复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用

1、复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓 名：何缘鸽学 号：092410101学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的开展又极大地推动了复变函数的开展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。【关键词】： 线性系统

2、Z变换 卷积 拉普拉斯变换 【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和开展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。随着教育事业的不断开展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的开展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了

3、我们的首要问题。分析问题：虽然常规的Fourier变换的运算的范围是有限的，但Laplace变换、Z变换等填补了Fourier变换的缺乏之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S于t=0时由1端转向2端，R=10，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。图1+2V-+-CLRS12+10V-解：因换路前电路已达稳态，故可知 , 换路后，电路的微分方程为=10 对上式进行拉普拉斯变换，得 = 解得 = 代入数据得 = 用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为 例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设、C=1F。试求系统

4、函数电压传递函数；当K=3时，求冲激响应和阶跃响应。b1F+-+-+-1Fa+-图2解：由图2可得s域的节点方程 联立上述三式求解，并代入参数，可得 当K=3时，得 所以 V由于 故得阶跃响应 V 由上面两例题可以看出，通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化。系统的起始状态条件可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。例3： ，试求Z反变换。 解： ，有两个二重极点，即。 在点的留数 因为在本学期，我们

5、学习的复变函数与积分变换中，对Z变换并未进行详细介绍，老师只是讲了个大概。而在后期专业课中，我们还是被要求会Z变换的，因为Z变换方法是分析LTI离散系统的重要工具。因此，知识是无界的，要想学到更多，除了老师在课堂上所讲的之外，我们课后应该自己去学习。只有有强烈的求知欲，并付诸行动，才能更好的理解并运用所学知识。 我们用Z变换方法时，总共可以用三种方法来计算。即级数求和法、局部分式法、留数计算法。而对于较复杂的函数，通常采用局部分式和留数计算法。下面，举一个例子来展示这两种方法的解题思路。例4： 求函数 的Z变换。 解：方法1 局部分式法 当函数中包2含有零阶保持器的传递函数时，有 其中用局部分

6、式法求得。上式可进一步写成 方法2 留数计算法 其中用留数计算法计算，即 那么 注：在用局部分式法和留数计算法时，不参与运算。 每一种计算方法都是有自己的特点与缺点的，Z变换也不例外，它也存在它自身的局限性。由此可见，我们掌握的计算方法越多越有利于解题。 目前，卷积已成为现代电路与系统分析的重要工具，是研究系统中信号传递规律的关键所在。例5：设信号和如图3所示，试求。图3(b)01(a)220 解：对于图中的和，可以分别表示 那么响应可利用延时性质得到 通过卷积的运用，我们在后期专业课中，能较好地解决信号与系统中的问题。推广应用：Fourier变换与Laplace变换的计算可以使用到科学和工程

7、计算，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。 在本专业上的推广应用也很广泛，比方应用于电力工程、通信和自动控制领域以及信号分析、图像处理。Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等。频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。Laplace变换应用于控制问题。 为了更形象化，在此，我通过查阅资料来举例说明。例6： 某一反应和给定输入前馈复合控制系统的结构图如图4所示，图中前馈环节的传递函数，当输入信号时，为使系统的稳态误差终值等于零，试确定前馈环节的参数a和b。解：系统的闭环传递函数为 系统的给定误差函数的拉式变换为 代入，并利用终值定理，得 要使上述等式成立，须满足 由

8、此可得前馈环节的参数 图4+-+结论：在写论文的过程中，通过论文资料的收集，结合平时老师的讲解和自己的理解和整理，让我了解到了复变函数在各个领域中的应用和地位，尤其是在本专业中的应用及其不可或缺的地位。自动控制在工程和科学技术开展中起着十分重要的作用，在日常生活中也得到广泛的应用。而复变函数在其开展中起着不可或缺的推动作用。由例题可见，拉氏变换在解决工程学问题上具有重大作用及应用意义。通过对复变函数的学习，使我掌握复变函数的根本理论和方法，并获得初步应用的能力。用拉氏变换解高阶微分方程和常定系数微分方程比拟简单，在工程学上拉氏变换的重要作用在于将一个性能好从时域上转变为复频域上来表示。【参考文

9、献】：1?自动控制原理学习指南? 主编 冯江 王晓燕2?信号分析与处理? 主编 燕庆明3?现代信号处理理论与应用? 主编 张忠4?自动控制理论? 主编 葛思擘 张爱民 杜行俭 杨清宇5?复变函数论? 主编：钟玉泉【致 谢】：历时将近一个月的时间终于将这篇论文写完，本篇论文虽是自己动手完成，凝聚着自己的汗水，但却不完全是个人智慧的结晶。在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。论文即将完成之日，感慨颇多，首先诚挚的感谢我的论文指导老师秦志新老师，从论文的设计、整改及论文的定稿过程中，自始至终都倾注着老师的心血。老师以严谨的治学之道、宽厚仁慈的胸怀、积极乐观的生活态度，兢兢业业的工作作风和大胆创新的进取精神为我树立了学习的典范，他的教诲与鞭策将鼓励我在学习和生活的道路上励精图治，开拓创新。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。我以最诚挚的心意感谢他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改良。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此，特向帮助和指导过我的各位老师表示由衷的感谢！ 如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完本钱篇论文的写作。本文引用了数位学者的研究文献。感谢这篇论文所涉及到的各位学者。除此之外，我还要感谢我的室