第五节奈魁斯特稳定判据裕度分析闭环(,,讲)

1、2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering1自动控制原理自动控制原理 （第（第 19 讲）讲） 5 5. . 线性系统的频域分析与校正线性系统的频域分析与校正 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性（幅相频率特性（NyquistNyquist图）图） 5.3 5.3 对数频率特性（对数频率特性（BodeBode图）图） 5.4 5.4 频域稳定判据频域稳定判据 5.5 5.5 稳定裕度稳定裕度 5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能 5.7

2、5.7 闭环频率特性闭环频率特性 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering2自动控制原理自动控制原理5.4 频域稳定判据频域稳定判据2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering3 主要内容q幅角定理q奈魁斯特稳定判据q奈氏稳定判据在、 型系统中的应用q在波德图上判别系统稳定性5.4 频域稳定判据频域稳定判据2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering4稳定性（Stability）)(

3、)(1)()()(:sHsGsGsRsCTFloopClosed)(sG)(sC)(sH)(sR For stability, all roots of the characteristic equation must lie in the left-half s plane. )()(:sHsGTFloopOpen0)()(1:sHsGEquationsticCharacteri 判别系统稳定性的方法除了直接求解特征方程的根外，前面已经介绍了代数判据和根轨迹法。 在系统含有时滞环节时，代数判据法无能为力，根轨迹法虽然有效，但很麻烦。不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题

4、. 奈氏判据可由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性;可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题.而且，他所使用的开环频率特性可以通过实验测取，这对于不易建模的实际系统很有意义。同时，他不仅仅用于单变量系统，也推广到多变量系统，不仅用于线性系统，也可推广用来分析某些非线性系统的稳定性。 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering5映射RxfRxxfxf)(,),(:jS0ReImF复变函数CsFCssFsF)(,),(:函数S平面F平面映射周线：复平面上的一条封闭曲线。假设定义域为一周线，其映射会如何？ 幅角定理2

5、022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering6含有零点的映射（观察幅角）) 1()(: ssFExamplejS0ReImF0s周线 观察：s包围零点沿abcd顺时针变化一周，F(s)在F平面中包围原点沿F(a)F(b)F(c)F(d)顺时针变化一周。F周线 问题：s沿周线变化一周，其函数F(s)有怎样的变化？1jj2abcd11)(, 11)(11)(, 11)(jdFjcFjbFjaF)(aF)(cF)(bF)(dF1jj11、周线包围零点观察：s顺时针变化一周，F(s)也顺时针变化一周，但不包围原点。2、周线不包围零点b

6、acd)(aF)(cF)(bF)(dF问题：周线包围Z个零点，又如何呢？幅角定理2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering7含有极点的映射（观察幅角）11)(:ssFExamplejS0ReImFs周线 观察：s包围极点沿abcd顺时针变化一周，F(s)在F平面中包围原点沿F(a)F(b)F(c)F(d)逆时针变化一周。F周线 问题：s沿某周线变化一周，其函数F(s)怎样变化？1jj2abcd) 11 ()(),11 ()() 11 ()(),11 ()(21212121jdFjcFjbFjaF1、周线包围极点观察：s顺时

7、针变化一周，F(s)也顺时针变化一周，但不包围原点。2、周线不包围零点bacd0)(aF)(cF)(bF)(dF)(aF)(cF)(bF)(dF问题：周线包围P个极点呢？幅角定理2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering8Mapping Theorem幅角定理)()()()()(2121*nmpspspszszszsKsF幅角定理幅角定理 点s在S平面内某周线上顺时针绕行一周即周线内内零（极点）点与s所成向量顺时针变化360时， F(s)在F平面内对应的映射周线上绕原点顺（逆）时针绕行一周（或对应向量顺时针变化360）。

8、注意：S平面上周线外外的零/极点不会影响其映射周线对F平面原点的绕行周数。njjmipszssF111)()()(推论： 若F(s)在s周线内有Z个零点和P个极点，且s绕s周线顺时针变化一周，则对应的点F(s) 沿映射的周线顺时针包围原点 N = Z P 周。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering9设设F(s)被包围有被包围有)()()()()(321321pspspssssjF N: s 绕奈氏路径一周时，绕奈氏路径一周时，F(j )包围包围F平面平面(0, j0)点的圈数点的圈数P个极点个极点 (开环极点开环极点)

9、 )Z个零点个零点 ( (闭环极点闭环极点) ) Z=2P=1s 绕路径转过一周，绕路径转过一周，RPZjF2)(2)(F(j )绕绕F平面原点转过的角度平面原点转过的角度j jF() )为为PZN222000幅角定理2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering10幅角定理 设负反馈系统的开环传递函数为： ，其中：为前向通道传递函数， 为反馈通道传递函数。)()()(sHsGsGk)(sG)(sH闭环传递函数为： ，如下图所示：)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC)(sG)(sH令：)()()(,)()()(22

10、11sNsMsHsNsMsG则开环传递函数为：)()()()()(2121sNsNsMsMsGk (a)闭环传递函数为：212121)(NNMMNMs (b)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering11 显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：njjniipszssF11)()()(。式中， 为F(s)的零、极点。jipz ,由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一

11、个辅助方程，得：kGGHNMNMNNNNMMsF111)(2211212121.(c)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering12 F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 ， 称为 在F(s)平面上的映射。sdfdfdsd 同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （为 的映射）。sfs 若N为正，表示 顺时针运动，包围原点；f 若N为0，表示

12、 顺时针运动，不包围原点；f 若N为负，表示 逆时针运动，包围原点。f 幅角定理： s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。ssf2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering13二、奈魁斯特稳定判据： 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点

13、在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。)(1)(sGsFk 应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，如果开环频率特性是已知的，设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。开环系统右半极点数闭环系统右半极点数右半极点数右半零点数| )(| )(sFsFN2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering14这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够

14、包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性 相联系？)(jGH它可分为三部分：部分是正虚轴， 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆； ；部分是负虚轴， 。 022,从ReRsj0第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图：sje0s2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering15F(s)平面上的映射是这样得到的：以 代入F(s)并令 从 变化，得第一部分的映射；

15、在F(s)中取 使角度由 ， 得第二部分的映射；令 从 ，得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。js 0jeRs22R0得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 ，式中：是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 。当 时，系统稳定；否则不稳定。kPZNkPZ,kPNZ0Z第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 ， 为开环频率特性。因此，有以下三点是明显的： )(1)(sGsFk)(sGk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering16F(s)对原点的包围，相当于 对(-1,j0)的包

16、围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。)(sGk)(sGk奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1；第部分的映射对应 ，即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。)(sGk0)(sGkF(s)的极点就是 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。)(sGk)(sGk由 可求得 ，而 是开环频率特性。一般在 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 时， ，即F(s)=1。（对应于映射曲线第部分）)(jGk)(jF)(jGkjes0)(sGk)(jGk)(1)(sGsFk1)()(sFsGk2022年7月1日星期五Sic

17、huan University of Science and Engineering17)(jF)(jGkF(s)与 的关系图。)(sGk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering18 根据上面的讨论，如果将幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径，则可将幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N，（N0顺时针，N0顺时针，N=1时，包围(-1,j0)点，k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N

18、=-1，而 ，则 闭环系统是稳定的。1kP0kkPNZ2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering25临界稳定的概念临界稳定的概念 最小相位系统当最小相位系统当G(j)过过(-1,j0)点时点时，闭环系统闭环系统临界稳定临界稳定。G(j)曲线过曲线过(-1,j0)点时点时，说明有这么一个点说明有这么一个点 G(j) =1 同时成立！同时成立！特点特点： G(j) = -180o0j1-1G(j)N=zP2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering26编程题

19、()()0.15( )0.51 0.41speGsss )4 . 0()5 . 0(15. 0arctgarctg114 . 015 . 0iik编写程序求临界频率和临界增益。闭环被控对象如下编写程序求临界频率和临界增益。闭环被控对象如下它的临界震荡频率（弧度）满足方程：它的临界震荡频率（弧度）满足方程： 它的临界增益它的临界增益k k满足方程：满足方程：syms w ;solve(-0.15*w-atan(0.5*w)-atan(0.4*w)=-pi)w=ans;k=sqrt(0.5*w)2+1)*sqrt(0.4*w)2+1)2022年7月1日星期五Sichuan University o

20、f Science and Engineering27特殊情况 对于、型的开环系统 上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于、型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering28三、奈魁斯特稳定判据在、型系统中的应用：具有开环0极点系统，其开环传递函数为：njjmiiksTssksG11) 1() 1()( 可见，在原点有

21、 重0极点。也就是在s=0点， 不解析，若取奈氏路径同上时（通过虚轴的整个s右半平面），不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径如下：)(sGk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering29Special CasejS0G(s) involves poles on the j axis)()()(sAsBsG0)()()()(1)(sAsBsAsGsF为保证Nyquist周线不穿越G(s)的极点，把原点附近的周线设置为用无穷

22、小半径逆时针半周无穷小半径逆时针半周绕行。Nyquist Contour jes ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()(,2121sTsTsTssTsTsTKsGnpppzmzz无穷大半径顺时针半周无穷大半径顺时针一周2,1,)(lim20jjjeeeG2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering30(b)对于型系统：将奈氏路径中的点 代入 中得：0,ReRsj)(jGk2200)(lim)(limjjRkseeRksG所以这一段的映射为半径为 ，角度从 变到 的整个圆（顺时针）。00lim)(limjjRksee

23、RksG所以这一段的映射为半径为 ，角度从 变到 的右半圆。2222 0 0 0 02022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering31结论用上述形式的奈氏路径，奈氏判据仍可应用于、型系统。例5-4设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：显然这是1型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。 01 0从图上看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而 ，故 ，闭环系统是稳定的。0kP0kkPNZ2022年7月1日星期五S

24、ichuan University of Science and Engineering32Type 1 system) 1)(1()(21sTsTsksG)()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()()(22222122122222121jYXTTTTkjTTTTkjG令虚部为0，求得与实轴交点的频率及实部坐标值为 211TTn02121)(xTTTTkXnXjY010 x2121212101TTTTkTTTTkx欲使闭环系统稳定，则Nyquist曲线不包围(-1,j0)，所以例5-5已知开环特性，试分析系统闭环后的稳定性 )0,(21TTk2022年7月1日星期五Sichuan Univ

25、ersity of Science and Engineering33例5-6某型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。1 00解：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因 ，所以 ，闭环系统是不稳定的。2kkPNZ0kP2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering34特殊情况：1、若开环系统在虚轴上有极点，这时应将奈氏路径做相应的改变。如下图： 0 0以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆，使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保

26、满足柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右半平面。映射情况，由于较复杂，略。2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering35通常，只画出 的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为： 。式中， 为 变化时，开环奈氏图顺时针包围(-1,j0)点的圈数。 0kkPNZ2N 0111不包围(-1,j0)点，0N0型系统包围(-1,j0)点，1N型系统和型系统对应的奈魁斯特路径分别为：0 02022年7月1日星期五Sichua

27、n University of Science and Engineering36这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 时，频率特性曲线在实轴 段的正负穿越次数差为 。)(sGk 0) 1,(2P 频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当 增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的 段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的 段的正穿越（这时随着 的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。) 1,() 1,(1正穿越负穿越2022年7月1日星期五Si

28、chuan University of Science and Engineering37四、在对数坐标图上判断系统的稳定性： 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。0)(log20, 1)(AA 奈氏图频率特性曲线在 上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上 的范围内，当 增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。) 1,() 1)( , 0)(AL2022年7月1日星期五Sichuan

29、 University of Science and Engineering38对照图如下：正穿越负穿越)(j)(Lc1正穿越负穿越相角方向为正 增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下： 设开环频率特性 在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性 的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为： ，式中 为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z0，闭环系统不稳定。)(sGk0)(LpkZ 2k2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engine

30、ering39五、最小相位系统的奈氏判据：开环频率特性 在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。)(sGk1cg)(cj奈氏图幅值和相角关系为：当 时1)(A180)(,ccj当 时，180)(j1)(gA式中， 分别称为相角、幅值穿越频率cg,cg)(j)(L上述关系在对数坐标图上的对应关系:当 时0)(L180)(cj当 时，180)(gj0)(L2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineerin

31、g40小结 幅角定理。满足该定理的条件。N=z-p 辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。 奈奎斯特稳定判据。几种描述形式；、型系统的奈氏路径极其映射；最小相位系统的奈氏判据；对数坐标图上奈氏判据的描述。 对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering41第五节 稳定裕度2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering42自动控制原理自动控制原理 （第（第 20 讲）讲） 5 5. . 线性系统的频域分析与校正线

32、性系统的频域分析与校正 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性（幅相频率特性（NyquistNyquist图）图） 5.3 5.3 对数频率特性（对数频率特性（BodeBode图）图） 5.4 5.4 频域稳定判据频域稳定判据 5.5 5.5 稳定裕度稳定裕度 5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能 5.7 5.7 闭环频率特性闭环频率特性 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering43j01cgG(j)G(jx)G(jc)= 180oG(j

33、g)h=1稳定裕度的定义稳定裕度的定义-1)j (Gc )(lg20ggjGdBk)j (G180c 相角裕度相角裕度为为宜宜2h,6030 )j(G1kgg 幅幅值值裕裕度度2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering44求稳定裕度步骤(补充)c1)j (G1 得得、令、令角度角度、算出、算出)j (G2c 1803、将算出的角、将算出的角)j (G180c )(1ggjGkgjG得、令180)(1)(2gjG、求出、取个倒数、取个倒数3读读出出来来由由再再判判断断令令渐渐近近直直线线方方程程的的模模的的另另两两种种方方法

34、法：求求dB0)(L, 1c 后还要判断求得由点求得由幅相曲线与负实轴交的另两种方法：求0)(ImjGg2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering45判稳例题判稳例题( (补充补充) )3()31(j)1(10)j (G2222 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数21)s(s1)-10(sG(s) 要求要求: : 1. 绘制奈氏曲线绘制奈氏曲线2.2. 用奈氏判据判稳用奈氏判据判稳 3.3. 解解:1o90s /10)0 j (G o21800s /10)j (G 起点起点: :终点终点: :求交点求

35、交点: :1531j(G ）35j)3j (G 。和和求求h 2.1)21( 20N2pZ ImRe0可见系统不稳定可见系统不稳定! !o9 .53 x h不能由不能由和和h h判稳吧判稳吧! !08. 3c 3.啊啊！和和多多漂漂亮亮的的h 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering46 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。gccgAj,180)(, 1)()(gA)(c

36、j1cg)(cj)(gAcg)(j)(L)(gjgL定义： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。)(1ggAk)(180cj在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即gLgk)(log20log20gggAkL2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering47显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的否则是不稳定的。对于最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。0gL1)(gA00gL0幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍（奈氏图）或增加 分贝（

37、波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍（或 分贝），则系统变为不稳定。gkgLgLgk比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。c2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering48自动控制原理自动控制原理 （第（第 21 讲）讲） 5 5. . 线性系统的频域分析与校正线性系统的频域分析与校正 5.1 5.1 频率特性的基本概念频

38、率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性（幅相频率特性（NyquistNyquist图）图） 5.3 5.3 对数频率特性（对数频率特性（BodeBode图）图） 5.4 5.4 频域稳定判据频域稳定判据 5.5 5.5 稳定裕度稳定裕度 5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能 5.7 5.7 闭环频率特性闭环频率特性 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering49对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好

39、。)(gA)(cj1cg)(cj)(gAcg)(j)(L)(gjgL定义： 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。)(1ggAk)(180cj在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即gLgk)(log20log20gggAkL课程回顾2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering50课程回顾稳定裕度的稳定裕度的概念概念( (开环频率指标开环频率指标) )稳定裕度的稳定裕度的定义定义稳定裕度稳定裕度计算方法计算方法的几何意义的几何意义h, c截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相角交界频率相角交界频率h

40、幅值裕度幅值裕度)(1gjGh 180)(gjG的物理意义的物理意义h, 稳定裕度的稳定裕度的意义意义)(180)(ccL j j )(1180)(ggjGh j j 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering51-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-270-180-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase & Gain Margin in Bode DiagramscjG 0)(log20)(180cjG

41、gjG180)()(log20ggjGK2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering52稳定裕度计算计算)(180cjG 解法解法I：由幅相曲线求：由幅相曲线求。h, 例例)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求，求。h, (1)(1)令令1)( cjG2222102100 ccc 1000400104242 ccc 9 . 2 c 试根得试根得)9 . 2(180j j 109 . 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .55902022年7月1日星期五Sich

42、uan University of Science and Engineering53)(1gjGh (2.1)(2.1)令令 180)(g j j10arctan2arctan90gg 90tan2011022ggg 可得可得 9010arctan2arctangg 202 g 47. 4 g )dB6 . 7(4 . 210010247. 42222 gggg 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering54)(1gjGh (2.2)(2.2)将将G(j )分解为实部、虚部形式分解为实部、虚部形式)10)(2(100)(

43、 jjjjG 令令0)(Im YGjG )100)(4()20(1001200222 jYXjGG 47. 420 g 得得4167. 0)( gXG 代入实部代入实部4 . 24167. 01 4167. 0)( gG 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering55)47. 4(1jGh )110)(12(5)( ssssG由由L( ):1)( cjG 16. 310 c 得得4 . 24167. 01 解法解法II：由：由BodeBode图求图求。h, 210125ccc )(180cjG )16. 3(180j j

44、1016. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909 . 2 5 .1847. 4102 g 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering56)(180cjG 解解. .作作L( )求求c 法法I:25 . 26 c 5 .128 . 4arctan58 . 4arctan28 . 4arctan905 . 28 . 4arctan180 3 .20218 .434 .67905 .62180例例，求，求。)15 .12)(15)(12()15 . 2(6)( ssssssG8

45、 . 45 . 226 c 法法II:1)( cjG 8 . 45 . 226 c cccc 5 . 2261125 . 26 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering57ExampleObtain the phase and gain margin of the system shown below for the case where K=10 and K=100.)(sC)(sR)5)(1(sssK-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-270-225-180-13

46、5-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 9.54 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = 25.4 deg (at 1.23 rad/sec)Frequency (rad/sec)-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102-270-180-90Phase (deg)Bode DiagramGm = -10.5 dB (at 2.24 rad/sec) , Pm = -23.7 deg (at 3.91 rad/sec)Frequency (rad/sec)G=zpk(,0 -1 -5,10); Gm,Pm,w

47、c,wg=margin(G)G=zpk(,0 -1 -5,100); Gm,Pm,wc,wg=margin(G)2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering58dB1230当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering59带有延迟环节系统的相位裕度的求法：skesG

48、)(设系统的开环传递函数为： ，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。00c0gcg左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为 和 ，相角裕度分别为 。)(,00ccccgg,0,0显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性，其相位裕度必须大于零。即：0)(0cckcjG)(L)(jcc0gg02022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering60稳定裕度概念使用时的局

49、限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义；2、除纯延迟外的非最小相位系统不能使用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：1gk2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering61自动控制原理自动控制原理 5.6 5.6 利用开环频率特性利用开环频率特性 分析系统的性能分析系统的性能 5.6.1 5.6.1 L( )低频渐近线与系统稳态误差的关系低频渐近线与系统稳态误差的关系

50、5.6.2 5.6.2 L( )中频段特性与系统动态性能的关系中频段特性与系统动态性能的关系 5.6.2 5.6.2 L( )高频段对系统性能的影响高频段对系统性能的影响 （第（第 21 讲）讲）2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering625.6利用开环频率特性分析系统的性能例例1 1 最小相角系统最小相角系统 j () j () L()() 之间的对应关系之间的对应关系 ( K=1)1)5()5()1()(221 ssssKsG1)20()20()1()(223 ssssKsG1)10()10()1()(222 sss

51、sKsG1)50()50()1()(224 ssssKsG2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering635.6 利用开环频率特性分析系统的性能三频段理论三频段理论vsKsG )(0dB/dec20 1. 1. L( )低频段低频段 系统稳态误差系统稳态误差ess2. 2. L( )中频段中频段 系统动态性能系统动态性能( , , ts)3. 3. L( )高频段高频段 系统抗高频噪声能力系统抗高频噪声能力 lg20lg20lg200 vKG 900vG最小相角系统最小相角系统 L( ) 曲线斜率与曲线斜率与j()j()的对

52、应关系的对应关系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 )(1)()(sGsGs 1)()( sGs1)( sG希望希望 L( ) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB线，并保持较宽的频段线，并保持较宽的频段2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering64Bodes Theorem 第一，线性最小相位系统的幅频特性与相频特性之间的关系是一一对应的。 第二，对数幅频特性渐进线的斜率与相角有对应的关系。如果在整个频率范围内斜率是固定的，则他们的关系为-20dB-90。如果在整个频率范

53、围内幅频特性斜率是变化的，则在某一频率0处的相角(0)，主要地取决于0处的那一段对数幅频特性的斜率，其他段的斜率，随着离0越远，影响越小。 由Bode定理知，若要求系统相角裕量在30-60，则系统开环对数幅频曲线在幅穿频率及其附近的斜率通常最好为-20dB/dec，且维持该斜率的频率范围越宽，相角裕量就越大，系统的相对稳定性就越好。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering655.6利用开环频率特性分析系统的性能中频段中频段三频段理论三频段理论高频段高频段低频段低频段对应性能对应性能希望形状希望形状L( )系统抗高频干扰的

54、能力系统抗高频干扰的能力开环增益开环增益 K系统型别系统型别 v稳态误差稳态误差 ess截止频率截止频率 c相角裕度相角裕度 动态性能动态性能陡，高陡，高缓，宽缓，宽低，陡低，陡频段频段三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向00 st2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering665.6 利用开环频率特性分析系统的性能关于三频段理论的说明：关于三频段理论的说明： 各频段分界线没有明确的划分标准

55、；各频段分界线没有明确的划分标准； 与无线电学科中的与无线电学科中的“低低”、“中中”、“高高”频概频概 念不同；念不同； 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec过过0dB线作为判定线作为判定 闭环系统是否稳定的标准；闭环系统是否稳定的标准； 只适用于单位反馈的最小相角系统。只适用于单位反馈的最小相角系统。2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering675.6利用开环频率特性分析系统的性能 12vKn (1) (1) 二阶系统二阶系统 )2()(2nnsssG 222)2()(nnjG njG 2arctan90)( 1

56、)2()(222 nccncjG 422224nncc 0442224 ncnc nc 24214)(180c j j 2222)(nnnsss nc 2arctan90 cn 2arctan 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering685.6利用开环频率特性分析系统的性能nc 24214)(180c j j nc 2arctan90 cn 2arctan 242142arctan )2()(2nnsssG 21/% e% nst5 . 3 242145 . 3 cst tan7 2214724 2022年7月1日星期五

57、Sichuan University of Science and Engineering695.6利用开环频率特性分析系统的性能314820 c tan7 cst例例 2 2 已知系统结构图，求已知系统结构图，求 c，并确定，并确定 , , ts。解解. . 绘制绘制L( )曲线曲线2031arctan90180 8 .322 .5790008 .3229. 00037 8 .32tan31735. 0 )20(2048)120(48)( sssssG按时域方法：按时域方法：96020960)(1)()(2 sssGsGs3226. 03122031960n001003 .352 e35.

58、0105 . 35 . 3 nst 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering705.6 利用开环频率特性分析系统的性能 (2) (2) 高阶系统高阶系统 %100)1sin1(4 . 016. 0% 21sin15 . 21sin15 . 12 cst)9035( 2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering711101 . 0 c 例例3 3 已知最小相角系统已知最小相角系统 L( ) 如图所示，试确定如图所示，试确定 (1) (1) 开环传递函数开

59、环传递函数G(s); ; (2) (2) 由由 确定系统的稳定性；确定系统的稳定性； (3) (3) 将将 L( ) 右移右移10倍频，讨论对系统的影响。倍频，讨论对系统的影响。解解. .(1)201arctan1 . 01arctan90180 (3) 将将 L( ) 右移右移10倍频后有倍频后有)120)(11 . 0(10)( ssssG 8 . 286. 23 .8490(2)101001 c 20010arctan110arctan90180 )1200)(11(100)( ssssG 8 . 286. 23 .8490L( ) 右移后右移后 c 增大增大 不变不变 不变不变 ts

60、减小减小0 稳定稳定5.6利用开环频率特性分析系统的性能2022年7月1日星期五Sichuan University of Science and Engineering72自动控制原理自动控制原理 （第（第 21 讲）讲） 5 5. . 线性系统的频域分析与校正线性系统的频域分析与校正 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性（幅相频率特性（Nyquist图）图） 5.3 5.3 对数频率特性（对数频率特性（Bode图）图） 5.4 5.4 频域稳定判据频域稳定判据 5.5 5.5 稳定裕度稳定裕度 5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率