常微分方程4.4 常系数齐线性方程组

1、4.4 常系数齐次线性微分方程组本节研究常系数齐次线性微分方程组解的情况，特别是方程基本解组的情形，所以方程组的解在区间上存在唯一.即寻找n个线性无关的解常数矩阵在 上连续，一 系数矩阵A有单特征根时的解 使是对角矩阵,设矩阵 有n个不同特征根，由线性代数知识，一定存在一个非奇异矩阵 ,这里是矩阵A的特征根.?记,设对应的特征向量，为矩阵 的特征根作线性代换并代入方程可得写成纯量形式,可得方程组积分上面各个方程得解:因此方程 通解为将y代入?可得方程组的基解矩阵为定理4.13 设矩阵A有n个不同的特征根 的通解为且其相对应的特征向量为,则方程组例1 求解方程组解 先求矩阵A的特征根因此,矩阵A

2、的特征根为对可求得其特征向量对也可求得其相应的特征向量为因此,方程组的通解为例2 求解方程组解 该方程对应的矩阵A的特征根满足对特征根其相对应的特征向量满足特征向量特征根对应的特征向量分别为线性齐次方程组的通解为假设矩阵A 的特征根具有复特征根的情形,这时方程就会出现实变量数复值函数解.求出方程组的n个实的线性无关的实值解?定理2 若实系数线性齐次方程组 有复值解 则其实部 和虚部都是解.证明是方程组的解,即和都是齐次方程组的解.实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现.对应的特征向量也与对应的特征向量共轭,因此齐次方程组出现一对共轭的复值解.如果 是特征根,也是特征根.则共轭复数例3 求解方程组解

3、 系数矩阵A的特征方程为故有特征根且是共轭的.对应的特征向量满足方程取根底解系非零解：原微分方程组有解原方程组的通解例4 求解方程组解 该方程组的系数矩阵特征方程故原方程有复值解取的实部和虚部,得原方程的两个线性无关解。故原方程组的通解为是 对应的特征子空间的一个基.则存在 且 对应的特征子空间维数为1,定理 设矩阵 A 有一个重特征根重数的向量 使得 和 是齐次线性方程组两个线性无关的解. 二 系数矩阵A 有重特征根时的解 把代入方程证明 只需证明是齐次线性方程组的解，且 与 线性无关。因为对应的特征向量，是矩阵A的特征根，所以且 满足这说明是齐次线性方程组的解.下面证明和线性无关.事实上，

4、若存在常数和满足两边乘以 得两边对求导得因为因而必有代入得即有即说明和线性无关.定理给出了求解方程 的通解的一种方法.例 求解方程组解 系数矩阵 A 的特征方程为因此矩阵 A 有单特征根和二重根对，有特征向量有特征向量满足方程方程有解定理 设矩阵A有一 重特征根重数且其相应的特征子空间是一维的，是该特征子空间的一个基，则一定存在向量 满足而且对 也一定存在 满足是齐次线性方程组的三个线性无关的解.例 求解方程组解 系数矩阵A的特征方程为对应的特征向量可取这里 满足方程组解该方程组，取这里 满足方程解该方程组，取三个解 线性无关。存在不全为零常数 和 以及向量 满足定理 设矩阵 A 有一 重特征

5、根重数且其对应的特征子空间的维数为2，有两个线性无关的特征向量 和 ，使得是 方程的三个线性无关的解.例 求解方程组解 系数矩阵A的特征方程为对应的特征向量方程组有解的充要条件是选取三 矩阵指数函数的定义和性质 设A是常数矩阵,定义矩阵指数函数其中E为n阶单位矩阵,是矩阵A的k 次幂.必须证明矩阵级数是收敛的.事实上,对一切正整数k,有所以矩阵级数是收敛的.而数项级数是收敛的,可以证明右端在任何有限区间上都是一致收敛的.矩阵指数函数有下面的性质：1 若矩阵A和B是可交换的,即AB=BA,则定义矩阵指数函数2 对任何矩阵存在,且3 若T是非奇异矩阵,则定理 6 矩阵是方程组 的基解矩阵.证明所以是方程组 的基解矩阵.方程组的通解为这里c是一个常数向量.定理 6 矩阵是方程组 的基解矩阵.方程组的特解?满足初始条件假设是方程组的另外一个与不同的基解矩阵,那么存在非奇异常数矩阵