社会社会一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题n上面四个分目标均不能直接用一个或几个准则进行评上面四个分目标均不能直接用一个或几个准则进行评 价价 ，逐级分解为若干，逐级分解为若干子目标子目标 间间接接效

4、效益益例如，经济目标分解例如，经济目标分解可以分解成可以分解成直接经济效益直接经济效益和和间接经济效益间接经济效益两个两个一级子目标一级子目标 直直接接效效益益经济经济一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题n直接经济效益分解直接经济效益分解n为投资额、投资回收期和利税为投资额、投资回收期和利税总额等三个总额等三个二级子目标二级子目标 间接经济效益分解间接经济效益分解 为海运业收益，国内贸易收益，为海运业收益，国内贸易收益， 国际贸易收益等三个国际贸易收益等三个二级子目标二级子目标 投资额投资回收期利税总额直接效益间接效益海运收益国际贸易收益国内贸易收益 评价评价：时间准则时间准则 货币准则货

5、币准则 货物载运量准则货物载运量准则 货币准则货币准则 一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题n对于技术、社会和环境目标，均可以进行同样的分解这样，形成了对于技术、社会和环境目标，均可以进行同样的分解这样，形成了一个分层结构复杂的目标准则体系（图一个分层结构复杂的目标准则体系（图6.6.） 总体目标总体目标 准准则则层层 海 滩 港 址经济技术环境社会投资额投资回收期利税总额直接效益间接效益海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道环境资源交通关系城市关系运行建筑海滩军事政策现状稳定性深度国家安全军港建设三废排放风景古迹淡水资源征地能源铁路公路条件内河条件货物装卸船舶航行稳定性保持稳定难易度码头围

6、堰防波堤这就是目标准则体系这就是目标准则体系 图图6.1二、目标准则体系的结构二、目标准则体系的结构 n可将目标准则体系分成以下三种类型：可将目标准则体系分成以下三种类型： 1单层次目标准则体系单层次目标准则体系 各个目标都各个目标都属于同一层次属于同一层次，每个目标，每个目标无须分解无须分解就可以用单准则给出定量就可以用单准则给出定量评价其结构如图评价其结构如图6.2所示所示总目标总目标适用：微观经济管理，例如选购某种设备和装置适用：微观经济管理，例如选购某种设备和装置 。目目标标1目目标标2目目标标3目目标标m-1目目标标m图6.2二、目标准则体系的结构二、目标准则体系的结构n2序列型多层

7、次目标准则体系序列型多层次目标准则体系 目标准则体系的各个目标，均可以一层层目标准则体系的各个目标，均可以一层层按类别有序地按类别有序地分解为若干低一层次的子目标分解为若干低一层次的子目标。 特点特点：每个子目标均可由每个子目标均可由相邻上一层次相邻上一层次的某个目标分解的某个目标分解而成而成。 各子目标可以按序列关系分属各类目标，各子目标可以按序列关系分属各类目标，不同类别不同类别的目标准则之间的目标准则之间不发生直接联系不发生直接联系。 适用：适用：宏观经济管理，例如前面提到的海港港址的决策宏观经济管理，例如前面提到的海港港址的决策 。 二、目标准则体系的结构二、目标准则体系的结构n3非序

8、列型多层次目标准则体系非序列型多层次目标准则体系 相邻两层次子目标之间，相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系仅按自身的属性建立联系，存，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。不存在直接联系。 G非序列型多层非序列型多层次目标准则体次目标准则体系，层次结构系，层次结构如图如图6.3所示所示 图6.3c1c2g1(1)g2(1)gl(1)g1(n)g2(n)gk(n)cs准则层第n层目标第1层目标总目标三、评价准则和效用函数三、评价准则和效用函数n多目标决策的关键多目标决策的关键 如何从总体上给出可行方

9、案关于目标准则体系中全部目如何从总体上给出可行方案关于目标准则体系中全部目标的标的满意度满意度 n 不同不同的目标用的目标用不同不同的评价准则衡量的评价准则衡量 化为无量纲化为无量纲统一统一的数量标度的数量标度 按特定的法则和逻辑过程进行按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合归纳与综合 建立具有建立具有可比性可比性的数量关系的数量关系 n满意度满意度： 联系第三章知识，效用值分别表示了可行方案在各联系第三章知识，效用值分别表示了可行方案在各目标准则下，对于决策主体的价值，都目标准则下，对于决策主体的价值，都用区间用区间0， 1上的实数表示上的实数表示。 任何一个可行方案在总体上对决策主体满意度，

10、任何一个可行方案在总体上对决策主体满意度，通通过这些效用值按照某种法则并合而得过这些效用值按照某种法则并合而得 四、目标准则体系风险因素的处理四、目标准则体系风险因素的处理n单目标风险型决策单目标风险型决策 期望效用值较好地表期望效用值较好地表示满意度示满意度 n多目标决策多目标决策 风险型多目标问题风险型多目标问题 可行方案在各自然状态下的结果值转化为期望结果值可行方案在各自然状态下的结果值转化为期望结果值 对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理 确定型多目标问题确定型多目标问题6.2 目标规划方法目标规划方法n称为目的规划，是查

11、恩斯（称为目的规划，是查恩斯（ACharnes）和库）和库柏（柏（WWCooper）于）于1961年提出来的年提出来的n目标规划克服了线性规划目标单一的缺点，是一目标规划克服了线性规划目标单一的缺点，是一种实用的多目标决策方法这种方法对单层次目种实用的多目标决策方法这种方法对单层次目标准则体系的决策问题十分有效标准则体系的决策问题十分有效. 一、目标规划模型一、目标规划模型n多目标线性规划的一般形式是多目标线性规划的一般形式是 ),.,2 , 1(0),.,2 , 1(.),.,2 , 1(min11njxmibxatsKkxcZjnjijijnjjkjk一、目标规划模型一、目标规划模型为了求

12、解多目标线性规划，需要解决两个问题为了求解多目标线性规划，需要解决两个问题: 第一，如何将多目标规划转化为单目标规划求解；第一，如何将多目标规划转化为单目标规划求解； 第二，第二，K个目标函数对于决策者来说，有主次轻重之分，个目标函数对于决策者来说，有主次轻重之分，如何表示多目标的主次顺序如何表示多目标的主次顺序 一、目标规划模型一、目标规划模型n求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是其求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是其中有效方法之一中有效方法之一 基本方法：基本方法： 对每一个目标函数引进一个期望值对每一个目标函数引进一个期望值 引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的引入正、负偏

13、差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组束条件构成新的约束条件组 引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解解 一、目标规划模型一、目标规划模型 1目标函数的期望值目标函数的期望值 对于多目标线性规划的每一个目标函数值对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk（k=1，2，K），根据实际情况和决策者的），根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值希望，确定一个期望值ek尽管尽管K

14、个目标的期望个目标的期望值难以全部达到，寻求可行解应该使这些目标的值难以全部达到，寻求可行解应该使这些目标的期望值最接近地得以实现期望值最接近地得以实现 一、目标规划模型一、目标规划模型2 2正、负偏差变量正、负偏差变量 对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量（k1，2，K） 表示第表示第k个目标超出（未达到）期望值个目标超出（未达到）期望值ek的数值，的数值，其中至少有一个为零。其中至少有一个为零。 ,0kkkkdddd且一、目标规划模型一、目标规划模型n引入偏差变量之后，目标函数就变成了约引入偏差变量之后，目标函数就变成了约束条件，成为约束条件

15、组的一部分束条件，成为约束条件组的一部分n原有的约束条件，也可以用引入偏差变量原有的约束条件，也可以用引入偏差变量的办法，将不等式约束变成等式约束，偏的办法，将不等式约束变成等式约束，偏差变量起着松弛变量的作用差变量起着松弛变量的作用 3准则函数准则函数各个目标函数引入期望值和偏差变量后，已并入约各个目标函数引入期望值和偏差变量后，已并入约束条件组，需要构造新的目标函数束条件组，需要构造新的目标函数 一、目标规划模型一、目标规划模型n目标规划模型的目标函数称为目标规划模型的目标函数称为准则函数准则函数，是一个，是一个以诸偏差变量取最小值，单一综合性的目标函以诸偏差变量取最小值，单一综合性的目标

16、函数构造准则函数，多目标问题就转化为单目标数构造准则函数，多目标问题就转化为单目标问题准则函数的一般形式是问题准则函数的一般形式是 具体形式有三种：具体形式有三种： 要求某个目标恰好达到期望值，正、负偏差变量要求某个目标恰好达到期望值，正、负偏差变量都应该取最小值，可取和都应该取最小值，可取和式式达到最小值准则函数的形式达到最小值准则函数的形式为为min ()kkf dd min(,)kkZf dd一、目标规划模型一、目标规划模型 要求某个目标不低于期望值，即该目标的正偏差变量要求某个目标不低于期望值，即该目标的正偏差变量不受限制，负偏差变量取最小值准则函数形式为不受限制，负偏差变量取最小值准

17、则函数形式为 要求某个目标不高于期望值，即该目标的负偏差变量要求某个目标不高于期望值，即该目标的负偏差变量不受限制，正偏差变量取最小值准则函数形式为不受限制，正偏差变量取最小值准则函数形式为将各目标不同形式取最小值的偏差变量相将各目标不同形式取最小值的偏差变量相加，就得到准则函数加，就得到准则函数 min()kkf ddmin ()kf dmin ()kf d 一、目标规划模型一、目标规划模型 4. 优先因子和权系数优先因子和权系数 各个目标有主次之分为此，引进优先因子各个目标有主次之分为此，引进优先因子Pi（i1，2，L），表示目标属于第），表示目标属于第i个优先级别，共个优先级别，共有有L

18、个优先等级个优先等级 一、目标规划模型一、目标规划模型kdP1例如，例如， 表示第表示第k个正偏差变量列入第个正偏差变量列入第1优优先级别优先因子先级别优先因子Pi不仅作为一种记号，还可以看不仅作为一种记号，还可以看作偏差变量的一种特殊正系数，参加作偏差变量的一种特殊正系数，参加一般运算一般运算 相邻优先级别的关系是相邻优先级别的关系是: :规定级别规定级别Pi比比Pi+1有更大的优先权有更大的优先权 首先必须保证级别首先必须保证级别Pi的目标实现，其后再考虑的目标实现，其后再考虑Pi+1级目标由于级目标由于Pi，Pi+1不是同一级别的量，对于任不是同一级别的量，对于任意正数意正数 M，均有，

19、均有Pi M Pi+1例如，例如，P1 100P2等等 1iiPP一、目标规划模型一、目标规划模型n在同一优先级别中，为了区分不同目标偏差在同一优先级别中，为了区分不同目标偏差变量的重要程度，引入权系数变量的重要程度，引入权系数ij, 权系数的数值根据实际情况而定权系数的数值根据实际情况而定11kijj目标规划模型的一般形式是目标规划模型的一般形式是 （6.2） ),.,2, 1(0,),.,2, 1(0),.,2, 1(),.,2, 1(. )(min1111KkddnjxKkeddxcmibxatsddPZkkjnjkkkjkjnjijijKkkikkiklii一、目标规划模型一、目标规划

20、模型n目标规划的建模步骤目标规划的建模步骤 假设决策变量；假设决策变量； 建立约束条件；建立约束条件； 建立各个目标函数；建立各个目标函数； 确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；方程； 确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数 分析实际问题到建立模型，是应用目标规划解决实际问题分析实际问题到建立模型，是应用目标规划解决实际问题的关键而困难的一步的关键而困难的一步 一、目标规划模型一、目标规划模型n例例6.1某厂生产某厂生产A，B两种型号的产品，需要消耗两种型号的产品，需要消耗甲、乙两种

21、材料，其单位消耗、单位利润和材料库存甲、乙两种材料，其单位消耗、单位利润和材料库存如表如表6.1市场对产品市场对产品B的需求量大，要尽可能多生产，的需求量大，要尽可能多生产，如何安排生产如何安排生产A，B型号产品，使厂家获得最大利润型号产品，使厂家获得最大利润 根据市场需求情况，决策者确定首要目标是确保利根据市场需求情况，决策者确定首要目标是确保利润润755万元，其次是产品万元，其次是产品B的产量不得低于目标值的产量不得低于目标值650万件，试对厂家生产作出决策分析万件，试对厂家生产作出决策分析单耗（万斤单耗（万斤/万件）万件） 产品产品材料材料产品产品材料存量材料存量AB甲甲0.50.330

22、0(万斤万斤)乙乙0.10.3180(万斤万斤)利润（万元利润（万元/万件）万件）0.71.0一、目标规划模型一、目标规划模型n解：解：设设A，B型产品的产量分别为型产品的产量分别为x1, x2万件先分析该问万件先分析该问题的约束条件题的约束条件 原材料约束原材料约束：由表：由表6.1知，对于材料甲，知，对于材料甲，A、B型产品的型产品的单耗分别为单耗分别为0.5，0.3，材料存量为，材料存量为300于是，有约束条件于是，有约束条件 0.5x10.3x2300 同样，对于材料乙，有约束条件同样，对于材料乙，有约束条件0.1x1十十0.3x2180利润约束利润约束：A，B型产品的单位利润分别为型

23、产品的单位利润分别为0.7，1.0，管，管理首要目标是确保利润理首要目标是确保利润755万元于是，有约束条件万元于是，有约束条件由于第一级管理目标要确保利润值，设利润值的正、由于第一级管理目标要确保利润值，设利润值的正、负偏差变量为负偏差变量为 d3， d3-，约束条件即为，约束条件即为120 .77 5 5xx12330.7755xxdd 一、目标规划模型一、目标规划模型44,dd产量约束产量约束：产品：产品B的产量不得低于的产量不得低于650，于是有，于是有由于第二级管理目标要不低于由于第二级管理目标要不低于650，设产品，设产品B产量的正、产量的正、负偏差变量为负偏差变量为 约束条件即为

24、约束条件即为 再分析准则函数的优先级别各级管理目标依次是：再分析准则函数的优先级别各级管理目标依次是： P1级目标：确保利润值恰好为级目标：确保利润值恰好为 755，即有，即有 P1 (d3+ +d3- ) 表示利润值的正负偏差变量之和最小表示利润值的正负偏差变量之和最小 P2级目标：产品级目标：产品B的产量不得低于的产量不得低于650，即有，即有P2d4-，表示，表示产品产品B产量的负偏差变量最小。产量的负偏差变量最小。 2650 x 244650 xdd一、目标规划模型一、目标规划模型n另外，为使材料约束条件的不等式约束化为等式约束，另外，为使材料约束条件的不等式约束化为等式约束，分别设分

25、别设dl，d1-为甲材料的正、负偏差变量，为甲材料的正、负偏差变量，d2，d2-为为乙材料的正、负偏差变量综上分析，此问题的目标规乙材料的正、负偏差变量综上分析，此问题的目标规划模型为划模型为)4 , 3 , 2 , 1( , 0, 0,6507557 . 01803 . 01 . 03003 . 05 . 0.)(min2144233212221112142331iddxxddxddxxddxxddxxtsdPddPZii一、目标规划模型一、目标规划模型n例例6.2某纺织厂生产尼龙布和棉布，平均生产能力是每某纺织厂生产尼龙布和棉布，平均生产能力是每小时小时1千米，工厂开工能力为每周千米，工厂

26、开工能力为每周80小时根据市场预测，小时根据市场预测，每周最大销售量尼龙布每周最大销售量尼龙布70千米，棉布千米，棉布45千米尼龙布单位千米尼龙布单位利润为每米利润为每米2.5元，棉布每米元，棉布每米1.5元厂家确定四级管理目元厂家确定四级管理目标：标： P1：保证正常生产，避免开工不足；：保证正常生产，避免开工不足；P2：限制加班时间，不超过：限制加班时间，不超过10小时；小时；P3：尽量达到最大销售量，尼龙布：尽量达到最大销售量，尼龙布70千米，棉布千米，棉布45千米；千米；P4：尽可能减少加班时间：尽可能减少加班时间试对该厂尼龙布和棉布生产进行决策分析试对该厂尼龙布和棉布生产进行决策分析

27、 一、目标规划模型一、目标规划模型n解：解：设尼龙布和棉布周生产量分别为设尼龙布和棉布周生产量分别为x1,x2（千米）先分（千米）先分析约束条件，并引入各目标约束的偏差变量析约束条件，并引入各目标约束的偏差变量 801121ddxx开工能力约束开工能力约束：每周开工：每周开工80小时，由于尼龙布和棉布小时，由于尼龙布和棉布生产能力是每小时生产能力是每小时 1千米，其生产时间分别是千米，其生产时间分别是x1， x2小小时并设开工时间的正、负偏差变量为时并设开工时间的正、负偏差变量为d1，d1-，于是，于是销售量约束销售量约束：尼龙布和棉布最大周销售量分别为：尼龙布和棉布最大周销售量分别为70千米

28、，千米，45千米设尼龙布和棉布的负偏差变量分别为千米设尼龙布和棉布的负偏差变量分别为d2+,d2-,d3+,d3-,于是有于是有 70221ddx45332ddx一、目标规划模型一、目标规划模型 加班时间约束加班时间约束：加班时间不超过：加班时间不超过10小时设正、负偏差小时设正、负偏差变量分别为变量分别为d4+，d4-，于是有，于是有再分析优先级别，确定权系数和建立准则函数再分析优先级别，确定权系数和建立准则函数 P1级目标：避免开工不足，开工时间的负偏差变量要尽级目标：避免开工不足，开工时间的负偏差变量要尽量地小，即量地小，即P1 d1- P2级目标：加班时间不超过级目标：加班时间不超过1

29、0小时，即小时，即P2 d4+ P3级目标：尽量达到最大销售量，级目标：尽量达到最大销售量，P3级目标应包括级目标应包括 d2-， d3-，并取和式并取和式d2-d3-由于尼龙布和棉布的单位利润分别为由于尼龙布和棉布的单位利润分别为2.5元米，元米，1.5元米，权系数应取比例元米，权系数应取比例2.5:1.5= 5:3于是有于是有 P3（5 d2- 3 d3-） 904421ddxxP4级目标：尽可能减少加班时间，即有级目标：尽可能减少加班时间，即有P4 d1+一、目标规划模型一、目标规划模型综上所述，该问题的目标规划模型为综上所述，该问题的目标规划模型为)4 , 3 , 2 , 1(0, 0

30、,90457080.)35(min2144213322211121143234211iddxxddxxddxddxddxxtsdPddPdPdPZii6.3 化多为少方法化多为少方法一、主要目标法一、主要目标法二、线性加权和法二、线性加权和法三、平方和加权法三、平方和加权法四、理想点法四、理想点法五、步骤法（五、步骤法（STEM法）法）n对于一般单层次多目标决策模型，经常采用化为对于一般单层次多目标决策模型，经常采用化为单目标决策模型来求解。其方法大致可分为两类，单目标决策模型来求解。其方法大致可分为两类，一类是转化为一类是转化为一个单目标问题一个单目标问题；另一类是转化为；另一类是转化为多个

31、单目标问题多个单目标问题。n一般单层次多目标决策模型可表示为一般单层次多目标决策模型可表示为XxtsxfxfxfxFTm.)(),.,(),()(max21)(),.,(),(21xfxfxfm其中其中表示表示m个目标函数个目标函数，X表示满足某些约束条件的表示满足某些约束条件的n维点集。维点集。(6.3)一、主要目标法一、主要目标法在有些多目标决策问题中，各种目标的重要程度往在有些多目标决策问题中，各种目标的重要程度往往不一样。其中一个重要程度最高和最为关键的目往不一样。其中一个重要程度最高和最为关键的目标，称之为标，称之为主要目标主要目标，其余的目标则为非主要目标。，其余的目标则为非主要目

32、标。例如，在多目标决策问题例如，在多目标决策问题(6.3)式中，假设式中，假设f1(x)为主为主要目标，其余要目标，其余m-1个目标为非主要目标。此时，希个目标为非主要目标。此时，希望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一定的条件，即定的条件，即通过通过 求解单目标决策问题求解单目标决策问题(6.4)可得多目标决策问题可得多目标决策问题(6.3)的一个的一个弱有效解弱有效解。Xxmiaxftsxfii,.,3 , 2)(.)(max1(6.4)例例6.5 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品

33、都要消耗原材料都要消耗原材料A、B和设备和设备C三种不同的资源，每件产品对三种不同的资源，每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表所示。假定产品能全部单位利润和所造成的单位污染如下表所示。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都达到销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都达到最大，且造成的污染达到最小？最大，且造成的污染达到最小？ 产品产品资源资源甲甲乙乙资源限额资源限额原材料原材料A45200/公斤公斤原材料原材料B94240/公斤公斤设备设备C310300

34、/工时工时价格价格/（元（元/件）件）400600利润利润/（元（元/件）件）70120污染污染32污染最小）产值最大）利润最大）(23)(min(600400)(max(12070)(max213212211xxxfxxxfxxxf0,300103240492005421212121xxxxxxxx解：解： 设甲、乙两种产品的产量分别为设甲、乙两种产品的产量分别为x1,x2件。件。该问题有该问题有3个目标，即个目标，即该问题的约束条件为该问题的约束条件为0,3001032404920054.)(),(),()(max21212121321xxxxxxxxtsxfxfxfxFT建立该问题的多目

35、标决策模型：建立该问题的多目标决策模型：9023)(min(20000600400)(max213212xxxfxxxf假定对上述模型的假定对上述模型的3个目标，工厂确定利润最大为主要目标，个目标，工厂确定利润最大为主要目标，另两个目标则通过预先给定的希望达到的目标转化为约束条另两个目标则通过预先给定的希望达到的目标转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到件。经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污个单位，而污染量则应控制在染量则应控制在90个单位以下，即个单位以下，即0,3001032404920054902320000600400.12070)(max21212121

36、2121211xxxxxxxxxxxxtsxxxf由主要目标法得到如下单目标规划问题由主要目标法得到如下单目标规划问题：用单纯形法求解，得用单纯形法求解，得x1=12.5,x2=26.25,f1(x)=4025,f2(x)=20750,f3(x)=90二、线性加权和法二、线性加权和法)()(1xfxUimii )(),.,(),(21xfxfxfm多目标决策问题多目标决策问题(6.3)，对，对m个目标函数个目标函数分别赋以权系数分别赋以权系数i,i=1,2,m,构成新的目标函数（评价函数）构成新的目标函数（评价函数）将求解多目标问题将求解多目标问题(6.3)转化为求解如下单目标决策问题转化为求

37、解如下单目标决策问题XxtsxfxUimii.)()(max1由于多目标决策问题中关于目标的度量单位和数量级不同由于多目标决策问题中关于目标的度量单位和数量级不同，一般先应作标准化处理。，一般先应作标准化处理。(6.5)二、线性加权和法二、线性加权和法 例例6.6 某公司计划进一批新卡车，可供选择某公司计划进一批新卡车，可供选择的卡车有的卡车有4种类型：种类型：A1,A2,A3,A4,现考虑现考虑6个方案个方案属性：维修期限属性：维修期限f1,百升汽油公里数百升汽油公里数f2,最大载重最大载重吨数吨数f3，价格，价格(万元万元)f4，可靠性，可靠性f5,灵敏性灵敏性f6。这。这4种型号的卡车分

38、别关于目标属性的指标种型号的卡车分别关于目标属性的指标fij如表如表所示。所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般一般高高A22.527003.465低低一般一般A32.020004.245高高很高很高A42.21800450很高很高一般一般解：解：先将定性指标定量化：先将定性指标定量化：可靠性：一般（可靠性：一般（5），低（），低（3），高（），高（7），很高（），很高（9）灵敏性：高（灵敏性：高（7），一般（），一般（5），很高（），很高（9）按以下公式做无量纲的标准化处理：按以下公式做无量纲的标准化处理：ijijijijijijijijjjjijijfffffff

39、fffffamax,minmin,max1)(99*成本指标其中效益指标 614461336122161122.45)(025.70)(7.30)(34)(iiiiiiiiiiiiaxUaxUaxUaxU变换后的指标值矩阵（变换后的指标值矩阵（aij）如下表：）如下表：fijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A21001001111A3142.2510010067100A440.625.756775.251001设权系数向量设权系数向量 =（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3），则），则)()(max*3xUxUUi由于由于，最优方案为选购，最优方案为选购A3

40、型卡车。型卡车。运用线性加权和法求解多目标决策问题的难点是如何找到合运用线性加权和法求解多目标决策问题的难点是如何找到合理的权系数，下面介绍几种确定权系数方法。理的权系数，下面介绍几种确定权系数方法。1. 法法以两个目标的多目标决策问题为例，解释以两个目标的多目标决策问题为例，解释法确定权系数的原法确定权系数的原理。理。设有多目标决策问题：设有多目标决策问题：XxtsxfxfxFT.)(),()(max21XxtsxfxfxU.)()()(max22111*220111022*11cffcff化为单目标决策问题：化为单目标决策问题：其中，其中，1，2由下述方程组来确定由下述方程组来确定任意常数

41、。其中，0),(),(),()(max),()(max1) 1 (202)2(101)2(22*2) 1 (11*1cxffxffxfxffxfxffXxXx解上述方程组可得：解上述方程组可得：0201*2*102*21*1)(ffffffc0201*2*10201*2*11ffffffffc0201*2*102*2*1ffffff0201*2*101*11*2)(ffffffc若规定若规定 1+2=1，即可得到，即可得到于是有于是有0201*2*101*1*2ffffff例例 6.7 设有多目标决策问题设有多目标决策问题0342.)(),()(max2,1212121xxxxxxtsxfxf

42、xFT法求解。试用其中，,23)(,4)(212211xxxfxxxf0)(max)0,0()(11)1(1*1xffxffXx解：解：先分别对目标函数先分别对目标函数f1(x),f2(x)求得其最优解，它们是求得其最优解，它们是7)(max)2 , 1 ()(22)2(2*2xffxffXx0)(6)()1(202)2(101xffxff，然后求出1370201*2*102*2*1ffffff1360201*2*101*1*2ffffff由此由此可得可得于是于是)510(131)()()(212*21*1xxxfxfxU1315)3 ,0()(maxUxUXxXxtsxfxUmiii.)()

43、(max1)(max,1*xfffiXxiiii取其中容易求得容易求得2. - 法法设有多目标决策问题公式设有多目标决策问题公式(6.3)，- 法确定权系数的原理是法确定权系数的原理是将公式将公式(6.3)化为如下单目标决策问题化为如下单目标决策问题适用条件：适用条件：fi*0三、平方和加权法三、平方和加权法都相同。为理想点，若所有称),.2 , 1(),.,()(*2*1*mixfffFiTm四、理想点法四、理想点法)(),.,(),(21xfxfxfmmixfxffiiiXxi,.,2 , 1)()(max)(*假设多目标决策问题公式假设多目标决策问题公式(6.3)，对，对m个目标函数个目

44、标函数分别有最优值分别有最优值要求目标要求目标fi(x)与规定值与规定值fi*相差尽量小（相差尽量小（i=1, 2, , m），），可构可构造目标函数：造目标函数： 21*)()( miiiifxfxU 构成单目标决策问题：构成单目标决策问题： XxtsfxfxUmiiii .)()(min12* i i 权系数，可按要求的相差程度分别给出。权系数，可按要求的相差程度分别给出。0,1021832.)(),()(max21212121xxxxxxtsxfxfxFT,34)(,23)(212211xxxfxxxf其中24)4,3()()(max12)6,0()()(max2)2(22*21)1(1

45、1*1fxfxfffxfxffXxXx设为设为x(0),则则x=x(0)即为公式即为公式(6.5)的最优解；若不然，则考虑解的最优解；若不然，则考虑解如下单目标决策问题如下单目标决策问题例例6.8 设有多目标决策问题设有多目标决策问题试用理想点法求解。试用理想点法求解。解：解：先分别对目标函数先分别对目标函数f1(x),f2(x)求得其最优解，求得其最优解，故理想点为故理想点为F*=(f1*,f2*)T=(12,24)T 。 XxtsfxfxUmiii . .)()(min2112*06.19,72. 90201ff0,1021832.)()()(min212121212*222*11xxxx

46、xxtsfxffxfxU然后求解单目标决策问题然后求解单目标决策问题可求得最优解可求得最优解 x*=(0.53,5.65)T, 对应的目标函数值分别为对应的目标函数值分别为五五. 步骤法（步骤法（STEM法）法） 是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直

47、到求得决策者认的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。为满意的解为止。设有多目标线性规划问题：设有多目标线性规划问题： 矩矩阵阵是是，nmAxbxAtsxfxfxfxFTk 0.)(,),(),()(max21其中其中kixcxcxfnjjijii,2,1)(1 STEM法的求解步骤：法的求解步骤：(1)分别求解分别求解k个单目个单目标线性规划问题标线性规划问题kixbxAtsxfi, 2 , 10.)(max 结果可列表给出（称为支付表）结果可列表给出（称为支付表）:得到的最优解记为得到的最优解记为x(i)，其相应的目标函数值记为，其相应的目标函数值记为fi*（i=1,

48、2, , k），并），并x(i)代入其它目标函数：代入其它目标函数：)()(ijijxfz x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk(2)求权系数：从支付表中得到求权系数：从支付表中得到ijkijjzff 10*min和和为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理进行如下处理： 0)(10)(1*1200*120*injijiiiinjijiiiifcffffcfff 归一化后得权系数：归一化后得权系数：kikjiii, 2 , 11 (

49、3)求解求解 0, 2 , 1)(.min*xbxAkixfftsiii 该线性规划问题的最优解记为该线性规划问题的最优解记为x0 。(4)将将x0 和相应的目标值和相应的目标值),(,),(),(00201xfxfxfk交给决策者判断。交给决策者判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，则可停止计算；若认为相差太远，则考虑适当修正则可停止计算；若认为相差太远，则考虑适当修正 。如：考虑对第如：考虑对第r个目标让一点步，降低一点目标值个目标让一点步，降低一点目标值fr 。(5)求解求解 0,)()(, 2 , 1)(.min0

50、*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii 求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满意了为止。满意了为止。例6.9某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，生产过程会在空气中引起放射性污染，因生产过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目标：极大化利润与极小此决策者有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是内，每单位甲产品的收益是1元，每单位乙元，每单位乙产品的收益是产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性元；

51、每单位甲产品的放射性污染是污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污单位，每单位乙产品的放射性污染是染是1单位，由于机器能力（小时）、装配单位，由于机器能力（小时）、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是（限制，约束条件是（ x1、x2分别为甲、乙分别为甲、乙产品的产量）：产品的产量）：该问题的目标函数为：该问题的目标函数为： ，（原材料）（原材料）（装配能力）（装配能力）（机器能力）（机器能力）072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.21212121xxxxxxxxts（放放射射性性污污染染最最小小）（利利润润最最大大）21

52、22115 . 1)(max3)(maxxxxfxxxf 先分别求解先分别求解 ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.5 . 1)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf得：得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0支付表f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.523.625x(2)=(0, 0)T002122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 求权系数：从

53、求权系数：从支付表中得到支付表中得到625.23,00,5 .4502*201*1 ffff0.554715 . 11625.23023.625)(10.31623115 .4505 .45)(122120220222212*101*11njijnjijcfffcfff归一化后得权系数：归一化后得权系数：6369. 03631. 021，求解求解 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0)5 . 1(6369. 0)35 .45(3631. 0.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 最优解为最优解为x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71,

54、f2(x0)=-9.57 2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 将将x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交给决策者判断。交给决策者判断。决策者将其与理想值（决策者将其与理想值（45.5, 0）进行比较）进行比较后，认为后，认为f2 是满意的，是满意的，但利润太低但利润太低。且认为。且认为可以接受污染值为可以接受污染值为10个单位。个单位。修改约束集修改约束集 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0105 . 135 .45.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 求解得求解得x1=(0, 10)T

55、, f1(x1)=30, f2(x0)=- -10 决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。 6.4 多维效用并合方法多维效用并合方法 如何解决多目标决策出现的如何解决多目标决策出现的不可不可公度性公度性和和矛盾性矛盾性？ 一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例问问题题一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型n设多目标决策问题有设多目标决策问题有s个评价准则，有个评价准则，有m个可行方案个可行方案 测定和计算测定和计算s个评价准则个评价准则相应的效用函数相应的效用函数为为u1，u2，u

56、s，得到，得到 m个可分方案个可分方案a1，a2，am在在S个评价准则下的效用值分别是个评价准则下的效用值分别是 将将s个分效用个分效用并合为总效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行，并依据总效用对可行方案进行排序排序 适用适用：主要解决主要解决序列型序列型多层次目标准则体系问题多层次目标准则体系问题 多多维维效效用用并并合合方方法法 ),.,2 , 1(),(),.,(),(21miauauauisii一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型n设经过系统分析，已经构建了序列型多层次目标准则体系设经过系统分析，已经构建了序列型多层次目标准则体系 总效用值（满意度总效用值（满意度 ）效用效

57、用并合并合过程过程从下从下到上到上逐层逐层进行进行 第二层子目标的效用值第二层子目标的效用值 倒数第二层各子目标的效用值倒数第二层各子目标的效用值 最低一层各准则的效用值最低一层各准则的效用值 符号符号“。”表示接某种规则和逻缉程序进行的效用并合运算表示接某种规则和逻缉程序进行的效用并合运算Hv1w1u1v2vlw2Wk-1wku2upUp+1us-1us一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型112()()()iiiauaua 21()()()ipipiauaua 1( )( )( ).kisisiauau a最低一层各准则的效用，经过并合得到最低一层各准则的效用，经过并合得到 如此并合，继

58、续由下而上进行第三层子目标的如此并合，继续由下而上进行第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值效用并合得到第二层各目标的并合效用值12( ),( ), ( )iiliv av av a一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型12( )( )( )( )iiiiliHH aaaa*1( *)max( )ii mHH aH a （i=1,2,m） （6.8）最后，可行方案最后，可行方案ai的满意度的满意度多维效用并合的最满意方案为多维效用并合的最满意方案为a*，其满意度，其满意度二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则定义域是坐标平面定义域是坐标平面u1u2上的一个上的一个正方形正方形，

59、称为二维效用平面，称为二维效用平面 值域是值域是W轴上的区间轴上的区间0，1，曲面，曲面WW（u1，,un）称为）称为n维效用曲面维效用曲面 定义域是定义域是n维效用空间上有维效用空间上有2n个顶点的个顶点的凸多面体凸多面体 凸多面体：其任两点的凸组合仍属于它。凸多面体：其任两点的凸组合仍属于它。 k1 u1 +k2 u2 （k1 +k2=1, k1,k2=0）二维效用函数二维效用函数 设效用设效用u1,u2分别在区间分别在区间0,1上取值，二元连续函上取值，二元连续函数数ww（u1,u2） n维效用函数维效用函数 设效用设效用u1，u2，un分别在区间分别在区间0，1取值，取值，n元连续函数

60、元连续函数Ww（u1，u2，un） 二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则决策目标的属性不同，效用并合的方式不同决策目标的属性不同，效用并合的方式不同讨论几种常用的二维效用并合规则讨论几种常用的二维效用并合规则1距离规则距离规则满足如下条件：满足如下条件： 当二效用同时达到最大值时当二效用同时达到最大值时并合效用才达到最大值；并合效用才达到最大值； 当二效用同时取最小值时当二效用同时取最小值时并合效用取零效用值并合效用取零效用值 ； 二效用之一达到最大值二效用之一达到最大值 均不能使并合效用达到最大值均不能使并合效用达到最大值； 二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大二维效用平面